SENSITIVITAS UKURAN AMATAN
MODEL AUTOREGRESI FUZZY
SUCI ANGGRAYANI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2014
Suci Anggrayani
ABSTRAK
SUCI ANGGRAYANI. Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy. Dibimbing oleh ITASIA DINA SULVIANTI dan YENNI ANGRAINI.
Metode pemodelan yang umum digunakan dalam analisis deret waktu adalah Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). Metode ARIMA lebih efektif diterapkan pada data dengan ukuran amatan besar, sekurang-kurangnya 50. Tseng pada tahun 2001 memperkenalkan metode ARIMA Fuzzy untuk melakukan pemodelan data deret waktu dengan ukuran amatan terbatas. ARIMA fuzzy menggabungkan keunggulan penelitian sebelumnya, yakni logika fuzzy, ARIMA dan regresi fuzzy. Merujuk pada penelitian Tseng, penelitian ini akan menelusuri selang ukuran deret waktu yang optimal apabila dilakukan pemodelan autoregresi fuzzy pada kondisi tertentu. Hasil penelitian menunjukkan bahwa model ARIMA fuzzy pada kondisi data deret waktu AR(2) dengan µ=50 dan dugaan parameter 1=0.600 dan 2=0.300 lebih sensitif ketika ukuran amatan kurang dari 20.
Kata kunci: ARIMA Fuzzy, Logika Fuzzy, Regresi Fuzzy
ABSTRACT
SUCI ANGGRAYANI. The Sensitivity of Observation Size for Fuzzy Autoregression Model. Advised by ITASIA DINA SULVIANTI and YENNI ANGRAINI.
The conventional time series modelling method is Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA). ARIMA method is more effective if it is applied in long time periode of observations that at least 50 observations. Tseng on 2001, introduced Fuzzy ARIMA method to deal time series modelling on short time periode of observations. Fuzzy ARIMA combines the advantages of fuzzy logic,
ARIMA and fuzzy regression. Considering Tseng’s study the aim of this study is tracing the optimal observation range size when fuzzy ARIMA method is applied at the curent condition. The result of this study indicated that fuzzy ARIMA when the condition of time series data AR(2) with µ=50 and parameter estimation 1=0.600 and 2=0.300 was more sensitive when the observation size less than 20.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika
SENSITIVITAS UKURAN AMATAN
MODEL AUTOREGRESI FUZZY
SUCI ANGGRAYANI
DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi : Sensitivitas Ukuran Amatan Model Autoregresi Fuzzy Nama : Suci Anggrayani
NIM : G14090019
Disetujui oleh
Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi Pembimbing I
Yenni Angraini, MSi Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Ir Hari Wijayanto, MSi Ketua Departemen
PRAKATA
Tiada kata yang pantas diucapkan selain puja dan puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan karunia yang luar biasa kepada penulis. Shalawat beserta salam semoga selalu tercurahlimpahkan kepada baginda Rasulullah SAW beserta keluarga, sahabat dan pengikutnya.
Merupakan kebahagiaan yang tidak terkira akhirnya penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini sebagai salah satu syarat kelulusan studi di Departemen Statistika FMIPA IPB. Walaupun tidak dapat dituliskan satu persatu, namun penulis menghaturkan banyak terima kasih kepada:
1. Ibu Dra Itasia Dina Sulvianti, MSi beserta Ibu Yenni Angraini, MSi selaku komisi pembimbing yang dengan penuh kesabaran membimbing serta memberikan saran dan dorongan kepada penulis untuk menyelesaikan tugas akhir ini.
2. Ibu Dian Kusumaningrum, MSi selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan dan arahan.
3. Abah, Mama, Yuga Nugraha dan Moch. Irsyad Gunawan yang tak bosan-bosannya memberikan doa dan dukungan agar dapat secepatnya menyelesaikan tugas akhir ini.
4. Rekan-rekan Statistika 2009 atas kebersamaan dalam suka maupun duka. Akhir kata, semoga tugas akhir ini bermanfaat sehingga menjadi suatu amalan yang tidak terputus bagi penulis dan semua pihak yang telah turut membantu. Aamiin.
Bogor, Januari 2014
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL viii
DAFTAR GAMBAR viii
DAFTAR LAMPIRAN viii
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Tujuan Penelitian 1
TINJAUAN PUSTAKA 2
Konsep Himpunan Fuzzy 2
Regresi Fuzzy 3
ARIMA Fuzzy 4
METODOLOGI 5
Bahan 5
Metode 5
HASIL DAN PEMBAHASAN 6
Pemeriksaan Program 6
Autoregresi Fuzzy 10
Simulasi Sensitivitas Ukuran Amatan Optimum 13
SIMPULAN DAN SARAN 16
Simpulan 16
Saran 16
DAFTAR PUSTAKA 16
DAFTAR TABEL
1 Ilustrasi data deret waktu hasil bangkitan 7
2 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi 9 3 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi 9 4 Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran
amatan 10
5 Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy 11 6 Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi 13
DAFTAR GAMBAR
1 Fungsi keanggotaan segitiga 3
2 Plot data bangkitan terhadap deret waktu (a) t=10; (b) t=45 7 3 Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45 8 4 Plot PACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45 8 5 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=10 12 6 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45 12
7 Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF 14
8 Plot peluang nilai RMSE model ARF<AR 14
9 Plot rataan RMSE ramalan model AR dan ARF 15
10 Plot peluang nilai RMSE prediksi model ARF<AR 15
DAFTAR LAMPIRAN
1 Keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy 17
2 Nilai RMSE prediksi 25
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model ARIMA yang diperkenalkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1976 telah banyak diterapkan dalam kegiatan peramalan. Model ARIMA memiliki asumsi bahwa nilai di masa yang akan datang memiliki hubungan fungsional dengan nilai di masa sekarang dan nilai di masa lampau serta galat bersifat white noise, yang berarti bahwa galat bersifat bebas dengan rataan dan ragam konstan (Wei 1989). Keunggulan model ARIMA adalah memiliki akurasi peramalan yang baik untuk periode waktu pendek, akan tetapi model ARIMA juga memiliki keterbatasan yakni dalam hal ukuran amatan. Tidak ada aturan yang mengikat terkait ukuran amatan minimum yang diperlukan dalam pemodelan ARIMA. Beberapa penulis mengatakan ukuran amatan minimal adalah 30, beberapa mengatakan 50 dan yang lainnya mengatakan 60 (Yaffee 1999). Tseng et al. pada tahun 2001 mengatakan setidaknya ukuran amatan yang dibutuhkan adalah 50 dan akan lebih baik apabila di atas 100. Model ARIMA menggunakan konsep
measurement error atau kesalahan pengukuran yang diperoleh dari perbedaan antara data prediksi dengan data aktual. Kenyataannya, data aktual yang diperoleh merupakan nilai yang tepat dan tidak termasuk dalam kesalahan pengukuran (Tseng et al. 2001).
Model regresi fuzzy dikembangkan oleh Tanaka dan Watada (Tseng et al. 2001). Model ini digunakan untuk menangani masalah regresi untuk jumlah amatan yang terbatas. Konsep dasar dari model ini adalah penyimpangan antara data aktual dan nilai prediksi diasumsikan sebagai akibat dari ketidakjelasan sistem atau kekaburan dari dugaan parameter regresi, bukan kesalahan pengukuran. Hasil prediksi dari model regresi fuzzy adalah berupa selang. Kelemahan dari model ini adalah apabila terdapat pencilan maka dugaan yang berupa selang tersebut akan semakin lebar.
Model ARIMA dapat diterapkan pada data dengan ukuran amatan terbatas dengan upaya menggabungkanya dengan konsep regresi fuzzy. Konsep ini dikenal dengan ARIMA fuzzy yang dicetuskan oleh Tseng et al. pada tahun 2001. Model ARIMA fuzzy digunakan Tseng et al. untuk melakukan peramalan kurs mata uang Dollar Taiwan terhadap Dollar Amerika. Hasil penelitian tersebut menyatakan bahwa ARIMA fuzzy dengan model spesifik autoregresi fuzzy (ARF), terbukti memiliki hasil prediksi yang lebih baik daripada model autoregresi (AR) untuk data dengan ukuran amatan terbatas. Melalui perbandingan kebaikan model antara model AR dan ARF, maka akan diperoleh ukuran amatan maksimum apabila dilakukan pemodelan ARF. Ukuran amatan tersebut dapat pula diartikan sebagai ukuran amatan minimum yang masih baik apabila dilakukan pemodelan AR untuk kondisi data tertentu.
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
Konsep Himpunan Fuzzy
Konsep himpunan fuzzy atau himpunan kabur diperkenalkan oleh Lotfi A. Zadeh pada tahun 1965. Konsep ini merupakan tahap pengembangan dari konsep bilangan crisp atau tegas. Himpunan tegas hanya dapat merepresentasikan pengertian benar atau salah, sedangkan himpunan fuzzy mampu merepresentasikan pengertian nilai antara benar dan salah. Ilustrasinya adalah jika terdapat peubah suhu ruangan maka himpunan tegas hanya dapat menjelaskan panas atau dingin, sedangkan himpunan fuzzy dapat menjelaskan panas, sedang dan dingin. Konsep fuzzy sering digunakan untuk mengekspresikan suatu nilai yang diterjemahkan ke dalam bahasa atau linguistik.
Jika X merupakan suatu himpunan dengan angota-anggotanya dilambangkan dengan x, nilai keanggotaan x dalam suatu himpunan A yang diperoleh dari fungsi
didefinisikan dengan:
Nilai keanggotaan bilangan tegas merupakan bilangan diskret yang hanya memiliki dua kemungkinan, yakni yang berarti benar atau x merupakan anggota dari himpunan A serta yang berarti salah atau x tidak menjadi anggota himpunan A. Nilai keanggotaan bilangan fuzzy merupakan bilangan kontinu antara 0 hingga 1 yang berarti suatu nilai dapat tergabung dalam benar dan salah secara bersamaan. Nilai dari himpunan fuzzy tersebut ditentukan oleh fungsi keanggotaan.
Fungsi keanggotaan (membership function) adalah suatu fungsi yang menunjukkan pemetaan titik-titik input data ke dalam nilai keanggotaan bilangan fuzzy. Terdapat beberapa fungsi yang dapat digunakan melalui pendekatan fungsi untuk mendapatkan nilai keanggotaan seperti linier, triangular, trapezoidal, Gaussian, dan Generalized Bell (Kusumadewi 2010). Fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy yang digunakan pada penelitian ini adalah fungsi keanggotaan segitiga dengan persamaan fungsi keanggotaan sebagai berikut:
{
ainnya
dengan A(xi) merupakan nilai keanggotaan nilai non-fuzzy xi pada himpunan
fuzzy A, i merupakan nilai tengah bilangan fuzzy dan ci merupakan sebaran dari
3
Gambar 1 Fungsi keanggotaan segitiga
Regresi Fuzzy
Regresi fuzzy dikembangkan oleh Tanaka pada tahun 1982. Regresi fuzzy digunakan untuk menangani masalah regresi dengan jumlah ukuran amatan terbatas. Konsep dasar dari regresi fuzzy adalah bahwa penyimpangan antara nilai penduga dengan nilai aktual tidak diperoleh dari kesalahan nilai pengukuran
(measurement error), akan tetapi diperoleh dari ketidakjelasan sistem atau kekaburan dari koefisien regresi. Hal ini menandakan bahwa nilai residual diakibatkan oleh ketidakpastian parameter dalam model. Model umum regresi fuzzy adalah sebagai berikut:
̃ ̃ ̃ ̃ ̃
dengan ̃ adalah nilai respon fuzzy, Xi adalah peubah bebas,̃ untuk i=0,1,2,...n
adalah koefisien regresi fuzzy peubah bebas ke-i (Saphiro 2005). Koefisien fuzzy merupakan suatu fungsi yang memiliki dua parameter yakni yang merupakan nilai tengah (middle value) dan c yang merupakan sebaran (spread). Koefisien fuzzy ̃ dapat ditulis dalam bentuk ̃ sehingga persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:
̃
Koefisien fuzzy diperoleh melalui penyelesaian permasalahan program linier dengan cara meminimumkan tingkat kekaburan S (vagueness) yang didefinisikan sebagai penjumlahan dari penyebaran masing-masing parameter fuzzy dalam model. Nilai objektif dari model regresi pada data non-fuzzy digunakan untuk memperoleh parameter ̃ sehingga setiap observasi yang mengandung nilai yj didekatkan dengan
nilai keanggotaan yang lebih besar dari h, dengan sesuai dengan persamaan berikut:
untu
4
j=0,1,2,...k menunjukkan ukuran amatan yang digunakan untuk membangun model regresi fuzzy, sedangkan untuk menentukan parameter dari regresi fuzzy telah dirumuskan oleh Tanaka (dalam Tseng et al. 2001) dengan mengkonversi persamaan tersebut ke dalam permasalahan pemrograman linier berikut:
minimumkan : ∑
kendala : ∑ ( - ) ∑
∑ -( - ) ∑
ARIMA Fuzzy
Peramalan dengan menggunakan model ARIMA memiliki keuntungan berupa keakuratan ramalan untuk jangka waktu yang cukup singkat, namun memiliki keterbatasan dalam hal ketersediaan data. Jumlah amatan minimal yang digunakan adalah 50 dan akan lebih baik lagi apabila jumlah amatan yang digunakan lebih dari 100 (Tseng et al. 2001). Regresi fuzzy digunakan untuk menangani masalah regresi dengan jumlah amatan terbatas.
Penggabungan keuntungan antara model ARIMA dan model regresi fuzzy untuk membangun model ARIMA fuzzy diharapkan mampu memodelkan data deret waktu dengan jumlah amatan terbatas sehingga diperoleh hasil peramalan yang lebih baik. Mengadaptasi dari metode yang dikembangkan oleh Ishibuchi dan Tanaka (dalam Tseng et al. 2001) maka formulasi model ARIMA fuzzy
koefisien fuzzy. Persamaan di atas dimodifikasi menjadi:
̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃ ̃
atau
̃
5
Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari hasil pembangkitan data deret waktu dengan model AR(2) t dan =50, dengan parameter bangkitan ϕ1=0.600 dan ϕ2=0.300 Ukuran amatan yang digunakan dalam pemodelan dibagi ke dalam delapan kategori dengan masing-masing kategori berukuran 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, dan 45. Ukuran amatan yang digunakan dalam validasi atau peramalan untuk setiap ketegori adalah 5 periode. Nilai keanggotaan fuzzy (h) yang digunakan adalah h=0.
Metode
Penelitian ini dilakukan melalui proses simulasi. Data dibangkitkan dengan bantuan piranti lunak R 3.0.1. Tahapan-tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini terangkum dalam algoritma berikut:
1. Membangkitkan data model AR(2) untuk t=10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, dan 45 dengan parameter bangkitan ϕ . dan ϕ . yang diulang sebanyak 30 kali.
2. Memeriksa data bangkitan AR melalui tahapan analisis ARIMA Box-Jenkins. Model AR (p) adalah sebagai berikut:
ϕ ϕ ϕ
dengan t adalah banyaknya periode atau ukuran amatan data deret waktu, Yt
adalah data deret waktu pada periode ke-t, ϕi untuk i=1,2,...,p adalah parameter autoregresi orde pertama hingga ke-p, adalah konstanta yang diperoleh dari -∑ ϕ serta et adalah galat pada periode ke-t.
Tahapan analisis ARIMA adalah sebagai berikut:
a. Melakukan eksplorasi data untuk mengetahui pola data dan kestasioneran secara visual data deret waktu.
6
c. Menduga parameter dengan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood estimation) atau MLE. Metode ini dilakukan dengan cara memaksimumkan fungsi kemungkinan berdasarkan fungsi sebaran galat ( ).
d. Mendiagnosa model.
e. Melakukan overfitting, yakni memeriksa model terdekat yang memiliki galat lebih minimum.
f. Melakukan peramalan (Wei 2005).
3. Menentukan model autoregresi fuzzy (ARF) yang meliputi tahapan berikut ini. a. Melakukan fuzzifikasi dugaan parameter yang diperoleh dari model AR ke
dalam fungsi keanggotaan segitiga.
Persamaan AR(p) fuzzy adalah sebagai berikut: ̃ ̃ ̃ ̃ ̃p
atau
̃
b. Menduga parameter dan dari solusi dari pemrograman linier peminimuman nilai kekaburan (S).
∑ ∑ | || -|
dengan kendala: ∑ | - | ( - )(∑ | - |) , ∑ | - | -( - )(∑ | - |)
4. Melakukan peramalan.
5. Membandingkan kedua metode berdasarkan ukuran kebaikan model RMSE prediksi dan ramalan.
6. Melakukan tahapan 1-5 untuk ukuran amatan data deret waktu berbeda. 7. Menentukan ukuran amatan ketika model ARF lebih baik dari model AR.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pemeriksaan Program
Pemeriksaan program dilakukan untuk mengetahui program yang dibuat telah berjalan dengan baik serta memberikan hasil yang tepat. Tahapan program yang dibuat adalah sebagai berikut.
Program Pembangkitan Data
7 terhadap pembuktian metode yang diuji yang nantinya akan berpengaruh pula terhadap kesimpulan yang diperoleh. Ilustrasi dilakukan dengan mengambil masing-masing satu set data deret waktu hasil bangkitan dengan perintah arima.sim untuk ukuran amatan 10 dan 45 yang terangkum dalam Tabel 1.
Tabel 1 Ilustrasi data deret waktu hasil bangkitan
t Yt t Yt t Yt t Yt t Yt
t=10
1 52.273 3 51.517 5 50.403 7 50.263 9 49.724
2 52.147 4 51.543 6 50.815 8 50.799 10 49.669
t=45
1 45.529 10 50.786 19 47.713 28 51.525 37 42.221
2 48.663 11 50.341 20 48.070 29 51.536 38 44.009
3 46.750 12 49.909 21 49.055 30 52.110 39 43.876
4 48.443 13 50.052 22 48.080 31 48.875 40 45.720
5 48.068 14 50.795 23 47.815 32 50.394 41 44.265
6 48.895 15 47.857 24 49.731 33 48.642 42 44.650
7 47.630 16 48.353 25 50.009 34 46.693 43 44.490
8 49.894 17 48.621 26 51.108 35 45.445 44 44.084
9 51.092 18 48.533 27 50.738 36 44.906 45 44.852
Program pendugaan parameter AR
Tahapan berikutnya yakni memeriksa kesesuaian nilai dugaan parameter data deret waktu yang dibangkitkan dengan parameter yang diharapkan. Tahapan ini dilakukan dengan mengidentifikasi model melalui plot data terhadap waktu serta korelogram (plot ACF dan PACF), menduga parameter dan mendiagnosa model.
Plot data terhadap waktu digunakan untuk melihat kestasioneran data baik dalam rataan maupun ragam. Berdasarkan Gambar 2, plot data terlihat memiliki pola naik, seolah data tidak stasioner terhadap rataan maupun ragam. Hal ini dikarenakan ukuran amatan yang digunakan dalam pemodelan terbatas sehingga berpengaruh pada skala grafik sehingga kerenggangan antar amatan terlihat jelas akan tetapi, jika ukuran amatan besar plot data akan terlihat lebih stasioner.
8
Plot ACF pada Gambar 3 memperlihatkan bahwa nilai autokorelasi untuk kedua ukuran amatan turun secara perlahan. Plot PACF pada Gambar 4 memperlihatkan bahwa nilai autokorelasi parsial nyata pada lag pertama lebih signifikan daripada lag lainnya untuk kedua ukuran amatan. Hal tersebut mengindikasikan bahwa model dugaan deret waktu untuk kedua ukuran amatan adalah AR(1). Berdasarkan plot ACF dan PACF, tidak diperoleh model dugaan yang sesuai dengan model bangkitan AR(2). Hal ini dikarenakan ukuran amatan data deret waktu kecil yang berakibat pada nilai galat baku autokorelasi (Srk)
menjadi besar. Nilai ⁄√ digunakan untuk pengujian hipotesis nilai autokorelasi dan autokorelasi parsial. Hipotesis untuk pengujian korelasi adalah sebagai berikut:
H0: H1: H0 ditolak jika |rk|>Srk atau |rk|>2/√ . (Cryer,2008)
Gambar 3 Plot ACF data bangkitan (a) t=10; (b) t=45
9 Setelah diperoleh model dugaan awal, tahap berikutnya adalah menduga parameter AR(1). Berdasarkan Tabel 2, diperoleh ϕ̂ . untuk model dengan ukuran amatan 10 sedangkan untuk ukuran amatan 45 diperoleh nilai ϕ̂ . . Untuk mengetahui keberadaan model lain yang lebih baik dari model dugaan awal maka tahapan berikutnya adalah melakukan overfitting, yakni menduga model terdekat yang lebih baik dari model dugaan awal. Model terdekat dari model
Tabel 2 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(1) untuk data ilustrasi
t Nilai
dugaan Koefisien Galat baku s
2 Log
Tabel 3 Keluaran nilai dugaan dan kebaikan model AR(2) untuk data ilustrasi
t Nilai
dugaan Koefisien Galat baku s
2 Log
10
0.024. Hal tersebut mengindikasikan bahwa program pembangkitan yang telah dibuat sudah berjalan dengan baik dan memenuhi kriteria yang diinginkan.
Tabel 4 Deskripsi nilai dugaan parameter model AR untuk berbagai ukuran amatan
Model autoregresi fuzzy (ARF) merupakan analisis lanjutan dari model Autoregresi Box-Jenkins (AR). Setelah diperoleh nilai dugaan parameter AR, maka selanjutnya dilakukan proses optimasi berupa peminimuman fungsi kekaburan (S). Ilutrasi dilakukan dengan menduga model autoregresi fuzzy pada set data series yang berukuran 10 dan 45 yang diperoleh dari tahapan sebelumnya. Berdasarkan proses pendugaan model Box-Jenkins, maka untuk kedua set data tersebut diperoleh persamaan AR(2) secara berturut-turut sebagai berikut:
11 Tahapan berikutnya adalah menentukan nilai dugaan parameter fuzzy, yaitu
yang berupa mean atau nilai tengah dari Wt serta yang
berupa spread atau sebaran dari Wt. Ilustrasi pendugaan parameter model ARF
diterapkan pada data dengan ukuran amatan 10. Adapun nilai-nilai yang telah diperoleh pada pendugaan parameter model AR disubstitusikan ke dalam persamaan berikut:
Sebelum memperoleh nilai dan , maka terlebih dahulu menentukan nilai
h (nilai keanggotaan) yang nilainya terletak antara 0 hingga 1 dengan cara trial and error ke dalam fungsi peminimuman. Pemilihan nilai h berpengaruh terhadap lebar selang dugaan. Semakin besar h mengakibatkan semakin lebar selang kepercayaan dugaan (Razak 2012). Proses peminimuman fungsi dilakukan melalui sistem pemrograman linier menggunakan metode simpleks. Hal yang sama juga dilakukan untuk ukuran amatan 45. Hasil keluaran proses tersebut dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan untuk keluaran proses optimasi data secara keseluruhan terlampir pada Lampiran 1.
Tabel 5 Hasil keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy
12
. . . .
. . . .
Berdasarkan persamaan tersebut maka diperoleh model ARF batas bawah yang dihasilkan melalui pengurangan nilai tengah ( i) oleh nilai sebaran (ci)serta
model ARF batas atas yang diperoleh dengan penjumlahan i dengan ci. Plot data
dugaan yang berupa selang juga dapat dilihat pada Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=10
Gambar 6 Plot selang dugaan dan ramalan AR dan ARF untuk t=45
48.0000
Batas Bawah AR Batas Atas AR Batas Bawah ARF Batas Atas ARF
Batas Bawah AR Batas Atas AR Batas Bawah ARF Batas Atas ARF
13 Hasil ukuran kebaikan nilai dugaan dan ramalan terangkum dalam Tabel 6. Ukuran kebaikan yang digunakan adalah Root Mean Square Error (RMSE). Nilai RMSE yang kecil mengindikasikan perbedaan nilai dugaan dengan nilai aktual kecil yang artinya semakin kecil nilai RMSE maka model akan semakin baik. Adapun nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk ukuran amatan 10 berturut-turut adalah 1.046 dan 0.386. Nilai RMSE model ARF lebih kecil dari ARF yang berarti bahwa untuk pendugaan pada ukuran amatan 10 model ARF lebih baik daripada AR. Nilai RMSE prediksi untuk model AR dan ARF untuk ukuran amatan 45 berturut-turut adalah 1.214 dan 1.292. Nilai RMSE model AR lebih kecil daripada ARF yang berarti bahwa untuk kondisi ukuran amatan 45 pada set data tersebut model AR masih lebih baik daripada ARF. Nilai RMSE ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah 0.550 dan 0.574, sedangkan untuk nilai RMSE ramalan model AR dan ARF berturut-turut adalah 1.293 dan 2.311. Nilai RMSE ramalan ARF untuk kedua ukuran amatan di atas lebih kecil daripada nilai RMSE ramalan model AR yang berarti bhwa untuk peramalan lima periode ke depan lebih baik menggunakan model AR.
Tabel 6 Ukuran kebaikan model RMSE untuk data ilustrasi
RMSE AR ARF
Simulasi dilakukan dengan membangkitkan data dari setiap kategori ukuran amatan. Selanjutnya dilakukan penyeleksian dari data bangkitan tersebut yang memiliki nilai dugaan parameter mendekati nilai parameter bangkitan dengan jumlah ulangan untuk setiap kategori sejumlah 30. Setiap ulangan tersebut dilakukan pendugaan AR dan ARF sehingga diperoleh ukuran kebaikan model RMSE prediksi dan ramalan lima periode ke depan pada Gambar 7 dan Gambar 8. Nilai RMSE data secara keseluruhan untuk dugaan terlampir pada Lampiran 2 sedangkan untuk peramalan terlampir pada Lampiran 3.
14
Gambar 7 Plot Rataan RMSE prediksi model AR dan ARF
Selain menggunakan rataan RMSE, untuk mengetahui sensitivitas model ARF digunakan juga ukuran perbandingan menggunakan nilai peluang. Peluang yang digunakan adalah peluang nilai RMSE model ARF yang lebih kecil dari model AR. Hasil yang diperoleh terangkum dalam Gambar 8. Berdasarkan Gambar 8 peluang model ARF lebih baik dari AR. Nilai peluang tersebut semakin kecil seiring dengan peningkatan ukuran amatan. Adapun nilai peluang mencapai 50% ketika ukuran amatan kurang dari 20 sehingga pada selang ukuran amatan tersebut dapat dikataan bahwa hasil pendugaan model ARF lebih baik daripada model AR.
Gambar 8 Plot peluang nilai RMSE model ARF<AR
15 ramalan cenderung berfluktuatif yang berarti bahwa tidak diperoleh pola penurunan atau kenaikan nilai RMSE berdasarkan perubahan ukuran amatan.
Gambar 9 Plot rataan RMSE ramalan model AR dan ARF
Sama halnya dengan plot rataan RMSE, plot peluang nilai RMSE ramalan juga tidak membentuk pola dan cenderung berfluktuatif. Nilai peluang RMSE ramalan model ARF kurang dari RMSE ramalan model AR. Nilai peluang terbesar diperoleh ketika ukuran amatan sebesar 25, sedangkan nilai peluang terkecil diperoleh ketika ukuran amatan 15. Nilai peluang yang kurang dari 50% untuk semua ukuran amatan mengindikasikan bahwa untuk peramalan lima periode ke depan model AR masih lebih baik daripada model ARF.
Gambar 10 Plot peluang nilai RMSE prediksi model ARF<AR
16
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Hasil penelitian menunjukkan bahwa dugaan model autoregresi fuzzy pada kondisi data deret waktu AR(2) dengan , dugaan parameter mendekati
ϕ . dan ϕ . serta rataan 50 lebih sensitif ketika ukuran amatan kurang dari 20. Proses prediksi dengan menggunakan model autoregresi fuzzy menghasilkan selang yang lebih akurat.
Saran
Saran dari penelitian ini adalah perlu dilakukan penelitian lebih lanjut untuk nilai keanggotaan (h) serta fungsi keanggotaan yang lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Cryer DJ, Chan KS. 2008. Time Series Analysis with Applications in R. New York (US): John Wiley and Sons, Inc.
Kusumadewi S, Purnomo H. 2010. Aplikasi Logika Fuzzy. Yogyakarta (ID): Graha Ilmu.
Razak A. 2012. Metode Autoregressive Fuzzy Time Series untuk Peramalan [tesis]. Surabaya (ID): Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
Saphiro FA. 2005. Fuzzy Regression Models [artikel]. Pennsylvania (US): Penn State University.
Tseng FM, Tzeng GH, Yu HC, Yuan BJ . 2001. Fuzzy ARIMA Model for Forecasting The Foreign Exchange Market. Fuzzy Sets and Systems
[Internet]. [diunduh pada 2013 Mei 13]; 118: 9-19. Tersedia pada:
www.knu.edu.tw.
Wei WS. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods. Philladelphia (US): Pearson Addison Wesley.
17 Lampiran 1 Keluaran fungsi peminimuman model autoregresi fuzzy
a. Ukuran amatan 10 m Nilai
minimum 0 1 2 c0 c1 c2
1 0.493 10.363 0.000 0.772 0.000 0.000 0.007
2 0.610 9.875 0.000 0.817 0.000 0.000 0.011
3 0.779 0.000 0.853 0.152 0.000 0.000 0.021
4 0.960 5.175 0.009 0.871 0.000 0.000 0.012
5 1.501 18.141 0.283 0.308 0.000 0.000 0.019
6 0.827 20.766 0.463 0.122 0.000 0.000 0.017
7 1.454 14.536 0.139 0.559 0.000 0.000 0.016
8 0.096 17.295 0.248 0.405 0.000 0.000 0.010
9 1.115 9.608 0.392 0.431 0.000 0.000 0.019
10 1.101 0.000 0.541 0.449 0.000 0.000 0.023
11 0.858 0.000 0.415 0.604 0.000 0.000 0.019
12 2.109 13.787 0.401 0.343 0.000 0.000 0.021
13 2.727 5.413 0.244 0.618 0.000 0.000 0.021
14 1.501 18.141 0.283 0.308 0.000 0.000 0.019
15 0.833 0.000 0.544 0.442 0.000 0.000 0.013
16 0.833 0.000 0.544 0.442 0.000 0.000 0.013
17 1.355 3.556 0.203 0.715 0.000 0.000 0.018
18 0.834 14.303 0.346 0.352 0.000 0.000 0.013
19 0.779 0.000 0.853 0.152 0.000 0.000 0.021
20 0.960 5.175 0.009 0.871 0.000 0.000 0.012
21 0.960 5.175 0.009 0.871 0.000 0.000 0.012
22 0.096 17.295 0.248 0.405 0.000 0.000 0.010
23 1.025 0.000 0.675 0.337 0.000 0.000 0.010
24 1.432 11.917 0.119 0.659 0.000 0.000 0.024
25 0.095 17.295 0.248 0.405 0.000 0.000 0.010
26 1.115 9.608 0.392 0.431 0.000 0.000 0.019
27 1.101 0.000 0.541 0.449 0.000 0.000 0.023
28 0.858 0.000 0.415 0.604 0.000 0.000 0.019
29 2.109 13.787 0.401 0.343 0.000 0.000 0.021
18
Lanjutan
b. Ukuran amatan 15
m Nilai
minimum 0 1 2 c0 c1 c2
1 0.089 10.317 0.014 0.751 0.000 0.000 0.036
2 3.128 1.181 0.996 0.000 0.000 0.000 0.049
3 3.842 2.051 0.962 0.000 0.000 0.000 0.045
4 0.203 0.000 0.283 0.730 0.000 0.000 0.028
5 2.339 0.813 0.495 0.496 0.000 0.000 0.023
6 1.713 14.650 0.121 0.562 0.000 0.000 0.014
7 4.294 0.000 0.265 0.753 0.000 0.000 0.032
8 2.083 8.651 0.169 0.666 0.000 0.000 0.020
9 4.310 11.431 0.450 0.302 0.000 0.000 0.030
10 0.073 0.000 0.230 0.753 0.000 0.000 0.035
11 1.360 10.923 0.426 0.367 0.000 0.000 0.025
12 4.710 1.906 0.000 0.978 0.000 0.000 0.029
13 0.678 11.339 0.408 0.369 0.000 0.000 0.027
14 0.552 0.000 0.000 0.984 0.000 0.000 0.022
15 2.083 8.651 0.169 0.666 0.000 0.000 0.020
16 2.339 0.813 0.495 0.496 0.000 0.000 0.023
17 3.147 0.000 0.372 0.607 0.000 0.000 0.030
18 4.294 0.000 0.265 0.753 0.000 0.000 0.0320
19 2.375 21.270 0.062 0.532 0.000 0.000 0.019
20 1.620 0.000 0.741 0.252 0.000 0.000 0.018
21 0.752 7.712 0.312 0.5085 0.000 0.000 0.037
22 2.489 0.000 0.086 0.899 0.000 0.000 0.041
23 1.738 18.098 0.339 0.300 0.000 0.000 0.017
24 2.301 0.000 0.798 0.187 0.000 0.000 0.037
25 3.591 3.789 0.000 0.939 0.000 0.000 0.037
26 3.693 10.968 0.123 0.652 0.000 0.000 0.022
27 2.260 19.766 0.222 0.392 0.000 0.000 0.024
28 0.872 0.000 0.438 0.550 0.000 0.000 0.024
29 0.524 10.117 0.123 0.670 0.000 0.000 0.025
19 Lanjutan
c. Ukuran amatan 20
m Nilai
minimum 0 1 2 c0 c1 c2
1 17.516 7.652 0.721 0.129 0.000 0.000 0.115
2 20.274 16.222 0.307 0.358 0.000 0.000 0.128
3 28.149 23.386 0.234 0.280 0.000 0.000 0.146
4 19.043 8.549 0.483 0.345 0.000 0.000 0.096
5 8.846 0.000 0.870 0.130 0.000 0.000 0.145
6 11.690 11.836 0.402 0.378 0.000 0.000 0.131
7 10.142 9.687 0.356 0.435 0.000 0.000 0.114
8 13.147 10.535 0.000 0.785 0.000 0.000 0.132
9 14.054 17.031 0.651 0.000 0.000 0.000 0.155
10 14.054 17.031 0.651 0.000 0.000 0.000 0.155
11 17.516 7.652 0.721 0.129 0.000 0.000 0.115
12 20.274 16.222 0.307 0.35 0.000 0.000 0.128
13 28.149 23.386 0.234 0.280 0.000 0.000 0.146
14 19.043 8.549 0.483 0.345 0.000 0.000 0.096
15 19.043 8.549 0.483 0.345 0.000 0.000 0.096
16 11.690 11.836 0.402 0.378 0.000 0.000 0.133
17 24.497 12.844 0.021 0.734 0.000 0.000 0.129
18 10.142 9.687 0.356 0.435 0.000 0.000 0.114
19 14.054 17.031 0.651 0.000 0.000 0.000 0.155
20 13.748 8.810 0.613 0.202 0.000 0.000 0.128
21 28.167 0.880 0.575 0.390 0.000 0.000 0.157
22 8.339 0.000 0.623 0.386 0.000 0.000 0.036
23 6.560 0.000 0.000 1.013 0.000 0.000 0.042
24 8.610 2.965 0.434 0.522 0.000 0.000 0.040
25 1.401 0.000 0.625 0.370 0.0000 0.0000 0.022
26 9.337 14.531 0.690 0.000 0.0000 0.0000 0.040
27 2.483 25.791 0.118 0.373 0.0000 0.0000 0.024
28 6.995 1.709 0.775 0.190 0.0000 0.0000 0.026
29 5.558 17.169 0.021 0.617 0.0000 0.0000 0.025
20
Lanjutan
d. Ukuran amatan 25
m Nilai
minimum 0 1 2 c0 c1 c2
1 4.777 17.010 0.403 0.253 0.000 0.000 0.035
2 4.578 19.648 0.614 0.000 0.000 0.000 0.028
3 3.718 9.332 0.753 0.059 0.000 0.000 0.038
4 6.965 16.983 0.271 0.401 0.000 0.000 0.032
5 7.725 0.000 0.818 0.192 0.000 0.000 0.039
6 8.792 7.395 0.338 0.502 0.000 0.000 0.034
7 5.546 28.316 0.332 0.084 0.000 0.000 0.029
8 8.049 0.000 0.605 0.401 0.000 0.000 0.040
9 3.589 10.549 0.057 0.715 0.000 0.000 0.035
10 7.706 24.028 0.327 0.238 0.000 0.000 0.034
11 3.558 21.330 0.246 0.308 0.000 0.000 0.032
12 5.688 11.024 0.531 0.248 0.000 0.000 0.030
13 8.642 10.975 0.489 0.279 0.000 0.000 0.049
14 5.434 28.330 0.000 0.433 0.000 0.000 0.030
15 7.642 17.482 0.649 0.000 0.000 0.000 0.036
16 4.464 4.670 0.649 0.255 0.000 0.000 0.025
17 5.409 5.922 0.881 0.000 0.000 0.000 0.030
18 2.688 16.486 0.663 0.000 0.000 0.000 0.030
19 8.101 12.376 0.522 0.230 0.000 0.000 0.034
20 4.706 0.851 0.723 0.270 0.000 0.000 0.026
21 9.978 4.075 0.355 0.554 0.000 0.000 0.041
22 6.860 12.838 0.361 0.393 0.000 0.000 0.034
23 10.080 0.000 0.177 0.833 0.000 0.000 0.043
24 3.844 4.192 0.527 0.387 0.000 0.000 0.040
25 3.991 7.096 0.697 0.152 0.000 0.000 0.028
26 9.255 9.276 0.818 0.000 0.000 0.000 0.034
27 4.012 9.312 0.666 0.159 0.000 0.000 0.033
28 15.048 0.000 0.485 0.513 0.000 0.000 0.044
29 16.176 0.000 0.513 0.492 0.000 0.000 0.053
21 Lanjutan
e. Ukuran amatan 30
m Nilai
minimum 0 1 2 c0 c1 c2
1 10.093 0.000 1.006 0.000 0.000 0.000 0.048
2 6.729 0.013 0.656 0.344 0.000 0.000 0.029
3 3.710 0.000 0.566 0.435 0.000 0.000 0.030
4 7.292 10.506 0.318 0.481 0.000 0.000 0.026
5 5.243 13.513 0.731 0.000 0.000 0.000 0.032
6 5.554 7.306 0.801 0.056 0.000 0.000 0.035
7 5.371 2.596 0.605 0.342 0.000 0.000 0.028
8 9.629 0.000 0.596 0.390 0.000 0.000 0.037
9 5.814 8.289 0.795 0.036 0.000 0.000 0.029
10 7.840 1.572 0.255 0.717 0.000 0.000 0.034
11 6.530 0.000 0.166 0.841 0.000 0.000 0.039
12 11.989 0.000 0.019 0.987 0.000 0.000 0.047
13 5.767 5.663 0.277 0.609 0.000 0.000 0.031
14 1.505 24.521 0.351 0.132 0.000 0.000 0.029
15 9.416 10.611 0.024 0.756 0.000 0.000 0.047
16 8.175 3.308 0.632 0.297 0.000 0.000 0.031
17 4.268 5.872 0.424 0.459 0.000 0.000 0.034
18 7.966 6.434 0.876 0.000 0.000 0.000 0.027
19 4.498 0.000 0.494 0.506 0.000 0.000 0.028
20 9.092 0.000 0.493 0.506 0.000 0.000 0.031
21 5.734 2.469 0.689 0.259 0.000 0.000 0.027
22 6.256 11.860 0.396 0.372 0.000 0.000 0.030
23 6.584 9.874 0.633 0.173 0.000 0.000 0.173
24 11.119 0.000 0.795 0.207 0.000 0.000 0.038
25 14.697 0.000 0.834 0.158 0.000 0.000 0.050
26 8.655 5.733 0.450 0.425 0.000 0.000 0.035
27 4.288 9.598 0.232 0.581 0.000 0.000 0.040
28 2.597 17.006 0.594 0.088 0.000 0.000 0.033
29 8.796 1.322 0.567 0.406 0.000 0.000 0.036
22
Lanjutan
f. Ukuran amatan 35
m Nilai
minimum 0 1 2 c0 c1 c2
1 12.084 3.910 0.252 0.677 0.000 0.000 0.031
2 17.860 2.876 0.638 0.302 0.000 0.000 0.033
3 14.753 6.418 0.326 0.540 0.000 0.000 0.033
4 13.604 9.747 0.511 0.290 0.000 0.000 0.036
5 7.836 0.681 0.806 0.185 0.000 0.000 0.026
6 16.488 11.380 0.771 0.000 0.000 0.000 0.043
7 11.957 27.562 0.132 0.289 0.000 0.000 0.044
8 15.817 0.000 0.444 0.560 0.000 0.000 0.050
9 9.455 12.772 0.218 0.524 0.000 0.000 0.030
10 13.130 0.000 0.575 0.424 0.000 0.000 0.032
11 12.253 3.373 0.590 0.349 0.000 0.000 0.032
12 8.276 15.310 0.171 0.511 0.000 0.000 0.032
13 9.011 12.909 0.453 0.282 0.000 0.000 0.033
14 16.613 4.201 0.914 0.000 0.000 0.000 0.036
15 3.918 3.444 0.227 0.712 0.000 0.000 0.039
16 13.900 0.000 0.964 0.047 0.000 0.000 0.383
17 15.937 0.000 0.120 0.872 0.000 0.000 0.039
18 16.918 0.000 0.201 0.795 0.000 0.000 0.038
19 16.183 12.581 0.305 0.430 0.000 0.000 0.041
20 11.654 10.164 0.276 0.509 0.000 0.000 0.032
21 12.246 0.000 0.928 0.072 0.000 0.000 0.035
22 10.854 17.171 0.371 0.283 0.000 0.000 0.036
23 11.737 4.483 0.367 0.525 0.000 0.000 0.043
24 7.531 3.803 0.293 0.644 0.000 0.000 0.031
25 12.511 4.254 0.521 0.385 0.000 0.000 0.037
26 14.546 11.714 0.387 0.392 0.000 0.000 0.031
27 13.731 16.766 0.459 0.183 0.000 0.000 0.048
28 8.262 1.529 0.470 0.504 0.000 0.000 0.036
29 13.071 2.567 0.400 0.560 0.000 0.000 0.032
23 Lanjutan
g. Ukuran amatan 40
m Nilai
minimum 0 1 2 c0 c1 c2
1 21.077 0.000 1.002 0.000 0.000 0.000 0.047
2 17.685 1.821 0.753 0.206 0.000 0.000 0.037
3 20.807 0.000 0.796 0.198 0.000 0.000 0.044
4 17.138 2.347 0.953 0.000 0.000 0.000 0.042
5 23.128 13.785 0.292 0.419 0.000 0.000 0.048
6 13.375 7.653 0.790 0.041 0.000 0.000 0.051
7 12.471 10.444 0.060 0.738 0.000 0.000 0.040
8 23.385 7.553 0.776 0.066 0.000 0.000 0.037
9 25.419 0.000 0.512 0.490 0.000 0.000 0.048
10 8.961 5.565 0.382 0.502 0.000 0.000 0.035
11 13.427 11.862 0.720 0.046 0.000 0.000 0.045
12 16.770 10.370 0.361 0.435 0.000 0.000 0.040
13 12.978 22.083 0.263 0.294 0.000 0.000 0.032
14 23.122 0.000 1.002 0.000 0.000 0.000 0.049
15 13.860 21.427 0.525 0.021 0.000 0.000 0.048
16 24.052 5.543 0.894 0.000 0.000 0.000 0.048
17 15.311 1.908 0.672 0.281 0.000 0.000 0.036
18 9.294 1.300 0.976 0.000 0.000 0.000 0.052
19 24.928 0.000 0.558 0.440 0.000 0.000 0.042
20 12.316 0.000 0.526 0.484 0.000 0.000 0.049
21 13.938 9.464 0.691 0.115 0.000 0.000 0.036
22 13.422 1.969 0.499 0.463 0.000 0.000 0.035
23 17.623 3.727 0.031 0.892 0.000 0.000 0.048
24 23.738 7.252 0.858 0.000 0.000 0.000 0.043
25 9.649 9.893 0.396 0.396 0.000 0.000 0.041
26 15.842 6.612 0.240 0.630 0.000 0.000 0.037
27 20.179 0.000 0.493 0.512 0.000 0.000 0.053
28 12.331 9.615 0.679 0.131 0.000 0.000 0.042
29 18.205 6.450 0.312 0.556 0.000 0.000 0.032
24
Lanjutan
h. Ukuran amatan 45
m Nilai
minimum 0 1 2 c0 c1 c2
1 12.690 5.260 0.898 0.000 0.000 0.000 0.041
2 27.041 0.000 0.818 0.172 0.000 0.000 0.051
3 17.211 0.000 0.126 0.871 0.000 0.000 0.041
4 16.860 0.000 0.558 0.435 0.000 0.000 0.043
5 22.005 7.274 0.747 0.118 0.000 0.000 0.035
6 21.522 13.030 0.478 0.248 0.000 0.000 0.039
7 15.222 16.084 0.479 0.215 0.000 0.000 0.036
8 17.512 0.000 0.471 0.522 0.000 0.000 0.036
9 24.177 2.508 0.569 0.383 0.000 0.000 0.041
10 25.006 18.356 0.515 0.110 0.000 0.000 0.044
11 10.317 1.517 0.887 0.087 0.000 0.000 0.037
12 14.493 2.049 0.905 0.044 0.000 0.000 0.048
13 29.397 6.194 0.681 0.189 0.000 0.000 0.047
14 16.409 0.000 0.112 0.893 0.000 0.000 0.045
15 22.159 1.888 0.667 0.298 0.000 0.000 0.036
16 31.707 4.278 0.920 0.000 0.000 0.000 0.055
17 20.956 0.000 0.677 0.315 0.000 0.000 0.044
18 23.707 12.496 0.271 0.471 0.000 0.000 0.041
19 66.703 4.290 0.271 0.650 0.000 0.000 0.034
20 17.443 19.441 0.338 0.297 0.000 0.000 0.038
21 25.573 6.111 0.885 0.000 0.000 0.000 0.054
22 19.071 4.438 0.610 0.291 0.000 0.000 0.042
23 4.953 2.073 0.471 0.490 0.000 0.000 0.047
24 14.669 15.726 0.330 0.359 0.000 0.000 0.043
25 22.646 6.432 0.737 0.131 0.000 0.000 0.034
26 8.303 19.701 0.627 0.000 0.000 0.000 0.039
27 25.737 2.499 0.647 0.306 0.000 0.000 0.048
28 22.656 0.000 0.712 0.283 0.000 0.000 0.045
29 11.114 7.090 0.684 0.175 0.000 0.000 0.034
25 Lampiran 2 Nilai RMSE prediksi
27 Lampiran 3 Nilai RMSE ramalan
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur pada tanggal 28 Juni 1991 dari pasangan Asep Sudjana dan Dede Muksinah. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara.
Tahun 2009 penulis menyelesaikan pendidikannya di SMA Negeri 1 Sukaresmi serta pada tahun yang sama melanjutkan pendidikan ke Institut Pertanian Bogor dengan memilih mayor Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB.
