KETERBOBOTAN SISTEM VOTING SETUJU-TIDAK SETUJU
C. Sistem Voting Setuju-Tidak Setuju yang Terbobot
Berikut ini diberikan definisi secara matematis sistem voting setuju-tidak setuju yang terbobot.
Definisi 3.1 (Taylor, A. dan Pacelli A: 2008)
Sebuah Sistem Voting Setuju-Tidak Setuju dikatakan terbobot jika terdapat n pemilih dalam sistem voting dan untuk setiap dapat ditemukan bobot (bilangan real) dan terdapat suara mayoritas q tanpa atau dengan menyebutkan kekuatan veto. Bobot dan suara mayoritas dalam sistem voting setuju-tidak setuju dapat ditulis sebagai
Dengan menggunakan definisi 3.1 akan diperlihatkan contoh-contoh sistem voting dalam bab sebelumnya termasuk terbobot atau tidak.
Contoh 3.1
Akan diperlihatkan bahwa sistem voting pada Masyarakat Ekonomi Eropa (MEE) seperti pada Contoh 2.2 merupakan sistem voting yang terbobot. Dalam MEE dapat dengan mudah ditentukan bobot tiap pemilih dan suara mayoritas sebagai berikut:
19
Tabel 3.1. Daftar Negara dan Bobot Anggota MEE
Negara Bobot Perancis 4 Jerman 4 Italia 4 Belgia 2 Belanda 2 Luksemburg 1
Suatu keputusan diambil saat setidaknya dua belas dari tujuh bela s suara dipenuhi. Nampak bahwa sistem voting ini merupakan sistem voting terbobot dan dapat dituliskan sebagai .
Berikut ini diberikan contoh sistem voting terbobot yang lebih rumit dalam Dewan Keamanan PBB di mana di dalamnya ada hak veto.
Contoh 3.2
Akan diperlihatkan bahwa sistem voting pada Dewan Keamanan PBB adalah sistem yang terbobot. Meskipun dapat didaftar bobot dan suara mayoritas pemilih tapi berbeda dengan MEE, Dewan Keamanan PBB mengenal hak veto. Harus ditemukan (dihasilkan) bobot untuk masing-masing pemilih dan dihasilkan
20
suara mayoritas sehingga koalisi pemenang adalah justru koalisi dengan bobot setidaknya
Memang tidak mudah untuk membuktikan keterbobotan sistem Dewan Keamanan PBB. Efek veto harus dibuat untuk penentuan bobot anggota tetap. Semua anggota tidak tetap jelas memiliki pengaruh yang sama tetapi tidak memiliki hak veto sehingga diberi bobot 1. Kelima anggota tetap juga memiliki pengaruh yang sama dan memiliki hak veto. Kelima anggota tetap diberi bobot x, akan dicari nilai x dan q yang memenuhi.
Anggap sebuah koalisi tanpa satu anggota tetap tetapi didukung penuh oleh anggota tetap. Asumsi ini dipilih karena keputusan dapat dibatalkan oleh minimal satu anggota tetap yang tidak dalam koalisi. Bobot yang dimiliki koalisi adalah
. Karena satu anggota tetap tidak dalam koalisi maka koalisi ini adalah koalisi kalah. Jadi .
Jika kelima anggota tetap dalam satu koalisi maka keputusan akan disetujui jika didukung minimal 4 anggota tidak tetap, sehingga . Dengan menyubtitusikan ke dalam diperoleh
dengan mengambil bilangan bulat terkecil yang mendekati nilai dipilihlah
karena diperoleh . Ini sekarang akan relatif mudah untuk menunjukkan bahwa bobot dan suara mayoritas, sehingga, menunjukkan bahwa Dewan Keamanan PBB adalah sistem voting terbobot.
21
Dalam Sistem Federal A.S. juga mengenal adanya hak veto. Akan diselidiki dengan cara yang sama dalam Contoh 3.2 bahwa Sistem Federal A.S. terbobot atau tidak.
Contoh 3.3
Dalam Sistem Federal A.S. para pemilih terdiri dari anggota DPR, Senator, wakil Presiden dan Presiden. Anggota DPR, Senator dan Wakil Presiden memiliki pengaruh yang sama sehingga diberi bobot 1. Presiden dengan hak vetonya diberi bobot x. Misalkan suara mayoritas yang digunakan adalah q.
Dalam syarat yang pertama dikatakan koalisi pemenang terdiri dari setidaknya 218 DPR dan setidaknya 51 dengan atau tanpa Wakil Presiden, dan Presiden, sehingga .
Koalisi pemenang dalam syarat yang kedua terdiri dari setidaknya 218 anggota DPR dan setidaknya 50 Senator dan Wakil Presiden, dan Presiden sehingga
.
Koalisi pemenang dalam syarat yang ketiga terdiri dari setidaknya 290 anggota DPR dan setidaknya 67 senator sehingga .
Jika persamaan 3 disubtitusikan dalam persamaan 1 maka 357=
x=88. Jika persamaan 3 disubtitusikan dalam persamaan 2 maka 357= 270
x=87. Ketiga persamaan dalam contoh 3.3 akan menghasikan nilai x yang berbeda. Dengan demikian bobot Presiden tidak dapat dinyatakan dalam sebuah bilangan real sehingga Sistem Federal A.S. bukanlah sistem voting yang terbobot.
22 D.Sifat Pertukaran Kuat Pemilih
Dalam macam sistem voting yang pertama, dengan mudahnya dinyatakan sebuah sistem voting yang terbobot. Sekarang akan dibuktikan bahwa sebuah dapat dikatakan sebagai sistem voting tidak terbobot.
Tentunya tidak bisa hanya dikatakan bahwa sulit untuk menemukan bobot dan suara mayoritas yang sesuai karena tak terhingga banyaknya kemungkinan pilihan bobot dan suara mayoritas. Sistem Federal A.S. ternyata bukanlah sistem voting yang terbobot. Untuk membuktikan bahwa Sistem Federal A.S. tidak terbobot, cukup ditemukan sifat yang dapat dibuktikan:
1. Berlaku untuk setiap sistem voting terbobot, dan 2. tidak berlaku untuk Sistem Federal A.S.
Salah satu sifat seperti diberikan dalam definisi berikut: Definisi 3.2 (Taylor, A. dan Pacelli A: 2008)
Sistem Voting Setuju-Tidak Setuju merupakan pertukaran kuat (Swap Robustness) jika diberikan dua koalisi pemenang yang berbeda X dan Y, pertukaran satu pemilih dalam X tetapi tidak dalam Y dan satu pemilih dalam Y tetapi tidak dalam X, maka akan berakibat setidaknya satu koalisi baru yang terbentuk menjadi koalisi pemenang.
Dengan demikian, untuk membuktikan bahwa sistem yang bertukar kuat, harus dimulai dengan dua koalisi pemenang sembarang X dan Y, dan x sembarang pemilih yang ada di X tapi tidak dalam Y, dan y sembarang pemilih dalam Y tetapi tidak dalam X.
23
Perhatikan jika x berada dalam irisan koalisi X dan Y sedang y berada dalam Y tetapi tidak di X maka Y memuat x dan y. Jika X' dan Y' yang merupakan koalisi hasil dari pertukaran x dan y maka Y' tetaplah merupakan koalisi pemenang karena bobot koalisi Y tidaklah berubah. Bobot koalisi Y' tidak berubah karena x berada dalam irisan koalisi Y dan X. Koalisi X' belum dapat ditentukan sebagai koalisi pemenang atau koalisi kalah.
Kasus lain jika y berada dalam irisan koalisi X dan Y sedang x dalam X tetapi tidak dalam Y. Pertukaran x dan y menghasilkan kolisi X'' dan Y''. Koalisi X'' merupakan koalisi pemenang karena bobot koalisi tidak berubah karena x berada dalam irisan kedua koalisi. Koalisi Y'' belum dapat ditentukan sebagai koalisi pemenang atau koalisi kalah. Jika x dan y berada dalam irisan kedua koalisi maka pertukaran tidak akan merubah bobot koalisi. Pertukaran x dan y tidaklah berarti karena keduanya tetap sebagai koalisi pemenang seperti asumsi awal.
Dengan demikian, pemilih yang akan ditukarkan tidak boleh dalam irisan kedua koalisi yang akan bertukar. Langkah selanjutnya untuk membuktikan pertukaran kuat harus ditunjukkan bahwa X' atau Y' sebagai koalisi hasil pertukaran x dan y adalah koalisi pemenang.
24 Teorema 3.1 (Taylor, A. dan Pacelli A: 2008) Jika sistem voting terbobot maka bertukar kuat. Bukti:
Misalkan untuk sembarang sistem voting terbobot dengan sembarang dua koalisi pemenang X dan Y, dengan setidaknya satu pemilih x di dalam X tetapi tidak di dalam Y dan satu pemilih y di dalam Y tetapi tidak di dalam X. Misalkan pemilih x dipertukarkan dengan pemilih y , sehingga diperoleh koalisi baru X' dan Y' . Jika x dan y memiliki bobot yang sama maka X' dan Y' tetap koalisi pemenang. Di sisi lain jika bobot x lebih besar dari bobot y, maka bobot Y' lebih besar dari pada bobot Y , sehingga koalisi Y' tetap merupakan koalisi pemenang. Sebaliknya jika y lebih bobot daripada x, maka secara analog diperoleh bahwa koalisi X' adalah koalisi pemenang. Jadi terbukti sistem voting tersebut merupakan sistem voting yang bertukar kuat.
Contoh 3.4
Akan ditunjukkan bahwa sistem voting setuju-tidak setuju khususnya Sistem Federal AS ini tidak bertukar kuat. Misalkan dalam Sistem Federal A.S Senator dan DPR masing-masing dikelompokan dalam kelompok bawah dan kelompok atas. Jika asumsikan X dan Y adalah koalisi pemenang dengan anggota seperti dalam tabel 3.2
25
Tabel 3.2 koalisi X dan Y dalam Sistem Federal A.S.
Koalisi X Koalisi Y
Presiden, Presiden,
51 senator terbawah 51 senator teratas, 218 anggota terbawah
dari DPR
218 anggota teratas dari DPR
Misalkan x menjadi senator terbawah dan y menjadi anggota teratas dari DPR. Perhatikan bahwa baik X dan Y koalisi pemenang, dan x yang ada di X tapi tidak di Y dan y dalam Y tetapi tidak di X. Misalkan X' dan Y' merupakan hasil dari pertukaran x untuk y, maka susunan koalisi berbubah seperti dalam tabel 3.3 berikut:
Tabel 3.3 koalisi X' dan Y' akibat pertukaran x dan y Koalisi X' Koalisi Y'
Presiden Presiden 50 senator 52 senator 219 anggota DPR 217 anggota DPR
Koalisi X’ dan Y’ adalah koalisi kalah akibat pertukaran karena tidak memenuhi syarat minimal dalam Sistem Federal A.S. Dengan demikian, Sistem Federal AS tidak bertukar kuat.
26
Perhatikan bahwa "pertukaran" tidak dapat melibatkan pemilih yang merupakan anggota dari kedua koalisi awal. Hal ini dihindari dalam pembuktian di atas dengan membuat X melibatkan senator terbawah sedangkan Y melibatkan 51 senator teratas. Inilah sebabnya mengapa x pasti di X tapi tidak di Y.
Sebuah akibat langsung dari Contoh 3.4 di atas adalah Sistem Federal AS adalah sebuah sistem voting yang tidak terbobot. Dalam Teorema 3.1 dinyatakan Jika Sistem Federal AS terbobot, maka akan bertukar kuat. Tapi ini kemudian akan bertentangan dengan Teorema 3.2 karena Sistem Federal A.S tidak bertukar kuat sehingga Sistem faderal A.S tidak terbobot.
