BAB II TINJAUAN PUSTAKA
II.3. Torsi
II.3.8. Torsi pada dinding tipis terbuka dan tertutup
Pada bagian ini akan dibahas tentang sifat dari sebuah balok lurus berpenampang tipis (thin-walled) yang kemudian diberikan beban lentur dan beban torsi terbagi rata pada permukaannya seperti gambar 2.16a. Bagian ini hanya akan membahas bagaimana persebaran dari tegangan-tegangan yang timbul akibat beban luar yang diberikan.
Pada gambar 2.16b, dapat dilihat bahwa ketika sebuah balok berdinding tipis dikekang terhadap puntir maka timbul tambahan tegangan dalam arah memanjang dan melintang.
Tegangan-tegangan ini tidak muncul dalam kasus torsi seragam (Saint Vennant). C.Bach (1909) adalah orang yang pertama mengeluarkan pernyataan ini setelah melakukan percobaan menggunakan balok kantilever dengan penampang
a. Balok I dengan momen torsi M
b. Tegangan geser Saint Vennant
c. Tegangan warping
kanal. Percobaan pertama adalah dengan memberikan beban terpusat pada ujung balok tepat pada titik berat penampang yang kemudian menimbulkan lentur dan perputaran penampang dalam arah memanjang. Percobaan ini menunjukkan bahwa bidang penampang tidak lagi datar dan mengalami tegangan warping keluar dari bidang. Kemudian dilakukan percobaan dengan mengubah-ubah posisi pembebanan sampai ditemukan titik pusat geser dan tambahan tegangan menjadi hilang.
Pada bagian ini, persamaan umum didapat dengan terlebih dahulu menentukan koordinat sistem asal, kemudian koordinat sistem lanjutan ( intermediate), dan terakhir adalah koordinat sistem utama. Koordinat dari titik dalam ketiga sistem ini harus dinotasikan dengan lambang yang berbeda. Selanjutnya akan didapatkan funsi warping w, yang dihitung dengan acuan terhadap kutub B pada kedua koordinat sistem pertama dan dihitung terhadap titik pusat geser M pada koo rdinat sistem utama serta memperhatikan posisi dari titik awal V.
Ketiga bagian koordinat sistem yang digunakan adalah
1. Koordinat sistem asal A(ẋ,ẏ,ż). Kutub B dan titik mulai V untuk menghitung fungsi warping diambil secara sembarang. Biasanya
(2.106)
2. Koordinat sistem intermediate S (ẍ,ӱ,ż). Sumbu ini sejajar dengan sumbu (ẋ,ẏ,ż). Kutub B tetap tidak berubah dari posisi awal tetapi titik awal V berubah sehingga
3. Koordinat sistem utama S(x,y,z). Sumbu x dan y membentuk sudut ψ terhadap sumbu ẍ dan ӱ dan kemudian kutub B berpindah ke M.
Sifat-sifat bagian untuk masing-masing perubahan koordinat sistem adalah 1. Koordinat sistem asal (ẋ,ẏ,ż)
= momen pertama dari luasan terhadap sumbu ẏ
= momen pertama dari luasan terhadap sumbu ẋ
= Luas bidang momen pertama terhadap kutub B
= momen kedua dari luasan terhadap sumbu ẏ
= momen kedua dari luasan terhadap sumbu ẋ
= hasil kali momen dari luasan dari profil (ẋ,ẏ ,ż)
= hasil kali bidang dari luas
= hasil kali bidang dari luas
= konstanta warping terhadap kutub B
2. Koordinat sistem lanjutan (ẍ,ӱ,ż)
= momen pertama dari luasan terhadap sumbu ӱ
= momen pertama dari luasan terhadap sumbu ẍ
= Luas bidang momen pertama terhadap kutub B
= momen kedua dari luasan terhadap sumbu ӱ
= hasil kali momen dari luasan dari profil (ẍ,ӱ,ż)
= hasil kali bidang dari luas
= hasil kali bidang dari luas
= konstanta warping terhadap kutub B
3. Koordinat sistem asal (x,y,z)
= momen pertama dari luasan terhadap sumbu y
= momen pertama dari luasan terhadap sumbu x
= Luas bidang momen pertama terhadap kutub M
= momen kedua dari luasan terhadap sumbu y
= momen kedua dari luasan terhadap sumbu x
= hasil kali momen dari luasan dari profil (x,y,z)
= hasil kali bidang dari luas
= hasil kali bidang dari luas
Fungsi warping untuk profil terbuka adalah
(2.108)
sedangkan fungsi warping untuk profil tertutup adalah
(2.109)
Nilai dari fungsi warping ini tergantung kepada letak kutub B dan titik mulai V dari profil dimana pengintegrasian dilakukan. Dengan terjadinya perubahan posisi dari B dan V maka akan mengakibatkan perubahan fungsi warping dan perpindahan keluar bidang dari penampang. Fungsi warping akan memiliki nilai negatif ketika
bergerak berlawanan arah jarum jam dan bernilai positif jika bergerak searah jarum jam.
Persamaan yang digunakan untuk perhitungan nilai keseimbangan rotasi terhadap sumbu ẋ dan sumbu ẏ adalah
(2.110)
dengan memproyeksikan panjang ds dari elemen profil terhadap masing-masing sumbu maka akan didapatkan nilai ẋ dan ẏ.
Untuk dapat berubah dari koordinat sistem asal menjadi koordinat sistem lanjutan maka digunakan persamaan
(2.111)
dimana :
(2.112)
Pada koordinat sistem lanjutan, kutub B tetap tidak berubah sedangkan titik asal V berpindah untuk memenuhi . Setelah itu, kemudian di lakukan perpindahan dari koordinat sistem lanjutan ke koordinat sistem utama dengan persamaan
(2.113)
dimana
(2.114)
Pada koordinat sistem utama ini, titik kutub B sudah berpindah ke titik pusat geser M sehingga perhitungan untuk koordinat titik pusat geser adalah
(2.115)
Persamaan yang kemudian digunakan untuk menentukan fungsi warping untuk koordinat sistem utama adalah
(2.116)
Jika maka nilai ẍ dan ӱ dari koordinat sistem lanjutan akan sama dengan nilai x dan y dari koordinat sistem utama.
(2.117)
(2.118)
Nilai yang lebih kecil pada hasil atau merupakan momen kedua dari luas untuk masing-masing sumbu lemah dan sumbu kuat pada kondisi pembebanan
lentur. merupakan konstanta warping untuk suatu jenis profil dengan penampang tertentu yang nilainya konstan pada setiap ketinggian.
Dalam menganalisa torsi dari balok lebih baik menggunakan hubungan di antara tegangan-tegangan dan total tegangan. Itu adalah di antara tegangan warping memanjang dan bimomen yang didapat dengan mengeliminasi persamaan (2.119) dan
(2.120)
menjadi
(2.121)
Sehingga total tegangan langsung arah memanjang adalah
(2.122)
Distribusi tegangan geser pada profil terbuka kemudian didapatkan. Untuk profil terbuka, persamaan tegangan gesernya adalah
(2.123)
dimana pengintegrasian dilakukan dari ujung bebas menuju suatu titik tertentu s. Karena dan adalah turunan dari dan sehingga persamaan di atas dapat ditulis menjadi
(2.124)
Untuk single-cell dengan penampang tipis tertutup, pemisalan pemotongan dalam arah memanjang dapat dilakukan pada titik tertentu sehingga bagian pertama
dari tegangan geser adalah nol pada titik pemotongan dan bagian berikutnya mengalami kenaikan nilai tegangan geser akibat aliran geser C(z)= pada sekeliling profil.
Persamaan untuk aliran geser yang timbul akibat tegangan geser warping adalah (2.125) dimana
(2.126)
(2.127)
(2.128)
kemudian persamaan T menjadi
(2.129)
(2.130) Gambar 2.16d Aliran geser T= t merupakan penjumlahan untuk
Sedangkan distribusi aliran geser dan tegangan warping longitudinal yang terjadi adalah
(2.131)
dan
(2.132)
Persamaan yang berada di dalam kurung hanya merupakan fungsi dari pengukuran terhadap penampang sehingga tegangan geser warping hanya berubah terhadap . Pada analisis di atas, perlu diketahui bahwa
mempertahankan keseimbangan longitudinal dari sebuah elemen yang mendapat tegangan warping longitudinal . Aliran geser yang konstan pada setiap profil dengan ketinggian z tidak memberikan pengaruh terhadap keseimbangan longitudinal melainkan memberikan pengaruh terhadap nilai .
Penting untuk disadari bahwa nilai aliran geser C sedikit berbeda dari aliran geser Saint Vennant. Selain itu perlu juga diketahui bahwa walaupun pemisalan pemotongan dilakukan pada profil tetapi nilai dari dan titik pusat geser M tetap mengikuti profil yang tidak dilakukan pemisalan pemotongan.