MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN
PERSAINGAN PASAR
TESIS
Oleh
DAVIDSON TARIGAN 097021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2011
MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN
PERSAINGAN PASAR
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh
DAVIDSON TARIGAN
097021005/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN PERSAINGAN PASAR
Nama Mahasiswa : Davidson Tarigan Nomor Pokok : 097021005
Program Studi : Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Opim Salim S , M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus : 16 Juni 2011
Telah diuji pada
Tanggal 16 Juni 2011
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang
ABSTRAK
Persoalan Rute Vehicle Ganda dengan Kompetisi pasar (Multiple vehicle routing problem with profits and competition (MVRPPC)) memiliki aplikasi dunia nya-ta yang potensial karena memungkinkan kajian studi tennya-tang kompetisi strategis di antara perusahaan truk swasta pada bidang-bidang transportasi barang ke tempat-tempat konstruksi. Persoalan vehicle routing ganda dengan kompetisi pasar merupakan perluasan dari masalah vehicle routing dalam tiga hal yaitu: Memasukkan kompetisi ke dalam proses rute, memaksimumkan keuntungan lebih baik daripada meminimumkan biaya, dan mengasumsikan bahwa truk mening-galkan dan kembali ke pangkalan dalam keadaan kosong. Persoalan multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar dapat dimodelkan dalam bentuk formula Mixed Integer Programming.
Kata kunci: Multivehicle routing, Persaingan pasar.
i
ABSTRACT
Multiple vehicle routing problem has potential real-word applications as it enables the study of strategic competition among private trucking companies in such ar-eas as the transportation of aggregates to construction sites. The multiple vehicle routing problem with profits and competition (MVRPPC) represents an extension of the vehicle routing problem in that it: incorporates competition into the routing process, maximizes profits rather than minimizes costs, and assumes that trucks leave and return to their home bases empty, thus any freight picked up in a tour must be delivered in that same tour. Multiple vehicle routing problem with profits and competition can be modeled in form the formula Mixed of Programming Inte-ger.
KATA PENGANTAR
Dengan ucapan puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan karunia-Nya yang telah diberikkan kesempatan sehingga penulis dapat menyele-saikan tesis ini dengan judul Model Multivehicle Routing dengan Kompetisi Pasar.
Tesis ini merupakan salah satu persyaratan penyelesaian studi pada program studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.
Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
Prof.Dr.dr.Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K)selaku Rek-tor Universitas Sumatera Utara
Prof. Dr. Ir. A. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Sekolah Pas-casarjana yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumat-era Utara Medan.
Prof.Dr.Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Mate-matika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai pembimbing pada penulisan tesis ini yang berkat dorongan dan bantuan beliau sehingga penulisan tesis ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Opim Salim, S, M.Sc juga sebagai pembimbing dalam penulisan tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Scselaku pembanding atas saran dan bantuannya un-tuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlang-sung.
Dra. Mardiningsih, M.Siselaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini.
iii
Seluruh Staf Pengajarpada Program Studi Magister Matematika FMIPA Uni-versitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Siselaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
Seluruh sahabat sejati serta rekan-rekan seperjuangan mahasiswa angkatan 2011 atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkulia-han berlangsung.
Secara khusus penulis menyampaikan rasa terima kasih kepada orang tua penulis Ayahanda (Alm) St. T. Tarigan, Ibunda R. Saragih, Anturang L. Damanik serta kepada istri tercinta Intan Sari Saragih, S.Si, dan Putri tersayang Davine Priskila Tarigan, serta seluruh keluarga, terimakasih atas dorongan dan perhatian-nya yang disertai dengan doa-doaperhatian-nya yang tulus, sehingga penulis dapat menye-lesaikan pendidikan ini.
Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan sehingga tulisan ini jauh dari sempurna.
Medan, Juni 2011
Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Davidson Tarigan lahir di P. Jahen Kabupaten Simalungun pada tanggal 10 Mei 1976, putra bungsu dari 6 bersaudara dari Ayah (Alm) St. T. Tarigan dan Ibu R. Br Saragih. Telah menikah pada tanggal 12 April 2007 dengan Intan Sari Saragih, S.Si. Pada tanggal 23 Oktober 2009 telah dikaruniai seorang putri, Davine Priskila Tarigan.
Menamatkan Pendidikan Sekolah Dasar Negeri 097796 P. Jahen pada 1989, Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri Dolok Silau pada tahun 1992, Sekolah Menengah Tingkat Atas (SMA) Negeri 3 Pematang Siantar jurusan Fisika (A-1) tahun 1995 dan menyelesaikan S-1 pada Jurusan Matematika Universitas Sumat-era Utara tahun 1999, serta Kuliah Akta 4 di Universitas Muslimin Nusantara tahun 2006.
Bekerja sebagai Staff Pengajar di STMIK MIKROSKIL Medan sejak tahun 2000 sampai sekarang dan sejak April 2006 sampai sekarang juga bekerja sebagai Guru Sekolah Dasar Negeri 064034 Medan.
Pada tahun 2009 mengikuti pendidikan program studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana USU Medan.
v
DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK i
ABSTRACT ii
KATA PENGANTAR iii
RIWAYAT HIDUP v
DAFTAR ISI vi
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metode Penelitian 3
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6
2.1 Graph 6
2.1.1 Definisi 6
2.2 Vehicle Routing Problem (VRP) 6
2.3 Program Integer 8
BAB 3 MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN PERSAINGAN
PASAR 10
3.1 Memasukkan Persaingan ke dalam Penentuan Rute 10
3.2 Sapuan Radial/Pengelompokan General Asigment Prooblem
(GAP) 11
3.4 Tahapan Tabu Search 15
3.5 Tabu List 16
3.6 Pertukaran Node Intra-pemain 17
3.7 Formulasi Mixed Integer Programming 17
BAB 4 KESIMPULAN 22
DAFTAR PUSTAKA 24
vii
ABSTRAK
Persoalan Rute Vehicle Ganda dengan Kompetisi pasar (Multiple vehicle routing problem with profits and competition (MVRPPC)) memiliki aplikasi dunia nya-ta yang potensial karena memungkinkan kajian studi tennya-tang kompetisi strategis di antara perusahaan truk swasta pada bidang-bidang transportasi barang ke tempat-tempat konstruksi. Persoalan vehicle routing ganda dengan kompetisi pasar merupakan perluasan dari masalah vehicle routing dalam tiga hal yaitu: Memasukkan kompetisi ke dalam proses rute, memaksimumkan keuntungan lebih baik daripada meminimumkan biaya, dan mengasumsikan bahwa truk mening-galkan dan kembali ke pangkalan dalam keadaan kosong. Persoalan multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar dapat dimodelkan dalam bentuk formula Mixed Integer Programming.
ABSTRACT
Multiple vehicle routing problem has potential real-word applications as it enables the study of strategic competition among private trucking companies in such ar-eas as the transportation of aggregates to construction sites. The multiple vehicle routing problem with profits and competition (MVRPPC) represents an extension of the vehicle routing problem in that it: incorporates competition into the routing process, maximizes profits rather than minimizes costs, and assumes that trucks leave and return to their home bases empty, thus any freight picked up in a tour must be delivered in that same tour. Multiple vehicle routing problem with profits and competition can be modeled in form the formula Mixed of Programming Inte-ger.
Keyword: Multivehicle routing, Market competition
ii
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Vehicle Routing Problem (VRP) merupakan salah satu variasi dari Travel Salesman Problem (TSP) yaitu m-TSP, dimana terdapat m salesman yang me-ngunjungi sejumlah kota dan tiap kota hanya dapat dikunjungi tepat satu sales-man saja. Tiap Salessales-man berawal dan kembali ke depot yang sama. (Kallehauge et al, 2001). Pada umumnya masalah vehicle routing termasuk dalam salah satu dari tiga kategori berikut: (Assad, 1988)
a. Masalah antar jemput,
b. Antar jemput yang hanya mengikuti pilihan backhaul,
c. Kombinasi dari antar jemput ,
Pada penelitian ini dibahas Persoalan Multivehicle Routing dengan Kom-petisi Pasar yang merupakan perluasan dari masalah vehicle routing dalam tiga hal yaitu:
a. Memasukkan kompetisi ke dalam proses rute,
b. Memaksimumkan keuntungan lebih baik daripada meminimumkan biaya, dan
c. Mengasumsikan bahwa truk meninggalkan dan kembali ke pangkalan dalam keadaan kosong, sehingga setiap pengiriman dan penjemputan barang di-lakukan dalam perjalanan yang sama.
2
memungkinkan kajian studi tentang kompetisi strategis di antara perusahaan truk swasta pada bidang-bidang transportasi barang (misalnya pengangkutan pasir, kerikil, dll) ke tempat-tempat konstruksi.Kasus ini melibatkan kumpulan tempat produksi dan satu kumpulan node permintaan yang harus dilayani permintaan-nya.
Penelitian yang telah dilakukan sebelumnya dengan melibatkan rute untuk memaksimumkan keuntungan antara lain, masalah sub perjalanan bisnis dengan melibatkan seorang pedagang yang membeli komoditi di tempat yang murah dan mengangkut ke kota-kota tertentu dan menjualnya untuk mendapatkan keun-tungan (Verweij dan Aardal, 2003). Masalahnya adalah menentukan kota-kota permintaan yang tepat untuk dikunjungi sehingga diperoleh keuntungan maksi-mum. Masalah ini berbeda dari MVRPPC karena hanya melibatkan satu perusa-haan, sehingga tidak ditemukan kompetisi di dalamnya.
Jenis kedua yaitu masalah traveling salesman untuk memaksimumkan ke-untungan (Feillet et al, 2005). Persoalan ini merupakan generalisasi dari masalah salesman keliling di mana keuntungan diperoleh ketika suatu simpul dikunjungi dan tidak ada persyaratan bahwa semua titik harus dikunjungi.
Sebuah versi masalah vehicle ganda, yang dikembangkan dan diterapkan untuk transportasi barang berhubungan dengan gerakan pengiriman barang di-antara pabrik dalam industri mobil (Feillet, 2001), sehingga tidak memasukkan syarat bahwa setiap perjalanan dimulai dan berakhir pada suatu pangkalan.
Pada kasus penggabungan antar jemput yang berpasangan (Nanry et al, 2000) atau pengiriman yang dilakukan sebelum penjemputan, (line haul-back haul) (Jacobs et al, 1993), persoalan yang dipertimbangkan adalah semua barang disampaikan dalam satu perjalanan, dimana salah satunya cenderung mengikuti pola yang didiskusikan pada penelitian ini.
3
1.2 Perumusan Masalah
Adapun masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana persoalan multive-hicle routing dengan kendala kompetisi pasar dimodelkan dengan Mixed Integer Programming.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk memaparkan model multivehicle routing de-ngan tujuan memaksimumkan keuntude-ngan dan kendala kompetisi pasar.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan kontribusi bagi persoalan yang berhubungan dengan rute perjalanan bisnis dengan tujuan memaksimumkan ke-untungan dan kendala kompetisi pasar.
1.5 Metode Penelitian
Penelitian ini bersifat literatur atau kepustakaan dengan mengumpulkan bahan-bahan dari textbooks dan jurnal-jurnal. Pada bagian awal penelitian ini akan diperkenalkan landasan teori untuk mencapai hasil penelitian yaitu menge-nai teori graph,vehicle routing problem(VRP), dan program integer. Selanjutnya akan dibahas mengenai memasukkan persaingan ke dalam penentuan rute dan di-tunjukkan pemodelan dari multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar. Sebelum membahas rincian rumus-rumus yang dikembangkan dalam tulisan ini, perlu kiranya diuraikan secara konseptual masalah yang ditangani. Sehingga memungkinkan memperoleh ide yang jelas tentang apa yang akan dicapai tulisan ini dan signifikansinya dalam pemodelan permintaan pengangkutan.
un-4
tuk lebih dari satu perusahaan, maka node-node tersebut pada awalnya tercakup dalam perjalanan keliling lebih dari satu perusahaan. Node-node yang bersaing ini diserahkan kepada perusahaan yang bisa melayaninya dengan biaya terendah melalui proses iteratif sehingga dalam penyelesaian akhir semua node dilayani oleh satu perusahaan. Tanpa kehilangan keumuman, biaya produksi di node-node pro-duksi diasumsikan konstan. Asumsi implisit adalah bahwa muatan (cargo) yang akan diangkut bersesuaian dengan komoditas umum. Asumsi ini diajukan supaya fokus pada fungsi biaya pengangkutan.
Metode penyelesaian yang dipresentasikan dalam tulisan ini mengkombi-nasikan sejumlah teknik programming matematika dan teknik meta-heuristik un-tuk menyelesaikan masalah penetapan rute mula-mula dalam kelompok dan dalam kerangka rute. Tahap selanjutnya mengkombinasikan pengelompokan gemoetrik dengan masalah penugasan secara umum dan tahap penetapan-rute dilaksanakan dengan tabu search. Pendekatan penyelesaian dimulai dengan pengelompokan geometrik yang didasarkan pada taksiran waktu perjalanan-keliling. Pengelom-pokan geometrik akan memberikan taksiran biaya dengan memasukkan node i dalam kelompokj. Kemudian koefisien-koefisien biaya digunakan dalam masalah penugasan secara umum memadukan batasan-batasan yang menjamin kelayakan perjalanan keliling dapat menghasilkan kelompok-kelompok biaya minimum yang dapat diubah menjadi perjalanan-perjalanan keliling layak. Pendekatan ini sangat mirip dengan pendekatan yang dikembangkan dalam Nygard et al. (1988).
Setelah kelompok node layak diperoleh, penentuan-rute dilaksanakan de-ngan tabu search untuk memperoleh penyelesaian tabu search awal, selanjutnya perjalanan keliling untuk masing-masing pemain dikaji node demi node untuk mengetahui apakah ada pertukaran dua node dalam perjalanan-perjalanan keliling
yang berbeda dari pemain yang sama yang akan meningkatkan keuntungan seti-daknya untuk satu perjalanan keliling dan tidak mengurangi keuntungan untuk se-tiap perjalanan keliling. Setelah semua pertukaran node dikaji, selanjutnya diiden-tifikasilah semua node yang menerima penawaran yang lebih dari satu perusahaan. Kemudian biaya pengiriman untuk masing-masing perusahaan yang mengajukan penawaran dihitung dan node-node ini dicoret dari himpunan node pemain yang
5
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Untuk memahami permasalahan yang multivehicle routing dengan kendala persaingan pasar, berikut diuraikan beberapa konsep teori.
2.1 Graph
2.1.1 Definisi
Suatu graph G adalah pasangan terurut (V, E) dimana V = himpunan tak kosong dan berhingga yang anggotanya disebut node (simpul/vertex) dan E = himpunan berhingga garis yang menghubungkan simpul-simpul yang disebut sisi (arc atau edge). Sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j dinyatakan dengan {i, j}. Dalam suatu graph, jika sisi yang menghubungkan node-nodenya mempunyai arah maka dinamakan grpah berarah (directed graph/digraph). Jika semua sisi semua sisi yang menghubungkan simpul-simpulnya tidak berarah maka dinamakan graph tak berarah (undirected graph) (Foulds 1992).
2.2 Vehicle Routing Problem (VRP)
Vehicle Routing Problem (VRP) merupakan salah satu variasi dari Travel Salesman Problem (TSP) yaitu m-TSP, dimana terdapat m salesman yang men-gunjungi sejumlah kota dan tiap kota hanya dapat dikunjungi tepat satu salesman saja. Tiap Salesman berawal dan kembali ke depot yang sama. (Kallehauge et al, 2001).
Uraian Persoalan VRP adalah sebagai berikut: Diberikan sejumlah kota se-bagai lokasi konsumen, sejumlah kendaraan (vehicle), jumlah permintaan masing-masing kota, kapasitas angkut masing-masing-masing-masing kendaraan, dan jarak antar kota. Persoalannya adalah menentukan rute masing-masing kendaraan dalam melayani permintaan masing-masing kota dengan ketentuan sebagai berikut: (Toth and Vigo, 2002)
6
7
1. Rute masing-masing kendaraan berawal dan berakhir pada suatu kota (de-pot).
2. Setiap kota disinggahi tepat satu kali oleh tepat satu kendaraan (vehicle)
3. Masing-masing kendaraan memiliki kapasitas angkut dan nilai batasan jarak yang sama.
4. Total permintaan masing-masing kota pada rute setiap kendaraan tidak melebihi kapasitas angkut kendaraan tersebut
5. Total jarak tempuh pada rute setiap kendaraan tidak melebihi nilai batasan jarak yang diberikan.
6. Tidak terdapat subrute untuk setiap kendaraan.
Formulasi VRP dalam bentuk program linier integer dengan tujuan memini-mumkan total biaya atau total jarak tempuh dari rute perjalanan pendistribusian barang adalah sebagai berikut:
minX j∈J
X
k∈K
cij xijk
Dengan variabel keputusan :
yik =n10,, jika konsumenjika selainnya i dilayani kendaraan ke-k
yijk =n10,, jika kendaraan ke-jika selainnya k dari konsumen i langsung ke konsumen j Dengan :
V = himpunan node/vertex
A = himpunan sisi berarah (arc),{(i, j)|i, j ∈V, i6=j}
cij = jarak atau biaya perjalanan dari konsumeni ke konsumen j
di = jumlah permintaan konsumen i
Ck = kapasitas kendaraan ke k
8
Kendala ini memastikan bahwa setiap konsumen dikunjungi tepat satu kali oleh satu kendaraan.
Kendala ini menjamin bahwa terdapat K kendaraan yang beroperasi yang melalui rute dari depot.
3. P
i∈V
diyik−P
(xijk−yik),∀i∈V, k = 1,2, ..., K
Kendala ini memastikan bahwa setiap konsumen akan dikunjungi oleh ken-daraan yang sudah dijadwalkan untuk konsumen tersebut.
4. P
i∈V
diyik ≤Ck,∀k= 1,2, ..., K
Kendala tersebut menjamin bahwa total permintaan konsumen dalam setiap rute tidak melebihi kapasitas kendaraan.
5. P
i∈S
P
j∈S
xijk 6|S| −1,∀S ⊆V\{0},|S|>2, k = 1,2, ..., K
Kendala tersebut menjamin bahwa tidak terdapat sub rute pada formulasi yang ada.
6. yik ∈ {0,1},∀i∈V, k= 1,2, ..., K
Kendala ini memastikan bahwa variabel keputusan yik merupakan integer biner.
7. xik ∈ {0,1},∀j ∈V, k = 1,2, ..., K
Kendala ini memastikan bahwa variabel keputusan xik merupakan integer biner.
2.3 Program Integer
Sebuah model optimisasi disebut Program Linier Integer (Integer Linier Pro-gramming) atau disebut juga Program integer jika variabel-variabel keputusan yang digunakan berupa bilangan bulat(integer). Jika semua variabel keputusan
9
berupa integer maka model tersebut dinamakan pure integer programming, tetapi jika hanya sebagian yang harus integer maka disebutmixed integer programming. Sedangkan integer programming yang semua variabelnya bernilai 0 dan 1 disebut 0 1 integer programming. (Rardin 1998).
Secara sederhana model Program Linier dengan kendala tambahan berupa variabel bernilai integer disebut sebagai Program integer yang memiliki bentuk standar sebagai berikut: (Taha 2003).
Optimumkan : z = n
P
j=1 cjxj
Kendala : n
P
j=1
aijxj ≤bi,∀i= 1,2, ..., m
xj ≥0,∀i= 1,2, ..., m
Xjbernilai integer,∀j = 1,2, ..., p(≤n)
BAB 3
MODEL MULTIVEHICLE ROUTING DENGAN PERSAINGAN PASAR
3.1 Memasukkan Persaingan ke dalam Penentuan Rute
Tranparansi pasar mengacu pada tingkat kesadaran persaingan perusahaan pengangkutan untuk mengangkut barang yang akan diangkut. Persaingan pasar sempurna tidak terdapat dalam kehidupan nyata. Semua pengangkut mengetahui tentang semua barang yang akan diangkut dan menerjemahkannya ke dalam situ-asi persaingan sempurna dan harga biaya marjinal. Dalam konteks ini diharapkan tingkat geografis tertentu pada segmentasi pasar. Pada sisi lain, hanya satu ope-rator yang tahu tentang muatan yang memerlukan transportasi, mengarah ke situasi di mana operator dapat menentukan perbedaan harga pada pelanggan mereka (Holguin-Veras dan Jara-Diaz, 1999).
Lingkungan kompetisi dibatasi oleh panjang dan efisiensi suatu perjalanan. Dalam semua kasus, kompetisi diperkenalkan secara spesifik sebagai subset dari node-node yang terpilih secara acak dimana tersedia untuk lebih dari satu perusa-haan. Pada konteks ini, node yang tersedia mewakili satu perusahaan produksi atau atraksi node produksi yang keberadaannya hanya diketahui perusahaan terse-but. Karena tidak ada informasi tentang tingkat dari transparansi pasar dalam kehidupan nyata, maka proses pemodelan disimulasikan dengan mengasumsikan tingkat transparansi pasar sebagai tingkatan yang berbeda-beda (dilambangkan denganρ), dimanaρadalah hal-hal yang tidak begitu penting dari proses produk-si dan node-node permintaan yang tersedia lebih dari satu pengangkutan sesuai dengan jumlah node-nodenya. Perusahaan yang dapat melakukan pelayanan pada node-node ini adalah perusahaan yang memenangkan penawaran untuk melayani mereka dengan biaya yang paling murah.
Biaya transportasi dihitung sebagai berikut :
Ci =Corig· |subtouri|+Ctravel·t(subtouri) +Cwaittime·f reight(subtouri) (3.1)
10
11
dengan :
i = node yang diperebutkan
Corig = biaya yang sama untuk setiap pemberhentian
Ctravel = biaya perjalanan
Cwaittime = biaya bongkar muat dari bahan-bahan yang diangkut
subtouri = jumlah node-node dalam bagian perjalanan
Freight(subtouri) = penjemputan dan pengantaran barang dagangan dalamsubtouri.
Untuk setiap node i yang diperebutkan, perusahaan dengan biaya Ci ter-murah menjadi pemenang dalam kompetisi dan berhak melayani node tersebut. Perusahaan yang kalah kehilangan kesempatan untuk melayani node tersebut.
3.2 Sapuan Radial/Pengelompokan General Asigment Prooblem (GAP)
Dalam metode sapuan radial (Gillett dan Miller, 1974), koordinat kutub dari masing-masing node dihitung dengan radius yang didefinisikan sebagai jarak antara pangkalan dan perhentian dan sudut yang didefinisikan dengan dua garis yaitu satu garis dari node produksi ke suatu titik sebarang dan garis yang lain dari node produksi ke node konsumen yang terpilih. Node-node dipilih menu-rut ukuran sudut koordinat-kutubnya yaitu berdasarakan besar-kecilnya jarak ke node produksi. Kemudian sapuan dilaksanakan dengan mempartisi perhentian-perhentian dalam rute-rute, dimulai dari perhentian-perhentian yang mempunyai sudut terke-cil dan menambahkan node-node ke dalam rute sampai taksiran waktu perjalanan total melebihi limit durasi waktu perjalanan keliling. Kemudian node yang melang-gar menjadi node pertama dalam rute berikutnya. Proses ini terus berlanjut sampai semua node dialokasikan ke sebuah kelompok.
12
batasan tambahan sebagai berikut:
minX
K = himpunan kendaraan,
J = himpunan perhentian,
ckj = biaya pengalokasian perhentianj kepada kendaraan k,
xkj = variabel biner yang sama dengan satu jika perhentian j dialokasikan kepada kendaraan k,
pj dan aj masing-masing adalah produksi dan penarikan node j,
α dan β adalah parameter-parameter yang sama dengan α <
P
Kendala (3.3) menjamin bahwa setiap node dialokasikan tepat kepada satu kelompok. Kendala (3.4) menjamin bahwa total produksi dan penarikan masing-masing kelompok sama. Kendala (3.5) dan (3.6) menetapkan kapasitas kelompok minimum dan maksimum sehingga jumlah muatan dalam masing-masing kelom-pok relatip merata.
Supaya GAP menghasilkan kelompok-kelompok yang bisa diubah menjadi perjalanan-keliling berkualitas tinggi, koefisien-koefisien biaya dalam fungsi tu-juan haruslah mencerminkan keakuratan biaya dengan memasukkan perhentian
13
j dalam rute k. Karena perjalanan keliling aktual belum diketahui, biaya ini tidak diketahui dan harus ditaksir. Dalam Nygard et al. (1988), biaya penamba-han perhentian j pada perjalanan-keliling kendaraan k ditaksir sebagai selisih antara biaya mengunjungi node j, kemudian mengunjungi kelompok k (seba-gaimana digambarkan oleh centroidnya), dan kembali ke pangkalan, dengan biaya perjalanan keliling dari pangkalan ke node j dan kembali ke pangkalan.
Maka biaya yang ditanggung adalah:
ckj =dhb,j +dj,k −dk,hb (3.8)
dengan :
dhb,j = jarak dari pangkalan ke node j,
dj,k = jarak dari node j ke centroid kelompok ke- k, dk,hb = jarak dari pangkalan ke centroidk.
Metode ini cenderung menghasilkan taksiran koefisien biaya yang layak untuk node yang lebih jauh dari pangkalan daripada centroid kelompok, tetapi tidak menghasilkan nilai yang sangat bagus untuk node yang lebih dekat ke centroid. Metode alternatip lain adalah sebagai berikut:
ckj =dnearestnode(k),j +dj,nearestnode(k) (3.9)
dengan :
dnearestnode(k),j = jarak antara node j dan node dalam kelompok k yang terdekat ke-j.
14
3.3 Formulasi Tabu Search untuk Penentuan Rute
Tabu search merupakan metode pencarian lokal untuk masalah optimisasi kombinatorial. Seperti yang dijelaskan dalam Glover dan Laguna (1993), metode ini mengeksplorasi ruang penyelesaian dengan bergerak dari satu penyelesaianxi pada iterasiike penyelesaian terbaik xi+1 dalam himpunan bagian neighborhood
N(xi) dari xi. xi+1 tidak selalu lebih baik dari xi dan tabu list disusun untuk mencegah pencarian berputar-putar pada suatu rangkaian penyelesaian. Tabu list tetap mengikuti beberapa sifat penyelesaian yang ditemukan sebelumnya dan se-tiap penyelesaian baru yang memiliki sifat-sifat ini dianggap tabu untukt iterasi. Neighborhood N(xi) darixi adalah himpunan penyelesaian yang bisa dicapai dari
xi dengan gerakan yang telah ditetapkan. Gerakan yang sangat umum digunakan dalam masalah penentuan rute disebut pertukaran-λ di mana hingga sebanyakλ pelanggan saling bertukar antara dua rute. Sifat-sifat gerakan demikian sering berupa edge-edge yang dihapus dan ditambahkan pada rute. Status tabu dari suatu gerakan bisa dicabut jika memenuhi kriteria aspirasi, misalnya, gerakan menghasilkan penyelesaian yang lebih baik dari penyelesaian yang ditemukan se-belumnya.
Seperti yang telah disebutkan sebelumnya, masalah penentuan rute yang dibahas dalam tulisan ini berbeda dari masalah penentuan rute tradisional di-mana tujuannya adalah untuk memaksimumkan keuntungan, dan bukan memini-mumkan biaya. Fungsi keuntungan yang akan dimaksimalkan dalam tabu search adalah yang berikut ini:
prof it =Cw
N = jumlah node dalam perjalanan keliling,
CW = keuntungan dengan menjemput dan mengantar muatan,
CT = biaya waktu perjalanan, pi dan ai adalah produksi dan penarikan pada node i,
ti,j = waktu perjalanan dari node i ke nodej.
15
Dalam fungsi ini, keuntungan merupakan selisih antara keuntungan dari menjem-put dan mengantar muatan dengan biaya yang ditanggung dalam perjalanan dari node ke node untuk mengantar-jemput muatan.
Bagian-bagian berikut menguraikan ciri-ciri penting dari rumus tabu search yang dikembangkan untuk menyelesaikan masalah penentuan rute yang dikaji dalam tulisan ini, yang meliputi gerakan tabu search, tabu list, dan garis-garis besar algoritma tabu search.
3.4 Tahapan Tabu Search
Formulasi tabu search menggunakan empat tipe tahapan yaitu:
1. menambahkan 2 node (satu produksi dan satu penarikan) pada perjalanan keliling saat ini (add 2),
2. menukarkan dua node (masing-masing satu) yang ada dalam perjalanan keliling dengan dua yang tidak ada dalam perjalanan keliling (swap 2),
3. menambahkan satu node (add node), dan
4. menukarkan satu node (swap node).
Untuk menentukan tahapan yang akan dipilih dan tahapan yang melibatkan satu node atau node mana yang diproses, diputuskan berdasarkan potensi produk-si dan penarikan perjalanan-keliling saat ini. Kuantitas ini merupakan total seliproduk-sih antara permintaan node-node dalam perjalanan keliling dan jumlah muatan yang benar-benar diantar/jemput pada node-node tersebut:
∆prod =
16
Jika ∆P ROD = ∆AT T, maka diambil gerakan add 2. Jika gerakan add 2 ter-baik yang mungkin menimbulkan pelanggaran terhadap batasan waktu perjalanan-keliling, maka diambil gerakan swap 2. Jika ∆P ROD 6= ∆AT T, maka diambil gerakan add node. Jika gerakan add node terbaik yang mungkin menimbulkan pelanggaran terhadap batasan waktu perjalanan-keliling, maka diambil gerakan
swap node.
Dalam gerakan add 2 dan swap 2, baik node produksi maupun node pe-narikan ditukar/tambah. Di lain pihak, dalam gerakan add node dan swap node haruslah diambil keputusan tentang apakah node produksi atau node penarikan harus ditambahkan atau ditukarkan. Jika ∆P ROD > ∆AT T, maka perjalanan-keliling mempunyai lebih banyak produksi yang tidak digunakan, karenanya node penarikan harus ditukar/tambah. Dalam hal lainnya, perjalanan keliling mem-punyai lebih banyak node penarikan yang tidak digunakan dan node produksi ditukar/tambah.
3.5 Tabu List
Tabu list menyimpan arc-arc yang ditambahkan dan dihapus dari perjalanan-keliling sebagai hasil dari gerakan pada tabu search. Tabu list adalah susunan tiga dimensi, TABU(i, j, k) di mana i dan j menyatakan arc (i, j) dan k mempunyai nilai 1 yang berarti bahwa arc ditambahkan pada perjalanan-keliling atau bernilai 2 yang berarti bahwa arc dihapus dari perjalanan-keliling. Arc-arc tersebut tetap berada di dalam tabu list untukp iterasi.
Untuk masing-masing gerakan, diidentifikasi himpunan gerakan yang mung-kin dan dipilih gerakan yang menghasilkan nilai fungsi tujuan paling tinggi. Jika gerakan ini tidak melibatkan arc yang ada dalam tabu list, gerakan tersebut di-terima dan perjalanan-keliling dalam tabu list dimutakhirkan. Jika gerakan meli-batkan arc-arc tabu tetapi menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih besar dari nilai yang dicapai sebelumnya, gerakan tersebut diterima, perjalanan-keliling dan tabu list dimutakhirkan, dan nilai fungsi tujuan yang dihasilkan menjadi tingkat aspirasi baru. Proses ini diulangi sampai diperoleh tidak ada peningkatan dalam penyelesaian yang lebih baik dari penyelesaian sebelumnya ditemukan. Dengan
17
demikian, kriteria berhenti adalah bahwayiterasi telah dilaksanakan tanpa mene-mukan penyelesaian yang lebih baik.
Setelah garis-garis besar prosedur tabu search diuraikan, selanjutnya diapli-kasikan fase penentuan rute dari proses penyelesaian dan diperiksa perjalanan-keliling yang dihasilkan untuk mengetahui apakah terjadi pertukaran node yang mungkin dilakukan untuk meningkatkan keuntungan dari setidaknya satu perja-lanan-keliling tanpa mengurangi keuntungan perjaperja-lanan-keliling lainnya. Proses pertukaran node ini diuraikan dalam bagian berikut.
3.6 Pertukaran Node Intra-pemain
Setiap node dalam perjalanan-keliling yang masuk dalam tabu search, di-periksa apakah terdapat pasangan node yang mempunyai produksi atau penarikan yang sama. Setelah pasangan node dalam dua perjalanan-keliling yang berbeda dengan permintaan muatan yang sama diidentifikasi, node-node tersebut diper-tukarkan dan masing-masing dimasukkan dalam perjalanan-keliling baru di lokasi yang paling menguntungkan. Keuntungan baru untuk masing-masing perjalanan-keliling dihitung, jika keuntungan baru lebih besar atau sama dengan keuntungan saat ini, maka pertukaran diterima. Dasar pemikiran untuk tahap ini adalah bah-wa prosedur penyelesaian pengelompokan/GAP/ dalam penentuan rute membagi-bagi masalah sehingga masing-masing perjalanan keliling dibentuk secara bebas dan proses pertukaran ini memungkinkan prosedur penyelesaian untuk memerik-sa perjalanan keliling dari masing-masing pemain secara bermemerik-sama-memerik-sama dapat mengetahui apakah himpunan perjalanan-keliling dapat dijadikan lebih mengun-tungkan.
3.7 Formulasi Mixed Integer Programming
18
Titik awal untuk pendekatan adalah aliran formulasi dari Traveling Sales-man Problem (TSP) (Ahuja et al., 1993). Parameter-parameter dari persoalan diberikan sebagai berikut :
N = Jumlah Node
A = Himpunan Arc
CT = biaya dari waktu perjalanan
Cw = biaya bongkar muat
CP = biaya yang dikeluarkan akibat tidak mengunjungi suatu node
T = waktu perjalanan maksimum yang diperkenankan
tij = waktu perjalanan dari node i ke nodej pada kota besar dengan kecepatan tetap
tw = waktu yang diperlukan untuk bongkar muat satu unit muatan
bi = permintaan muatan pada suatu node i (bi >0) berarti terdapat muatan untuk diambil di nodei dan diantar ke tempat lain, bi <0 artinya node
imembutuhkan muatan untuk di antarkan) Q = kapasitas dari kendaraan (vehicle).
Variabel-variabelnya adalah :
xij = variabel biner yang menandakan arc ij ada pada tour.
zij = Alur pada arc ij yang menggambarkan jumlah dari muatan pada
kendaraan (vehicle) dari nodei ke node j. ui = jumlah muatan yang diambil pada node i.
di = jumlah muatan yang diantarkan ke node i ( kendala menjadi nonpositif, untuk aliran koservasi, atraksinya negatif)
fi = sebuah hukuman jika node i tidak dikunjungi.
Fungsi tujuannya untuk memaksimumkan total antar/jemput sambil mem-inimumkan waktu perjalanan. Kendala-kendala yang harus dipenuhi antara lain:
1. Keterbatasan waktu perjalanan yang meliputi waktu perjalanan dan waktu bongkar muat.
19
2. Setiap perjalanan harus berawal dan berakhir pada satu titik yaitu pangkalan truk/kendaraan, tetapi diperbolehkan untuk tidak mengunjungi suatu node jika tidak cukup waktu untuk mengunjunginya.
3. Tidak terdapat subrute untuk setiap kendaraan.
4. Keterbatasan kapasitas kendaraan.
5. Keterbatasana jumlah muatan yang diantar/jemput.
6. Kendala yang menjamin bahwa jumlah total muatan yang dijemput dalam satu perjalanan keliling diantarkan.
7. Kendala yang menjadi batasan eliminasi sub-perjalanan keliling yang dita-mbahkan pada MIP sesuai kebutuhan.
Selanjutnya persoalan multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar dapat dimodelkan sebagai berikut:
20
Dimana C adalah sebuah Cycle yang bukan merupakan subtour maksimal awal dan akhir pada pangkalan induk.
Fungsi tujuan dalam (3.12) memaksimalkan total antar/jemput sambil me-minimalkan waktu perjalanan. Suku pertama adalah biaya waktu perjalanan untuk perjalanan keliling dan dua suku terakhir menyatakan keuntungan dalam mengantar/jemput muatan. Kendala waktu perjalanan keliling dalam (3.13) men-jamin bahwa durasi perjalanan keliling tidak melebihi limit waktu T. Suku per-tama menyatakan waktu perjalanan dan dua suku terakhir menyatakan waktu bongkar/muat. Kendala (3.14)-(3.17) menjamin bahwa perjalanan keliling be-rawal dan berakhir di pangkalan truk yang dinyatakan sebagai node 1 dan bahwa masing-masing node yang dikunjungi tepat satu kali. Suku fi dalam (3.14) dan (3.15) memungkinkan perjalanan-keliling melompati suatu node jika tidak cukup waktu untuk mengunjunginya.
Karena rumus ini tidak mengharuskan bahwa permintaan muatan setiap node dipenuhi dengan tepat, kendala kesamaan konservasi aliran dalam (3.18) dan (3.19) melibatkan jumlah muatan yang diantar/jemput secara aktual dan
21
bukan jumlah yang tersedia di masing-masing node. Kendala (3.20) menjamin bahwa hanya arc-arc pada perjalanan keliling mempunyai alur, yaitu, jikaxijsama dengan nol karenanya juga zij. Kendala (3.20) juga menjamin bahwa kapasitas kendaraan tidak dilampaui.
Kendala (3.21)-(3.24) berkenaan dengan jumlah muatan yang diantar/ jem-put. Kendala (3.21) dan (3.22) menjamin bahwa jumlah muatan yang dijemput di node produksi tidak melebihi jumlah muatan yang tersedia di node tersebut dan jumlah muatan yang diantar ke node penarikan tidak melebihi jumlah mu-atan yang dibutuhkan node tersebut. Kendala (3.23) menjamin bahwadi, jumlah muatan yang diantar ke node i, nonpositip. Kendala (3.24) dibutuhkan untuk menjamin bahwa jumlah total muatan yang dijemput dalam satu perjalanan ke-liling diantarkan. Kendala (3.25) adalah batasan eliminasi sub-perjalanan keli-ling yang ditambahkan pada MIP sesuai kebutuhan. Kendala ini mengeliminasi subperjalanan-keliling yang tidak maksimal.
BAB 4
KESIMPULAN
Persoalan multivehicle routing dengan kendala kompetisi pasar dapat mem-punyai model dalam bentuk formula Mixed Integer Programming. Dengan fungsi tujuan:
Dengan Fungsi tujuan memaksimalkan total antar/jemput sambil meminimalkan waktu perjalanan. Suku pertama adalah biaya waktu perjalanan untuk perjalanan keliling dan dua suku terakhir menyatakan keuntungan dalam mengantar/jemput muatan.
Dan fungsi kendala terdiri dari:
1. Kendala waktu perjalanan keliling yang terdiri dari waktu perjalanan dan waktu waktu bongkar/muat.
2. Kendala bahwa perjalanan keliling berawal dan berakhir di pangkalan truk yang dinyatakan sebagai node 1 dan bahwa masing-masing node yang dikun-jungi tepat satu kali dan memungkinkan perjalanan-keliling melompati su-atu node jika tidak cukup waktu untuk mengunjunginya.
3. Karena formula ini tidak mengharuskan bahwa permintaan muatan setiap node dipenuhi dengan tepat maka terdapat kendala kesamaan konservasi aliran dalam yang melibatkan jumlah muatan yang diantar/jemput secara aktual dan bukan jumlah yang tersedia di masing-masing node.
4. Kendala keterbatasan kapasitas kendaraan.
5. Kendala yang berkenaan dengan jumlah muatan yang diantar/jemput.
6. Kendala yang menjamin bahwa jumlah muatan yang dijemput di node pro-duksi tidak melebihi jumlah muatan yang tersedia di node tersebut dan
22
23
jumlah muatan yang diantar ke node penarikan tidak melebihi jumlah mu-atan yang dibutuhkan node tersebut.
7. Kendala yang menjamin bahwa jumlah total muatan yang dijemput dalam satu perjalanan keliling diantarkan.
8. Kendala yang menjadi batasan eliminasi sub-perjalanan keliling yang ditam-bahkan pada MIP sesuai kebutuhan.
DAFTAR PUSTAKA
Ahuja.R, Magnanti.T, and Orlin.J, 1993. Network Flows. Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey.
Assad.A, 1988.Modeling and Implementation Issues in Routing in Vehicle routing: Methods and Studies, B.L. Golden and A.A. Assad(eds), 7-45, North-Holland, Amsterdam.
Feillet. D., Dejax. P, and Gendreau, 2005.Traveling salesman problems with profits, Transportations Science 39(2), 188-205
Feillet. D, 2001.Problems de tournes avec gains: Etude et application au transport inter-usines, Ph. D. thesis, Laboratoire Productique Logistique, Ecole Cen-trale Paris Rardin RL. 1998. Optimization in Operation Research. Prentice Hall International. New Jersey.
Foulds LR. 1992. Graph Theory Applications. New York: Springer Verlag.
Friesz. T, Gottfried. J, and Morlok. E, 1986.A Sequential Shipper-Carrier Network Model for Predicting Freight Flows. Transportation Science 20(2), 80-91. Gillett. B and Miller. L, 1974. A heuristic algorithm for the vehicle-dispatch
pro-blem, Operations Research 22, 340-349.
Glover. F and Laguna. M, 1993. Tabu Search, in Modern Heuristic Techniques for Combinatorial Problems, C. Reeves (ed), 70-150, Blackwell Scientific Publi-cations, Oxford,
Holgun J.V, and Jara. S.D, 1999.Optimal Space Allocation and Pricing for Priority Service at Container Ports. Transportation Research Part B 33(2), 81-106. Holgun. J, V, 2000. A Framework for an Integrative Freight Market Simulation,
IEEE 3rd Annual Intelligent Transportation Systems Conference ITSC-2000, 476-481, Dearborn Michigan.
Jacobs. C , Blecha and Goetschalckx. M, 1993. The vehicle routing problem with backhauls: Properties and solution algorithms, Technical Report MHRC-TR-88-13, Georgia Institute of Technology.
Kallehauge B, Larsen J, Marsen OBG. 2001. Lagrangean duality Applied on Vehi-cle Routing Problem with time Windows. Technical Report. IMM. Technical University of Denmark.
Nanry. W and Barnes. J, 2000. Solving the pickup and delivery problem with time windows using reactive tabu search, Transportation Research Part B 34, 107121.
K. Nygard, P. Greenberg, W. Bolkan, and E. Swenson,1988. Generalized assign-ment methods for the deadline vehicle routing problem in Vehicle routing: Methods and Studies, B. L. Golden and A. A. Assad(eds), 107-125, North-Holland, Amsterdam.
24
25
Taha HA. 2003. Operations Research: An Introduction. Ed. Ke-7. Pearson Educa-tion InternaEduca-tional. New Jersey.
Toth P, Vigo D. 2002. The Vehicle Routing Problem. Philadelphia: Siam.
USDOT, 2002. Commodity Flow Survey U.S. Department of Transportation, Bu-reau of Transportation Statistics, U.S. Department of Commerce Economics and Statistics Administration, U.S. Census Bureau, Washington, D.C.
