• Tidak ada hasil yang ditemukan

Perbandingan Waktu Eksekusi Algoritma Dsatur dan Algoritma Pewarnaan Heuristik Tabu Search Pada Pewarnaan Graf

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2016

Membagikan "Perbandingan Waktu Eksekusi Algoritma Dsatur dan Algoritma Pewarnaan Heuristik Tabu Search Pada Pewarnaan Graf"

Copied!
65
0
0

Teks penuh

(1)

PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI ALGORITMA

DSATUR

DAN ALGORITMA PEWARNAAN HEURISTIK

TABU

SEARCH

PADA PEWARNAAN GRAF

TESIS

JUNIDAR

117038020

PROGRAM STUDI S2 TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS ILMU KOMPUTER DAN TEKNOLOGI INFORMASI UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI ALGORITMA

DSATUR

DAN ALGORITMA PEWARNAAN HEURISTIK

TABU

SEARCH

PADA PEWARNAAN GRAF

TESIS

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat memperoleh ijazah Magister Teknik Informatika

JUNIDAR 117038020

PROGRAM STUDI S2 TEKNIK INFORMATIKA

FAKULTAS ILMU KOMPUTER DAN TEKNOLOGI INFORMASI UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : Perbandingan Waktu Eksekusi Algoritma

Dsatur dan Algoritma Pewarnaan Heuristik Tabu Search Pada Pewarnaan Graf

Kategori : Tesis

Nama : JUNIDAR

Nomor Induk Mahasiswa : 117038020

Program Studi : Magister (S2) Teknik Informatika

Fakultas : Ilmu Komputer dan Teknologi Informasi Universitas Sumatera Utara

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Dr. Erna Budhiarti Nababan, M. IT Prof. Dr. Herman Mawengkang

Diketahui/disetujui oleh

Program Studi S2 Teknik Informatika Ketua,

(4)

PERNYATAAN

PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI ALGORITMA

DSATUR

DAN ALGORITMA PEWARNAAN HEURISTIK

TABU

SEARCH

PADA PEWARNAAN GRAF

TESIS

Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing telah disebutkan sumbernya.

Medan, 28 Agustus 2013

JUNIDAR

(5)

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI

KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN

AKADEMIS

Sebagai sivitas akademika Universitas Sumatera Utara, saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : JUNIDAR

NIM : 117038020

Program Studi : Magister (S2) Teknik Informatika Jenis Karya Ilmiah : TESIS

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, menyetujui untuk memberikan kepada Universitas Sumatera Utara Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif (Non-Exclusive Royalty free Right) atas Tesis saya yang berjudul:

PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI ALGORITMA

DSATUR

DAN ALGORITMA PEWARNAAN HEURISTIK

TABU

SEARCH

PADA PEWARNAAN GRAF

Beserta perangkat yang ada (jika diperlukan). Dengan Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif ini, Universitas Sumatera Utara berhak menyimpan, mengalih media, memformat, mengelola dalam bentuk data base, merawat dan mempublikasikan tesis saya tanpa meminta izin dari saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis dan sebagai pemegang dan atau sebagai pemilik hak cipta.

Demikian pernyataan ini dibuat dengan sebenarnya.

Medan, 28 Agustus 2013

(6)

Telah diuji pada

Tanggal : 28 Agustus 2013

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang Anggota : 1. Dr. Erna Budhiarti Nababan, M.IT

(7)

RIWAYAT HIDUP

DATA PRIBADI

Nama Lengkap Berikut Gelar : Junidar, S.Si

Tempat dan Tanggal Lahir : Banda Aceh, 10 Juni 1978

Alamat Rumah : Jl. T. Hamzah No. 53 Kuta Alam, B. Aceh

Telepon/Faks/HP : +6281360136719

e-mail : junidar0678@gmail.com

Instansi Tempat Bekerja : FMIPA UNSYIAH

Alamat Kantor : Darussalam - Banda Aceh

Telepon/Faks/HP : +626517551819

DATA PENDIDIKAN

SD : SD Negeri No. 4 Banda Aceh Tamat : 1990

SMP : SMP Negeri 4 Banda Aceh Tamat : 1993

SMA : SMA Negeri 2 Banda Aceh Tamat : 1996

Strata-1 : FMIPA MATEMATIKA UNSYIAH Tamat : 2001

(8)

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb.

Pertama-tama penulis panjatkan syukur Alhamdulillah kepada Allah SWT, berkat rahmat dan kemurahanNya penulis dapat menyelesaikan tesis ini dengan judul Perbandingan Waktu Eksekusi Algoritma Dsatur dan Algoritma Pewarnaan Heuristik Tabu Search Pada Pewarnaan Graf.

Laporan tesis ini disusun dan diajukan untuk memenuhi persyaratan dalam memperoleh gelar magister pada Program Pascasarjana FasilKom TI Universitas Sumatera Utara.

Dalam penyelesaian tesis beserta penyusunan laporannya dapat berjalan dengan lancar, tidak lepas dari dukungan berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada:

Allah SWT yang senantiasa memberikan kemudahan dan kekuatan kepada penulis dalam memahami dan mengamalkan ilmu-ilmu yang didapatkan selama ini.

Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc (CTM), Sp. A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara, atas kesempatan yang diberikan kepada penulis untuk mengikuti dan menyelesaikan pendidikan Program Magister.

Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis, selaku Dekan FasilKom TI Universitas Sumatera Utara, atas kesempatan yang diberikan kepada penulis untuk mengikuti dan menyelesaikan pendidikan Program Magister pada Program Pascasarjana FasilKom TI Universitas Sumatera Utara..

Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis selaku Ketua Program Studi Magister Teknik Informatika dengan penuh perhatian telah memberikan saran, kritik, dorongan, bimbingan dan motivasi kepada penulis.

(9)

Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku pembimbing utama yang dengan penuh kesabaran menuntun dan membimbing penulis hingga selesainya penelitian ini.

Ibu Dr. Erna Budhiarti Nababan, M. IT selaku pembimbing anggota yang dengan penuh perhatian telah memberikan saran, kritik, dorongan, bimbingan dan motivasi kepada penulis.

Seluruh dosen serta civitas akademika pada Program Studi Magister Teknik Informatika Program Pascasarjana FasilKom TI Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan bekal ilmu dan pengetahuan selama penulis mengikuti kuliah di Universitas Sumatera Utara.

Orangtua tercinta, ayahanda M. Yusdar Sufi dan ibunda Cut Nasrumiati serta seluruh keluarga yang senantiasa mendoakan dan memberikan dorongan kepada penulis.

Suami dan anak tercinta, Zikril Hakim dan Shaznin Kamilia Hakim yang selalu mendoakan, memberikan semangat dengan kasih sayang, sabar dan bantuan selama penulis mengikuti pendidikan. Budi baik ini tidak dapat dibalas, hanya diserahkan kepada Allah SWT. Sekali lagi terimakasih.

Rekan mahasiswa se-angkatan penulis program studi magister (S2) Teknik Informatika Komputer FasilKom TI Universitas Sumatera Utara yang telah banyak membantu penulis selama mengikuti perkuliahan.

Dekan FMIPA Unsyiah, Bapak Dr. Hizir Sofyan yang telah memberikan izin, bantuan moril dan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti pendidikan lanjutan pada program Pascasarjana FasillKom TI Universitas Sumatera Utara

Bapak Nasrullah Ridwan, S.T yang telah banyak memberikan motivasi, bantuan dan dorongan kepada penulis selama perkuliahan serta dalam menyelesaikan tesis ini.

Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu-persatu, yang telah berperan serta dalam penelitian tesis ini dan dalam pembuatan laporan tesis ini.

(10)

Akhir kata penulis berharap semoga tesis beserta laporannya ini membawa manfaat dan faedah bagi pembaca dan pihak-pihak yang berkepentingan, serta buat penulis sendiri sebagai dharma bakti penulis kepada almamater.

Wassalamualaikum.Wr.Wb.

Medan, 28 Agustus 2013 Penulis

(11)

ABSTRAK

Pewarnaan graf G adalah proses pemberian warna pada verteks - verteks di G, satu warna untuk setiap verteks, sehingga verteks - verteks yang bersisian mempunyai warna yang berbeda. Jika ada kemungkinan untuk menemukan pewarnaan yang tepat dari graf G, dengan menggunakan x warna, maka G

dikatakan x-colorable. Bilangan kromatik dari graf G adalah bilangan bulat terkecil x dimana G adalah x-colorable, di notasikan dengan � � . Terdapat beberapa metode heuristik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pewarnaan graf. Yaitu algoritma dsatur dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search.

(12)

COMPARISON OF EXECUTION TIME DSATUR ALGORITHMS AND TABU SEARCH COLORING HEURISTIC ALGORITHMS ON

GRAPH COLORING

ABSTRACT

A coloring of graph G is assignment of colors to the vertices of G, one color to each vertex, so that adjacent vertices are assigned distinct colors. If x colors are used, then the coloring is referred to as an x-coloring. If it is possible to find a proper coloring of a graph G, using x colors, G is said to be x-colorable. The chromatic number of a graph G is the smallest integer x for which G is x -colorable, and is denoted by � � . There are many heuristic methods that can be used to solve graph coloring problem. One of the algorithm can be implemented is tabu seach algorithm.

(13)

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL i

PENGESAHAN ii

PERNYATAAN ORISINALITAS iii

PERSETUJUAN PUBLIKASI iv

PANITIA PENGUJI v

RIWAYAT HIDUP vi

KATA PENGANTAR vii

ABSTRAK x

ABSTRACT ix

DAFTAR ISI xii

DAFTAR TABEL xiv

DAFTAR GAMBAR xv

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Batasan Masalah 2

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat Penelitian 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Pengertian Graf 4

2.1.1 Keterhubungan Graf 6

2.1.1 Subgraf dan Graf Bipartit 6

2.2 Pewarnaan Graf 8

2.3 Metode Heuristik 10

(14)

2.3.2 Algoritma Dsatur (Derajat Warna Heuristik) 12

2.3.3 Algoritma Pewarnaan Heuristik Tabu Search 14

2.4 Riset Terkait 19

2.5 Kontribusi Riset 19

BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Data Yang Digunakan 21

3.2 Pewarnaan Graf 22

3.2.1 Pewarnaan Graf Dengan Algoritma Dsatur 22

3.2.2 Pewarnaan Graf Dengan Algoritma Pewarnaan Heuristik Tabu Search 23

BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Hasil 29

4.1.1 Tampilan Input Program 29

4.1.2 Tampilan Output Program 31

4.2 Pembahasan 32

BAB 5 PENUTUP 5.1 Kesimpulan 35

5.2 Saran 35

(15)

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1. Graf benchmark DIMACS 22

Tabel 3.2. Hasil rata-rata paling minimum yang diperoleh dari eksekusi algoritma pewarnaan heuristik tabu search pada graf myciel3

25

Tabel 3.3. Hasil yang diperoleh dari eksekusi algoritma pewarnaan heuristik tabu search graf queen8

28 Tabel 4.1. Rata-rata running time dari algoritma dsatur 32 Tabel 4.2. Rata-rata running time dari algoritma pewarnaan heuristik

tabu search untuk graf dengan order p 50

32 Tabel 4.3. Rata-rata running time dari algoritma pewarnaan heuristik

tabu search untuk graf dengan order 50 < < 100

(16)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

2.1 Graf G 4

2.2 Graf Tidak Sederhana 5

2.3 Graf dengan derajat minimal dan maksimal 5

2.4 Sikel 6

2.5 Dua subgragf (G1 dan G2) dari suatu graf G 7

2.6 Graf G-v 7

2.7 Graf G-e 7

2.8 Graf bipartit 8

2.9 Graf lengkap 8

3.1 Diagram Metodologi Penelitian 21

3.2 Grafik rata-rata nilai fungsi objektif, Z, dari algoritma heuristik tabu search yang diaplikasikan pada graf myciel3

untuk menentukan nilai parameter tabu untuk maxit 120, 140 dan 150

24

3.3 Grafik rata-rata nilai fungsi objektif, Z, dari algoritma heuristik tabu search yang diaplikasikan pada graf queen8

untuk menentukan nilai parameter tabu untuk maxit 160, 180 dan 200

(17)

ABSTRAK

Pewarnaan graf G adalah proses pemberian warna pada verteks - verteks di G, satu warna untuk setiap verteks, sehingga verteks - verteks yang bersisian mempunyai warna yang berbeda. Jika ada kemungkinan untuk menemukan pewarnaan yang tepat dari graf G, dengan menggunakan x warna, maka G

dikatakan x-colorable. Bilangan kromatik dari graf G adalah bilangan bulat terkecil x dimana G adalah x-colorable, di notasikan dengan � � . Terdapat beberapa metode heuristik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pewarnaan graf. Yaitu algoritma dsatur dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search.

(18)

COMPARISON OF EXECUTION TIME DSATUR ALGORITHMS AND TABU SEARCH COLORING HEURISTIC ALGORITHMS ON

GRAPH COLORING

ABSTRACT

A coloring of graph G is assignment of colors to the vertices of G, one color to each vertex, so that adjacent vertices are assigned distinct colors. If x colors are used, then the coloring is referred to as an x-coloring. If it is possible to find a proper coloring of a graph G, using x colors, G is said to be x-colorable. The chromatic number of a graph G is the smallest integer x for which G is x -colorable, and is denoted by � � . There are many heuristic methods that can be used to solve graph coloring problem. One of the algorithm can be implemented is tabu seach algorithm.

(19)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Banyak peristiwa nyata dalam kehidupan sehari-hari dapat disajikan secara baik dan menarik dalam bentuk suatu graf. Diantaranya jaringan listrik, komunikasi, peta jalan, struktur organisasi, penyusunan jadwal, penjadwalan job shop dan pewarnaan peta dan tempat penyimpanan.

Pengertian graf secara umum adalah diagram yang terdiri dari titik-titik yang disebut dengan verteks dan ruas-ruas garis yang menghubungkan verteks disebut dengan sisi (Martono, 1990).

Permasalahan pewarnaan graf adalah memberikan warna pada verteks-verteks sedemikian sehingga dua verteks-verteks yang dihubungkan mempunyai warna yang berbeda. Sedangkan jumlah warna minimal yang dibutuhkan untuk mewarnakan graf disebut dengan bilangan kromatik (Narsingh, 1986).

Masalah pewarnaan graf merupakan masalah yang termasuk kedalam kelompok NP-complete ( Non-deterministic Polynomial) yaitu masalah yang sulit ditemukan solusinya (Gross & Yellen, 1999). Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah NP-complete adalah dengan menggunakan metode heuristik.

Metode heuristik tidak memiliki algoritma pencarian solusi optimum yang pasti tetapi memiliki kaidah yang dapat mengeksplorasi ruang pencarian solusi optimum atau mendekati. Ciri algoritma heuristik adalah selalu menemukan solusi yang baik tetapi tidak harus yang terbaik, serta cepat dan mudah untuk diimplementasikan.

(20)

beberapa verteks saja. Sementara untuk verteks yang lebih banyak, metode heuristik lebih variatif karena metode heuristik menggunakan metode pendekatan dan melakukan penyelesaian terarah. Beberapa metode heuristik yang pernah digunakan untuk menyelesaikan pewarnaan graf adalah dengan algoritma dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search.

Dari beberapa metode heuristik untuk menyelesaikan masalah pewarnaan graf, maka terjadi perbandingan untuk menentukan metode mana yang terbaik yang digunakan untuk menentukan warna minimum.

Malaguti (2010) menyatakan bahwa dari sekian banyaknya algoritma yang ada untuk menyelesaikan permasalahan pewarnaan graf, algoritma tabu search

merupakan salah satu pilihan yang tepat. Algoritma tabu search adalah salah satu metode heuristik untuk penyelesaian permasalahan optimasi (Glover, 1995)

Chambers (1998) menerapkan pendekatan algoritma tabu search yang dinamis, yang dapat disesuaikan dengan kondisi-kondisi pencarian yang berubah-ubah terutama pada masalah pewarnaan graf.

1.2. Perumusan Masalah

Adanya hasil pencarian bilangan kromatik pada pewarnaan graf yang tidak optimal sehingga memerlukan waktu yang lebih lama. Untuk menyelesaikan permasalahan ini akan dilakukan penyelesaian bilangan kromatik pada pewarnaan graf dengan menggunakan algoritma dsatur (atau disebut juga derajat warna heuristik) dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search, kemudian dilakukan analisis perbandingan dengan kedua algoritma tersebut, untuk mengetahui rata-rata waktu eksekusi dalam menyelesaikan bilangan kromatik pada permasalahan pewarnaan graf.

1.3. Batasan Masalah

Batasan masalah dalam tesis ini adalah sebagai berikut :

(21)

2. Graf yang digunakan adalah graf yang tak berarah.

3. Banyaknya verteks atau order (p) yang digunakan 10 100 .

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan dari penulisan ini adalah menganalisis waktu eksekusi dari dua metode heuristik yaitu algoritma dsatur dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search

yang digunakan untuk menyelesaikan bilangan kromatik pada masalah pewarnaan graf.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Memberikan analisis perbandingan waktu eksekusi dari dua metode heuristik yang digunakan yaitu algoritma dsatur dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search untuk menyelesaikan bilangan kromatik pada pewarnaan graf.

2. Memberikan solusi pewarnaan graf yang optimum kepada penerima informasi

(22)

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

2.1. Pengertian Graf

Suatu graf Gadalah suatu pasangan himpunan (V(G),E(G)), dimana V(G) = { v1,

v2,…..vn } adalah himpunan tak kosong berhingga yang terdiri dari titik-titik

disebut verteks dan suatu himpunan E(G) = { e1, e2,…..en } dengan garis-garis yang

menghubungkan verteks-verteks disebut sisi (Chartrand dan Oellerman, 1993). Penulisan yang tepat untuk menyatakan sisi adalah e=(v1v2) atau e=(v2v1).

Jika e=(v1v2) adalah suatu sisi dari graf G, maka dikatakan v1 dan v2 bersisian

(adjacent). G :

e7

v6

v1 e1 v2

e5

e4

v5 v4

e3

e6 v

3

e2

Gambar 2.1. Graf G

Pada gambar 2.1, G adalah graf dengan :

V(G) = { v1, v2,v3,v4,v5,v6, } dan E(G) = { e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7,}, dimana e1 = (v1v2), e2

= (v1v3), e3 = (v3v4), e4 = (v4v5), e5 = (v4v6), e6 = (v1v4), dan e7 = (v3v7).

Suatu gelang ( loop) pada suatu graf G adalah suatu sisi yang verteks awalnya sama dengan verteks akhir yaitu e=(v1v1).

Dua verteks yang dihubungkan lebih dari satu sisi maka disebut sisi paralel.

(23)

G:

v

2

e

3

e

2

v

1

e

1

v

3

e

6

e

4

e

5

Gambar 2.2 Graf Tidak Sederhana

Graf G pada gambar 2.2, sisi e4 dan e5 merupakan sisi paralel dan sisi e3 merupakan gelang.

Banyaknya verteks dari suatu graf G disebut ordo (orde) dengan notasi p dan banyaknya sisi dari suatu graf G disebut ukuran (size) dengan notasi q. Suatu graf G dengan ordo p dan ukuran q dinotasikan (p,q) graf.

Suatu graf G, jika v V(G), derajat dari v dinotasikan dengan d(v) yaitu banyaknya sisi yang bertemu di v (Narsingh, 1986).

Derajat terkecil dari suatu verteks-verteks di G disebut derajat minimal dengan notasi (G) dan derajat terbesar dari suatu verteks-verteks di G disebut derajat maksimaldengan notasi Δ G .

Suatu verteks yang berderajat 0 disebut verteks isolasi dan suatu verteks yang derajat 1 disebut verteks ujung (pendant) serta suatu verteks yang memuat gelang dianggap verteks yang berderajat 2 (Fletcher, 1991).

G:

t w

u

v z

x y

(24)

Graf G pada gambar 2.3, d(u) = 4, d(v) = 4, d(w) = 3, d(x) = 2, d(y) = 2, d(z) = 1 dan d(t) = 0 maka Δ(G) = 4 dan (G) = 0.

2.1.1. Keterhubungan graf

Suatu jalan (walk) dalam suatu graf G adalah barisan berganti-ganti W : v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn (n ≥0) dari verteks-verteks dan sisi-sisi yang

diawali dan diakhiri dengan verteks-verteks, sehingga ei = vi-1 vi untuk I = 1, 2, …, n. Karena jalan W diawali dengan v0 dan diakhiri dengan vn, dinyatakan

sebagai suatu jalan v0– vn (a v0– vn walk) (Harary, 1994).

Suatu sikel (cycle) adalaj suatu jalan v0, e1, e2, …, vn-1, en, vndimana n≥3,

v0=vn dan n verteks v0,v1…, vn tanpa pengulangan, dinotasikan Cn. suatu sikel

disebut genap jika panjangnya genap. Suatu sikel disebut ganjil jika panjangnya ganjil.

Graf pada gambar 2.4, memuat C3, C4 dan C5.

c3 c4 c5

Gambar 2.4. Sikel

Suatu graf G sendiri adalah terhubung (connected) jika u terhubungkan ke v untuk setiap pasangan u,v dari verteks-verteks di G.Suatu graf G yang tidak terhubung dikatakan terputus(disconnected).

2.1.2. Subgraf dan graf bipartit

Graf G1 disebut subgraf dari G jika V1 adalah himpunan bagian dari V(G) dan E1

adalah himpunan bagian dari E(G) dari G1 sendiri merupakan suatu graf.

(25)

G : G1 : G2 :

v w

x y

v w

x y

v

x y

u u

Gambar 2.5. Dua subgragf (G1 dan G2) dari suatu graf G

Jika v suatu verteks di G, maka G-v adalah suatu subgraf G yang dihasilkan dengan menghilangkan v dan semua sisi yang bersisian di v.

Gambar 2.6 merupakan suatu graf G dengan graf G-v.

G : G-v :

x u

z

y

v

w

x u

z

y w

Gambar 2.6. Graf G-v

Jika e suatu sisi di G, maka G-e adalah suatu subgraf G yang dihasilkan dengan menghilangkan suatu sisi e di G (Liu, 1995).

Gambar 2.7 merupakan suatu graf G dengan G-e.

G : G-e

e

Gambar 2.7. Graf G-e

Suatu bagian G disebut graf bipartit jika V(G) dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian V1 dan V2 sedemikian sehingga V(G) = V1  V2 yaitu setiap sisi

(26)

Graf G gambar 2.8(a) adalah graf bipartit karena V(G) dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian V1 = {v1,v6} dan V2 = {v2, v3, v4, v5} dimana setiap sisi di G

terhubungkan dengan verteks di V1 dan V2. Setelah digambar ulang, jelas G

adalah graf bipartit, seperti pda gambar 2.8(b). G :

v1 v2

v5 v6

v3

v4

v1 v6

v2 v5

v4 v3

Gambar 2.8. Graf bipartit

Suatu graf tidak trivial G adalah bipartit jika dan hanya jika G tidak memuat sikel ganjil.

Suatu graf G disebut graf lengkap jika setiap pasang verteksnya bersisian. Graf lengkap dengan ordo p dinotasikan dengan Kp.

Graf pada gambar 2.9 adalah Kp untuk setiap p = 1, 2, 3, 4, 5.

K

3

K

4

K

5

K

2

K

1

Gambar 2.9. Graf lengkap

2.2. Pewarnaan Graf

Suatu pewarnaan dari graf G adalah proses pemberian warna-warna pada verteks - verteks di G, satu warna untuk setiap verteks (Gross & Yellen, 1999). Seharusnya, setiap perwarnaan G, menggunakan x warna, partisi himpunan V(G) verteks ke dalam himpunan x, disebut sebagai kelas warna, sehingga setiap verteks dari kelas

(27)

warna tertentu akan mendapatkan warna yang sama (West, 2001). Jika x warna yang digunakan untuk mewarnai (coloring), pewarnaan ini disebut sebagai x-coloring G. Pada masalah pewarnaan graf klasik adalah bahwa kelas warna harus menjadi himpunan independen dan jenis pewarnaan ini disebut sebagai pewarnaan yang tepat, yaitu, pewarnaan yang tepat dari G adalah pemberian warna pada verteks - verteks sedemikian sehingga tidak ada dua verteks yang bersisian (adjacent) di G mempunyai warna yang sama (Wallis, 2000). Jika ada kemungkinan untuk menemukan pewarnaan yang tepat dari graf G, dengan menggunakan x warna, maka G dikatakan x-colorable. Suatu graf adalah x-colorable jika dan hanya jika graf nya adalah x-partite. Khususnya, graf 2-colorable adalah graf yang sama dengan graf bipartit (Clark & Holton, 1991). Bilangan kromatik, � � , dari graf G adalah bilangan bulat terkecil x dimana G

adalah x-colorable (West, 2001). Ini sama dengan, � � adalah bilangan bulat terkecil x dimana G adalah graf x-partit. Suatu graf G dengan bilangan kromatik x

disebut sebagai x-kromatik dan G dikatakan akan � � -colorable, seperi pewarnaan yang optimal disebut � � -coloring G (Chatrand & Oellermann, 1993).

Untuk pewarnaan derajat maksimum dengan syarat bahwa untuk setiap kelas warna �, ∆ � , dimana ℕ0. Suatu x-coloring dari graf G memenuhi persyaratan disebut sebagai ∆ ,� -coloring di G, yaitu ∆ ,�

-coloring graf G adalah d-admissible pewarnaan di G yang berkaitan dengan parameter ∆. Suatu graf ∆ ,� -colorable jika ∆ ,� -coloring dari graf yang ada. Bilangan bulat positif terkecil x yang ada ∆ ,� -coloring di G (Untuk beberapa nilai tetap ℕ0) disebut ∆ -chromatic number G, dinotasikan dengan �Δ � , dan seperti pewarnaan yang optimal disebut �Δ-coloring G. Akhirnya, suatu graf G dengan ∆ -chromatic number x disebut sebagai ∆ ,�

(28)

2.3. Metode Heuristik

Metode Heuristik adalah teknik yang dirancang untuk memecahkan masalah yang mengabaikan apakah solusi dapat dibuktikan benar, tapi yang biasanya menghasilkan solusi yang baik atau memecahkan masalah yang lebih sederhana yang mengandung atau memotong dengan pemecahan masalah yang lebih kompleks. Metode Heuristik ini bertujuan untuk mendapatkan performa komputasi atau penyederhanaan konseptual, berpotensi pada biaya keakuratan atau presisi. Metode heuristik ada dua jenis yakni metode heuristik sederhana dan metaheuristik.

Metaheuristik pada sebenarnya adalah metode pendekatan yang didasarkan pada metode heuristik. Sehingga tidak heran bahwa metode heuristik sering kali diintegrasikan di dalam metode metaheuristik.

Perbedaan utama dari metode heuristik dan metaheuristik adalah : metode heuristik bersifat problem dependent sedangkan metode metaheuristik bersifat problem independent.

Problem dependent artinya bergantung pada permasalahan, jadi metode heuristik itu hanya bisa dipakai untuk jenis permasalahan terntentu. Misalnya, metode nearest neighborhood (NN) termasuk metode heuristik. Metode hanya bisa dipakai pada permasalahan yang mengenal konsep neighborhood (tetangga), misalnya pada pewarnaan graf, Traveling Salesman Problem maupaun Vehicle Routing Problems. Sedangkan problem independent berarti tidak bergantung pada jenis permasalahan. Jadi penerapan metode metaheuristik tidak bergantung pada jenis permasalahan, alias bisa dipakai untuk berbagai jenis permasalahan. Contoh dari metode metaheuristik adalah algoritma genetik (GA), particle swam optimization (PSO), Ant Colony Optimization (ACO).

2.3.1. Tabu Search

(29)

dipaksakan oleh kebudayaan social sebagai suatu tindakan pencegahan atau sesuatu yang dilarang karena berbahaya. Bahaya yang harus dihindari dalam tabu search adalah penjadwalan yang tidak layak, dan terjebak tanpa ada jalan keluar. Dalam konteks lebih luas, larangan perlindungan dapat diganti jika terjadi tuntutan yang mendadak(Glover, 1995).

Tabu search adalah sebuah metode optimasi yang berbasis pada local search. Proses pencarian bergerak dari satu solusi ke solusi berikutnya, dengan cara memilih solusi terbaik neighbourhood sekarang (current) yang tidak tergolong solusi terlarang (tabu). Ide dasar dari algoritma tabu search adalah mencegah proses pencarian dari local search agar tidak melakukan pencarian ulang pada ruang solusi yang sudah pernah ditelusuri, dengan memanfaatkan suatu struktur memori yang mencatat sebagian jejak proses pencarian yang telah dilakukan.

Struktur memori fundamental dalam tabu search dinamakan tabu list. Tabu list menyimpan atribut dari sebagian move (transisi solusi) yang telah diterapkan pada iterasi-iterasi sebelumnya. Tabu search menggunakan tabu list

untuk menolak solusi-solusi yang memenuhi atribut tertentu guna mencegah proses pencarian mengalami cycling pada daerah solusi yang sama, dan menuntun proses pencarian menelusuri daerah solusi yang belum dikunjungi. Tanpa mengunakan strategi ini, local search yang sudah menemukan solusi optimum lokal dapat terjebak pada daerah solusi optimum local tersebut pada iterasi-iterasi berikutnya. List ini mengikuti aturan LIFO dan biasanya sangat pendek (panjangnya biasanya sebesar O( N ), dimana N adalah jumlah total dari operasi). Setiap saat ada langkah itu akan ditempatkan dalam tabu list.

Perekaman solusi secara lengkap dalam sebuah forbidden list dan pengecekan apakah sebuah kandidat solusi tercatat dalam list tersebut merupakan cara yang mahal, baik dari sisi kebutuhan memori maupun kebutuhan waktu komputasi. Jadi, tabu list hanya menyimpan langkah transisi (move) yang merupakan lawan satu kebalikan dari langkah yang telah digunakan dalam iterasi sebelumnya untuk bergerak dari satu solusi ke solusi berikutnya. Dengan kata lain

(30)

yang lama.

Pada tiap iterasi, dipilih solusi baru yang merupakan solusi terbaik dalam

neighbourhood dan tidak tergolong sebagai tabu. Kualitas solusi baru ini tidak harus lebih baik dari kualitas solusi sekarang. Apabila solusi baru ini memiliki nilai fungsi objektif lebih baik dibandingkan solusi terbaik yang telah dicapai sebelumnya, maka solusi baru ini dicatat sebagai solusi terbaik yang baru.

Sebagai tambahan dari tabu list, dikenal adanya kriteria aspirasi, yaitu suatu Penanganan khusus terhadap move yang dinilai dapat menghasilkan solusi yang dinilai dapat menghasilkan solusi yang baik namun move tersebut berstatus tabu. Dalam hal ini, jika move tersebut memenuhi criteria aspirasi yang telah ditetapkan sebelumnya, maka move tersebut dapat digunakan utnuk membentuk solusi berikutnya (status tabunya dibatalkan).

2.3.2. Algoritma Dsatur (Derajat Warna Heuristik)

(31)

Algoritma 1 dsatur (Derajat warna heuristik)

input : Suatu graf G dengan order dan suatu nilai d yang mana bilangan

kromatik harus ditentukan.

output : batas atas x pada ∆ ,� -coloring G

1: L ← � =∆(�)

2: Pilih v ϵ L dan misalkan � ← �1 ∪ �

3: � ←1

4: untuk semua i= 2,..., n do

5: Tentukan � ∀ = 1,…, ,� � , = 1,…,�

6 � ← � � � , = 1,…,� dan � ∀� � , = 1,…,�

7: if � > 1 then

8: Tentukan G' sedmikian sehingga � � =� � �1∪ �2∪ … ∪ ��

9: v ← suatu verteks di T sehingga � ∀� ϵ T

10: else � = 1

11: v ← hanya verteks di T

12: end if

13: � ← � ∪ � dimana jumlah warna terkecil sehingga ∆ � ∪ �

14: if j > x maka

15: x = j

16: end if

17: end for

18: return x, = �1,…,�

Algoritma 1 dimulai dari langkah 1, dengan mendaftarkan semua vaerteks-verteks dengan derajat maksimum pada suatu list L, diikuti langkah 2 dengan mewarnai salah satu verteks di L menggunakan warna 1. Parameter x (pada langkah 13 dan 15) terus melacak jumlah warna yang akan digunakan. Pada saat

loop spanning langkah 4 hingga 17, setiap n-1 verteks lainnya, akan diwarnai pada gilirannya. Hal ini dapat dicapai dengan terlebih dahulu menentukan derajat warna pada semua verteks-verteks yang belum diwarnai pada langkah 5. Semua verteks-verteks yang belum diwarnai dengan derajat warna maksimum didaftarkan di list T, pada langkah 6. Jika list T memuat hanya satu verteks (langkah 10 dan 11), verteks ini akan diwarnai berikutnya, jika verteks dari T

dipilih, menurut pada langkah 7 - 9 algoritma. Pilih suatu verteks dari T, subgraf

(32)

semua verteks-verteks di T, kemudian dipilih diberikann warna selanjutnya, menurut langkah 9. Jika mengikat masih terjadi, setiap verteks dapat dipilih. Akhirnya, pilihlah verteks v yang diperoleh dengan kemungkinan jumlah warna terkecil, yang dialokasikan pada langkah 13, dan parameter x, diperbaharui pada langkah 15 jika perlu.

2.3.3. Algoritma Pewarnaan Heuristik Tabu Search

Hertz dan De Werra (1987) mengimplementasikan teknik tabu search untuk mendapatkan pewarnaan yang tepat pada suatu graf. Ide mereka akan diadaptasi dan di implementasikan pada konteks pewarnaan dalam algoritma pewarnaan heuristik tabu search (Nieuwoudt, 2007). Algoritma pewarnaan heuristik tabu search diberikan dalam pseudo-code berikut, yang kita sebut sebagai algoritma 2, yaitu :

Algoritma 2 Pewarnaan heuristik tabu search

input : Suatu graf G dengan order n dan suatu nilai d yang mana untuk

menentukanΔ( )-chromatic number, tabu tenure, t, size dari

candidate list, , dan jumlah maksimum dari iterasi, maxit.

output : Batas atas � Δ pada � Δ(�) sama artinya Δ ,� Δ-coloringG.

1: x ←(Δ � + 1)/( + 1)

2: � Δ ← -1

3: STOP ← false

4: while not STOP do

5: itcounter ← 0; EMPTY ← false

6: Generate random initial coloring = �1,…,�

7: ← ��1 �∆ �

8: �(0)←0

9: � � ← � −1 ∀�= 1,…,∆(�)

10: while( > and itcounter < �� and not EMPTY) do

11: count ← 1; NOMORE ← false

12: while count <+ 1 � � not NOMORE do

13: Pilih suatu verteks � � dengan � = ∆ � untuk sebarang i

dengan kelas warna terbesar di induksi derajat maksimum

14: pilih suatu warna ≠ untuk sebarang jdengan kelas warna terbesar

(33)

15: �← � � ,�← � ∪ � ,�← � ∀ = 1,…,�, ≠ ,

16: = �1,…,�

17: if �, � � �� �, � then

18: ← ∪

19: count←count + 1

20: end if

21: if jika semua kemungkinan pada langkah 13 dan 14 telah

dipertimbangkan then

22: NOMORE ← true

23: end if

24: end while

25: if =∅then

26: EMPTY ← true

27: else

28: ← suatu kandidat di L sedemikan sehingga

29: if then

30: � ← −1

31: end if

32: � ← � ∪ �, , where � � di s dan � � di

33: if � > then

34: Hapus entri terlama di T

35: end if

36: ← ; ←

37: itcount ← itcount + 1

38: end if

39: end while

40: if then

41: � Δ ← �

42: ←

43: x x - 1

44: else

45: STOP ←true

46: end if

47: end while

48: return � Δ, = �1,…,�� Δ

(34)

sebagai warna-warna. Dimulai dari suatu initial random x-coloring G yang paling mungkin, dari suatuΔ ,� −coloring yang invalid. Strategi ini kemudian berulang menurunkan x dan mencoba mencari Δ ,� -coloring yang valid pada suatu graf G menggunakan bilangan terkecil sebagai warna, sehingga diperoleh. Dengan demikian batas atas x pada Δ −chromatic number direduksi sampai algoritma menemukan Δ ,� -coloring tidak valid untuk batas atas terkecil.

Jika himpunan verteks dipartisi menjadi suatu bilangan tetap c dari himpunan bagian (kelas warna), menghasilkan suatu pewarnaan dengan kelas warna = (�1,…,��), tujuannya adalah untuk meminimalkan kelas warna

terbesar yang diinduksi derajat maksimum, yaitu untuk minimize = max1 �Δ � . Jelas, bahwa , untuk nilai d yang telah ditentukan,

dimana Δ −chromatic number dari graf G, harus ditentukan, Δ ,� -coloring

yang valid telah diperoleh. Oleh karena itu, ini adalah yang pertama dari tiga

stopping kriteria yang diterapkan pada algoritma. Stopping kriteria kedua adalah ketika algoritma melakukan sebelum ditentukan jumlah maksimum dari iterasi,

maxit, dimana tidak ada solusi (coloring), s, dimana diperoleh, sehinggaΔ ,� −coloring G tidak valid diperoleh. Stopping kriteria yang terakhir adalah ketika tidak ada candidate solution yang dibangkitkan (generated).

Pada penerapan tabu search , oleh Hertz dan De Werra (1987) untuk pewarnaan graf yang tepat, setiap candidate solution dibangkitkan dengan cara memilih current solution, s, sebarang verteks v, dengan derajat tak nol dalam hal ini kelas warna khusus diinduksi subgraf, dan kemudian recoloring v dengan warna yang berbeda, dipilih secara acak dari warna - warna lain yang digunakan di s. Agar menjadi benar, sifat deterministik asli dari teknik tabu seach. Setiap

candidate solution, s*, pada algoritma 2 di bangkitkan dengan memilih dari

current solution, s, suatu kelas warna i, dimana kelas warna diinduksi derajat maksimum untuk s. Verteks v kemudian diwarnakan kemudian diwarnakan dengan warna yang berbeda, j, dari warna - warna lain yang digunakan di s,

(35)

untuk s, semua verteks - verteks v dalam kelas warna dengan kelas warna diinduksi derajat sama dengan kelas warna terbesar diinduksi derajat maksimum dan semua kelas warna dengan kelas warna terkecil diinduksi derajat maksimum digunakan sebagai warna baru untuk v, sampai total dari candidate solutionℓ

dibangkitkan dan disimpan di candidate list. Jika semua kemungkinan candidate solution dapat dibangkitkan, seperti dijelaskan diatas, dan jumlah candidate solution adalah lebih kecil dari pada , maka proses pembangkitan candidate solution diatas diulang untuk suatu verteks u dengan kelas warna diinduksi derajat sama dengan kelas warna terbesar kedua diinduksi derajat maksimum, dimana u

juga dalam kelas warna dengan kelas warna diinduksi derajat maksimum sama dengan kelas warna terbesar diinduksi derajat maksimum untuk s. Akhirnya, jika diinginkan, prosedur diatas dapat diulang sekali lagi dimana warna j dengan memilih verteks v yang akan diwarnai, jika sekarang suatu warna dengan kelas warna terkecil kedua diinduksi derajat maksimum untuk s. Jika kekardinalan dari

candidate list, adalah masih terkecil daripada , maka pembangkit dari candidate solution berakhir. Dari candidate list (jika ini tidak kosong), candidate solution,

, dengan nilai fungsi objektif terkecil yang dipilih, yang dapat atau tidak dapat

sesuai untuk nilai fungsi objektif terkecil, maka didapat current solution s,

sebagai solusi selanjutnya untuk bergerak (move). Ini sangat kontras dengan tabu search proper coloring algorithm oleh Hertz dan De Werra (1987) dimana,

candidate solution, ′,dipilih secara acak diantara candidate solution dengan nilai maksimum untuk ( ), jika suatu hubungan terjadi selama eksekusi pada

Δ ,� −coloring heuristic, satu dengan jumlah terkecil dari kelas warna dengan suatu kelas warna diinduksi derajat maksimum lebih besar dari d maka dipilih.

Bilamana suatu verteks v di kelas warna � pada current solution, s,

bergerak ke kelas warna � pada solusi selanjutnya, ′,diantara (v,i) menjadi tabu dan dimasukkan ke dalam tabu list, T. Kemudian, verteks v tidak dapat dikembalikan ke kelas warna � untuk menentukan jumlah iterasi dari algoritma diatas. Jika size dari tabu list T sesudah disisipkan diantara (v,i) kedalam T,

(36)

didefinisikan sebagai berikut : Jika suatu tabu diantara (v,i) dimasukkan kedalam solusi yang berdekatan, , current solution, s, dan nilai fungsi objektif, ( ), solusi yang berdekatan lebih besar atau sama dengan nilai fungsi aspirasi,

� , nilai fungsi objektif dari current solution, s, maka status tabu dari (v,i)

ditolak, dan solusi yang berdekatan dimasukkan ke kandidat list. Pada awalnya kriteria aspirasi, �(�), untuk setiap nilai z, ditetapkan sebagai � −1.Kemudian, jika suatu solusi memenuhi ( ) � yang dipilih dari candidate list,� ditetapkan sebagai -1

Berikut rincian bagaimana aspek diatas diimplementasikan pada algoritma, Langkah 1 algoritma, suatu batas atas x pada �Δ � graf G, diberikan sebagai derajat d. Jika Δ ,� −coloring G layak untuk batas atas ini maka tercapai, sehingga Δ ,� −coloring layak disimpan ( langkah 41 dan 42 pada algoritma) dan batas atas x pada �Δ � dikurangi dengan 1, pada langkah 43. Iterasi langkah 4-47, dieksekusi menggunakan nilai terbaru dari x. Iterasi ini berlanjut sampai

Δ ,� −coloring tidak layak, diperoleh, dimana kasus variabel boolean STOP pada langkah 45, maka ditetapkan benar. Pada point ini ditetapkan batas atas χΔ (langkah 41) pada �Δ � didapat dari algoritma diatas yaitu �+ 1, dimana x

adalah batas atas pertama yang mana Δ ,� −coloring yang valid, diperoleh. Kemungkinan algoritma diatas tidak menghasilkan suatu

Δ ,� −coloring G yang layak, untuk batas atas pertama pada �Δ � menggunakan x = (Δ � + 1)/( + 1) warna. Batas atas χΔ pada �Δ � ditetapkan tak layak dengan nilai−1 pada langkah 2. Jika pada akhir eksekusi algoritma, nilai χΔ diberikan −1 , ini jelas bahwa algoritma tidak dapat menetukan solusi yang layak untuk masalah Δ ,� −coloring.

Untuk suatu nilai x dengan batas atas di χΔ, pewarnaan awal pada verteks - verteks didapat pada langkah 6 algoritma, dimana nilai fungsi objectif untuk pewarnaan ditentukan pada langkah 7. Pencarian untuk suatu Δ ,� −coloring

yang layak di G di jalankan pada langkah 10 - 39. Suatu candidate list dari sizeℓ

(37)

dari candidate list asal saja bahwa candidate list tidak kosong (langkah 27), dan kriteria aspirasi di perbaharui pada langkah 30, jika perlu. Akhirnya, tabu list di perbaharui pada langkah (32 - 35). Jika candidate list kosong (langkah 25) maka variabel boolean EMPTY pada langkah 26 ditetapkan benar dan pencarian untuk suatu Δ ,� −coloring G yang layak, berakhir.

2.4. Riset Terkait

A Hertz et, al. (1987) dalam jurnalnya menyatakan dimana teknik tabu search

digunakan untuk menuju nilai minimum fungsi. Suatu tabu list yang gerakannya diperbaharui selama iterasi untuk menghindari perputaran dan terjebak dalam minimum lokal. Teknik tersebut disesuaikan dengan masalah pewarnaan graf.

Chams et, al. (1987) dalam jurnalnya bereksperimen dengan mengkombinasikan dua algoritma yaitu algoritma dsatur dan algoritma RLF (Recursive Largest First) yang digunakan dalam dua tahap pada graf yang sama.

Raphael Dorne et, al. (1998) dalam jurnalnya menyatakan dimana tabu search disajikan untuk tiga masalah pewarnaan, yaitu pewarnaan graf, t -pewarnaan dan himpunan t-pewarnaan. Algoritma tabu search disini mengintegrasikan fitur penting seperti solusi regenerasi dan tabu tenure dinamis.

Galinier et, al. (2008) dalam jurnalnya mengadaptasi metode AMA (Adapted Memory Algorithm) untuk masalah pewarnaan graf yang dinamakan metode AMACOL. Kemudian hasil pewarnaan graf yang didapat dengan metode AMACOL dibandingkan dengan algoritma GLS (Genetic Local Search).

Jan Olav Hajduk (2010) dalam tesisnya membahas dan menganalisa tabu tenure pada algoritma tabu search untuk masalah pewarnaan graf.

2.5. Kontribusi Riset

(38)

BAB 3

METODOLOGI PENELITIAN

Pada bab ini akan dibahas tentang data yang digunakan, metodologi penelitian serta langkah-langkah yang dilakukan dalam menentukan bilangan kromatik pada pewarnaan graf dengan membandingkan waktu eksekusi algoritma dsatur dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search serta penerapannya dengan menggunakan sampel data.

Untuk membandingkan waktu eksekusi algoritma dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search pada masalah pewarnaan graf adalah sebagai berikut :

Identifikasi Permasalahan

Penetapan Tujuan Penelitian

Studi Literatur :

- Pewarnaan Graf - Metode Heuristik - Tabu Search

Tahap Identifikasi Awal

Pengumpulan Data :

Graf benchmark DIMACS

Tahap Pengumpulan dan Pengolahan Data

(39)
[image:39.595.128.554.130.467.2]

Gambar 3.1. Diagram Metodologi Penelitian

3.1. Data Yang Digunakan

Data yang digunakan dalam tesis ini adalah diambil dari DIMACS website. Banyaknya masalah benchmark untuk masalah pewarnaan graf dapat diidentifikasi. Graf benchmark ini dapat diperoleh dari DIMACS website. Tetapi, bilangan kromatik tidak diketahui untuk semua graf yang ada di graf benchmark. Dalam pemilihan graf, dari graf benchmark DIMACS untuk membandingkan waktu eksekusi algoritma dsatur dan algoritma pewarnaan heuristik tabu search , hanya graf yang diketahui bilangan kromatik yang dipilih. Graf ini terdiri dari tiga kelompok, yaitu:

Pengolahan Data :

menggunakan algoritma dsatur

Pengolahan Data :

menggunakan algoritma pewarnaan heuristik tabu search

Perbandingan Metode

Analisis Data

Kesimpulan dan Saran

Tahap Analisis dan Kesimpulan

(40)

1. Graf Queen. Graf queen yang dipilih dicantumkan pada tabel 3.1 sebagai queen i_i, dengan menggunakan nama yang sama seperti yang terdapat pada DIMACSwebsite.

2. Graf Mycielski. Graf Mycielski yang dipilih, dicantumkan pada tabel 3.1 sebagai mycieli, yaitu menggunakan nama seperti yang terdapat pada

DIMACS website.

3. Graf book. Graf ini terdiri dari david (dari Dicken's David Copperfield), huck (dari Twain's Huckleberry Finn) dan jean (dari Hugo's Les Miserables).

Tabel 3.1 graf benchmark DIMACS

Graf Order Size χ

queen5_5 25 320 5

queen6_6 36 580 7

queen7_7 49 952 7

queen8_8 64 96 9

myciel3 11 20 4

myciel4 23 71 5

myciel5 47 236 6

myciel6 95 755 7

huck 74 602 11

jean 80 508 10

david 87 812 11

3.2. Pewarnaan Graf

3.2.1.Pewarnaan Graf dengan Algoritma Dsatur

Untuk pengujian algoritma dsatur akan disesuaikan dengan menentukan : 1. ∆ −bilangan kromatik untuk nilai d yang diberikan

(41)

3.2.2. Pewarnaan Graf dengan Algoritma Pewarnaan Heuristik Tabu Search

Untuk pengujian algoritma pewarnaan heuristik tabu search :

1. Graf uji di bagi menjadi dua yaitu untuk graf dengan order p 50 dan 50 < < 100 .

2. Kemudian untuk pengujian algoritma pewarnaan heuristik tabu search kita akan menentukan serangkaian input nilai terbaik untuk parameter t (tabu tenure), ℓ (size dari candidate list) dan maxit ( jumlah maksimum iterasi).

Untuk itu akan dipilih salah satu graf dari graf dimacs yaitu myciel3 ( p = 11) yang digunakan untuk menentukan rangkaian nilai untuk parameter t, ℓ dan maxit untuk graf dengan order p 50 . Untuk graf dengan order p 50 nilai parameter t bervariasi antara 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 dan 15. Nilai parameter

[image:41.595.114.479.501.711.2]

ℓ bervariasi antara 30, 35, 40, 45 dan 50. Nilai parameter maxit bervariasi antara 120, 130, 140 dan 150. Untuk setiap rangkaian nilai parameter algoritma pewarnaan heuristik tabu search akan dieksekusi pada graf myciel3 sebanyak 15 kali runs. Setelah itu akan ditentukan rangkaian nilai parameternya dengan memilih hasil minimum dari rata - rata nilai fungsi objektif, dapat dilihat pada gambar 3.2 yang terdiri dari grafik - grafik.

(a). maxit = 120

35.6 35.8 36 36.2 36.4 36.6 36.8 37

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

40

35

30

t

Z

(42)

(b). maxit = 140

[image:42.595.114.476.124.360.2] [image:42.595.113.478.131.623.2]

(c). maxit = 150

Gambar 3.2 Grafik rata-rata nilai fungsi objektif Z, dari algoritma pewarnaan heuristik tabu search yang diaplikasikan pada graf myciel3 untuk menentukan rangkaian nilai parameter tabu dengan maxit 120, 140 dan 150.

35.4 35.6 35.8 36 36.2 36.4 36.6

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

40

35

30

35.6 35.8 36 36.2 36.4 36.6 36.8 37

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

40

35

30

t

Z

Z

t

(43)

Dari grafik pada gambar 3.2 dapat dilihat bahwa nilai fungsi objektif minimum untuk maxit = 120 adalah 35.9, maxit = 140 adalah 35.7 dan maxit = 150 adalah 36. Untuk menentukan rangkaian nilai parameter, kita ambil empat yang paling minimum dari grafik pada gambar 3.2. Setelah itu kita eksekusikan lagi algoritma pewarnaan heuristik tabu search sebanyak 15 kali runs pada graf

myciel3. Hasil rata - rata minimum dari running time nya dapat dilihat pada tabel 3.2.

Tabel 3.2 Hasil rata-rata paling minimum yang diperoleh dari eksekusi algoritma pewarnaan heuristik tabu search pada graf myciel3

No maxit ℓ t Rata-rata running

time per ms

1 140 40 8 0.221

2 140 40 9 0.456

3 140 35 7 0.265

4 120 35 8 0.333

Dari tabel 3.2 rata - rata running time tercepat terdapat pada rangkaian nilai parameter yaitu ( 140, 40, 8). Sehingga rangkaian nilai parameter (maxit, ℓ, t) = ( 140, 40, 8) yang dipilih untuk diimplementasikan pada algoritma pewarnaan heuristik tabu search yang akan diterapkan pada graf uji dengan order p 50 .

Selanjutnya kita juga akan menentukan, rangkaian nilai parameter untuk graf dengan order yaitu 50 < < 100. Untuk itu akan dipilih salah satu graf dari graf dimacs yaitu graf queen8 (p = 64) yang digunakan untuk menentukan rangkaian nilai untuk parameter maxit, ℓ, t, dan maxit. Untuk graf dengan order

p > 50, nilai parameter t bervariasi antara 6, 7, 8, 9, 10,11, 12, 13, 14 dan 15. Nilai parameter ℓ bervariasi antara 30, 40, 50 dan 60. Nilai parameter maxit bervariasi antara 160, 180 dan 200. Untuk setiap rangkaian nilai parameter algoritma pewarnaan heuristik tabu search akan dieksekusi pada graf queen8

[image:43.595.146.456.308.429.2]
(44)

dengan memilih hasil minimum dari rata - rata nilai fungsi objektif. Dapat dilihat pada gambar 3.3 yang terdiri dari grafik - grafik.

(a). Maxit = 160

(b). maxit = 180

84 84.5 85 85.5 86 86.5 87

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

100

60

40

30

82 82.5 83 83.5 84 84.5 85 85.5 86

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

100

60

40

30

t Z

Z

t

(45)

(c). maxit = 200

Gambar 3.3. Grafik rata-rata nilai fungsi objektif, Z, dari algoritma pewarnaan heuristik tabu search yang diaplikasikan pada graf queen8 untuk menentukan rangkaian nilai parameter tabu untuk maxit 160, 180 dan 200.

Dari grafik pada gambar 3.3 dapat dilihat bahwa nilai fungsi objektif minimum untuk maxit = 160 adalah 84.5, maxit = 180 adalah 82.5 dan maxit = 200 adalah 84.2. Untuk menentukan rangkaian nilai parameter, kita ambil empat yang paling minimum dari grafik pada gambar 3.3. Setelah itu kita eksekusikan lagi algoritma pewarnaan heuristik tabu search sebanyak 15 kali runs pada graf

queen8. Hasil rata - rata dari running time nya dapat dilihat pada tabel 3.3.

83.6 83.8 84 84.2 84.4 84.6 84.8 85 85.2 85.4

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

100

60

40

30

t Z

[image:45.595.117.478.157.380.2]
(46)
[image:46.595.146.457.163.285.2]

Tabel 3.3 Hasil yang diperoleh dari eksekusi algoritma pewarnaan heuristik tabu search pada graf queen8

No maxit ℓ t Rata-rata running

time per ms

1 180 40 7 920

2 180 40 8 901

3 180 40 9 953

4 180 40 10 938

Dari tabel 3.3 rata - rata running time tercepat terdapat pada rangkaian nilai parameter yaitu ( 180, 40, 8). Sehingga rangkaian nilai parameter (maxit, ℓ,

t) = ( 180, 40, 8) yang dipilih untuk dieksekusikan pada algoritma pewarnaan

(47)

BAB 4

HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1. Hasil

Pada masalah ini ada dua metode heuristik yang akan di implementasikan dan dibandingkan performansi algoritmanya yaitu algoritma dsatur dan algoritma perwarnaan heuristik tabu search. Dua algoritma tersebut dimplemetasikan ke dalam sebuah program komputer dengan menggunakan bahasa pemrograman C dan di eksekusi pada Sony Series Intel Core i5 dan linux ubuntu 13.04 sebagai sistem operasi.

Tujuan penulis mengimplementasikan algoritma adalah sebagai alat bantu untuk menyelesaikan bilangan kromatik pada pewarnaan graf. Hasil yang akan dicapai adalah verteks - verteks yang bersisian tidak mempunyai warna yang sama, dimana dengan menggunakan jumlah warna yang minimum.

4.1.1. Tampilan Input Program

[image:47.595.111.516.525.706.2]

Graf uji yang digunakan adalah graf yang diperoleh dari DIMACS website.Berikut adalah tampilan menggunakan bahasa pemrograman C :

(48)
[image:48.595.115.496.113.343.2] [image:48.595.122.504.461.681.2]
(49)
[image:49.595.114.506.146.385.2]

4.1.2. Tampilan Output Program

Gambar 4.4 Tampilan output hasil pewarnaan graf dengan algoritma dsatur

[image:49.595.115.499.462.661.2]
(50)

4.2. PEMBAHASAN

[image:50.595.129.506.208.417.2]

Hasil algoritma dsatur yang di uji pada graf benchmark DIMACS website terdapat pada tabel berikut :

Tabel 4.1 Rata-rata running time dari algoritma dsatur

NO Graf Order Size χ

Rata-rata

running time (ms)

1 queen5_5 25 320 5 0.51

2 queen6_6 36 580 7 1.61

3 queen7_7 49 952 7 4.35

4 queen8_8 64 96 9 9.66

5 myciel3 11 20 4 0.02

6 myciel4 23 71 5 0.22

7 myciel5 47 236 6 1.97

8 myciel6 95 755 7 21.37

9 huck 74 602 11 8.21

10 jean 80 508 10 8.87

11 david 87 812 11 16.57

[image:50.595.128.506.495.628.2]

Tabel 4.2 Rata -rata running time algoritma pewarnaan heuristik tabu search untuk graf dengan order p 50

NO Graf Order Size χ

Time :

dsatur

Rata-rata

running time (ms)

1 queen5_5 25 320 5 0.51 60.96

2 queen6_6 36 580 7 1.61 88.77

3 queen7_7 49 952 7 4.35 127.31

4 myciel3 11 20 4 0.02 0.78

5 myciel4 23 71 5 0.22 5.25

6 myciel5 47 236 6 1.97 91.38

Pada tabel 4.2 ditampilkan rata-rata running time dari algoritma pewarnaan heuristik tabu search pada graf benchmark DIMACS dengan order tidak lebih dari 50, kemudian dibandingkan dengan rata-rata running time

(51)
[image:51.595.128.506.122.279.2]

Tabel 4.3 running time dari algoritma pewarnaan heuristik tabu search

untuk graf dengan order 50 < < 100

NO Graf Order Size χ

Time :

dsatur

Rata-rata

running time (ms)

1 queen8 64 96 9 9.66 136.52

2 myciel6 95 755 7 21.37 124

3 huck 74 602 11 8.21 149.25

4 jean 80 508 10 8.87 112.56

5 david 87 812 11 16.57 156

Pada tabel 4.3 ditampilkan rata-rata running time dari algoritma pewarnaan heuristik tabu search pada graf benchmark DIMACS dengan order (p) lebih dari 50. Semua data yang ada pada tabel 4.3 menggunakan nilai parameter tabu yang telah ditentukan yaitu maxit = 180, ℓ = 40 dan t = 8.

Perbandingan hasil yang diperoleh dari tabel 4.2 dan 4.3 kita tampilkan ke dalam bentuk grafik trendline seperti berikut :

Gambar 4.6 Perbandingan running time algoritma Dsatur dan algoritma phts

0 20 40 60 80 100 120 140 160

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

dsatur

phts

ms

[image:51.595.114.477.471.695.2]
(52)

Berdasarkan grafik trendline yang ditampilkan, maka algoritma yang pertama yaitu dsatur merupakan algoritma greedy dengan waktu eksekusi yang sangat singkat dibandingkan dengan algoritma pewarnaan heuristik tabu search, yang telah diuji pada 11 graf, dengan rata-rata waktu eksekusi kurang dari 22 ms.

Algoritma yang kedua adalah algoritma pewarnaan heuristik tabu search

(53)

BAB V PENUTUP

5.1.Kesimpulan

Dalam penelitian ini setelah peneliti mengkaji dan membandingkan dengan mengaplikasikan dua algoritma pada graf benchmark DIMACS, dimana graf dengan banyaknya verteks atau order (p) yaitu 11 95 ternyata algoritma pewarnaan dsatur memiliki rata-rata waktu eksekusi yang sangat singkat dibandingkan dengan algoritma pewarnaan heuristik tabu search. Dan hasil pewarnaan graf yang didapat pada penelitian ini merupakan solusi optimum dari kedua metode heuristik yaitu algoritma dsatur dan algoritma pewarnaan heuristik

tabu search yaitu minimal jumlah warna yang diperlukan untuk mewarnakan suatu graf sehingga verteks-verteks yang bersisian mempunyai warna yang berbeda.

5.2.Saran

(54)

DAFTAR PUSTAKA

Balakrishnan, V. K.1995. Theory and Problem of Combinatorics, Mc. Graw Hill

Bollobăs, B. 1998. Modern Graph theory, Graduate Text in Mathematics Series, Springer - Verlag, New York.

Cham, M, A. Hertz & D. de Wera. 1987. Some experiments with simulated annealing for coloring graphs. European Journal of Operational Research, 32(2):260-266.

Chartrand, Gary & Ortrud R. Oellerman. 1993. Applied And Algorithmic Graph Theory, Mc Graw Hill.

Chiarandini, M. Bibliography on Graph Coloring, [online], Available from :

http://www.imada.sdu.dk/ ˜marco/gcp/ (accesss : Mar 1st

, 2013)

Deo, Narsingh. 1986. Graph Theory with Aplications to Engineering andComputer Science. New Delhi: Prentice Hall of India.

Dorne, Raphael & Jin-Kao Hao. 1998. Tabu search for graph coloring, T-Coloring and set T-T-Colorings. Meta-Heuristics, pages 33-47. Kluwer Academic Publishers, Boston.

Brelaz, D. 1979. New Methods to Color The Vertices of A Graph, Communications of the Association for Computing Machinery.

Fletcher, Peter. 1991. Foundationt of Discrete Mathematics, PWS-KENT, Boston Harary, Frank. 1994. Graph Theory, Third Edition, Addison-Wesley, New York. Hertz, A & D. de Werra. 1987. Using tabu search techniques for graph coloring.

Computing39 : 345-351

Galinier, P, A. Hertz & N. Zufferey. 2008. An adaptive memory algorithm for the k-coloring problem. Discrete Applied Mathematics 156(2):267-279.

Glover, Fred. 1995. Tabu Search Fundamentals and Uses. Colorado. University of Colorado.

Glover, F. & Laguna, M. 1997. Tabu Search. Kluwer, Norwell, MA.

(55)

Hajduk, J.O. 2010. An Analysis of Tabu search for the Graph Coloring Problem. Thesis. Utrecht University.

Jaziri, Wassim. 2008. Local Search Techniques Focus on Tabu search. Thesis.. University of Sfax Tunisia.

Johnson, DS & Trick, MA, DIMACS Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer science, [online], Available from : http:/dimacs.rutgers.edu/Volumes/Vol126.html (access : 5th Mar 2013)

Lipschutz, Seymour & Lars Lipson, Mars. 2002. Matematika Diskrit Mid 2.

Jakarta: Salemba Teknika.

Liu, C. L. 1995. Dasar-Dasar Matematika Diskret, Edisi Kedua, Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.

Martono, Totong. 1990. Teori Graf dan Aplikasinya, PAUD IPB, Bogor. Munro, John, 1993, Discrete Mathematics for Computing, Chapman and Hall. M. Syslo, Maciej, dan Deo, Narsingh. 1983. Discrete Optimization Algorithms.

United States of Amerika: Prentice-Hall.

Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit Edisi 3. Bandung: InformatikaBandung.

Malaguti, Enrico, 2010. Tabu search for the graph coloring problem (extended). Italy. University of Bologna.

Nieuwoudt, Isabelle. 2007. On the Maximum Degree Chromatic Number of a Graph, Dissertation Ph.D. Stellenbosch University.

Porumbel, D.C, Hao, J.K. & Kuntz, P. 2007. Reinforced Tabu search for Graph Coloring, Journal of Combinatorial Optimization.

Slamet, Sumantri dan Hendrik Makaliwe. 1991. Matematika Kombinatorik, Elex Media Komputindo, Jakarta.

Wallis, WD. 2000. A Beginner's Guide to Graph Theory, Birkhäuser Boston, New York.

(56)

LAMPIRAN 1

Data Input

c FILE: myciel3.col

c SOURCE: Michael Trick (trick@cmu.edu)

c DESCRIPTION: Graph based on Mycielski transformation. c Triangle free (clique number 2) but increasing c coloring number

p edge 11 20 e 1 2

(57)

c FILE: myciel4.col

c SOURCE: Michael Trick (trick@cmu.edu)

c DESCRIPTION: Graph based on Mycielski transformation. c Triangle free (clique number 2) but increasing c coloring number

p edge 23 71 e 1 2

(58)
(59)

c FILE: myciel5.col

c SOURCE: Michael Trick (trick@cmu.edu)

c DESCRIPTION: Graph based on Mycielski transformation. c Triangle free (clique number 2) but increasing c coloring number

p edge 47 236 e 1 2

(60)
(61)
(62)
(63)
(64)
(65)

LAMPIRAN 2

Data Output

Myciel3.res

CLRS 4 FROM TABU[0] cpu = 2000.00 microsecs pid = 5983

1 2 3 2 4 1 2 1 2 1 3

Myciel4.res

CLRS 5 FROM TABU[0] cpu = 4000.00 microsecs pid = 5920

1 2 3 2 4 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 5 1 2 1 2

1 3 4

Myciel5.res

CLRS 6 FROM TABU[0] cpu = 2300 microsecs pid = 5993

1 2 3 2 4 1 2 1 2 1 3 1 2 3 2 4 1 2 1 2

1 3 5 1 2 5 2 4 1 2 1 2 1 4 1 2 6 2 4 1

Gambar

Gambar 2.1. Graf G
Gambar 2.2 Graf Tidak Sederhana
Gambar 2.4. Sikel
Gambar 2.5. Dua subgragf (G1 dan G2) dari suatu graf G
+7

Referensi

Dokumen terkait

Keluhan Minor Askep/Manage r sector melakukan klarifikasi dan verifikasi terhadap bukti- bukti keluhan bersama pihak yang menyampaika n keluhan Askep/Manag er sector

Berdasarkan kesimpulan bahwa Implementasi Kebijakan Pelayanan Administrasi Terpadu Kecamatan (PATEN) di Kecamatan Palu Barat Kota Palu belum maksimal, Adapun saran

Kandungan logam berat tertinggi yang ditemukan pada sampel sedimen di muara Krueng Aceh adalah Zn dengan konsentrasi 29,633 mg/kg dan nilai rata-ratanya masih berada di bawah

antropogenik Pb dan Cu pada lapisan bagian atas dan bawah sedimen yang diambil di tiga muara sungai (Plumbon, Banjir Kanal Barat dan Sringin) tidak ada hubungannya

Furinghetti (dalam Nayazik, 2012) menyatakan bahwa salah satu strategi untuk meningkatkan atensi siswa dalam pembelajaran matematika adalah dengan mengintegrasikan

Nilai prioritas kejadian 18 (Risiko Rendah) dengan keparahan terhadap keselamatan manusia 3 ( Severe ), dampak terhadap lingkungan 2 ( Minor ), dampak terhadap asset/

Puji syukur penulis kepada Allah SWT, atas berkah dan rahmat-Nya sehingga peneliti dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “ Perbedaan Rasio Inti dan Sitoplasma Sel

Networked Control Systems dengan menggunakan umpan balik keadaan sistem. Untuk menjamin kinerja sistem yang diinginkan, pengendali memerlukan data keadaan yang diperoleh dari