BAB II LANDASAN TEORI
D. Tujuan dan Materi Pembelajaran
reaksi, menilai, organisasi dan karakterisasi dengan suatu nilai atau kompleks nilai.
3. Ranah Psikomotor. Meliputi keterampilan motorik, manipulasi benda-benda, koordinasi neuromuscular (menghubungkan, mengamati).
Howard Kingsley (Indra, 2009 dalam http://indramunawar.blogspot .com/2009/06/hasil-belajar-pengertian-dan-definisi.html diakses tanggal 19 Februari 2012) membagi 3 macam hasil belajar yaitu:
1. Keterampilan dan kebiasaan. 2. Pengetahuan dan pengertian 3. Sikap dan cita-cita.
Pembagian kategori hasil belajar menurut Howard menunjukkan hasil perubahan dari semua proses belajar dan hasil belajar ini akan melekat terus pada diri siswa karena sudah menjadi bagian dalam kehidupan siswa.
D. Tujuan dan Materi Pembelajaran 1. Tujuan Pembelajaran
Setelah pembelajaran selesai, siswa mampu :
a. Menentukan syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan. b. Menentukan fungsi komposisi dari beberapa fungsi.
c. Menentukan sifat-sifat komposisi fungsi.
d. Menentukan komponen pembentuk fungsi komposisi apabila fungsi komposisi dan komponen lainnya diketahui.
e. Menentukan syarat agar suatu fungsi mempunyai invers. f. Menentukan fungsi invers dari suatu fungsi.
g. Menggambarkan grafik fungsi invers dari grafik fungsi asalnya. h. Menentukan mengidentifikasi sifat-sifat fungsi invers.
2. Relasi
Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah aturan yang menghubungkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. (Kurniawan: 2008)
Cara menyatakan relasi :
Misalkan Agus, Budi, Wati, dan Putri diminta untuk menyebutkan pelajaran yang mereka sukai. Hasilnya sebagai berikut :
• Agus menyukai pelajaran Matematika dan Fisika • Budi menyukai pelajaran Matematika
• Wati menyukai pelajaran Kimia
• Putri menyukai pelajaran Biologi dan Kimia
Misalkan himpunan A = {Agus, Budi, Wati, Putri}, himpunan B = {Matematika, Fisika, Kimia, Biologi}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B. maka hubungan itu dapat dinyatakan dengan :
a. Diagram Panah
Diagram panah adalah diagram yang menggambarkan hubungan antara dua himpunan dengan disertai tanda panah.
16
Arah panah menunjukkan anggota-anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota-anggota tertentu pada himpunan B.
Gambar 2.1 Diagram panah relasi himpunan A ke himpunan B b. Diagram Kartesius
Relasi antara himpunan A dan himpunan B dapat dinyatakan dengan diagram Cartesius. Anggota-anggota himpunan A berada pada sumbu mendatar dan anggota-anggota himpunan B berada pada sumbu tegak. Setiap pasangan anggota himpunan A yang berelasi dengan anggota himpunan B dinyatakan dengan titik atau noktah.
Gambar 2.2 Diagram kartesius relasi himpunan A ke himpunan B Agus Budi Wati Putri A B Matematika Fisika Kimia Biologi pelajaran yang disukai
Agus Budi Wati Putri
Matematika Fisika Kimia Biologi A B
c. Himpunan Pasangan Berurutan
Pasangan berurutan dilambangkan dengan ( , ) dengan menyatakan anggota himpunan A dan menyatakan anggota himpunan B. Himpunan pasangan berurutan dari data di atas adalah {(Agus, Matematika), (Agus, Fisika), (Budi, Matematika), (Wati, Kimia), (Putri, Kimia), (Putri, Biologi)}
3. Fungsi
Fungsi merupakan sebuah relasi yang khusus. Sebuah fungsi adalah suatu aturan yang memasangkan antara dua himpunan tak kosong yang memadankan tiap elemen pada daerah asal dengan tepat satu elemen pada daerah hasil.( Rawuh., Bana Kartasasmita., dan I Nyoman Susilo:1984) Misalkan dan dua himpunan tidak kosong.
Suatu fungsi dari ke adalah suatu aturan yang memasangkan setiap anggota di tepat satu anggota di dan ditulis : → ( dibaca “ sebuah fungsi dari ke ” atau “ memetakan ke ”)
Contoh :
Persamaan = + 1, ∈ , mendefinisikan sebuah fungsi yang daerah asalnya (hinpunan bilangan real) dan daerah hasilnya adalah | ≥ 1, ∈ . Tiap bilangan real sepadan dengan tepat satu bilangan . Misalnya = 2 sepadan dengan = (2) + 1 = 5, untuk = −1 sepadan dengan = (−1) + 1 = 2, untuk = 0 sepadan dengan = (0) + 1 = 1.
18
4. Sifat-sifat Fungsi a. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi : → disebut fungsi surjektif apabila setiap anggota di mempunyai pasangan atau kawan anggota di . (Marpaung: 2003:48)
b. Fungsi Injektif
Suatu fungsi : → disebut fungsi injektif apabila setiap anggota yang berbeda di mempunyai pasangan atau kawan yang berbeda di . (Sulistiyono,. Sri Kurnianingsih,. dan Kuntarti: 2007)
c. Fungsi Bijektif
Suatu fungsi : → disebut fungsi bijektif apabila setiap anggota di berpasangan dengan satu anggota di dan demikian juga sebaliknya sehingga fungsi tersebut merupakan fungsi surjektif dan sekaligus fungsi injektif. (Suprijanto,Sigit, dkk: 2009)
5. Fungsi-Fungsi Khusus a. Fungsi Konstan
Suatu fungsi : → disebut fungsi konstan apabila setiap anggota dipasangkan dengan satu anggota . Formula fungsi konstan ditentukan oleh ( ) = dengan ∈ dan adalah sebuah konstanta. ( Rawuh., Bana Kartasasmita., dan I Nyoman Susilo:1984)
b. Fungsi Identitas
Suatu fungsi disebut fungsi identitas apabila fungsi : → dengan sembarang himpunan tak kosong yang ditentukan oleh formula ( ) = , yaitu setiap anggota dipetakan kepada dirinya sendiri. Fungsi identitas dinotasikan sebagai atau !. (Sukino. 2007)
c. Fungsi Linear
Suatu fungsi : → yang didefinisikan dengan ( ) = " + # dengan " dan # konstanta dan " ≠ 0 disebut fungsi linear.
( Rawuh., Bana Kartasasmita., dan I Nyoman Susilo:1984) d. Fungsi Kuadrat
Suatu fungsi : → yang didefinisikan dengan ( ) = " + # + & dengan ", # dan & konstanta dan " ≠ 0 untuk semua nilai dalam daerah asalnya disebut fungsi kuadrat. ( Rawuh., Bana Kartasasmita., dan I Nyoman Susilo:1984)
e. Fungsi Modulus atau Fungsi Nilai Mutlak
Modulus atau nilai mutlak suatu bilangan real dinyatakan dengan | | dan
, jika ≥ 0 | | =
, jika < 0
Suatu fungsi yang didefinisikan dengan ( ) = | | yang memasangkan bilangan real dengan nilai mutlaknya disebut fungsi modulus. (Sukino. 2007)
20
f. Fungsi Genap
Suatu fungsi = ( ) disebut fungsi genap apabila (− ) = ( ) untuk semua bilangan real ∈ . (Sukino. 2007)
g. Fungsi Ganjil
Suatu fungsi = ( ) disebut fungsi ganjil apabila (− ) = − ( ) untuk semua bilangan real ∈ . (Sukino. 2007)
6. Komposisi Fungsi
Penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi.
Contoh : diberikan dua fungsi ( ) = + 8 dan ( ) = 4
Pilih sembarang bilangan di dalam domain fungsi , misalkan = −3 maka dapat dihitung (−3) = 4(−3) = −12. Hasil −12 dari diproses lagi menjadi masukan untuk fungsi , diperoleh (−12) = −12 + 8 = −4. Proses ini ditulis (−3) = −4.
Proses di atas dapat disimpulkan sebagai berikut:
a) Mulai dengan memasukkan nilai dan hitung ( ).
b) Hasil ( ) digunakan sebagai suatu masukan untuk formula ( ) dan hitung ( ) .
Hasil ( ) dinotasikan sebagai ( ∘ )( ) (dibaca “ bundaran ”). Dari uraian di atas dapat digambarkan proses berkelanjutan di bawah ini :
Gambar 2. 3 Proses Penggabungan ( ) dan ( )
Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan definisi untuk komposisi fungsi ( ) dan ( ).
Diberikan dua fungsi dan , fungsi komposit ∘ (dibaca “ bundaran ”) didefinisikan sebagai : ( ∘ )( ) = ( ) . Domain dari ( ∘ ) terdiri atas masukan ( ∈ domain ) dan ( ) ∈ domain . ( Rawuh., Bana Kartasasmita., dan I Nyoman Susilo:1984)
Contoh :
Jika ( ) = 4 + 15 dan ( ) = 3 + 12, maka tentukan ( ∘ )( ) dan ( ∘ )(2) ! Jawab : ( ∘ )( ) = ( ) = (3 + 12) = 4(3 + 12) + 15 = 12 + 48 + 15 ( ∘ )( ) = 12 + 63 ( ∘ )(2) = (2) = (3(2) + 12) = (18) ( ∘ )(2) = 4(18) + 15 = 87
atau, dengan menggunakan formula ( ∘ )( ) = 12 + 63 maka ( ∘ )(2) = 12(2) + 63 = 87
Formula g Formula f
22
Jika suatu fungsi dari A ke B, dan suatu fungsi dari B ke C, maka ℎ fungsi dari A ke C disebut komposisi fungsi dan dinyatakan ∘ . ( Choundhary. B. 1983)
Gambar 2.4 Diagam panah Komposisi Fungsi Formula dari diagram panah ditentukan oleh :
ℎ( ) = ( ∘ )( ) = 7 ( )8
7. Menentukan Fungsi yang Dikomposisikan
Dalam pembelajaran di kelas, terkadang fungsi komposisi ( ∘ )( ) atau ( ∘ )( ) dan formula ( ) diketahui, kita diharuskan mencari formula ( ) atau fungsi komposisi ( ∘ )( ) atau ( ∘ )( ) dan formula ( ) diketahui, kita diharuskan mencari formula ( ). Berikut ini diberikan beberapa contoh untuk hal tersebut.
a. Jika ( ∘ )( ) = + 2 dan ( ) = 3 + 3, maka tentukan ( )! Jawab : ( ∘ )( ) = + 2 dan ( ) = 3 + 3 7 ( )8 = ( ∘ )( ) 3 ( ) + 3 = + 2 ( ) ( ∘ )( ) ℎ A B C
3 ( ) = − 1 ( ) = 3− 1
b. Jika ( ∘ )( ) = − 1 dan ( ) = + 3, maka tentukan ( )! Jawab: ( ∘ )( ) = − 1 dan ( ) = + 3 7 ( )8 = ( ∘ )( ) ( + 3) = − 1 Misal + 3 = " → = " − 3 (") = (" − 3) − 1 (") = " − 6" + 9 − 1 (") = " − 6" + 8 ( ) = − 6 + 8
8. Komposisi dari Tiga Fungsi
Misalkan fungsi : → , fungsi : → ;, dan fungsi ℎ: ; → , maka terdapat komposisi dari tiga fungsi yaitu (ℎ ∘ ∘ )( ): → . : → atau : → atau = ( )
: → ; atau : → < atau < = ( ) = ( ( ))
ℎ: ; → atau ℎ: < → = atau = = ℎ(<) = ℎ ( ( )) (Sukino. 2007) Contoh :
Diketahui ( ) = 3 – 4, ( ) = 2 + 1 dan ℎ( ) = . Tentukan ( ∘ 7 ∘ ℎ8)( )!
24 Jawab : 7 ∘ ℎ8( ) = 7ℎ( )8 = ( 2) = 2 + 1 ( ∘ 7 ∘ ℎ8)( ) = 2 + 1 = 3(2 + 1) – 4 = 6 + 3 – 4 = 6 – 1 9. Invers Fungsi
Fungsi : → menyatakan pemetaan setiap " ∈ ke (") = # dengan # ∈ . Jika ada fungsi : → sedemikian sehingga
(#) = " maka fungsi disebut invers dari dan fungsi adalah invers dari . (Sulistiyono,. Sri Kurnianingsih,. dan Kuntarti: 2007) a. Menentukan Formula Invers Fungsi ( )
Prosedur untuk menentukan ?@( ) dari fungsi ( ) 1. Bentuk persamaan menjadi = ( ).
2. Selesaikan persamaan itu untuk variabel . Contoh : Diketahui ( ) = 3 – 1. Tentukan ?@( ) ! Jawab : ( ) = 3 – 1 ⟺ = 3 – 1 ⟺ + 1 = 3
⟺ = + 13 ?@( ) = + 13 ⟺ ?@( ) = + 13
b. Invers Fungsi Komposisi
Fungsi : → dan : → ; maka fungsi yang memetakan A ke C adalah fungsi komposisi ( ∘ )(Sukino. 2007)
: → ditulis = ( ) : → ; ditulis < = ( ) < = 7 ( )8 ⇒ ( ∘ )( ) = < ( ∘ )?@7( ∘ )( )8 = ( ∘ )?@(<) = ( ∘ )?@(<) ⇔ ( ∘ )?@(<) = ………(1) ?@: ; → ditulis = ?@(<) ?@: → ditulis = ?@( ) = ?@( ) = ?@7 ?@(<)8 = ( ?@∘ ?@)(<) ………(2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh hubungan ( ∘ )?@(<) = ( ?@∘ ?@)(<)
Terdapat 2 cara untuk menentukan invers fungsi komposisi :
26
2. Mula-mula menentukan invers masing-masing fungsi, kemudian dikomposisikan.
Contoh :
Diketahui ( ) = 3 − 6 dan ( ) = − 4. Tentukan ( ∘ )?@( )! Jawab : ( ∘ )( ) = ( ) = ( − 4) = 3( − 4) − 6 ( ∘ )( ) = 3 − 18 ( ∘ )( ) = 3 − 18 = 3 = + 18 =13 + 6 ( ∘ )?@( ) =13 + 6 ( ∘ )?@( ) =13 + 6
