SISTEM VOTING SETUJU-TIDAK SETUJU TIDAK TERBOBOT
B. Sistem Voting Setuju-Tidak Setuju Berbobot-Vektor
Dalam bab sebelumnya, disarankan bahwa pengamatan bahwa Dewan Keamanan PBB pada kenyataannya adalah sistem voting terbobot yang mungkin secara alami diduga bahwa setiap sistem voting setuju-tidak setuju adalah terbobot. Telah diketahui bahwa hal tersebut tidak akan terjadi, dan banyak hal yang telah dilakukan pada bagian ini dan sebelumnya telah bertujuan untuk mengeksplorasi sejauh mana sistem tersebut dapat gagal dilakukan pembobotan. Pada bagian ini, ditunjukkan bahwa intuisi yang diberikan oleh kertebobotan dari Dewan Keamanan PBB jauh lebih alami daripada yang telah dibahas sebelumnya.
Generalisasi selalu memainkan peran penting dalam matematika. Tujuan dalam bagian ini adalah untuk memberikan suatu generalisasi dari gagasan sistem suara berbobot. Titik awal akan dijadikan pengamatan bahwa seseorang dapat menggantikan gagasan tentang bilangan real oleh salah satu generalisasi: pasangan terurut dari bilangan real. Pasangan ini dapat "dijumlahkan" sebagai berikut:
Selain itu, dapat "dibandingkan ukuran" dari pasangan terurut parsial sebagai berikut:
≤
Kembali ke sistem Kanada (yang diketahui tidak terbobot) dan menunjukkan bahwa itu adalah sebuah "generalisasi sistem terbobot." Artinya,
37
bukan menetapkan bilangan real sebagai bobot, tapi ditetapkan pasangan terurut
sebagai bobot dengan cara berikut:
Tabel 4.2 Bobot Vektor Setiap Provinsi di Kanada Provinsi Bobot Vektor
Prince Edward Island
Newfoundland New Brunswick Nova Scotia Manitoba Saskatchewan Alberta British Columbia Quebec Ontario
Perhatikan bahwa entri pertama dari masing-masing pasangan terurut adalah 1 dan entri kedua adalah persentase dari populasi Kanada yang berada di provinsi itu. pasangan terurut (7, 50) berfungsi sebagai "suara mayoritas."
Dengan koalisi sekarang, masuk akal untuk menentukan bobot koalisi menjadi pasangan terurut dengan menjumlahkan semua bobot pasangan terurut provinsi di koalisi (sama seperti diperoleh bobot koalisi dalam sistem voting terbobot dengan menjumlahkan bobot dari semua pemilih dalam koalisi). Ini
38
menghasilkan sepasang terurut sebagai "bobot" untuk koalisi, yang kemudian dapat dibandingkan dengan pasangan yang terurut suara mayoritas.
Misalnya, jika X adalah koalisi yang terdiri dari Manitoba, Saskatchewan, Alberta, British Columbia, dan Ontario, maka "bobot" dari X adalah
Jika dibandingkan dengan suara mayoritas ditemukan bahwa bobot koalisi ini tidak memenuhi suara mayoritas, yaitu, pernyataan
adalah tidak benar karena 7 tidak kurang dari atau sama dengan 5.
Perhatikan bahwa dengan definisi "bobot" dan "suara mayoritas," bobot koalisi telah memenuhi suara mayoritas tersebut jika dan hanya jika mengandung setidaknya tujuh provinsi dan gabungan penduduk dari provinsi di koalisi setidaknya setengah populasi Kanada. Biimpikasi tersebut menjamin entri pertama dalam bobot yang setidaknya sama besar sebagai entri pertama dalam suara mayoritas dan menjamin bahwa entri kedua dalam bobot yang setidaknya sama besar sebagai entri kedua dalam suara mayoritas. Dengan demikian, koalisi telah memenuhi suara mayoritas jika dan hanya jika itu adalah koalisi pemenang dalam sistem Kanada.
Dalam pembahasan sistem Kanada di atas, digunakan pasangan terurut sebagai "bobot" dan "suara mayoritas."
Ada contoh lain di mana bobot dan suara mayoritas yang merupakan tiga pasangan terurut yang dapat juga dibandingkan dan dijumlahkan seperti langkah sebelumnya. Secara umun jika adalah bilangan real, maka
39
disebut sebagai n-pasangan terurut. N-pasangan terurut dapat dijumlahkan dan dibandingkan seperti 2-pasangan terurut.
Penjumlahan n-pasangan terurut di definisikan sebagai
Perbandingan n-pasangan terurut didefinisikan sebagai:
Semua ini mengarah ke definisi berikut:
Definisi 4.2 (Taylor, A. dan Pacelli A: 2008)
Sebuah sistem voting setuju-tidak setuju dikatakan sistem terbobot-vektor jika untuk suatu bilangan bulat positif n , terdapat n-pasangan terurut "bobot" untuk setiap pemilih dan n-pasangan terurut "suara mayoritas" sehingga koalisi yang menang justru ketika jumlah dari bobot vektor dari pemilih dalam koalisi memenuhi atau melebihi suara mayoritas.
Teorema 4.1 (Taylor, A. dan Pacelli A: 2008)
Setiap sistem voting setuju-tidak setuju adalah sistem terbobot-vektor. Selain itu, jika sistem voting berdimensi n, maka bobot dan suara mayoritas masing-masing dapat diambil sebagai n-pasangan terurut tetapi tidak -pasangan terurut. Bukti:
Misalkan S adalah sembarang sistem voting setuju-tidak setuju untuk himpunan pemilih V. Diketahui bahwa S memiliki dimensi n untuk beberapa n. Dengan demikian, dapat dipilih sistem voting setuju-tidak setuju berbobot
40
sehingga untuk setiap X koalisi dari V, didapati bahwa X adalah Koalisi Pemenang dalam S jika dan hanya jika X adalah koalisi pemengang di dan X adalah koalisi pemengang di dan X adalah koalisi pemengang di dan ... dan X adalah koalisi pemenang di .
Misalkan:
menjadi fungsi bobot dan suara mayoritas yang berhubungan dengan ,
menjadi fungsi bobot dan suara mayoritas yang berhubungan dengan
menjadi fungsi bobot dan suara mayoritas yang berhubungan dengan .
Jika X adalah koalisi pemenang maka X menang di dan X menang di dan X menang di dan dan X menang di jika dan hanya jika . Jika v adalah sembarang pemilih, dapat dihasilkan n-pasangan sebagai bobot untuk v dengan menggunakan n bobot yang telah ditetapkan dalam sistem bobot sebagai berikut:
Selain itu dapat dikombinasikan n suara mayoritas ke dalam n-pasangan suara mayoritas :
Masih harus ditunjukkan bahwa n-pasang bobot dan suara mayoritas "memenuhi" dalam arti bahwa koalisi harus menang di S jika dan hanya jika n-pasangan terurut
41
bobotnya memenuhi atau melebihi suara mayoritas (dalam arti membandingkan n-pasangan terurut). Dimisalkan koalisi X memiliki anggota sehingga
Sekarang, meletakkan persamaan ini bersama-sama dengan apa yang diketahui. X adalah koalisi pemenang di S jika dan hanya jika X adalah koalisi pemengang di dan X adalah koalisi pemengang di dan X adalah koalisi pemengang di dan dan X adalah koalisi pemenang di Jika dan hanya jika dan dan dan [ ] [ ] [ ]+[ ]+ [ ] [ ]
42 Contoh 4.2
Teorema 4.1 mengakibatkan dapat ditentukan 2-pasangan terurut yang mewakili bobot dalam Sistem Federal A.S. karena Sistem Federal A.S. berdimensi 2. Berikut adalah 2-pasangan terurut yang mewakili bobot dalam Sistem Federal A.S.:
Tabel 4.3 Bobot Vektor Tiap Pemilih dalam Sistem Federal A.S. Pemilih Bobot Vektor
Senat (1,0)
DPR (0,1)
Wakil Presiden ( , 0) Presiden (16 , 72) Suara Mayoritas (67, 290)
Bobot serta suara mayoritas tersebut memenuhi koalisi pemenang minimal dalam syarat pemenangan Sistem Federal A.S. Adapun koalisi pemenang minimal (X) dalam Sistem Federal A.S. adalah sebagai berikut :
43
1. X terdiri dari 218 anggota DPR, 51 Senator, dan Presiden, sehingga bobot minimal yang dihasilkan adalah
2. X terdiri dari 218 anggota DPR, 50 Senator, Wakil Presiden, dan Presiden, sehingga bobot minimal yang dihasilkan adalah
3. X terdiri dari 290 anggota DPR dan 67 Senator, sehingga bobot minimal yang dihasilkan adalah
44 BAB V
