PENDUGAAN NILAI EKSTRIM MENGGUNAKAN SEBARAN
CHAMPERNOWNE TERMODIFIKASI, SEBARAN PARETO
TERAMPAT, DAN NILAI GABUNGAN
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
MUHAMMAD HAFID
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan (Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor) adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Agustus 2013
Muhammad Hafid
ABSTRAK
MUHAMMAD HAFID. Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor). Dibimbing oleh AJI HAMIM WIGENA dan ANIK DJURAIDAH.
Curah hujan ekstrim dapat memberikan dampak buruk terhadap aktivitas manusia. Dampak buruk berupa kegagalan produksi di sektor pertanian dan perkebunan dapat diantisipasi dengan menduga curah hujan ektrim yang mungkin terjadi di waktu yang akan datang. Penelitian ini bertujuan membandingkan pendugaan curah hujan ekstrim menggunakan sebaran Champernowne termodifikasi dan sebaran Pareto terampat (GPD), serta menentukan bobot optimum untuk pendugaan nilai ekstrim gabungan. Sebaran Champernowne termodifikasi memiliki pola sebaran yang konvergen terhadap GPD dengan fungsi sebaran terdiri dari 3 parameter yang menggambarkan pusat data, keragaman, dan karakteristik ujung sebaran. Sedangkan GPD terdiri dari 2 parameter yang menggambarkan keragaman dan karakteristik ujung sebaran (berekor panjang). Data yang digunakan adalah data curah hujan harian stasiun Darmaga Bogor selama periode 1985-Juni 2011 yang diperoleh dari Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika. Pendugaan GPD cenderung bias ke atas sedangkan pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke bawah. Penggabungan kedua nilai dugaan berdasarkan pembobotan menghasilkan dugaan nilai ekstrim yang lebih akurat. Peramalan jangka waktu 1, 2, dan 3 bulan ke depan sangat baik diduga berdasarkan sebaran Champernowne termodifikasi, sementara peramalan 6 dan 9 bulan ke depan sangat baik diduga berdasarkan GPD dan nilai gabungan.
Kata kunci: Champernowne termodifikasi, nilai gabungan, Pareto terampat
ABSTRACT
MUHAMMAD HAFID. Extreme Value Estimation Using Modified Champernowne Distribution, Generalized Pareto Distribution, and Combined Value (Case Study of Daily Rainfall Darmaga Bogor). Suvervised by AJI HAMIM WIGENA and ANIK DJURAIDAH.
Indonesian Agency for Meteorology Climatology and Geophysics. GPD estimation tends to over estimate while modified Champernowne distribution estimation tends to under estimate. The combine of the estimated value by weighted produces more accurate extreme value estimation. Forecasting results for 1, 2, and 3 month ahead show that the best prediction based on modified Champernowne distribution, while forecasting results for 6 and 9 month ahead is very well predicted by GPD and combined value.
PENDUGAAN NILAI EKSTRIM MENGGUNAKAN SEBARAN
CHAMPERNOWNE TERMODIFIKASI, SEBARAN PARETO
TERAMPAT, DAN NILAI GABUNGAN
(Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
MUHAMMAD HAFID
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan (Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor)
Nama : Muhammad Hafid
NIM : G14090011
Disetujui oleh
Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc Pembimbing I
Dr Ir Anik Djuraidah, MS Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Ir Hari Wijayanto, MSi Ketua Departemen
PRAKATA
Segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan hidayah-Nya karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih dalam karya ilmiah ini adalah Pendugaan Nilai Ekstrim Menggunakan Sebaran Champernowne Termodifikasi, Sebaran Pareto Terampat, dan Nilai Gabungan (Studi Kasus Curah Hujan Harian Darmaga Bogor).
Besar sekali bimbingan dan bantuan yang diperoleh sehingga penulis dapat menyusun karya ilmiah ini. Terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya penulis ucapkan kepada Bapak Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc dan Ibu Dr Ir Anik Djuraidah, MS sebagai dosen pembimbing yang telah memberikan arahan, saran, kritik, perhatian dan motivasi hingga selesainya karya ilmiah ini. Terima kasih penulis ucapkan kepada seluruh Dosen Departemen Statistika Institut Pertanian Bogor yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis. Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada semua pihak yang telah membantu penulis selama ini.
Penulis mengucapkan terima kasih secara khusus kepada Ayahanda Didi Kurnadi, Ibunda Tuti, adik-adik tercinta Intan, Ami Haniyah, Ima Halimah beserta seluruh keluarga besar yang senantiasa memberikan dukungan, do’a, semangat dan kasih sayang yang tidak terbatas untuk kesuksesan penulis.
Akhirnya penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat untuk memberikan kontribusi yang nyata terhadap pengembangan ilmu pengetahuan di bidang Statistika dan penerapannya di bidang Klimatologi.
Bogor, Agustus 2013
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR GAMBAR vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan 1
TINJAUAN PUSTAKA 2
Teori Nilai Ekstrim (Extereme Value Theory) 2
Sebaran Champernowne Termodifikasi 3
Tingkat Pengembalian (Return Level) 5
METODOLOGI 5
Data 5
Metode Penelitian 5
HASIL DAN PEMBAHASAN 7
Eksplorasi Data 7
Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi 8
Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan 11
Peramalan Curah Hujan Ekstrim 13
SIMPULAN 16
Simpulan 16
DAFTAR PUSTAKA 16
LAMPIRAN 17
DAFTAR TABEL
1 Pengelompokan data 5
2 Nilai dugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi 9
3 Nilai RMSE pada kuantil 0.9 untuk setiap kelompok data analisis 11 4 Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian 13
DAFTAR GAMBAR
1 Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi dengan parameter =52.50, =5.317, dan =0.000001 disertai
perubahan parameter , dan 4
2 Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi dengan parameter =52.50, =5.317, dan =0.000001 serta GPD dengan parameter =35.50, =22.704, dan =0.0546603 4 3 Persentase hari hujan mm tiap bulan periode 1985-2010 7 4 Diagram kotak garis curah hujan harian mm tiap tahun
periode 1985-2010 8
5 Plot curah hujan harian melebihi nilai ambang periode 1985-2008 8 6 Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne
termodifikasi ketika curah hujan diatas 78.97 mm dan 150 mm periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008 10 7 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD
dan sebaran Champernowne termodifikasi pada kuantil 0.9 periode
analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008 10
8 Plot RMSE dengan 0.285 pada periode analisis 1 Januari
1985-31 Desember 2008 11
9 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan
metode gabungan ( 0.285) pada kuantil 0.9 periode analisis
1 Januari 1985-31 Desember 2008 12
10 Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan periode tertentu jangka waktu 3 bulan ke depan 14 11 Nilai RMSEP hasil peramalan bulan ke depan 15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Uji Kolmogorov-Smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor 17 2 Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perubahan cuaca dan iklim secara ekstrim merupakan hal serius yang dapat memberikan dampak buruk terhadap berbagai aktivitas kehidupan. Salah satu unsur cuaca dan iklim yang mempengaruhi aktivitas kehidupan manusia dalam bidang pertanian dan perkebunan adalah curah hujan. Fenomena iklim berupa ekstrim kering (El Nino) dan ekstrim basah (La Nina) dapat menyebabkan terjadinya penyimpangan pola curah hujan dari kondisi normal (Djuraidah & Wigena 2011). Tingginya risiko kegagalan produksi di sektor pertanian dan perkebunan dapat dikurangi dengan menduga curah hujan ektrim yang mungkin terjadi di waktu yang akan datang menggunakan teori nilai ektrim.
Teori nilai ekstrim (Extereme Value Theory/EVT) dikembangkan untuk menganalisis kejadian nilai ekstrim. Metode pendugaan parametrik dalam EVT menggunakan sebaran nilai ekstrim terampat (Generalized Extreme Value Distribution/GEVD) dan sebaran pareto terampat (Generalized Pareto Distribution/GPD). EVT bermanfaat untuk mengetahui karakteristik nilai ekstrim curah hujan harian karena fungsi sebaran tersebut mengandung parameter yang mampu menggambarkan perilaku ekor kanan atau ujung sebaran (Sadik 1999).
Beberapa kajian tentang fenomena curah hujan dengan menerapkan EVT antara lain Irfan (2011) menganalisis curah hujan ekstrim periode 2001-2010 di tersebut cukup baik dalam pendugaan curah hujan ekstrim. Penelitian Gilli dan Kellezi (2003) tentang risiko finansial menunjukkan bahwa GPD lebih baik dalam pendugaan nilai ekstrim daripada GEVD. Namun demikian kebaikan pendugaan GPD masih terkendala oleh penentuan nilai ambang (threshold) yang tepat untuk mengidentifikasi nilai ekstrim. Hal ini karena parameter skala (keragaman) sangat bergantung kepada nilai ambang. Buch-Larsen et al. (2005) memperkenalkan sebaran Champernowne termodifikasi untuk mengkaji nilai ekstrim dalam bidang ekonomi. Pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi merupakan metode alternatif dalam menganalisis kejadian nilai ekstrim dengan pola sebaran yang konvergen terhadap GPD. GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi kemungkinan akan menghasilkan nilai dugaan yang berbeda sehingga diperlukan penggabungan nilai dugaan kedua sebaran tersebut dengan pembobotan.
Tujuan Penelitian ini bertujuan :
1. Mengkaji serta membandingkan pendugaan curah hujan ekstrim menggunakan sebaran Champernowne termodifikasi dan sebaran Pareto terampat.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Teori Nilai Ekstrim (Extereme Value Theory)
EVT memberi perhatian pada informasi kejadian-kejadian ekstrim berdasarkan nilai-nilai ekstrim yang diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran yang sesuai. Terdapat dua jenis nilai ekstrim yaitu ekstrim minimum dan ekstrim maksimum, apabila digambarkan dalam bentuk histogram maka data ekstrim terdistribusi pada ujung kiri dan unjung kanan (sebaran ekor). Gilli dan Kellezi (2003) menjelaskan bahwa terdapat dua cara untuk mengidentifikasi data ekstrim, yaitu metode block maxima dan peaks over threshold.
Metode block maxima adalah metode untuk menentukan nilai ekstrim dengan cara mengambil nilai tertinggi data observasi yang dikelompokkan berdasarkan periode waktu tertentu misalnya bulanan. Menurut Jenkinson (1955) dalam Gilli dan Kellezi (2003), misalkan adalah peubah acak saling bebas dan identik, maka konvergen pada sebaran GEV dengan fungsi sebarannya :
Metodepeaks over threshold (POT) adalah metode untuk menentukan nilai ekstrim dengan cara mengambil nilai yang berada diatas nilai ambang (threshold, u). Menurut Pickands (1975) dalam Gilli dan Kellezi (2003), ketika u sangat besar
maka data ekstrim tersebut akan konvergen pada GPD :
serta invers dari fungsi sebaran GPD adalah :
3 Sebaran Champernowne Termodifikasi
Sebaran Champernowne diperkenalkan oleh D.G. Champernowne pada tahun 1936 dalam penelitiannya terkait teori distribusi pendapatan yaitu :
akan tetapi sebaran Champernowne ini tidak fleksibel dari segi bentuk ketika
.
Buch-Larsen et al. (2005) memperkenalkan sebaran Champernowne termodifikasi sebagai solusi dari permasalahan diatas, fungsi sebarannya adalah:
dengan parameter dan , serta fungsi kepekatan peluangnya adalah:
invers dari fungsi sebaran Champernowne termodifikasi adalah:
Buch-Larsen et al. (2005) telah membuktikan secara teoritis bahwa sebaran Champernowne termodifikasi memiliki distribusi yang konvergen terhadap GPD ketika x sangat besar yaitu:
4
kecil (semakin runcing), dan semakin besar nilai maka kecekungan terhadap titik belok semakin kecil.
Gambar 1 Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi dengan parameter =52.50, =5.317, dan =0.000001 disertai perubahan parameter , dan
Gambar 2 menunjukkan bahwa pada 150 mm, sebaran Champernowne termodifikasi konvergen terhadap GPD.
Gambar 2 Fungsi kepekatan peluang sebaran Champernowne termodifikasi dengan parameter =52.50, =5.317, dan =0.000001 serta GPD dengan parameter =35.50, =22.704, dan =0.0546603
Salah satu metode pendugaan parameter dan untuk fungsi sebaran Champernowne termodifikasi adalah metode pendugaan kemungkinan maksimum (MLE) yakni memilih parameter sehingga diperoleh penduga terbaik pada sebaran ekor kanannya. Buch-Larsen et al. (2005) menyatakan untuk semua yang mengasumsikan sama dengan nilai median. Nilai median merupakan penduga yang kekar (robust) terutama bagi pola sebaran ekor yang panjang. Pendugaan kemungkinan maksimum terhadap parameter dan dengan fungsi ln kemungkinan yaitu :
5 Tingkat Pengembalian (Return Level)
Tingkat pengembalian ( merupakan nilai maksimum yang diharapkan akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu pengamatan ke depan sebagai acuan untuk peramalan terjadinya curah hujan maksimum.
Fungsi tingkat pengembalian diperoleh dari fungsi peluang bersyarat, yaitu: pengembalian sebaran Champernowne termodifikasi :
dengan , =banyaknya data ekstrim yang dianalisis dan = banyaknya data pada periode yang dianalisis. (Coles 2001)
METODOLOGI
Data
Penelitian ini menggunakan data curah hujan harian 26.5 tahun (1 Januari 1985-30 Juni 2011) di stasiun Darmaga Bogor Jawa Barat. Data ini diperoleh dari Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika.
Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu:
1. Eksplorasi data menggunakan diagram kotak garis untuk mengetahui pemusatan data, sebaran data, serta data pencilan yang kemungkinan termasuk kejadian ekstrim.
2. Pengelompokan data berdasarkan periode tertentu menjadi data analisis dan data validasi.
Tabel 1. Pengelompokan data
6 keseluruhan data dapat dikategorikan sebagai data ekstrim.
4. Pendugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi terhadap data ekstrim untuk setiap kelompok data analisis menggunakan paket evir dan maxLik pada program R versi 2.15.3.
5. Pengujian asumsi sebaran curah hujan ekstrim untuk setiap kelompok data analisis terhadap GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi menggunakan plot kuantil-kuantil dan uji Kolmogorov-Smirnov.
Prosedur pemeriksaan sebaran data dengan plot kuantil-kuantil (Aunudin 1989) :
a. Pengurutan data dari yang terkecil hingga terbesar ; . b. Untuk setiap tetapkan nilai ; plot dengan
adalah plot kuantil empirik.
c. Untuk setiap tetapkan nilai ; plot dengan adalah plot kuantil teoritik.
d. Plot antara dengan merupakan plot kuantil-kuantil.
e. Suatu sebaran dikatakan penduga yang baik serta sesuai dengan sebaran data aktual apabila plot kuantil-kuantil menghampiri garis linier . 6. Evaluasi pendugaan nilai ekstrim menggunakan RMSE.
Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error (RMSE) dugaan nilai ekstrim terhadap nilai aktual . Dugaan nilai ekstrim dipilih berdasarkan nilai RMSE yang paling kecil.
8. Peramalan nilai tingkat pengembalian curah hujan maksimum.
Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error Prediction (RMSEP) nilai ramalan terhadap nilai aktual jangka waktu hari ke depan.
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Curah hujan harian selama periode 1985-2010 di Darmaga Bogor menunjukkan bahwa pada bulan Oktober sampai Mei sering terjadi hujan dibandingkan dengan bulan lainnya dengan persentase banyaknya hari hujan tiap bulan lebih dari 50% seperti yang tercantum pada Gambar 3. Jumlah hari hujan pada bulan Oktober 450 hari, November 545 hari, Desember 518 hari, Januari 594 hari, Februari 572 hari, Maret 563 hari, April 488 hari, dan Mei 433 hari, pada bulan Juni dan September jumlah hari hujan sebanyak 326 dan 323 hari, sedangkan bulan Juli dan Agustus jumlah hari hujan sebanyak 297 dan 264 hari.
Gambar 3 Persentase hari hujan mm tiap bulan periode 1985-2010 Pada Gambar 4 terlihat bahwa selama periode 1985-2010 besarnya curah hujan harian sangat beragam pada setiap bulan. Terdapatnya data pencilan yang relatif jauh dari pusat data menunjukkan penyimpangan curah hujan dari kondisi normal yang menjadi kajian dalam penelitian ini. Curah hujan harian tertinggi terjadi pada tanggal 1 April 2004 sebesar 507 mm, 3 Juni 1995 sebesar 315 mm dan 13 Februari 1989 sebesar 240 mm. Ketiga data tersebut sangat jauh memencil dari data ekstrim yang ada sehingga pemanfaatan data tersebut akan sangat mempengaruhi keakuratan pendugaan. Dalam penelitian Prang (2006) terhadap data curah hujan harian di Darmaga Bogor selama periode 1999-2004, tidak ditemukan curah hujan yang mencapai 507 mm. Tidak adanya informasi yang menunjukkan kebenaran ketiga data tersebut sehingga diterapkan penanganan data hilang dengan diperoleh keseluruhan data ekstrim curah hujan Darmaga 1985-2010 yang tidak melebihi 200 mm.
8
Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi Teladan mengidentifikasi data curah hujan harian berkarakteristik ekstrim terhadap data analisis kelompok 1 disajikan pada Gambar 5. Jumlah curah hujan harian yang berada di atas nilai selama periode 1985-2008 sebanyak 868 hari. Data curah hujan ekstrim tersebut selanjutnya akan dijadikan sebagai data analisis menggunakan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi.
9 perilaku ekor kanan sebesar . Periode 1 Januari 1985-30 Juni 2009 memiliki keragaman terbesar dengan nilai sebesar 25.21. Parameter untuk setiap kelompok data analisis selalu bernilai negatif menunjukkan fungsi kepekatan peluangnya memiliki titik ujung kanan yang terhingga sehingga kemungkinan besar tidak akan terjadi curah hujan yang sangat ekstrim. Perubahan periode untuk setiap kelompok data analisis menghasilkan nilai u maupun parameter dan yang relatif sama. Hal ini menunjukkan kebaikan penentuan curah hujan berkarakteristik ekstrim berdasarkan 10% nilai tertinggi.
Sedangkan hasil pendugaan parameter Champernowne termodifikasi (Tabel 2) menunjukkan bahwa pada periode 1 Januari 1985-31 Desember 2008 dengan ambang batas 36 mm diperoleh nilai dugaan parameter yang menggambarkan titik pemusatan data terjadi pada 53 mm, dugaan parameter yang menggambarkan pola keragaman data sebesar 5.51, dan dugaan parameter sebesar 0.0000177. Periode 1 Januari 1985-31 Desember 2009 memiliki nilai terkecil yang menunjukkan keragaman terbesar. Hal ini tidak sejalan dengan karakteristik parameter GPD yang menyatakan bahwa periode 1 Januari 1985-30 Juni 2009 memiliki keragaman terbesar. Ketidaksamaan ini disebabkan karakteristik keragaman Champernowne termodifikasi tidak hanya dijelaskan oleh parameter akan tetapi dipengaruhi pula oleh parameter . Hal ini dapat diketahui dari bertambahnya nilai sejalan dengan bergesernya pemusatan data ke kanan disertai dengan bergesernya kecekungan fungsi kepekatan peluang Champernowne termodifikasi ke bawah yang mempengaruhi besarnya keragaman. Perubahan nilai dugaan parameter mengindikasikan besar kecilnya peluang terjadinya nilai ekstrim. Namun demikian nilai parameter masih belum dapat diketaui karakteristiknya untuk menentukan pola sebaran ekor kanan berupa berekor panjang ataukah berekor pendek yang secara jelas dapat digambarkan dengan parameter pada GPD.
Tabel 2 Nilai dugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
Periode Analisis GPD Gambar 6 menunjukkan karakteristik GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008. Ketika peluang kumulatif sebesar 0.9 diperoleh sedangkan
sehingga nilai peluang . Titik potong antara
10
diperoleh berdasarkan perhitungan menghasilkan dan
. Peluang pada selang (0.000043,0.0641) menghasilkan nilai pendugaan GPD yang selalu lebih besar dibandingkan sebaran Champernowne termodifikasi. Berlaku kebalikannya ketika peluang sampai terjadi kekonvergenan pada saat peluang 0.
Gambar 6 Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi ketika curah hujan diatas 78.97 mm (a) dan 150 mm (b) periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap pola sebaran teoritik (Gambar 7) memperlihatkan bahwa GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi mampu menduga curah hujan ekstrim di Darmaga Bogor dengan baik. Plot kuantil-kuantil yang berada di atas garis linier berwarna merah menunjukkan pendugaan bernilai lebih kecil dari nilai aktual (bias ke bawah) sedangkan untuk plot yang berada di bawah garis menunjukkan pendugaan bernilai lebih besar dari nilai aktual (bias ke atas). Pendugaan curah hujan ekstrim berdasarkan GPD memiliki kecenderungan bias ke atas sedangkan sebaran Champernowne termodifikasi memiliki kecenderungan bias ke bawah. Hal ini menunjukkan bahwa penggabungan nilai dugaan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi akan menghasilkan nilai dugaan yang lebih baik.
Gambar 7 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD (a) dan sebaran Champernowne termodifikasi (b) pada kuantil 0.9 periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
(a) (b)
(78.97 , 0.0641)
(175 , 0.000043)
11 Pengujian asumsi secara formal berdasarkan uji Kolmogorov-Smirnov menunjukkan bahwa sebaran data empirik setiap periode analisis mengikuti GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi (Lampiran 1).
Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan
Perhitungan dilakukan terhadap seluruh nilai dugaan GPD dan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi yang berada pada kuantil 0.9. Hal ini karena curah hujan ekstrim berada pada kuantil 0.9 serta terdapatnya kekonvergenan sebaran Champernowne termodifikasi pada GPD. Gambar 8 menunjukkan nilai RMSE untuk setiap bobot ( membentuk suatu kurva dengan
RMSE minimum sebesar 2.361 ketika 0.285 untuk periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008.
Gambar 8 Plot RMSE dengan 0.285 pada periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Penentuan bobot optimum berdasarkan RMSE minimum akan menghasilkan dugaan nilai ekstrim terbaik berdasarkan nilai gabungan. Penentuan bobot optimum dilakukan terhadap setiap kelompok data analisis dengan hasil disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 Nilai RMSE pada kuantil 0.9 untuk setiap kelompok data analisis Periode Analisis GPD Champernowne
termodifikasi
Gabungan
12
Pemeriksaan kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap pola (Gambar 9) menunjukkan bahwa nilai gabungan mampu menduga curah hujan ekstrim di Darmaga Bogor dengan baik. Hasil pendugaan hampir secara tepat berada pada garis linear. Hal ini menunjukkan keandalan nilai gabungan dalam mengatasi bias ke atas pendugaan GPD dan bias ke bawah pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi.
Gambar 9 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan nilai
gabungan ( 0.285) pada kuantil 0.9 periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2008
Perhitungan simpangan galat antara nilai dugaan terhadap nilai aktual sangat diperlukan untuk membandingan kebaikan antar metode pendugaan secara akurat. Hasil pengukuran simpangan galat berdasarkan akar dari rata-rata jumlah kuadrat galat (Root Mean Square Error/RMSE) pada Tabel 3 menunjukkan bahwa pendugaan terbaik adalah pendugaan nilai gabungan dengan nilai RMSE paling kecil dibandingkan GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi. Nilai RMSE pendugaan nilai gabungan tidak terlalu jauh berbeda dengan pendugaan GPD tetapi cukup jauh berbeda dengan pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi. Hal ini karena kebaikan pendugaan nilai gabungan sangat besar dipengaruhi oleh kebaikan pendugaan GPD dan cukup kecil dipengaruhi oleh sebaran Champernowne termodifikasi.
13 Peramalan Curah Hujan Ekstrim
Peramalan berdasarkan nilai tingkat pengembalian (return level) ditujukan untuk menduga curah hujan maksimum yang secara rata-rata mungkin terjadi selama hari ke depan. Untuk menentukan pendugaan terbaik maka dihitung nilai RMSEP antara nilai ramalan dengan nilai aktual pada setiap kelompok data validasi. Penentuan akan mempengaruhi ketepatan peramalan sehingga dalam penelitian ini diterapkan beberapa nilai yang berbeda dengan tujuan mencari jangka waktu peramalan terbaik.
14
Penentuan hari kedepan akan lebih mudah berdasarkan jangka waktu bulan ke depan. Sehingga dalam penelitian ini dipilih peramalan jangka waktu 1, 2, 3, 6 dan 9 bulan ke depan. Secara rinci hasil peramalan curah hujan ekstrimberdasarkan nilai tingkat pengembalian untuk setiap peramalan bulan ke depan disajikan pada Tabel 4. Grafik peramalan curah hujan ekstrim 3 bulan ke depan (Gambar 10) menunjukkan dugaan sebaran Champernowne termodifikasi memiliki pola yang mirip dengan dugaan sebaran GPD. Peramalan sebaran Champernowne termodifikasi senantiasa berada dibawah nilai peramalan GPD sedangkan nilai gabungan senantiasa berada diantara keduanya. Berdasarkan nilai rataan, nilai curah hujan ekstrim aktual berada di sekitar 81.24 mm, hasil peramalan GPD berada di sekitar 86.26 mm, hasil peramalan sebaran Champernowne termodifikasi berada di sekitar 77.53 mm, dan hasil nilai gabungan berada di sekitar 84.05 mm. Kedekatan nilai gabungan terhadap ramalan GPD dikarenakan pemberian bobot terhadap GPD lebih besar dibandingkan sebaran Champernowne termodifikasi. Grafik peramalan jangka waktu lainnya disajikan pada Lampiran 2. Secara keseluruhan curah hujan ekstrim berdasarkan hasil peramalan GPD senantiasa berada di atas pusat data aktual dengan jarak relatif sangat dekat, nilai gabungan senantiasa berada di atas pusat data aktual dengan jarak relatif sangat dekat, dan hasil peramalan sebaran Champernowne termodifikasi senantiasa berada di bawah pemusatan curah hujan ekstrim aktual dengan jarak relatif cukup dekat.
Gambar 10 Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan periode tertentu jangka waktu 3 bulan ke depan
Pada penelitian ini, hasil peramalan bulan ke depan berdasarkan nilai RMSEP yang paling kecil (Gambar 11) menunjukkan bahwa peramalan 1, 2 dan 3 bulan ke depan sangat baik diduga oleh sebaran Champernowne termodifikasi.
76
15 Sedangkan peramalan 6 dan 9 bulan ke depan sangat baik diduga oleh GPD serta nilai gabungan. Hasil nilai gabungan diperoleh berdasarkan rata-rata bobot optimum sebesar 0.254 untuk dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan 0.746 untuk dugaan GPD. Peramalan jangka waktu 2 dan 9 bulan ke depan menghasilhan nilai RMSEP yang lebih kecil untuk setiap metode peramalan dibandingkan dengan jangka waktu lainnya dengan rata-rata RMSEP sebesar 16.53 dan 16.31. Hal ini menunjukkan bahwa peramalan jangka pendek lebih baik diduga berdasarkan 2 bulan ke depan dan jangka panjang lebih baik diduga berdasarkan 9 bulan ke depan.
Gambar 11 Nilai RMSEP hasil peramalan bulan ke depan 20.51
15.87
23.47
18.83
15.52
0 5 10 15 20 25 30
1 2 3 6 9
R
MS
E
P
Bulan
16
SIMPULAN
Sebaran Champernowne termodifikasi mampu menduga curah hujan ekstrim maksimum cukup baik dengan kemiripan pola pendugaan terhadap sebaran Pareto terampat (GPD). Hasil pendugaan GPD cenderung bias ke atas sedangkan pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke bawah. Penggabungan kedua nilai dugaan berdasarkan pembobotan menghasilkan dugaan nilai ekstrim yang lebih akurat dengan rata-rata bobot optimum sebesar 0.254 untuk dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan 0.746 untuk dugaan GPD. Pada penelitian ini, peramalan terbaik untuk jangka pendek adalah peramalan selama 2 bulan ke depan menggunkan sebaran Champernowne termodifikasi dan untuk jangka panjang selama 9 bulan ke depan menggunakan GPD dan nilai gabungan.
DAFTAR PUSTAKA
Aunudin. 1989. Analisis Data. Bogor (ID): Pusat Antar Universitas Ilmu Hayat,
Institut Pertanian Bogor.
Buch-Kromann T. 2006. Estimation of large insurance losses: a case study.
Journal of Actuarial Practice. 13(1):191-211.
Buch-Larsen T, Nielsen JP, Guillen M, Bolance C. 2005. Kernel density estimation for heavy-tailed distribution using the Champernowne transformation. Statistics. 39(6):503-518. doi:10.1080/02331880500439782. Coles, S. 2001. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values.
London (GB): Springer.
Djuraidah A dan Wigena AH. 2011. Regresi kuantil untuk eksplorasi pola curah hujan di Kabupaten Indramayu. Jurnal Ilmu Dasar. 12(1):50-56.
Gilli M, Kellezi E. 2003. An Application of Extreme Value Theory for Measuring Financial Risk. Computational Economics. 27(1):1-23. doi:10.1007/s10614-006-9025-7.
Irfan M. 2011. Sebaran Pareto Terampat untuk menentukan curah hujan ekstrim (studi kasus: curah hujan periode 2001-2010 pada Stasiun Darmaga) [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Prang JD. 2006. Sebaran Nilai Ekstrim Terampat dalam fenomena curah hujan [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
17 Lampiran 1 Uji Kolmogorov-Smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor
Periode Analisis Nilai Statistik Uji D Tabel Kolmogorov Smirnov ( GPD Champernowne
1 Jan.1985-31 Des.2008 0.0152* 0.0170* 0.0462 1 Jan.1985-31 Mar.2009 0.0179* 0.0226* 0.0457 1 Jan.1985-30 Jun.2009 0.0130* 0.0187* 0.0457 1 Jan.1985-30 Sep.2009 0.0156* 0.0241* 0.0453 1 Jan.1985-31 Des.2009 0.0146* 0.0191* 0.0451 1 Jan.1985-31 Mar.2010 0.0138* 0.0226* 0.0448 1 Jan.1985-31 Jun.2010 0.0143* 0.0230* 0.0446 1 Jan.1985-30 Sep.2010 0.0137* 0.0253* 0.0444 *) Tidak nyata pada taraf nyata 5% artinya data aktual mengikuti sebaran teoritik
Lampiran 2 Ramalan tingkat pengembalian curah hujan ekstrim berdasarkan periode tertentu jangka waktu bulan ke depan
(a) Jangka waktu 1 bulan ke depan 76
18
Lampiran 2 (Lanjutan 2)
(b) Jangka waktu 2 bulan ke depan
(c) Jangka waktu 6 bulan ke depan 76
Nilai aktual GPD Champernowne termodifikasi Nilai gabungan
104.7 104.7
19 Lampiran 2 (Lanjutan 3)
(d) Jangka waktu 9 bulan ke depan
104.7 104.7
20
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kuningan, Jawa Barat pada tanggal 13 Juni 1991 sebagai anak pertama dari empat bersaudara pasangan Didi Kurnadi dan Tuti.
Penulis telah menempuh masa studi mulai dari TK Pertiwi, SDN 1 Padamenak lulus pada tahun 2003, SMPN 1 Cilimus lulus pada tahun 2006 dan SMAN 1 Kuningan lulus pada tahun 2009. Selanjutnya, penulis diterima di Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB pada tahun 2009.
