DENGAN RESPON FUNGSIONAL
MICHAELIS-MENTEN
oleh
ASTRID CANDRASARI
NIM. M0102015
SKRIPSI
ditulis dan diajukanuntuk memenuhi sebagianpersyaratan
memperoleh gelar SarjanaSains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
ANALISIS GLOBAL SISTEM MANGSA-PEMANGSA DENGAN
RESPON FUNGSIONAL MICHAELIS-MENTEN
yang disiapkan dan disusunoleh
ASTRID CANDRASARI
NIM. M0102015
dibimbing oleh
Pembimbing I, Pembimbing II,
Drs. Sutrima, M.Si Umi Salamah,M.Kom
NIP.132 046 018 NIP. 132 162 555
telah dipertahankandi depan DewanPenguji
pada hari Jumat, tanggal26Januari 2007
dan dinyatakan telahmemenuhi syarat
Anggota Tim Penguji Tanda Tangan
1. Dr. Sutanto 1. ...
NIP.132 149 079
2. Hasih Pratiwi,M. Si 2. ...
NIP.132 143 817
3. Dra. PurnamiWidyaningsih 3. ...
NIP.131 695 204
Disahkanoleh
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Dekan, KetuaJurusan Matematika,
Drs. Marsusi, M.S Drs. Kartiko, M.Si
Karya ini kupersembahkan untuk:
~Papa dan mami-ku tersayang,
~ Kakak-kakakku: Mbak Lia, Mas Ronny, Mas Suryo,
Mbak Sopik, Mas Ari, dan Mas Rio,
~ Sahabat-sahabat terbaikku: Nia, Yuyun, Yonda, Rahma dan Ratna,
Astrid Candrasari,2007. ANALISIS GLOBAL SISTEM
MANGSA-PE-MANGSA DENGAN RESPON FUNGSIONALMICHAELIS-MENTEN. F
a-kultas Matematika dan IlmuPengetahuan Alam,Universitas Sebelas Maret.
Model mangsa-pemangsadenganresponfungsionalMihaelis-Menten
men-jelaskan suatu ekosistem yang terdiri dari tiga komponen yaitu tanaman,
ma-malia keil dan karnivora pemakan mamalia keil. Keseimbangan ekosistem ini
dapat dikontrol jika persediaan tanamanmemadai. Kestabilan global di dalam
sistemmangsa-pemangsamenjadimasalahmatematis yang menarik. Jikadalam
sistem tersebut terapai kestabilan, kelangsungan hidup mangsa dan pemangsa
dapatdipertahankan. Tujuandaripenelitianiniadalahmenentukansyaratukup
kestabilanglobal beserta interpretasi biologinya.
Metode yang digunakan dalam skripsi ini adalah teoritis-simulasi. Untuk
menjelaskankestabilandigunakanmetodelinearisasiyangmenghasilkan
kestabil-anlokaldan Teorema Poinare-Bendixon yang menghasilkankestabilan global.
Hasil pembahasan menunjukkan bahwa kestabilan global diapai di titik
kesetimbangan nontrivial (a) E
2
= (A;0) dengan interval 0 < A < h
b yaitu
dengan ketidakhadiran pemangsa, dan (b) E
3 = (m
;v
) dengan m
= h
b dan
v
=
bhr A(b ) h
A(b ) 2
dengan interval h
b
< A < untuk suatu yaitu dengan
kehadiranmangsadan pemangsapadaekosistem. Kestabilanglobalmemberikan
interpretasi bahwa kehidupan ekosistem dalam keadaan terkendali seara luas
Astrid Candrasari, 2007. GLOBAL ANALYSIS OF PREDATOR-PREY
SYSTEM WITH MICHAELIS-MENTEN FUNCTIONAL RESPONSE . Faulty
of Mathematis and Natural Sienes, Sebelas Maret University.
Predator-prey modelwith funtional response Mihaelis-Menten explained
asimpleeosystemonsistofaplant,smallmammalwhiheatstheplantand
ar-nivorous predator whih eats the mammal. The equilibrium of eosystem ould
be ontrolled if populations of plant were available. Global stability for this
eosystem beomes an interesting mathematial problem. If the system
reah-es stability, the populations of predator and prey will be in healthy numbers.
The aimof this paper isnding suÆient onditions forglobal analysis with the
biologialinterpretation.
Themethodsused inthis thesis aretheoretial-simulationswhih
lineariza-tion method for explaining loal stability and Poinare-Bendixon Theorem for
global stability.
As the results, global stability is reahed at nontrivial equilibrium points
(a) E
2
= (A;0) on interval 0 < A < h
b
, with the absene of predator, and (b)
E
3 = (m
;v
) with m
= h
b
and v
=
bhr A(b ) h
A(b ) 2
on interval h
b
< A <
forany , both of predator andprey present ineosystem. The interpretationof
global stability is that the eosystem in a stable onditions or healthy numbers
Pujisyukur penulispanjatkankepadaAllahSWT karenaatas berkah,
rah-mat dan karunia-Nya penulisdapat menyelesaikantugas akhir.
Dalampenyusunan skripsiini penulismenguapkanterimakasih kepada:
1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si., Dosen Pembimbing I dan Ibu Umi Salamah,
M.Kom.,Dosen PembimbingII yang telahmemberikanbimbingandan
pe-ngarahan dalam penyusunan skripsi.
2. Dra. Yuliana Susanti, M.Si, Pembimbing Akademik yang telah banyak
memberikansemangat dan bimbingan.
3. KeluargabesarH.BambangSoebekti,S.Ipyangtelahmemberikan
dukung-anmoral dan material.
4. Semuapihak yang telah membantudalam kelanaran penyusunan skripsi.
Akhirkata, semogaskripsiini bermanfaat bagi pembaa sekalian.
Surakarta, Januari 2007
JUDUL . . . i
PENGESAHAN . . . ii
PERSEMBAHAN . . . iii
ABSTRAK . . . iv
ABSTRACT . . . v
KATA PENGANTAR . . . vi
DAFTAR ISI . . . vii
DAFTAR TABEL . . . ix
DAFTAR GAMBAR . . . x
DAFTAR NOTASI . . . xi
I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 3
1.3 Batasan Masalah . . . 3
1.4 Tujuan . . . 3
1.5 Manfaat . . . 3
II LANDASAN TEORI 4 2.1 TinjauanPustaka . . . 4
2.1.1 Sistem Autonomous dan BidangFase . . . 4
2.1.2 TitikKesetimbangan dan Teori Kestabilan . . . 4
2.1.3 Metode Linearisasi . . . 6
2.1.4 Limit Cyle . . . 9
IIIMETODE PENELITIAN 12
IVHASIL DAN PEMBAHASAN 13
4.1 KonstruksiModel . . . 13
4.1.1 ResponFungsionalMihaelis-Menten . . . 13
4.1.2 Laju Populasi Mangsa dan Pemangsa . . . 14
4.2 TitikKesetimbangan . . . 16
4.3 Analisis Kestabilan . . . 17
4.3.1 Kestabilan Lokaldi TitikKesetimbangan E 2 . . . 17
4.3.2 Kestabilan Lokaldi TitikKesetimbangan E 3 . . . 18
4.4 Analisis Kestabilan Global . . . 21
4.4.1 Kestabilan Global diTitikKesetimbangan E 2 . . . 22
4.4.2 Kestabilan Global diTitikKesetimbangan E 3 . . . 22
4.5 Simulasi Kasus . . . 24
V KESIMPULAN DAN SARAN 31 5.1 Kesimpulan . . . 31
5.2 Saran. . . 31
2.1 TipeKestabilan dari Titik Kesetimbangan . . . 7
4.1 Kemungkinan NilaiA
1
<0 . . . 20
4.2 Kemungkinan NilaiA
2
>0 . . . 20
2.1 TipeKestabilan TitikKesetimbangan. . . 8
4.1 Grak Laju Murat dan Vekton pada Interval0<A< h(b+)
b
. . . 24
4.2 BidangFase pada E
2
dengan A=2 . . . 25
4.3 BidangFase pada E
31
dengan A=4 . . . 26
4.4 BidangFase pada E
32
dengan A=6 . . . 27
4.5 BidangFase pada E
32
dengan A=9 . . . 27
4.6 Limit Cyle denganCarrying Capaity yang Ditentukan . . . 29
dm
dt
: laju populasi mangsa
dv
dt
: laju populasi pemangsa
m : populasimangsa
v : populasipemangsa
A : kemampuan populasi maksimum mangsatanpa adanya pemangsa
: laju penangkapan
b : angka pertumbuhan maksimum pemangsa
: angka kematian pemangsa
h : konstanta setengah jenuh
r : angka pertumbuhan intrinsikmangsa
V : keepatan reaksi antara enzim dan substrat oleh Mihaelis-Menten
V
max
: laju pembentukan produkmaksimum
K : konstanta Mihaelis
[S℄ : konsentrasi substrat
m
a
: jumlah mangsayang dikonsumsipemangsa persatuan waktu
p : laju konsumsi maksimum pemangsa
E
i
: titikkesetimbangan ke-i
J(E
i
) : matriksJaobian dititik kesetimbangan ke-i
: nilaieigen
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Matematika adalah ilmu yang sangat universal. Salah satu dasar ilmu
pengetahuan ini dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena-fenomena yang
terjadi di alam semesta. Matematika merupakan salah satu alat kuantitatif
maupun kualitatif yang dapat menjelaskan dinamika populasi. Salah satunya
adalahmengenaiinteraksimakhlukhidup,yangdapatdigunakanuntukmelakukan
kontrolterhadap alam tersebut.
Sebagaimana telah dikemukakan oleh Campbell, et al. [3℄ populasi
dide-nisikansebagaisuatukelompokindividu darisuatuspesiesyang samadan hidup
dalam daerah geogras tertentu. Populasi ini selalu mengalami dinamika
per-tumbuhan sejalan dengan perubahan-perubahan yang ada dialam. Murray [10℄
menyatakanbahwasetiappopulasitumbuhsearaeksponensialdimana
pertum-buhan ini selalu naik dengan sumber yang tak terbatas. Akan tetapi karena
adanya keterbatasan sumber daya di alam ini, misalnya keterbatasan nutrisi,
menyebabkanpopulasiini tumbuh seara logistikyang padasuatu saat tertentu
pertumbuhannya menjadi lambat dan akhirnya akan terhenti. Interaksi antar
populasi akanmenyebabkan pertumbuhan seara logistikiniberubah.
Menurut Murray [10℄ ada tiga tipe interaksi antar populasi yaitu (a) tipe
mangsa-pemangsa,dimananaiknyalajupertumbuhansuatupopulasi
mengham-bat pertumbuhan populasi lainnya, (b) kompetisi, di mana laju pertumbuhan
masing-masingpopulasiturun,serta()simbiosisataumutualisme,yang
masing-masing populasi terusmeningkatpertumbuhannya.
Padatahun1959,Hollingtelahmengklasikasikanhubunganantara
mangsa-pemangsakedalamtigatipeberdasarkanlajukonsumsipemangsa, sebagaimana
ten. Model inimenjelaskan sistemekologiyang terdiridari tigakomponen yaitu
tanaman, mamalia keil pemakan tanaman sebagai mangsa dan karnivora
pe-makan mamalia keil sebagai pemangsa. Keseimbangan ekosistem ini dapat
dikontrol jika persediaan populasi tanaman memadai. Misalkan m menyatakan
populasi mangsa dan v menyatakan populasi pemangsa. Sistem ini dapat
dije-laskansebagai sistem persamaan diferensialnonlinear yaitu
dm
dt
=mr
1 m
A
mv
h+m
dv
dt =
bmv
h+m v
(1.1)
m(0)>0;v(0)>0
A;;b;;h;r>0
dengan A adalah kemampuan populasi maksimum mangsa tanpa adanya
pe-mangsa(arryingapaity), adalahlajupenangkapan(apturingrate),badalah
angka pertumbuhan maksimum pemangsa, adalah angka kematian pemangsa,
hadalahkonstantasetengahjenuh(halfsaturationonstant),danradalahangka
pertumbuhanintrinsik mangsa.
Sistem persamaan diferensial nonlinear (1.1) dapat diari titik
kesetim-bangannya. Titikkesetimbanganberhubungan erat dengankestabilansuatu
sis-tem. Kestabilan didalam sistemmangsa-pemangsa menjadimasalah matematis
yang menarik. Hal inimenjadi penting, karena jikadalam sistemtersebut
tera-paikestabilan, kelangsungan hidupmangsadan pemangsadapatdipertahankan.
Jika titikkesetimbanganstabil untuk setiapkondisi awal yang ditentukan, maka
menurut Bellomodan Preziosi [1℄sistem tersebut stabil seara global.
Fakta-faktadiatasmenyarankanpentingnyapenelitiantentangsyaratukup
tentangkestabilanglobaldarisistemmangsa-pemangsadenganresponfungsional
Mihaelis-Menten. Lebih lanjut interpretasi kestabilandari sistem tersebut juga
Sejalan denganfakta-fakta yang diungkapkanpadalatar belakang diatas,
permasalahan utamadalam penelitian iniadalah
1. apa syarat ukup kestabilanglobal dari sistem mangsa-pemangsa(1.1)
2. bagaimana interpretasi kestabilanglobal sistemmangsa-pemangsa (1.1).
1.3 Batasan Masalah
Permasalahanyang dibahas dalam penelitianiniadalah
1. sistem mangsa-pemangsa(1.1) mengasumsikanbahwa mangsa tumbuh
se-ara logistiktanpa adanya pemangsa
2. adanya pemangsamenyebabkanlaju populasimangsadipengaruhi oleh
re-sponfungsional Mihaelis-Menten.
1.4 Tujuan
Searaeksplisit terdapatdua tujuan utamayang ingin diapaidari
peneli-tian ini,yaitu
1. dapat menentukan syarat ukup kestabilan global dari sistem
mangsa-pe-mangsa(1.1)
2. dapatmenginterpretasikankestabilanglobalsistemmangsa-pemangsa(1.1).
1.5 Manfaat
Manfaat yang ingin diapai dari penelitian ini adalah dapat mengetahui
syaratukupkestabilanglobaldarisistemmangsa-pemangsadenganrespon
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
2.1.1 Sistem Autonomous dan Bidang Fase
Suatu sistem persamaan diferensial nonlinear seara umum dapat ditulis
dx 1 dt =f 1 (x 1 ;x 2
;:::;x
n ;t) dx 2 dt =f 2 (x 1 ;x 2
;:::;x
n ;t) . . . dx n dt =f n (x 1 ;x 2 ;:::;x
n ;t)
(2.1)
denganf
i
adalahfungsikontinupadai=1;2;:::;n,sertaderivatifparsial
perta-manyakontinu. Farlow[5℄menyatakanbahwa sistempersamaan diferensial(2.1)
denganf
i
tidaktergantungsearaeksplisitterhadaptdisebutsistemautonomous.
Dalam sistem ini, (x
1 ;x
2
;:::;x
n
) disebut fase, sedangkan bidang x
1 ;x
2 ;:::;x
n
disebutbidangfase. Nilaix
1 =x 1 (t);x 2 =x 2
(t);:::;x
n =x
n
(t)yangmenyatakan
suatu titik (x
1 ;x
2
;:::;x
n
) pada bidang fase disebut vektor keadaan. Karena
variabel bebas t berubah, vektor keadaan bergerak pada bidang fase.
Penyele-saian aljabaryang berhubungan denganvariabeltakbebasx
1 ;x
2
;:::;x
n
menya-takansuatu trayektori atau orbit pada bidangfase.
2.1.2 Titik Kesetimbangan dan Teori Kestabilan
Kestabilansistemmangsa-pemangsasangateratberkaitandengantitik
ke-setimbangansistem tersebut. Farlow [5℄ menyatakan bahwa titik kesetimbangan
merupakan titik dengan gerak vektor keadaan konstan. Umumnya sistem
sehing-tergantung pada kondisi awal yang diambil.
Sistem(2.1) seara umum dapat dituliskandalam bentuk
_
x=f(x)
dengan x= (x
1 ;x
2 ;:::;x
n
), x_ = ( dx1
dt ;
dx2
dt ;:::;
dxn
dt
), dan f = (f
1 ;f
2 ;:::;f
n ).
Su-atutitik
xdisebuttitikkesetimbangandarisistem(2.1),jika f(
x) = 0. Jikatitik
xadalahtitikkesetimbanganmakafungsikonstanx(t)=xuntuksemuatadalah
merupakanpenyelesaian. Halinisesuaidengandenisititikkesetimbanganyang
telah dikemukakan oleh Haledan Koak [8℄.
Denisi 2.1.1. Titik x 2 R 2
disebut titik kesetimbangan dari x_ = f(x) jika
f(x) = 0, x = (x
1 ;x
2
). Dengan kata lain f
1 (x
1 ;x
2
)=0 dan f
2 (x
1 ;x
2 )=0.
FiniziodanLadas[6℄mengemukakanbahwasuatutitikkesetimbangan
dika-takan stabil jika perubahan keil dalam kondisi awal hanya menyebabkan
pe-ngaruh keilpada penyelesaian. Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotik
jika pengaruh dari suatu perubahan keil enderung menghilang sama sekali.
Titikkesetimbangandikatakantakstabiljikaperubahankeildalamkondisiawal
mempunyai pengaruh yang besar pada penyelesaian.
Jikapersekitarantitikkesetimbanganstabilasimtotikyangmemuatkondisi
awal meliputi daerah lokal, maka kestabilannya disebut kestabilan lokal. Jika
kondisi awal meliputi seluruh bidang atau memuat semua kondisi awal maka
kestabilannyadisebutkestabilanglobal. Denisi2.1.2 berkaitandengan
kestabil-ansebagaimana telah dikemukakan oleh Bellomodan Preziosi [1℄.
Denisi 2.1.2. Suatu keadaan setimbang x disebut stabil jika untuk sembarang
> 0 maka terdapat Æ() > 0, sedemikian hingga untuk sembarang kondisi awal
x (0) dengan
kx(0) xk<Æ();
penyelesaiannya memenuhi
ngat sulit ditemukan mengingat begitu banyaknya variasi persamaan diferensial
nonlinear. Oleh karena itudigunakan metode linearisasidan Teorema Poinar
e-Bendixson untuk membuktikankestabilan titikkesetimbangan sistem (2.1).
2.1.3 Metode Linearisasi
Metode linearisasi digunakan untuk penyelesaian sistem persamaan
dife-rensial nonlinear karena penyelesaian seara eksak dari sistem sulit ditemukan.
Melaluimetodelinearisasi,sistempersamaandiferensialnonlineardapatdidekati
dengansistempersamaandiferensiallinearyangsesuai. MenurutHaledanKoak
[8℄, tipekestabilandari titik-titikkesetimbanganpadasistem lineardapat
diten-tukandenganmenarinilaieigendarimatrikskoesiennya. Weisstein[11℄
meny-atakan bahwa nilai eigen adalah nilai skalar yang berhubungan dengan sistem
persamaan linear, dikenal sebagai akar karakteristik. Pada sistem autonomous
nonlinear, misal x adalah titik kesetimbangan, f=(f
1 ;f
2 ;:::;f
n ) 2 C
1
adalah
fungsi turunan parsial pertama kontinu pada C 1
dan matriks variasional
(Jao-bian)dari titik f dititik xdinotasikan sebagai
J(x )= 0 B B B B B B f 1 x 1 (x) f 1 x 2
(x) ::: f 1 x n (x) f2 x1 (x) f2 x2
(x) ::: f2 xn (x) . . . . . . . . . . . . fn x1 (x) fn x2
(x) ::: fn xn (x) 1 C C C C C C A ;
makaJ(x) digunakanuntuk menganalisiskestabilandarisistem persamaan
dife-rensial nonlinear, sesuai dengan denisi yang telah dikemukakan oleh Hale dan
Koak [8℄.
Denisi 2.1.3. Jika x adalah titik kesetimbangan dari x_ = f(x) maka sistem
persamaan diferensial linear
_
x=J(x)(x)
disebut sistem persamaan variasional linear atau linearisasi dari f di titik
nilai eigen dapat dijelaskandengan Teorema 2.1.1, Teorema 2.1.2, dan Teorema
2.1.3.
Teorema 2.1.1 (Hale dan Koak [8℄). Misal f adalahfungsi C 1
. Jika semua
nilai eigenpadamatriks Jaobian J(x) mempunyai bagian realnegatif makatitik
kesetimbangan x dari sistem persamaan x_ =f(x) adalahstabil asimtotik.
Teorema2.1.2(HaledanKoak[8℄). Misal f adalahfungsiC 1
. Jika
sekurang-kurangnya satu dari nilai eigen pada matriks Jaobian J(
x) mempunyai bagian
real positif maka titik kesetimbangan x dari sistem persamaan x_ = f(x) adalah
tidak stabil.
Teorema 2.1.3 (Bellomo dan Preziosi [1℄). Misal f
i
diferensiabel kontinu
tingkat dua,
i
merupakannilai eigendarimatriksJaobianyang dievaluasi pada
titik kesetimbangan, dan <e(
i
) bagian real dari
i ,
1. jika untuk setiap i, <e(
i
)<0, maka x disebut stabil asimtotik
2. jika terdapat i, <e(
i
)>0, maka x disebut tidak stabil.
Misal
1 dan
2
adalahnilaieigen darimatriks variasionalJ(x), makatipe
kestabilandari titik kesetimbanganx dapatdilihat pada Tabel 2.1.
Tabel2.1. Tipe Kestabilan dari TitikKesetimbangan
Nilai dari 1 dan 2 Tipe Kestabilan 1 ; 2
>0 Node Takstabil
1 ;
2
<0 Node Stabilasimtotik
1
<0<
2
Titiksadel Takstabil
2
<0<
1
Titiksadel Takstabil
1 ; 2 kompleks, <e( 1
) <0 Spiral Stabilasimtotik
1 ; 2 kompleks, <e( 1
) >0 Spiral Takstabil
1 ; 2 kompleks, <e( 1
bar 2.1.
y
x
y
x
(a)Node Stabil (b) Node TakStabil
1 ;
2
<0
1 ;
2 >0
y
x
y
x
()Titik Sadel (d)TitikPusat
1
<0<
2
atau
2
<0<
1
1 ;
2
kompleks, <e(
1 ) =0
y
x
y
x
(e) SpiralStabil (f) Spiral TakStabil
1 ;
2
kompleks, <e(
1
) <0
1 ;
2
kompleks, <e(
1 )>0
Kestabilan yang dihasilkan pada metode linearisasi, hanya mampu
men-jelaskan kestabilan lokal suatu sistem. Sedangkan kestabilan global dapat
diin-vestigasi dengan menggunakan titik kesetimbangan yang stabil lokal, sehingga
untuk membuktikan sistem tersebut stabil global, harus dibuktikan dengan ada
atau tidakadanyalimit yle.
Adanyalimit yle padasuatusistemmenandakanadanyakestabilanlokal.
Artinyajikasistem persamaan diferensialmempunyailimit yle padasuatu
do-main D di persekitaran titik kesetimbangan yang stabil asimtotik maka titik
tersebutadalahstabilasimtotiklokal. Sebaliknyajikatidakditemukanlimityle
di persekitaran titik stabil asimtotikmaka titiktersebut adalah stabil asimtotik
global. Denisi2.1.4menurut BellomodanPreziosi[1℄menjelaskantentanglimit
yle.
Denisi 2.1.4. Suatu orbit x (t)yang enderungmenuju ke kurvatertutup
dino-tasikan dengan disebut limit yle jika terdapat periode T > 0 sedemikian
hingga barisan titik x(t+nT), n2N enderungke .
Sementara untukmenyelidikiada tidaknya limit yle, digunakanTeorema
2.1.4 (Teorema Poinare-Bendixson) yang menjelaskan perubahan tanda pada
gradiensuatu sistem.
Teorema 2.1.4 (Bellomodan Preziosi[1℄). Diperhatikansistemautonomous
_
x(t)=f(x)
dan domain D dalam bidang(x
1 ;x
2 ).
Jika
Of = f
1
x
1 +
f
2
x
2
adalah kontinu dan tidak berubah tanda dalam D, maka sistem tersebut tidak
Larry [7℄mengilustrasikanreaksi antara enzim dan substrat sebagai
Enzim + Substrat ! Enzim Substrat Kompleks ! Enzim + Produk
k
1
k
3
E + S
ES
E + P
k2
makaV adalahkeepatanreaksiantaraenzimdansubstratolehMihaelisMenten
yang diformulasikandalambentuk
V = V
maks [S℄
K+[S℄
; (2.2)
denganV
maks
adalahlajupembentukanproduk(enzimdansubstrat) maksimum,
[S℄ adalah konsentrasi substrat, K = k2+k3
k1
adalah konstanta Mihaelis yang
diartikan sebagai konsentrasi substrat dimana laju pembentukan produk
sete-ngah maksimum. Oleh karena itu, persamaan (2.2) disebut dengan persamaan
Mihaelis-Menten.
2.2 Kerangka Pemikiran
Dari landasan teori yang telah dijelaskan sebelumnya, suatu sistem
per-samaandiferensialnonlineardapatdiarititikkesetimbangannya(Denisi2.1.1).
Titik kesetimbangan berhubungan erat dengan kestabilan suatu sistem.
Meng-ingat sistem persamaan diferensial nonlinear merupakan sistem yang sulit
dite-mukanpenyelesaiansearaeksaknya,makadiperlukansuatumetodeuntuk
men-ari kestabilan sistem. Melalui metode linearisasi, sistem persamaan
diferen-sial nonlinear dapat didekati dengan sistem persamaan diferensial linear yang
sesuai (Denisi 2.1.3). Hasil yang dapat diperoleh dari metode ini adalah lokal
khusus untuk sistemyang determinanmatriks variasionalnyatidaksama dengan
0. Kestabilanlokalpadasuatusistemditandaidenganadanyalimit yle artinya
jika sistem mempunyai limit yle pada suatu domain D di persekitaran titik
kestabilan global di titik tersebut. Jika tidak ditemukan limit yle pada suatu
domain D di persekitaran titik kesetimbangan yang stabil maka titik tersebut
adalah stabil global. Sementara untuk menyelidiki ada tidaknya limit yle,
di-gunakan TeoremaPoinare-Bendixson (Teorema2.1.4).
Dari fakta-fakta di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa dapat disusun
syarat ukupuntukkestabilanglobaldariberbagaijenismodelsistempersamaan
diferensial nonlinear. Dengan demikian layak untuk diari syarat ukup dari
kestabilansistem mangsa-pemangsadenganresponfungsional Mihaelis-Menten
beserta simulasi dari hasil analisis dan interpretasinya seara biologi.
Bebera-pa kondisi diperlukan pada sistem mangsa-pemangsa (1.1) agar sistem ini
ber-ada pada keadaan stabil global, yaitu memilih dan mengkondisikan
parameter-parameter yang mempengaruhi sistem agar memenuhi syarat kestabilan global
METODE PENELITIAN
Metodepenelitianyangdigunakandalampenulisanskripsiiniadalah
meto-de literaturyaitu denganara mempelajarikarya-karya ilmiahyangtelah
dihim-pun, dengan pengamatan dan hasil studi. Hasil penelitian dituangkan dan
di-jabarkan seara benar dan rini yang disajikan dalam bentuk denisi maupun
teorema, kemudian disimulasikan dengan menggunakan software Mathematia
5.0. Langkah-langkahpenelitiandituliskansebagai berikut.
1. Menginvestigasi titikkesetimbangandari modelmangsa-pemangsa(1.1).
2. Menentukan kestabilantitikkesetimbangandengan metode linearisasi.
3. Menentukan syarat ukup kestabilan global sistem (1.1) dengan
menggu-nakanTeorema Poinare-Bendixson.
4. Simulasikasusuntukanalisiskestabilanglobaldarisistemmangsa-pemangsa
(1.1).
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Konstruksi Model
Padabagianinidikonstruksikanulangsistem(1.1). Model
mangsa-pemang-sa tipe Lotka-Volterra dengan respon fungsional Mihaelis-Menten menjelaskan
suatu ekosistem yang terdiri dari tiga komponen yaitu tanaman, mamalia
ke-il dan karnivora pemakan mamalia keil. Keseimbangan ekosistem ini dapat
dikontrol apabilapersediaan tanamanmemadai.
4.1.1 Respon Fungsional Mihaelis-Menten
Sebagaimana telah dituliskan dalam [2℄, Holling mengklasikasikan 3
je-nisresponfungsional,salah satunya adalah respon fungsionalMihaelis-Menten.
Respon fungsional Mihaelis-Menten menjelaskan tentang respon fungsional
de-ngan peningkatan laju penangkapan mangsa oleh pemangsa disertai penurunan
lajukepadatanmangsasampaikondisipemangsamenjadikonstanatau
mengala-mikejenuhan.
Persamaan(2.2)yangdiperolehpadalandasanteorimerumuskanpersamaan
respon fungsional Mihaelis-Menten. Persamaan tersebut dapat dituliskan
kem-balisebagai
m
a =
pm
h+m ;
dengan m
a
adalah jumlah mangsa yang dikonsumsi pemangsa per satuan
wak-tu (= V), p adalah laju konsumsi maksimum pemangsa (= V
maks
), h adalah
konstanta setengah jenuh (= K), dan m adalah populasi mangsa(= [S℄).
Kon-stanta setengah jenuh h diartikan sebagai laju konsumsi maksimum pemangsa
misalnya ekosistem laut dan danau.
4.1.2 Laju Populasi Mangsa dan Pemangsa
Mangsa pada sistem (1.1) disebut dengan murat dan pemangsa disebut
dengan vekton. Laju populasi murat dengan ketiadaan vekton tumbuh seara
eksponensial dan tak terbatas dalam bentuk
dm
dt
=mr;
denganradalahangkapertumbuhanintrinsikmangsa. Lajupopulasimurat
men-jadifungsilogistikkarena sumberdaya alamyangterbatas, dan dapatdituliskan
sebagai
dm
dt
=mr(1 m
A );
dengan A adalah arrying apaity. Carrying apaity berhubungan dengan
ketersediaan tanamansebagaikonsumsi murat. Di pihak lain, laju populasi
mu-rat dengan adanya vekton dipengaruhi oleh respon fungsional Mihaelis-Menten
dirumuskan sebagai
dm
dt =
mv
h+m :
dengan adalah laju penangkapan mangsa oleh pemangsa. Dari uraian diatas,
dapat dirumuskanmodellaju populasimurat yaitu
dm
dt
=mr
1 m
A
mv
h+m ;
A;;h;r>0:
ResponfungsionalMihaelis-Mentenpadapersamaandiatasberpengaruh untuk
memperkeillaju populasi murat denganadanya vekton,sehingga pada laju
po-pulasimurat searakeseluruhan,responiniakanmenaikkanlajupopulasimurat.
Vekton tumbuh dengankontribusidari murat dandipengaruhioleh respon
fungsionalMihaelis-Menten yang dituliskansebagai
dv
dt =
bmv
jugadipengaruhiolehkematianvektontanpahadirnyamurat,dirumuskansebagai
dv
dt
= v;
denganadalahangkakematianpemangsa. Sehinggalajupopulasivekton dapat
dituliskan sebagai
dv
dt =
bmv
h+m v;
b;;h >0:
Pada persamaan laju populasi vekton, pengaruh respon fungsional
Mihaelis-Mentenadalahmemperkeillajupopulasivekton yangtumbuhdengankontribusi
darimurat tanpadipengaruhilajukematiannya. Olehkarenaitu, responiniakan
berpengaruh memperkeillaju populasi vekton seara keseluruhan.
Dari uraianlaju populasimangsa dan pemangsa, dapat didenisikan
kem-balimodel mangsa-pemangsadengan respon fungsionalMihaelis-Menten sesuai
denganpersamaan (1.1).
Lemmaberikutmenjelaskanperilakupenyelesaiansistemmangsapemangsa
denganrespon fungsionalMihaelis-Menten.
Lemma 4.1.1. Penyelesaian dari sistem (1.1) adalahpositif.
Bukti: Dari persamaan laju populasi murat diperoleh
dm m = r 1 m A v
m+h dt Z t 0 dm m = Z t 0 r 1 m(t) A v(t)
h+m(t)
ds
ln m(t) lnm(0)=exp " Z t 0 r 1 m(t) A v(t)
h+m(t)
ds #
m(t)=m(0)e h
;h = Z t 0 r 1 m(t) A v(t)
h+m(t)
ds:
Karena m(0) > 0 dan e p
dv
v =
bm
h+m dt Z t 0 dv v = Z t 0 bm(t)
h+m(t)
ds
lnv(t) lnv(0)=exp " Z t 0 bm(t)
h+m(t)
ds #
v(t)=v(0)e i
;i= Z
t
0
bm(t)
h+m(t)
ds:
Karenav(0)>0makav(t)adalahpositifuntuksetiapt 0. Jaditerbuktibahwa
penyelesaiansistem(1.1)adalahpositif.
4.2 Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa (1.1) adalah titik di mana
lajumangsadan pemangsaadalah nol,sehingga populasimangsadan pemangsa
dalam titik tersebut adalah konstan. Sistem persamaan dierensial nonlinear
(1.1) dapat dituliskansebagai
dm dt =f 1 (m;v) dv dt =f 2 (m;v); denganf 1
(m;v)=mr 1 m A mv h+m dan f 2
(m;v)= bmv
h+m v.
Berdasarkan Denisi 2.1.1, titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa
(1.1) diapai apabila
f
1
(m;v)=0
f
2
(m;v)=0:
(4.1)
Titikkesetimbangan dari persamaan (1.1) dan (4.1)adalah
1. E
1
=(0;0)
ketidakhadiran kedua spesies dalam ekosistem dinyatakan oleh titik
kese-timbanganE
1
. Karenaketidakhadirantersebut,makatidakperludilakukan
analisis dititik E
2
titik kesetimbangan E
2
menyatakan murat hidup bebas pada arrying
a-paity A, dan ketidakhadiran vekton dalamekosistem.
3. E 3 =(m ;v
) denganm = h b dan v =
bhr A(b ) h
A(b ) 2
, b>.
kedua spesies hadir dalam ekosistem denganjumlah tertentu yaitu E
3 .
Pada pembahasan selanjutnya laju pertumbuhan maksimum pemangsa b selalu
diasumsikanlebih besar dari lajukematianpemangsa.
4.3 Analisis Kestabilan
Metode linearisasi digunakan untuk analisis kestabilan sistem
mangsa-pemangsa (1.1). Metode inihanya mampumenjelaskan kestabilan sistem seara
lokal.
BerdasarkanDenisi2.1.3diperolehmatriksvariasionaldarisistem
mangsa-pemangsa (1.1) yaitu:
J = 0 J 11 J 12 J 21 J 22 1 A (4.2) denganJ 11 =r(1 2m A ) hv (h+m) 2 , J 12 = m h+m ,J 21 = bhv (h+m) 2
, dan J
22 =
bm
h+m .
Dengan metode linearisasi yang mengau pada matriks variasional (4.2),
kestabilan dari titik-titik kesetimbangan sistem mangsa-pemangsa (1.1)
diten-tukan oleh nilai eigen dari matriks variasional yang dievaluasi di titik tersebut.
Tipekestabilandari titik kesetimbangantelah dijelaskanpada Tabel 2.1dengan
1
dan
2
adalahnilaieigen dari sistem (1.1).
4.3.1 Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan E
2
SebelumdilakukananalisistitikkesetimbanganE
2
,akandilakukananalisis
dititikE
1
. Jikamatriks variasional(4.2)dievaluasidi titikE
1
=(0;0)diperoleh
1 1 2 2 1
makatitikkesetimbangan E
1
merupakantitiksadel dan menurut Teorema 2.1.2,
makaE
1
tidak stabil.
Sedangkan dititik kesetimbangan E
2
diperoleh matriks variasional
J(E 2 )= 0 r A A+h 0 Ab A+h 1 A : J(E 2
) memberikan nilai eigen
1
= r dan
2 =
Ab
A+h
. Agar E
2
merupakan
titik kesetimbanganyang stabil asimtotikjikanilaieigen
2
<0 yaitu
A< h
b
:
Dalam halini titik kesetimbangan E
2
adalah node dan akibatnya menurut T
eo-rema 2.1.1 titikE
2
adalah stabil asimtotik.
4.3.2 Kestabilan Lokal di Titik Kesetimbangan E
3
Jikamatriks variasional (4.2) dievaluasi di titikE
3
, makadiperoleh
J(E 3 )= 0 r b hr(b+) Ab(b ) b r(b ) hr A 0 1 A :
Nilaieigen memenuhi persamaan karakteristik
2 r b
hr(b+)
Ab(b ) + r b (b ) h A =0 2 a 1 +a 2 =0; (4.3) dengana 1 = r b hr(b+) Ab(b ) dan a 2 = r b (b ) h A . Agar E 3
merupakan titik kesetimbangan yang stabil asimtotik maka nilai eigen
darimatriksvariasionaltersebutharusmemenuhisyarat
1 +
2
<0dan
1
2 >0.
Dari syarat pertamadiperoleh
A<
h(b+)
b
;
sedangkan dari syarat kedua diperoleh
A> h
b
h
b
<A<
h(b+)
b
:
(4.4)
Dipihak laindari (4.3) diperoleh nilaieigen
1 dan 2 yaitu 1 = r 2b 1
h(b+)
A(b ) p a 3 2 = r 2b 1
h(b+)
A(b ) + p a 3 (4.5) dengana 3 = 1 h(b+) A(b ) 2 4b r b h A .
Dari (4.5) terdapat dua kemungkinan kasus yaitu
1 dan 2 bilangan kompleks dan 1 dan 2 bilanganreal. Kasus 1: 1 dan 2
adalahbilangan kompleks apabila a
3
<0. Oleh karena itu
dari (4.5) diperoleh
1
2 =0:
Dari fakta diatas dan denisia
3
makadiperoleh
1
h(b+)
A(b ) 2 4b h b h A =0:
Persamaan terakhirakan menghasilkannilaiA yaitu
A 1 = h(a 4 +a 5 ) a 6 dan A 2 = h(a 4 a 5 ) a 6 ; dengan a 4
=r(b+) 2b(b ), a
5 =2b q (b ) 2 +r(b 2 2 )
, dan a
6 =
(b ) 4b(b )+r
.
Lemma 4.3.1. Bilangan A
1
menyebabkan sistem (1.1) tidak bermakna seara
biologi, sedangkan bilangan A
2
memberikan makna seara biologi.
Bukti: Untuk membuktikan A
1
tidak bermakna seara biologi, ukup
ditun-jukkanbahwa A
1
<0. Kemungkinan A
1
<0dengan memperhatikannilaia
4 ;a 5 ; dan a 6
1
a
4
a
5
a
6
Syarat
1. positif positif negatif
2r(b+)>4b(b ) r <4b(b )
2. negatif positif positif a
4 >a
5
2r(b+)<4b(b ) r >4b(b ) r>4b(b )
3. negatif positif negatif a
4 <a
5
2r(b+)<4b(b ) r <4b(b ) r<4b(b )
Penyelesaian A
1
<0dari Tabel4.1memberikankemungkinan interval
1. r <4b(b )<2r(b+)
2. 2r(b+)<4b(b )<r
3. r <2r(b+)<4b(b ).
Syarat (2)tidakberlaku karena b;;r>0, sehinggahasil A
1
<0 diperoleh pada
kemungkinaninterval (1)dan (3). Jaditerbukti bahwa nilaiA
1
tidakbermakna
seara biologi.
UntukmembuktikanA
2
bermaknasearabiologi,ukupditunjukkanbahwa
A
2
> 0. Dengan memperhatikan nilai a
4 ;a
5
; dan a
6
maka dapat ditunjukkan
kemungkinanA
2
>0 oleh Tabel 4.2.
Tabel4.2. Kemungkinan NilaiA
2 >0
a
4
a
5
a
6
Syarat
1. positif positif positif a
4 >a
5
2r(b+)>4b(b ) r >4b(b ) r>4b(b )
2. positif positif negatif a
4 <a
5
2r(b+)>4b(b ) r <4b(b ) r<4b(b )
3. negatif positif negatif
2
1. 4b(b ) <r <2r(b+)
2. r <4b(b )<2r(b+)
3. r <2r(b+)<4b(b )
denganb;;r >0,intervaldiatasmemberikanhasilA
2
>0. Jaditerbuktibahwa
nilaiA
2
bermakna seara biologi.
Dari(4.4) nilaiA
2
terletak pada interval h b <A 2 < h(b+) b . Kasus 2: 1 dan 2
adalahbilanganreal apabila a
3
>0. Dengan demikiandari
(4.5) diperoleh 1 + 2 =0:
Dengan memperhatikan(4.5) dan persamaan di atas, akan diperolehnilaiA
3
A
3 =
h(b+)
b
:
Sehingga sesuaidengansyaratintervalyang diperolehpada(4.4), makaA
3 tidak
dapat digunakandalam sistem (1.1).
Analisisdapat dilakukandititik kesetimbanganE
3
menggunakan(4.4)
de-ngan dua interval yang berbeda yaitu E
31
dan E
32
. Titik E
31
merupakan titik
E
3
dengan interval h
b
< A < A
2
dan E
32
merupakan titik E
3
dengan interval
h
b
< A < A
2
. Di titik E
31
menghasilkan nilai
1
< 0 dan
2
< 0, sehingga
titik kesetimbangan E
31
adalah node dan menurut Teorema 2.1.1 titik tersebut
adalahstabilasimtotik. SedangkandititikE
32 ,
1 dan
2
yangdihasilkanadalah
kompleks serta <e(
1
) < 0. Oleh karena itu menurut Teorema 2.1.3 dapat
di-simpulkandi titik kesetimbanganE
32
adalahspiral dan stabil asimtotik.
4.4 Analisis Kestabilan Global
Kestabilanglobalpada sistemmangsa-pemangsa(1.1)dapat diarimelalui
titikkesetimbanganyang stabillokal. Penggunaan TeoremaPoinare-Bendixson
akanmembuktikanada atautidakadanyalimit yle yang sangatpenting untuk
tetapijikatidakterdapatlimityle,makakestabilanyangdiapaiadalahglobal.
Dari Teorema Poinare-Bendixson serta f
1 dan f
2
yang telah didenisikan
pada awal pembahasan, diperoleh gradienseagai berikut
Of= f 1 m + f 2 v
Of=r 1 2m A hv
(h+m) 2
+ bm
h+m
: (4.6)
Analisis kestabilan global untuk E
2
dan E
3
dapat diinvestigasi dengan
menggu-nakanpersamaan (4.6).
4.4.1 Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan E
2
Gradienpadapersamaan(4.6)dievaluasidititikkesetimbanganE
2
dengan
syarat A< h
b
akanmenghasilkan
Of=r 1 2A A 0
(A+h) 2
+ Ab
A+h
< r+ b( h b ) ( h b )
< r+
< r:
Tampak bahwa nilai m;v > 0, maka Of tidak akan berubah tanda. Akibatnya
titikkesetimbangan E
2
tidakmempunyailimit yle. Dengan demikian menurut
Teorema Poinare-Bendixson di titik kesetimbangan E
2
= (A;0) adalah stabil
global. Akan tetapi kondisi stabil global yang diperoleh, kurang diharapkan
de-ngan ketidakhadiranvekton dalamekosistem.
4.4.2 Kestabilan Global di Titik Kesetimbangan E
3
Jikagradien dievaluasi di titikkesetimbangan E
3 ,
Of=r 1 2m A mv
(h+m) 2
+ bm
m+h =r 1 2h A(b )
r A(b ) h
Ab(b )
=ra
dengan a 7 = 1 2h A(b )
A(b ) h
Ab(b )
. Kestabilan global dapat diinvestigasi
pada titikE
3
dengan intervalA yang berbeda.
Di titik E
31
dengan syarat h
b
< A < A
2
, maka E
31
tidak memuat limit
yle. Untuk menjelaskan hal ini ukup ditunjukkan Of tidak berubah tanda
pada intervalA. Dari syarat inidiperoleh
r<Of<ra
7 :
Untuk membuktikan Of tidak berubah tanda pada interval A, maka ukup
di-tunjukkana
7
<0, yaitu jika
1 2h A 2 (b ) <0; dan A 2
(b ) h
A
2
b(b )
>0:
Dari kedua syarat a
7
<0 akandiperoleh pertidaksamaan dalamA yaitu
h
b
<A< 2h
b
:
Interval untuk A pada pertidaksamaan di atas akan memberikan artibahwa Of
bernilainegatifuntukruaskanandankiri,sehinggaOftidakakanberubahtanda
untuk nilaim;v >0. Akibatnyatitik kesetimbanganE
31
tidakmempunyailimit
yle. Dengantidakadanya limit yle padatitikkesetimbanganE
31
,makatitik
tersebut stabil global.
DititikE
32
dengan syarat A
2
<A< h(b+)
b
, diperolehbatas Of adalah
ra
7
<Of <
r(b 2)
b+ :
Untuk membuktikan Of =
r(b 2)
b+
berubah tanda pada interval A, akan diambil
sembarangnilaib;>0 denganb >. Untukb 2<0 akandiperoleh
Of <
r(b 2)
b+ <0
dengan b;;r adalah konstanta-konstanta positif, diperoleh Of bernilai negatif.
Sedangkanuntuk b 2>0 akandiperoleh
Of >
r(b 2)
Untuknilaim;v >0,Ofakanberubahtanda,sehinggatitikkesetimbangan
E
32
stabil lokal.
4.5 Simulasi Kasus
Hasil analisis dari sistem murat dan vekton (1.1) akan disimulasikan
de-ngan nilai-nilai parameter yang telah ditentukan dengan menggunakan software
Mathematia 5.0. Pengambilan nilai-nilai = 20juta per tahun, b =4 juta per
tahun, = 8
5
juta per tahun, r =12 juta per tahun, dan h= 4 juta, ditentukan
oleh Clark [4℄ dengannilaiA yang sesuai.
Gambar4.1 menunjukkan laju populasimurat dan vekton dalamfungsiA,
pada interval0 sampai dengan h(b+)
b
=9:33.
2
4
6
8
0.5
1
1.5
2
2.5
POPULASI
A
M(garis) dan V(titik)
murat
vekton
LAJU
Gambar 4.1. Grak Laju Murat dan Vekton pada Interval 0<A< h(b+)
b
Awalnya, populasi murat berkembang tanpa adanya vekton. Pada titik
A = h
b
= 2:67, vekton mulai berkembang, namun populasi murat masih lebih
banyak. Pada titik A = h(b+)
b
= 9:33, populasi vekton akan mulai berkembang
lebih pesat walaupun banyak murat yang terlahir, namun semakin banyak pula
yang dimangsa oleh vekton. Dengan pertambahan nilai A, vekton akan lebih
banyak berkembang.
Intervaluntuk A disimulasikanpada 0<A< h
b dan
h
b
<A< h(b+)
b .
1. Interval 0 < A < h
b
. Dengan mengambil interval 0 < A < h
denganmengambil A=2adalah
dm
dt
=12m
1 m
2
20mv
4+m
dv
dt =
4mv
m+4 8
5 v:
Program DynPa dalam Mathematia 5.0yang diperkenalkan oleh Clark [4℄,
di-gunakan untuk menggambarkan bidang fase. Gambar 4.2 menunjukkan bidang
fase pada E
2
denganmengambilA =2.
Gambar 4.2. BidangFase pada E
2
dengan A=2
Pada Gambar4.2terlihatbahwatrayektoriberbentuk nodedan arahnyamenuju
ke titik kesetimbangan (2;0), maka titik kesetimbangan E
2
dengan interval 0 <
A< h
b
adalahstabil. Dengan tidakadanya limit yle padaGambar 4.2, maka
kestabilanyang diperoleh dititik kesetimbanganE
2
adalah kestabilan global.
Pada kasus ini,kestabilanglobaldiapaipadasaat murat hidup bebas
tan-pa adanya vekton. Hal ini menunjukkan bahwa tanpa adanya pemangsa, suatu
ekosistem dapat selalu terkendali denganarryingapaity A yang sesuai.
2. Interval h
b
< A < h(b+)
b
. Pada interval ini, dihasilkan kestabilan yang
berbeda yaitu untukinterval h
b
<A<A
2
akanmenghasilkankestabilanglobal,
dan kestabilanlokal untukinterval A
2
<A< h(b+)
b .
Kestabilan global sistem (1.1) akan terapai dengan mengambil interval
h
b
< A < A
2
dm
dt
=12m
1 m
4
20mv
4+m
dv
dt =
4mv
4+m 8
5 v:
BidangFase pada E
31
dengan mengambilA =4 ditunjukkanpada Gambar 4.3.
Gambar 4.3. Bidang Fase pada E
31
dengan A=4
Gambar 4.3 menjelaskan bahwa trayektori berbentuk node dan menuju ke titik
kesetimbangan (2:67;1:33), sehingga titik kesetimbangan E
31
dengan interval
h
b
< A < A
2
adalah stabil. Kestabilan global juga dipenuhi karena tidak
didapatkanlimit yle pada Gambar 4.3.
Pada kasus ini, populasi dikatakan setimbang dan stabil jika murat dan
vekton bersama-samahadirdalamekosistemdenganarryingapaity yangtelah
ditentukan sebelumnya. Kestabilan global yang dihasilkan pada kasus ini akan
menyebabkan ekosistem dapat dikontrol seara luas, artinya ekosistem dalam
keadaanyang terkendali untuk waktu yang sangatlama atau t !1.
IntervalA
2
<A < h(b+)
b
atau 4:80<A<9:33 diambilsehinggakestabilan
lokalsistem(1.1) akanterapai. Modelyang diperolehdenganmengambilA=6
adalah
dm
dt
=12m
1 m
6
20mv
4+m
dv
dt =
4mv
4+m 8
5 v:
Gambar 4.4 menunjukkan bidang Fase pada E
32
dengan mengambil A = 6.
Gambar tersebut memperlihatkan bahwa trayektori berbentuk spiral dan
32
terlihat pada interval A
2
<A < h(b+)
b
. Akan diambil nilaiA yang dapat
mem-perlihatkanadanya limit yle, yaitu di persekitaran batas atas dari interval A,
A=9. Model yang diperoleh untuk A=9 adalah
dm
dt
=12m
1 m
9
20mv
4+m
dv
dt =
4mv
4+m 8
5 v:
Gambar 4.5menunjukkan trayektori modelmangsa-pemangsauntukA =9.
Gambar 4.5. Bidang Fase pada E
32
dengan A=9
PadaGambar4.5terlihatbahwatrayektoriberbentukspiraldanarahnyamenuju
ke titik kesetimbangan (2:67;2:81), dan limit yle dapat terlihat pada interval
A
2
<A< h(b+)
b
. Oleh karena itutitik kesetimbangan E
32
adalahstabil lokal.
bilan yang diperoleh adalah lokal, yang berarti ekosistem hanya dapat dikontrol
pada waktu tertentu.
Gambar4.5memperlihatkanadanyalimityle,sehinggadapatditelitilebih
lanjutapa yang terjadi padakasus limit yle tersebut. Limit yle memberikan
periode waktu tertentu sesuai dengan parameter arrying apaity A. Periode
adalah waktu yang diperlukan limit yle untuk menempuh putaran tersebut.
Periodeinidapatdigunakanuntukmenentukanwaktudanjumlahpopulasimurat
dan vekton. Dengan menggunakan Program DynPa [4℄ akan diperoleh periode
dan jumlah populasi yang disajikanpada Tabel 4.3.
Tabel4.3. Periode dan PopulasiSpesies pada Limit Cyle
A Periode(tahun) Jumlah Murat(juta) JumlahVekton (juta)
9 2:24 2:63 2:70 2:80 2:83
10 2:28 1:17 5:05 2:16 3:53
11 2:44 0:61 6:94 1:74 3:97
12 2:60 0:33 8:52 1:44 4:33
13 2:76 0:18 9:96 1:22 4:68
14 2:90 0:10 11:29 1:05 5:02
15 3:06 0:05 12:56 0:91 5:36
20 3:82 0 18:45 0:48 7:05
30 5:30 0 29:33 0:15 10:44
Dari Tabel 4.3 terlihat bahwa semakin besar nilai A maka periode yang
dibutuhkansemakin lama. Peningkatan nilaiA juga menyebabkaninterval
pop-ulasi kedua spesies semakin membesar sampai salah satu populasi akanpunah.
Populasi kedua spesies pada Tabel 4.3 dapat digambarkan sebagai limit
yle yangsemakin membesar. Pada Gambar4.6terlihatbahwalimit yle
den-gan nilai arrying apaity A yang semakin membesar mengakibatkan interval
populasi murat dan vekton semakin membesar. Dengan membesarnya interval
populasikeduaspesies, makapadasuatusaat menyebabkankepunahanterhadap
spesies yang ada, dalam kasus ini murat mengalamikepunahan terlebih dahulu.
Kestabilan dari limit yle dapat pula dijelaskan dengan menggunakan
Mathematia 5.0 yaitu dengan menunjukkan arah trayektori pada limit yle.
Interval untuk A diambilpadapersekitaran batasatas diE
32 yaitu
h(b+)
b
=9:33
untuk mengetahui kestabilan pada persekitaran tersebut. Jika arah trayektori
menjauhi titik E
32
maka kondisi tidak stabil. Jika arah trayektori mendekati
titik E
32
makakondisi dikatakanstabil.
Arahtrayektoriuntuklimit yle ditunjukkanpadaGambar4.7. Padasaat
nilai A = 9 arah trayektori menuju ke titik kesetimbangan sampai dengan A =
9:3,berartikondisiekosistemmasihstabil. Populasikeduaspesiesdalamkeadaan
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.1
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.2
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.3
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.4
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.5
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.6
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.7
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.8
1
2
3
4
5
6
m
1
2
3
4
5
Mangsa
-
Pemangsa A
=
9.9
Gambar 4.7. Limit Cyle dengan ArahTrayektori
setelah melewati A = 9:3, arah trayektori akan menjauhi titik kesetimbangan,
kondisi mulai dikatakan tidak stabil artinya kondisi populasi murat dan vekton
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan, maka dapat disimpulkan bahwa kestabilan
glo-balsistemmangsa-pemangsadenganresponfungsionalMihaelis-Mentenbeserta
interpretasinya yaitu
1. kestabilan global diapai pada titik kesetimbangan E
2
= (A;0) untuk
in-terval 0 < A < h
b
dan titik kesetimbangan E
3 = (m
;v
) untuk interval
h
b
<A<A
2
, denganb >
2. di titik kesetimbangan E
2
akan memberikan interpretasi biologi yaitu
ke-tiadaan pemangsa akan mengakibatkan ekosistem menjadi stabil. Di titik
kesetimbangan E
3
memberikan makna bahwa kehadiran mangsa dan
pe-mangsa dengansyarat-syarat tertentu akanmengakibatkankestabilan
glo-bal terapai. Kestabilan global memberikan interpretasi bahwa kehidupan
ekosistem dalamkeadaanterkendaliseara luas dalamwaktuyang tak
ter-batas.
5.2 Saran
dapat digunakan beberapa metode lain untuk menentukan syarat ukup
kestabilan global dari titik kesetimbangan suatu sistem yaitu dengan
menggu-nakanmetode Liapunov dan Kriteria Dula. Namun terdapat kelemahan dalam
kedua metode ini, yaitu tidak mudah menentukan fungsi Liapunov dan fungsi
[1℄ Bellomo,N and L. Preziosi,Modelling Mathematial Methods and Sienti
Computation, CRC Press, In.Florida, 1995.
[2℄ Berryman, Alan A., Predator Satiation: Funtional Response,
http://www.me.iteseer.ist.psu.edu, 1998.
[3℄ Campbell,Neil A., Jane B. Reee, and Lawrene G.Mithell, Biology, fth
ed., California: Benjamin/Cummings,1999.
[4℄ Clark, Alfred Jr., A Dynamial Systems Pakage for Mathematia,
http://www.me.rohester.edu/ lark/dynpa.html,2003.
[5℄ Farlow, S. J., An Introdution to Dierential Equation and Their
Applia-tions, New York: MGraw Hill In., 1994.
[6℄ Finizio,N. and G.Ladas, Ordinary Dierential Equationswith Modern
Ap-pliation, Wadsworth In., 1982.
[7℄ Larry, G., More Mehanisms A Model of Enzyme Kinetis,
http://www.physis.upenn.edu/ourses/gladney/mathphys /subs etion4.html,
1995.
[8℄ Hale,J.K.and H. Koak,Dynamis andBifurations,New York:
Springer-Verlag, 1996.
[9℄ Hsu, S. B., Global Stability for A Class of Predator-prey Systems, SIAM
Journal App. Math 36(1995), 763{783.
