PERANCANGAN PROGRAM PENYELESAIAN SISTEM
PERSAMAAN LINIER NON-HOMOGEN DENGAN
METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN UNTUK
MENENTUKAN JUMLAH KENDERAAN PADA
KASUS ARUS LALU LINTAS
SKRIPSI
MARANATHA PAKPAHAN
030813002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERANCANGAN PROGRAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER NON-HOMOGEN DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN
UNTUK MENENTUKAN JUMLAH KENDERAAN PADA KASUS ARUS LALU LINTAS
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MARANATHA PAKPAHAN 030813002
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
DAFTAR ISI
Halaman
Persetujuan ... ii
Pernyataan ... iii
Penghargaan ... iv
Abstrak ... v
Abstract ... vi
Daftar Isi ... vii
Daftar Tabel ... ix
Daftar Gambar ... x
Bab 1 Pendahuluan ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Perumusan Masalah ... 2
1.3 Pembatasan Masalah ... 3
1.4 Tujuan Penelitian ... 3
1.5 Manfaat Penelitian ... 3
1.6 Metodologi Penelitian ... 4
1.7 Tinjauan Pustaka ... 4
Bab 2 Landasan Teori ... 7
2.1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks ... 7
2.1.1 Sistem Persamaan Linier ... 7
2.1.2 Matriks ... 11
2.2 Metode Cramer ... 17
2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan ... 21
2.4 Bahasa C ... 24
2.4.1 Struktur Program Bahasa C ... 25
2.4.2 Fungsi Input/Output ... 26
2.4.3 Jenis-Jenis Variabel dalam Bahasa C ... 28
Bab 3 Metodologi Penelitian ... 30
3.1 Lokasi dan Waktu Penelitian ... 30
3.2 Alat Penelitian ... 30
3.3 Pengambilan Data ... 31
Bab 4 Pembahasan ... 35
4.1 Pembuatan Program ... 35
4.2 Transformasi Metode Eliminasi Gauss-Jordan kedalam Bahasa C ... 36
Bab 5 Kesimpulan dan Saran ... 54
5.1 Kesimpulan ... 54
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Kode-Kode Format untuk Fungsi printf() ... 27
Tabel 2.2 Tipe Variabel ... 29
Tabel 3.1 Lebar Jalan ... 31
Tabel 3.2 Panjang Jalan ... 31
Tabel 3.3 Jumlah Mobil yang Melintas pada Setiap Titik Penelitian ... 32
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Struktur Array Dua Dimensi ... 5
Gambar 2.1 Garis Berpotongan pada Sebuah Titik Persekutuan ... 8
Gambar 2.2 Garis Sejajar, tidak ada Titik Persekutuan ... 8
Gambar 2.3 Garis Berimpit, tidak dapat Ditentukan Banyaknya Jumlah Titik Persekutuan ... 9
Gambar 3.1 Denah Lokasi Penelitian ... 33
Gambar 4.1 Flowchart Eliminasi Gauss-Jordan ... 42
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala kasih dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan skripsi ini, yang diajukan untuk melengkapi salah satu syarat untuk ujian sarjana di Jurusan Matematika FMIPA USU.
Penulis menyadari bahwa tulisan ini tidak luput dari kekurangan, baik susunan maupun isinya, karena itu penulis dengan senang hati menerima saran dan kritik yang sifatnya membangun untuk kesempurnaan tulisan ini.
Dalam penyelesaian penulisan skripsi ini, penulis telah banyak dibantu oleh berbagai pihak dan pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Ketua Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara.
2. Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si, selaku Sekretaris Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara dan juga Dosen Pembimbing II penulis yang telah memberi masukan, saran dan bimbingan pada saat penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Drs. James P. Marbun, M.Kom, selaku Dosen Pembimbing I penulis yang telah memberi masukan, saran dan bimbingan pada saat penyusunan skripsi ini. 4. Bapak Drs. Partano Siagian, M.Sc dan Bapak Drs. Djakaria Sebayang selaku Dosen
Penguji yang telah memberi saran dan masukan dalam penyusunan skripsi ini. 5. Seluruh staf pengajar dan administrasi FMIPA USU Medan khususnya Departemen
Matematika yang mendidik penulis selama kuliah.
6. Rekan-rekan kuliah di Departemen Matematika FMIPA USU yang sangat membantu dan seluruh pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu, yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini.
7. Orang tua tercinta Ayahanda M. Pakpahan dan Ibunda S. Br. Sianturi, S.Pd, hanya rasa hormat dan terima kasih yang tulus yang dapat penulis berikan dan juga kepada seluruh keluarga, abang, kakak dan adik-adik penulis yang tercinta, terima kasih atas dukungan dan doanya.
Medan, Nopember 2008 Penulis,
PERNYATAAN
PERANCANGAN PROGRAM PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER NON-HOMOGEN DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN
UNTUK MENENTUKAN JUMLAH KENDERAAN PADA KASUS ARUS LALU LINTAS
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Nopember 2008
PERSETUJUAN
Judul : PERANCANGAN PROGRAM PENYELESAIAN
SISTEM PERSAMAAN LINIER NON-HOMOGEN DENGAN METODE ELIMINASI GAUSS-JORDAN UNTUK MENENTUKAN JUMLAH KENDERAAN PADA KASUS ARUS LALU LINTAS
Kategori : SKRIPSI
Nama : MARANATHA PAKPAHAN
Nomor Induk Mahasiswa : 030813002
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, Nopember 2008
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si Drs. James P. Marbun, M.Kom NIP. 131 283 729 NIP. 131 639 804
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
ABSTRAK
Tulisan ini merupakan studi kasus untuk menentukan jumlah kenderaan pada setiap perempatan selama jam sibuk di Kawasan Lapangan Benteng Medan dan perancangan suatu program dalam Bahasa C untuk menyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Jika suatu sistem persamaan linier diketahui maka sistem persamaan tersebut ditransformasikan ke bentuk matriks. Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, matriks dieliminasi ke bentuk echelon matriks sehingga nilai-nilai x1, x2, x3, …, xn yang merupakan peubah dari sistem persamaan dapat ditentukan.
ABSTRAK
Tulisan ini merupakan studi kasus untuk menentukan jumlah kenderaan pada setiap perempatan selama jam sibuk di Kawasan Lapangan Benteng Medan dan perancangan suatu program dalam Bahasa C untuk menyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Jika suatu sistem persamaan linier diketahui maka sistem persamaan tersebut ditransformasikan ke bentuk matriks. Dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan, matriks dieliminasi ke bentuk echelon matriks sehingga nilai-nilai x1, x2, x3, …, xn yang merupakan peubah dari sistem persamaan dapat ditentukan.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak masalah di berbagai bidang, baik aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem persamaan linier, di antaranya adalah masalah lalu lintas dan jaringan komunikasi. Sistem persamaan linier muncul dalam penerapan bidang-bidang seperti: ekonomi, ekologi, demografi, perdagangan, genetika, elektronika, teknik, dan fisika.
Sistem persamaan linier terdiri atas dua jenis sistem persamaan yaitu sistem persamaan linier tidak homogen (non-homogen) dan sistem persamaan linier homogen. Dalam menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut ada beberapa metode yang dapat digunakan:
1. Metode Eliminasi Gauss-Jordan 2. Metode Cramer
Penyajian masalah dalam sistem persamaan linier yang sesuai dengan masalah tersebut di atas adalah dengan mencari nilai-nilai peubah xi (i = 1, 2, 3, …, n). Akan
diambil contoh pada persoalan menentukan jumlah kenderaan di bagian kota yang ramai dan dua kelompok jalan satu-arah berpotongan di setiap perempatan, dimana: terdapat empat perempatan yaitu: perempatan A, B, C dan D, serta empat peubah yaitu: x1, x2, x3 dan x4
Penentuan jumlah kenderaan untuk setiap perempatan diselesaikan dengan cara: pada setiap perempatan banyaknya kenderaan yang masuk (m) harus sama
dengan banyaknya kenderaan yang keluar (n) atau m = n untuk setiap perempatan. Sistem persamaan pada setiap perempatan diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar dan diselesaikan dengan menggunakan metode-metode penyelesaian sistem persamaan linier.
Penyelesaian sistem persamaan linier yang jumlah persamaannya sedikit dapat diselesaikan secara manual dengan mudah, tetapi jika jumlah persamaannya cukup banyak, prosesnya akan lebih sukar serta kemungkinan terjadinya kesalahan yang cukup besar. Dalam hal inilah komputer menjadi penting dan sangat membantu dalam menyelesaikan sistem persamaan linier dengan peubah banyak tersebut.
Dalam penyelesaian sistem persamaan linier ini dengan komputer diperlukan instruksi-instruksi yang dapat dimengerti oleh komputer, yaitu instruksi atau bahasa yang dimengerti oleh komputer. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen adalah dengan menggunakan salah satu bahasa program yakni Bahasa C.
Berdasarkan uraian di atas, maka penulis mencoba membahas salah satu sistem penyelesaian n persamaan linier non-homogen dengan n peubah dengan menggunakan Bahasa C dan penulis memilih judul skripsi “Perancangan Program Penyelesaian Sistem Persamaan Linier Non-Homogen dengan Metode Eliminasi Gauss-Jordan untuk Menentukan Jumlah Kenderaan pada Kasus Arus Lalu Lintas”.
1.2 Perumusan Masalah
Benteng, jalan Kapten Maulana Lubis, jalan Raden Saleh, jalan Imam Bonjol, jalan Pengadilan, jalan Kejaksaan, dan jalan Diponegoro.
1.3 Pembatasan Masalah
Untuk menghindari terjadinya penyimpangan dari tujuan utama tulisan ini, maka perlu dibuat batasan-batasan permasalahan sebagai berikut:
1. Dalam skripsi ini besarnya biaya dan keefektifan tidak dipermasalahkan. 2. Sistem persamaan linier non-homogen yang dibahas adalah n = n.
3. Dalam pengambilan data, jumlah kendaraan yang dihitung adalah kendaraan roda empat.
4. Pengambilan data dilakukan pada jam-jam sibuk, yakni jam 07.00-08.00 WIB, jam 12.00-13.00 WIB, dan jam 17.00-18.00 WIB.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah:
1. Merancang program penyelesaian sistem persamaan linier non-homogen dengan metode eliminasi Gauss-Jordan dalam Bahasa C.
2. Menghitung jumlah kendaraan roda empat yang melintas di Kawasan Lapangan Benteng Medan
1.5 Manfaat Penelitian
1.6 Metodologi Penelitian
Dalam penyusunan tulisan ini, penulis mengadakan suatu studi kasus menentukan jumlah kendaraan roda empat di sekitar Kawasan Lapangan Benteng Medan dengan uraiannya sebagai berikut:
1. Pengambilan data kenderaan roda empat yang memasuki dan meninggalkan setiap perempatan di Kawasan Lapangan Benteng Medan.
2. Pengambilan data dilakukan 1 (satu) jam sibuk setiap hari selama 6 (enam) hari berturut-turut, dengan ketentuan pengambilan data dilakukan pada saat kondisi lokasi penelitian normal (bukan pada saat hujan, hari libur/besar dan hari minggu). 3. Memodelkan data kenderaan roda empat yang memasuki dan meninggalkan setiap
perempatan di Kawasan Lapangan Benteng Medan ke bentuk sistem persamaan linier.
4. Sistem persamaan linier tersebut diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar dan diselesaikan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan.
5. Merancang program untuk menyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen dengan metode eliminasi Gauss-Jordan menggunakan Bahasa C.
1.7 Tinjauan Pustaka
Dalam penyusunan tulisan ini, penulis melakukan tinjauan pustaka yang membahas tentang sistem persamaan linier dengan metode-metode penyelesaiannya. Penulis juga melakukan tinjauan pustaka yang membicarakan Bahasa C dan tentang penyusunan program dalam Bahasa C.
Gambar 1.1 Struktur array dua dimensi
Jumlah elemen yang dimiliki oleh array dua dimensi dapat ditentukan dari hasil perkalian: indeks1 dengan indeks2. Contoh menginisialisasikan array dua dimensi sebagai berikut:
# define N 5
float bil[N][N];
Davis W. S. (1983: 47-55) dalam bukunya “Tools Technique For Structure System Analysis And Design” menjelaskan tentang simbol-simbol dasar flowchart dan definisi flowchart itu sendiri.
Kolman B. (1996: 8-18) dalam bukunya yang berjudul “Elementary Linear Algebra” menjelaskan bahwa jika A sebuah matriks berukuran n x n, maka sistem linier AX = B merupakan suatu sistem n persamaan dengan n peubah yang tidak diketahui. Disamping itu buku ini juga digunakan sebagai pedoman dalam pemahaman tentang matriks dalam menyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen.
Jhonson L. W dan Riess R. D. (1991: 280-289) dalam bukunya yang berjudul
“Introduction To Linear Algebra” menjelaskan bahwa eleminasi Gauss-Jordan tidak hanya dapat digunakan sebagai alat dalam teoritis tetapi merupakan salah satu
[2][1]
3 2 1
0 1 2 3
Indeks1
prosedur yang sangat populer dalam menyelesaikan sistem linier AX = B dengan mengimplementasikannya pada komputer.
Steven J. Leon (1998: 12-19) Edisi Kelima dalam bukunya “Aljabar Linier Dan Applikasinya” menjelaskan bahwa proses menggunakan operasi-operasi baris elementer untuk mengubah suatu matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi yang disebut dengan reduksi Gauss-Jordan.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
2.1.1 Sistem Persamaan Linier
Salah satu masalah yang selalu dihadapi dalam mempelajari atau memecahkan problem dalam bidang matematika adalah menyelesaikan sistem persamaan linier. Bentuk umum persamaan linier adalah:
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + . . . + an xn = b (2.1)
dimana b merupakan faktor yang menghubungkan peubah-peubah x1, x2, x3, . . ., xn dan a1, a2, a3, . . ., an
1. Salah satu koefisien a
merupakan koefisien peubah dari persamaan (2.1). Kejadian yang mungkin terjadi dari persamaan (2.1) adalah sebagai berikut:
i ≠ 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) misalnya ai ≠ 0, sehingga persamaan
dapat ditulis dengan: x1 = a1-1b – a1-1 a2x2 – a1-1 a3x3 – a1-1 a4x4 – . . . – a1-1 an xn. Dengan memberikan harga-harga sembarang untuk x2, x3, x4, . . ., xn, maka
harga xidapat diketahui yang merupakan penyelesaian dari persamaan itu. Kejadian
khusus dari persamaan ini adalah: ax = b, a ≠ 0 dengan penyelesaian: x = a-1
2. Semua koefisien a
b
(unique solution).
i
3. Semua koefisien a
= 0 (i = 1, 2, 3, . . ., n) sedangkan koefisien b ≠ 0. Dengan demikian persamaan (2.1) menjadi: 0 = b, b ≠ 0. Dalam hal ini persamaan tidak mempunyai penyelesaian (no solution).
Contoh di bawah ini menunjukkan bahwa sistem persamaan linier dapat mempunyai unique solution, no solution, infinite number of solution. Pandang sistem persamaan linier dengan dua persamaan dengan dua peubah di bawah ini:
= +
= +
2 2 22 1 21
1 2 12 1 11
b x a x a
b x a x a
(2.2)
x2
x1
Gambar 2.1 Garis berpotongan pada sebuah titik persekutuan
x2
x
Gambar 2.2 Garis sejajar; tidak ada titik persekutuan 1
a21x1 + a22x2 = b2
a11x1 + a12x2 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
a11x1 + a12x2 = b1
x2
x
Gambar 2.3 Garis berimpit; tidak dapat ditentukan banyaknya jumlah titik persekutuan
Sistem persamaan (2.2) diselesaikan dengan mengalikan persamaan pertama dengan a
1
22 dan persamaan kedua dengan a12
, sehingga diperoleh:
(2.3)
Bila persamaan pertama dikurang persamaan kedua, maka diperoleh:
dapat ditentukan yaitu:
(2.5)
Dengan diperolehnya nilai x1 dapat ditentukan nilai x2 dari persamaan (2.2) yang merupakan unique solution. Determinan persamaan (2.2) didefinisikan dengan:
a11a22 – a12 a21
1. Mempunyai unique solution jika dan hanya jika determinan ≠ 0.
(2.6)
Dari hasil ini dapat ditentukan solusi persamaan (2.2) sebagai berikut:
2. Tidak mempunyai penyelesaian atau mempunyai banyak penyelesaian jika dan hanya jika determinan = 0.
a21x1 + a22x2 = b2
a11x1 + a12x2 = b1
Suatu sistem persamaan linier (m x n) adalah kumpulan dari m buah sistem persamaan dengan n peubah yang disajikan secara serentak. Secara umum sistem persamaan linier tersebut berbentuk:
merupakan nilai masing-masing sistem persamaan dengan i = 1, 2, 3, . . ., m dan j = 1, 2, 3, . . ., n.
Contoh:
(2.7)
) disebut penyelesaian partikulir dari sistem persamaan itu. Himpunan dari semua penyelesaian disebut dengan penyelesaian umum.
Suatu sistem persamaan linier homogen dengan orde m x n, bentuk umumnya dapat ditulis sebagai berikut:
(2.8)
dimana: aij merupakan konstanta dengan 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n sedangkan xi sebagai
Contoh:
Bila sistem persamaan linier disajikan secara serentak dimana jumlah peubah sama dengan jumlah persamaan, maka bentuk umumnya adalah:
dimana: aij sebagai koefisien dan bi konstanta dari sistem persamaan linier dengan
peubah xj disajikan sebagai berikut:
2.1.2 Matriks
Penggunaan operasi matriks memberikan proses yang teratur dan logis yang dapat diterima untuk penyelesaian komputer dalam sistem persamaan-persamaan simultan.
Pandang sistem persamaan linier dengan tiga persamaan, tiga peubah sebagai berikut:
Jika koefisien sistem persamaan linier tersebut ditulis dalam bentuk array empat persegi panjang (rectangular array), maka diperoleh:
yang menggambarkan tentang informasi sebelah kiri ketiga persamaan tersebut. Suatu array empat persegi panjang yang diurutkan disebut matriks. Secara umum perhatikan matriks m buah persamaan linier dengan n peubah di bawah ini:
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk array empat persegi panjang dan dinamakan matriks A yaitu:
Susunan array yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari m baris dan n
kolom disebut matriks m x n atau matriks berorde m x n. Komponen ke-ij matriks A
dinotasikan dengan aij, yang merupakan baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A. Dalam bentuk lain, matriks A dapat ditulis A = (aij).
Definisi 1
Andaikan A = (aij) matriks berorde m x n. Transpose dari A ditulis At, adalah matriks
berorde n x m yang diperoleh dengan mempertukarkan baris dan kolom dari A. Jelasnya dapat ditulis: At = (aij
). Dalam bentuk lain:
Definisi 2
Matriks bujursangkar A beorde n x n disebut simetrik jika At = A. Suatu matriks bujursangkar disebut upper triangular bila semua komponen di bawah diagonal nol dalam bentuk lain ditulis: A = (aij) upper triangular jika aij = 0, i > j. Suatu matriks
bujursangkar disebut lower triangular bila semua elemen di atas diagonal nol dalam bentuk lain ditulis: A = (aij) jika aij = 0, i < j. A = (aij) matriks diagonal jika aij = 0, i ≠ j.
Definisi 3
Definisi 4
Definisi 5
Andaikan A = (aij) matriks berorde m x n dengan elemen baris ke-i dinotasikan dengan
). Hal ini dinyatakan dengan:
Contoh:
Bila sistem persamaan di atas disamakan dengan b yang merupakan vektor
Definisi 6
Identitas matriks bujursangkar berorde n x n adalah matriks berorde n x n dimana semua elemen diagonal adalah 1 (satu) dan elemen yang lain 0 (nol) dan dapat dinotasikan dengan:
In = (bij dari persamaan (2.10) jumlah c
in
ij = aij, sehingga A In = A. Dengan cara yang sama dapat diperlihatkan A In
Misalkan A dan B matriks berukuran n x n. Andaikan bahwa: A B = B A = I. B disebut invers dari mariks A dinotasikan dengan A
A = A. Jelas terbukti.
Notasi: Untuk lebih singkatnya identitas ditulis I.
Definisi 7
-1
I. Jika matriks A mempunyai invers maka matriks A disebut invertible. Dari definisi di atas diperoleh bahwa (A-1)-1
Andaikan B dan C invers dari matriks A. Akan diperlihatkan B = C. Dari definisi diketahui bahwa AB = BA = I dan AC = CA = I. Maka B(AC) = BI = B dan B(AC) = IC = C. B(AC) = (BA)C sebab berlaku hukum assosiatif dalam perkalian matriks. Dengan demikian B = C, sehingga pernyataan diatas terbukti.
Teorema 3
Andaikan A dan B matriks berorde n x n yang invertible. Maka AB invertible dan (AB) = A bila A invertible.
Teorema 2
Bila matriks A invertible, maka inversnya unique (tunggal)
Bukti:
-1 = B-1 A-1.
Bukti:
Untuk membuktikannya, akan diarahkan ke definisi 7.
B-1A-1=(AB)-1jika dan hanya jika B-1A-1(AB)=(AB)(B-1A-1)= I. (B-1A-1)(AB)= B-1(A-1A)B = B-1IB = B-1
(AB)(B
B = I dan
-1
A-1) = A(BB-1)A-1= AIA-1= AA-1= I
Pandang sistem persamaan (2.9) dengan n persamaan dan n peubah, dapat dinyatakan dengan: AX = b dan andaikan A invertible. Maka persamaan dapat ditulis dalam bentuk: A-1AX = A-1b (kedua ruas persamaan dikali dengan A-1)
IX = A-1b ; A-1A = I X = A-1
Sehingga dapat disimpulkan, bila A invertible, sistem pesamaan AX = b
mempunyai unique solution: X = A
b ; IX = X
-1
2.2 Metode Cramer
Sebelum diuraikan bagaimana metode cramer digunakan dalam meyelesaikan sistem persamaan linier non-homogen, maka akan diuraikan terlebih dahulu faktor-faktor yang mendukung metode cramer.
Teorema 4
Dari sifat-sifat aljabar diketahui bahwa:
1 =det I =det A A-1=det A det A-1 dimana hal ini ekivalen dengan: det A-1
A det
1 =
Sebelum digunakan determinan untuk menghitung invers, akan didefinisikan tentang adjoint matriks A = (aij). Misalkan B = (Aij
) matriks kofaktor dari A sehingga:
Definisi 8
Contoh:
Misalkan:
. Dengan demikian:
Pandang sistem persamaan linier non-homogen dengan n persamaan dan n
peubah dibawah ini:
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk:
Ax = b (2.11)
dimana:
Misalkan D = det A. Didefinisikan matriks baru yaitu:
,
Ai adalah matriks yang diperoleh dengan menempatkan pada kolom ke-i dari A dengan matriks kolom b. Misalkan D1 = det A1, D2 = det A2, . . ., Dn = det An.
Teorema 6 (Cramer’s Rule)
D
Pandang matriks Aj
Bila ditentukan determinan dari Aj
1. D
j diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari Aj
(sebab bi berada pada kolom ke-j di Aj). Tetapi kolom ke-j dari Aj adalah b,
sehingga diperoleh minor ij, Mij
maka kofaktor dari b
Komponen ke-i dari (adj A)b adalah Di
2.3 Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Pandang sistem persamaan linier non-homogen di bawah ini:
Persamaan di atas dapat dinyatakan dalam bentuk koefisien matriks sebagai berikut:
, maka matriks yang diperbesar (augmented matrix) di atas harus diubah kedalam bentuk echelon dengan proses pengerjaan sebagai berikut:
11 sebagai pivot pertama untuk mengeliminasi elemen-elemen a21, a31,
a41, . . ., an1
Proses sebagai berikut:
menjadi 0 (nol).
a. M21 (-a21/a11): kalikan baris pertama dengan (-a21/a11
b. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris kedua.
31 (-a31/a11): kalikan baris pertama dengan (-a31/a11
c. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga.
41 (-a41/a11): kalikan baris pertama dengan (-a41/a11
d. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat. Hal ini dilakukan hingga elemen ke-n.
n1 (-an1/a11): kalikan baris pertama dengan (-an1/a11
maka diperoleh matriks di bawah ini:
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ke-n.
2. a22 digunakan sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen-elemen a12, a32,
a42, . . ., an2 a. M
menjadi 0 (nol), dengan operasi:
b. M32 (-a32/a22): kalikan baris kedua dengan (-a32/a22
c. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga.
42 (-a42/a22): kalikan baris kedua dengan (-a42/a22
d. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat.
n2 (-an2/a22): kalikan baris kedua dengan (-an2/a22
maka diperoleh matriks di bawah ini :
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ke-n.
3. a33 digunakan sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen-elemen a13, a23,
a43, . . ., an3 a. M
menjadi 0 (nol) dengan operasi;
13 (-a13/a33): kalikan baris ketiga dengan (-a13/a33
b. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris pertama.
23 (-a23/a33): kalikan baris ketiga dengan (-a23/a33
c. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga.
43 (-a43/a33): kalikan baris ketiga dengan (-a43/a33
d. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris keempat.
n3(-an3/a33): kalikan baris ketiga dengan (-an3/a33
maka diperoleh matriks di bawah ini:
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ke-n.
Operasi di atas terus dilakukan hingga ann sebagai elemen pivot ke-n, untuk
a. M1n (-a1n/ann): kalikan baris ke-n dengan (-a1n/ann
b. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris pertama.
2n (-a2n/ann): kalikan baris ke-n dengan (-a2n/ann
c. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris kedua.
3n (-a3n/ann): kalikan baris ke-n dengan (-a3n/ann
d. M
) dan hasilnya dijumlahkan dengan baris ketiga.
(n-1)n (-a(n-1)n/ann): kalikan baris ke-n dengan (-a(n-1)n/ann
sehingga diperoleh bentuk matriks di bawah ini:
) dan hasilnya
dinyatakan dengan: ,
Corporation PDP-11 yang menggunakan system operasi UNIX. Hingga saat ini penggunaan bahasa C telah merata di seluruh dunia. Selain itu, banyak bahasa pemrograman populer seperti PHP dan Java menggunakan sintaks dasar yang mirip bahasa C.
2.4.1 Struktur Program Bahasa C
Setiap bahasa komputer mempunyai struktur program yang berbeda. Jika struktur dari program tidak diketahui, maka akan sulit untuk memulai menulis suatu program dengan bahasa yang bersangkutan. Struktur dari program memberikan gambaran secara luas dari bentuk program.
Struktur dari program Bahasa C dapat dilihat dari kumpulan sebuah atau lebih fungsi-fungsi. Fungsi pertama yang harus ada dalam program Bahasa C sudah ditentukan namanya, yaitu bernama main(). Suatu fungsi dalam program Bahasa C dibuka dengan kurung kurawal ({) dan di tutup dengan kurung kurawal (}). Di antara kurung-kurung kurawal dapat dituliskan statemen-statemen program Bahasa C. Berikut ini adalah struktur program Bahasa C.
a. Struktur Program Bahasa C main()
{
statemen-statemen; }
Fungsi_Fungsi_Lain() {
statemen-statemen; }
fungsi utama
b. Program Bahasa C yang Sederhana
/* Program Bahasa C Yang Sederhana */ #include<stdio.h>
main() {
float Celcius, Fahrenheit;
printf(“Masukkan Nilai Celcius ?”); scanf(“%f”,&Celcius);
/* Menghitung Konversi */ Fahrenheit = Celcius * 1.8 + 32;
printf(“%f celcius adalah %f fahrenheit\n”, Celcius, Fahrenheit); }
Jika program ini dijalankan akan didapatkan hasil: Masukkan Nilai Celcius ? 10
10.000000 celcius adalah 50.000000 fahrenheit
2.4.2 Fungsi Input/Output
a. printf()
statemen-statemen dalam program Bahasa C berbentuk kata kunci
komentar
nama fungsi
bagian suatu fungsi
pendeklarasian variabel
Fungsi : Mencetak output ke layar Include : #include<stdio.h>
Hasil : Menghasilkan jumlah byte dari output tersebut, bila gagal print
menghasilkan end of file
Contoh :
printf(“SUKSES SELALU”);
Tabel 2.1 Kode-Kode Format untuk Fungsi printf()
Kode Format Kegunaan
%c %s %d %i %f
Menampilkan sebuah karakter Menampilkan nilai string
Menampilkan nilai desimal integer Menampilkan nilai desimal integer Menampilkan nilai pecahan
b. scanf()
Fungsi : Membaca data dari stdin Include : #include<stdio.h>
Hasil : Data tersebut, bila salah atau menjumpai end of file maka hasilnya adalah NULL
Contoh :
printf(“Jari-Jari Lingkaran: “);
scanf(“%f”, & jari);
c. getch()
Fungsi : Membaca karakter dari keyboard, hasilnya tidak ditampilkan dilayar Include : #include<conio.h>
Hasil : Karakter yang diketikkan Contoh :
printf(“Ketikkan suatu huruf (A-Z)“);
getch(); d. getche()
Include : #include<conio.h>
Hasil : Karakter yang dibaca dari layar Contoh :
printf(“Tekan Sembarang Tombol“); x = getche();
e. putch()
Fungsi : Mencetak karakter di layar Include : #include<conio.h>
Hasil : Karakter yang dicetak, bila terjadi kesalahan fungsi ini memberi nilai
end of file
Contoh :
putch(karakter); f. puts()
Fungsi : Mencetak string ke stdout Include : #include<stdio.h>
Hasil : Bila berhasil akan memberikan nilai non-negatif, bila gagal akan menghasilkan end of file
Contoh :
char teks[ ] = “Selamat”;
puts(teks);
2.4.3 Jenis-Jenis Variabel dalam Bahasa C
Variabel-variabel dalam Bahasa C digolongkan menjadi dua bagian yaitu variabel numerik dan variabel teks.
1. Variabel numerik digolongkan atas: a. Bilangan Bulat atau Integer
b. Floating Point
Dalam bentuk bilangan berpangkat, floating point dapat menampung data dari 10-38 sampai dengan 1038, sedang dalam bentuk desimal dapat menampung hingga enam desimal.
Contoh : nilai_max = 102.234567 hasil = 1.34566e – 20 c. Double Precision
Dalam bentuk bilangan berpangkat, double precision dapat mengolah angka berkisar 10-308 sampai dengan 10308
int gaji
, sedang dalam bentuk desimal dapat menampung 15 digit.
Contoh : teliti = 1234.5678901234 std_dev = 1.34567e – 100
2. Variabel teks dibedakan atas: a. Karakter (Tunggal)
Variabel ini digunakan untuk menampung sebuah karakter ataupun variabel yang dikonversikan dalam bentuk bilangan (ASCII code).
b. String
String merupakan rangkaian dari beberapa karakter yang diakhiri dengan karakter NULL (‘\0’). Untuk menggunakan variabel-variabel di atas dalam Bahasa C maka variabel haruslah diperkenalkan kepada Bahasa C yang dikenal dengan istilah deklarasi variabel.
Contoh:
Bila dideklarasikan variabel total sebagai integer, variabel nilai_akhir sebagai
floating point, variabel jumlah sebagai double precision, ini dinyatakan dengan:
int total;
float nilai_akhir;
double jumlah;
Tabel 2.2 Tipe Variabel nama variabel
Tipe Variabel Simbol Deklarasi Format Specifier Integer
Floating Point Double Precision Karakter
int float double char
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Lokasi dan Waktu Penelitian
1. Lokasi Penelitian
Lokasi penelitian ini adalah di Kawasan Lapangan Benteng Medan, yakni:
jalan Benteng, jalan Kapten Maulana Lubis, jalan Raden Saleh, jalan Imam Bonjol,
jalan Pengadilan, jalan Kejaksaan, dan jalan Diponegoro.
2. Waktu Penelitian
Penelitian dilaksanakan dari hari Senin 8 September 2008 sampai dengan hari
Sabtu 13 September 2008. Waktu penelitian adalah pada jam-jam sibuk antara lain:
jam 07.00-08.00 WIB, jam 12.00-13.00 WIB, dan jam 17.00-18.00 WIB.
3.2 Alat Penelitian
Alat yang digunakan dalam penelitian ini adalah:
1. Meteran tanah ukuran 50 (lima puluh) meter, digunakan untuk mengukur panjang
dan lebar jalan lokasi penelitian.
2. Stop watch, digunakan untuk menyamakan waktu memulai penelitian dan waktu
selasai penelitian.
3. Buku tulis dan pena, untuk menulis jumlah kenderaan roda empat yang melintas
pada titik-titik penelitian dan juga untuk menulis lebar dan panjang jalan lokasi
3.3 Pengambilan Data
Pengambilan data dilakukan dengan cara menghitung setiap kenderaan roda empat
yang melintas pada titik-titik penelitian secara manual. Pengambilan data dilakukan 1
(satu) jam sibuk setiap hari selama 6 (enam) hari berturut-turut, dengan ketentuan
pengambilan data dilakukan pada saat kondisi lokasi penelitian normal (bukan pada
saat hujan, hari libur/besar dan hari minggu).
Jumlah kenderaaan roda empat yang melewati titik-titik x1, x2, x3, x4 dan x5
tidak dihitung, dalam hal ini titik-titik x1, x2, x3, x4 dan x5 disebut peubah. Untuk
mencari nilai-nilai peubah xi (i = 1, 2, 3, 4, 5) diselesaikan dengan menggunakan
metode eliminasi Gauss-Jordan. Dalam pengambilan data jumlah kenderaan roda
empat ini, dibutuhkan 11 orang untuk menghitung jumlah kenderaan roda empat yang
melintas pada setiap titik penelitian, antara lain pada titik-titik a, b, c, d, e, f, g, h, i, j
dan k.
Lebar dan panjang jalan diperoleh dengan menggunakan meteran tanah ukuran
50 meter. Lebar jalan yang diukur, antara lain pada titik-titik a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k
dan x1, x2, x3, x4, x5. Panjang jalan yang diukur adalah pada titik-titik x1, x2, x3, x4
dan x5
Lebar Jalan pada Titik Penelitian (m) .
Tabel 3.1 Lebar Jalan
a b c d e f g h i j
12,4 7,7 7,2 4,15 5,75 5,5 14,22 11,5 5,5 5,75
Tabel 3.2 Panjang Jalan
Titik Lebar jalan (m) Panjang jalan (m)
x1 12,4 84,7
x2 11,55 204,2/234,65
x3 5,5 64,15
x4 5,75 60,2
Tabel 3.3 Jumlah Mobil yang Melintas pada Setiap Titik Penelitian
No. Tanggal /
Waktu (WIB)
Jumlah Mobil yang Melintas pada Titik-Titik
a b c d e f g h i j k
1. Senin, 8 September 2008
17.00-18.00 3125 999 2759 1108 204 775 2827 976 611 764 347
2. Selasa, 9 September 2008
07.00-08.00 2567 992 2101 909 171 587 2269 771 673 680 300
3. Rabu, 10 September 2008
12.00-13.00 2853 898 2533 990 167 576 2555 893 581 639 323
4. Kamis, 11 September 2008
07.00-08.00 2607 948 2215 816 194 426 2305 794 482 540 274
5. Jumat, 12 September 2008
12.00-13.00 2779 944 2365 1067 244 653 2632 970 658 716 336
6. Sabtu, 13 September 2008
Jl
n.
P
en
ga
di
lan
Jl
n.
Im
am
B
on
jol
Jl
n.
Im
am
B
on
jol
Jl
n.
D
ip
on
eg
or
o
Jln. Kejaksaan Jln. Kejaksaan Jln. Kejaksaan
Jln. Kapten Maulana Lubis
Jln. Kapten Maulana Lubis Jln. Benteng / Jln. Gatot Sobroto
Gambar 3.1 Denah Lokasi Penelitian
Keterangan Gambar:
1. A, B, C, D dan E adalah perempatan jalan.
2. x1, x2, x3, x4 dan x5
3. a, b, c, d, e, f, g, h, i, j dan k adalah titik-titik tempat pengambilan data jumlah
kenderaan roda empat, dimana:
adalah peubah dimana jumlah kenderaan roda empat yang
melintas pada titik-titik ini tidak dihitung.
D
E
A
B
C
P A L L A D I U M
BANKMANDIRI
KANTOR DPRD TK I
PENGADILAN TINGGI SUMATERA
UTARA
LAPANGAN BENTENG
MEDAN
a x1
b
c d
e f
g
x3
x4
h
i
j
x5
x2
a : jumlah kenderaan roda empat yang menuju perempatan A atau jalan Kapten
Maulana Lubis (x1 dan k) dari jalan Benteng/jalan Gatot Subroto.
b : jumlah kenderaan roda empat yang menuju perempatan C atau jalan Imam
Bonjol (x2) dari perempatan B atau dari jalan Kapten Maulana Lubis (x1).
c : jumlah kenderaan roda empat yang keluar dari perempatan B atau dari jalan
Kapten Maulana Lubis (x1) menuju jalan Balai Kota/jalan Raden Saleh.
d : jumlah kenderaan roda empat yang menuju perempatan C atau menuju
jalan Imam Bonjol (x2) dari jalan Balai Kota/jalan Raden Saleh.
e : jumlah kenderaan roda empat yang keluar dari perempatan D atau dari jalan
Imam Bonjol (x2) dan jalan kejaksaan (x4).
f : jumlah kenderaan roda empat yang menuju perempatan D atau menuju
jalan Imam Bonjol (g) dan jalan Kejaksaan (x3).
g : jumlah kenderaan roda empat yang meninggalkan perempatan D atau dari
jalan Kejaksaan (x4 dan f) dan jalan Imam Bonjol (x2).
h : jumlah kenderaan roda empat yang keluar dari jalan Diponegoro menuju
perempatan E atau menuju jalan Pengadilan (x5) dan jalan Kejaksaan (x4
dan i).
i : jumlah kenderaan roda empat yang keluar dari perempatan E atau dari jalan
Diponegoro (h) dan jalan Kejaksaan (x3).
j : jumlah kenderaan roda empat yang menuju perempatan E atau menuju
jalan Kejaksaan (x4) dan jalan Pengadilan (x5).
k : jumlah kenderaan roda empat yang keluar dari perempatan A atau dari jalan
Benteng/jalan Gatot Subroto (a) dan jalan Pengadilan (x5
4. Tanda panah (→) menunjukkan arah kenderaan yang masuk dan kenderaan yang
keluar di setiap perempatan.
BAB 4
PEMBAHASAN
4.1 Pembuatan Program
Sebelum program dibuat, terlebih dahulu disusun algoritma untuk memudahkan
pembuatan program. Adapun algoritma yang dimaksud adalah sebagai berikut:
1. Inputkan nilai elemen matriks A pada kolom pertama maupun elemen diagonal
yang bukan bernilai nol.
2. Jika elemen kolom pertama ataupun elemen diagonal bernilai nol, pertukarkan
baris tersebut dengan baris yang lain.
3. Inputkan nilai elemen matriks B.
4. Setelah kolom elemen pertama ataupun elemen diagonal-diagonal tidak sama
dengan nol, gunakan a11
5. Ulangi prosedur hingga diperoleh echelon matriks.
sebagai elemen pivot untuk mengeliminasi elemen
tersebut.
Setelah rancangan program siap ditulis dalam kertas maka langkah selanjutnya
adalah:
a. Menjalankan Program
Meng-compile dan me-link program. Bila masih terjadi kesalahan program,
maka kembali ke layar sunting untuk memperbaiki kesalahan program. Proses ini
dilakukan terus sampai program sukses dan siap untuk RUN.
b. Eksekusi Program
Untuk mendapatkan hasil (informasi) yang diinginkan maka pelaksanaannya
adalah me-RUN program yang telah sukses dengan perintah memilih RUN dari menu
4.2 Transformasi Metode Eliminasi Gauss-Jordan Kedalam Bahasa C
Pandang sistem persamaan linier non-homogen di bawah ini:
Sistem persamaan linier non-homogen di atas dapat ditulis dalam bentuk:
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan, matriks di atas diubah ke
dalam matriks diagonal dimana: aij = 0 kecuali untuk i = j. Agar matriks diagonal
diperoleh, maka dilakukan proses pengeliminasian dengan menggunakan a11 sebagai
elemen pivot pertama untuk mengeliminasi a21, a31, . . ., an1 menjadi nol. Proses
selanjutnya adalah menggunakan a22 sebagai elemen pivot kedua dan seterusnya
hingga ann
Sehingga diperoleh bentuk matriks di bawah ini:
Dari bentuk matriks di atas dengan mudah diperoleh nilai-nilai x1, x2, x3, . . .,
) 1 ( 11 ) 1 ( 1
1 /
− −
= n n
a b
x ,
) 1 ( 22 ) 1 ( 2
2 /
− −
= n n
a b
x ,
) 1 ( 33 ) 1 ( 3
3 /
− −
= n n
a b
x ,
) 1 ( ) 1 (
/ −
−
= n
nn n n
n b a
x .
Nilai elemen diagonal harus ≠ 0, sebab elemen diagonal digunakan sebagai
pivot (pembagi), sehingga diperoleh: aij / aij, i = j = 1, 2, 3, …, n. Jika aij penyebut
bernilai NOL (aij = 0, i = j) akan diperoleh bentuk aij / 0 (TIDAK TERDEFINISI).
Untuk mengatasi hal ini maka elemen baris yang satu dipertukarkan dengan baris yang
lain agar elemen diagonal ≠ 0.
Jika koefisien sistem persamaan linier non-homogen merupakan pecahan (a/b
dimana a, b є R) dan diselesaikan secara manual tidak menjadi masalah tetapi
menggunakan komputer sebagai alat bantu hal ini tidak memungkinkan. Sebab
komputer tidak mengenal bilangan tersebut, untuk mengatasinya bilangan harus
dinyatakan dalam bentuk bilangan desimal yang dikenal dengan floating point.
Metode eliminasi Gauss-Jordan ini jika diimplementasikan kedalam komputer
dengan menggunakan software Bahasa C, maka langkah awal yang harus dilakukan
adalah menginputkan dimensi matriks. Statementnya dalam Bahasa C adalah sebagai
berikut:
printf("\nMasukkan ukuran matriks : "); scanf("%d", &m);
Selanjutnya, diinputkan koefisien-koefisien matriks A dan B. Statement untuk
menginputkan matriks A adalah sebagai berikut:
/* Membaca matriks A */ for(i=1; i<=m; i++)
{
printf("\n");
printf("A(%d,%d)= ",i, j); scanf("%f", &A[i][j]); }
}
Statement menginputkan koefisien matriks B adalah sebagai berikut:
/* Membaca matriks B */ printf("\n");
for(i=1; i<=m; i++) {
printf("B(%d)= ",i); scanf("%f", &B[i]); }
Mengeliminasi matriks ke bentuk matriks diagonal dengan elemen pivot,
dengan statement:
for(i=1; i<=m; i++) {
P[i] = A[i][i]; A[i][i] = 1;
for(j=1; j<=m; j++) {
A[i][j] = A[i][j]/P[i]; }
for(k=1; k<=m; k++) {
if(k != i) {
T = A[k][i]; A[k][i] = 0; for(l=1; l<=m; l++)
A[k][l] = A[k][l] - A[i][l] * T; }
} }
Proses terakhir adalah menentukan nilai-nilai x1, x2, x3, …, xn yang dinyatakan
dengan statement:
/* Menghitung Nilai X[i] */ for (i=1; i<=m; i++)
{
for (j=1; j<=m; j++)
Langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linier non-homogen dengan
metode eliminasi Gauss-Jordan di atas dapat digambarkan dengan suatu flowchart.
Instruksi-instruksi atau statement-statement tersebut memberikan informasi sesuai
dengan yang diinginkan maka instruksi dirangkai menjadi suatu program lengkap
(listing program) untuk proses penyelesaian sistem persamaan linier non-homogen
FLOWCHART ELIMINASI GAUSS-JORDAN
START
INPUT DIMENSI
DIM [i][j]
for(i=1; i<=n;++i)
for(j=1; j<=n;++j)
A
mat [i][j]
for(i=1; i<=n;++i)
for(j=1; j<=n;++j)
for(i=1; i<=n;++i) mat[i][j]/=
pivot[i]
bantu = A[i][j]*B[j]
printf (mat[i][j])
C D
Gambar 4.1 Flowchart Eliminasi Gauss-Jordan
C D
B
X[i]+=bantu
printf (X[i])
Contoh:
Sistem persamaan linier non-homogen diselesaikan secara manual dengan metode
eliminasi Gauss-Jordan:
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks A seperti di bawah ini:
, maka dilakukan proses sebagai
berikut:
11 digunakan sebagai elemen pivot (pembagi) pertama untuk mengeliminasi a21,
a31
a. M
menjadi nol, dengan operasi:
21 (–a21/a11) : baris pertama dikali dengan (–a21/a11
b. M
) dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris kedua.
31 (–a31/a11) : baris pertama dikali dengan (–a31/a11
Sehingga diperoleh matriks baru:
) dan hasilnya
dijumlahkan dengan baris ketiga.
2. a22 digunakan sebagai elemen pivot (pembagi) kedua untuk mengeliminasi a12,
a32 menjadi nol, dengan operasi : M12 (–a12/a22), M32 (–a32/a22
Maka diperoleh:
3. a33 digunakan sebagai elemen pivot (pembagi) ketiga untuk mengeliminasi a13,
a23 menjadi nol, dengan operasi : M13 (–a13/a33), M23 (–a23/a33
Maka diperoleh bentuk echelon matriks:
)
Dari bentuk echelon matriks di atas nilai-nilai x1, x2 dan x3
1
ditentukan oleh:
, 2
Bila sistem persamaan linier ini diselesaikan dengan menggunakan alat bantu
komputer, maka prosesnya adalah sebagai berikut:
Masukkan ukuran matriks : 3
Matriks A :
2.00 1.00 -2.00
3.00 2.00 2.00
5.00 4.00 3.00
Matriks B :
10.00
1.00
4.00
Invers matriks A :
0.3 1.6 -0.9
-0.1 -2.3 1.4
-0.3 0.4 -0.1
Hasil akhir (X) :
1.00
2.00
Jl
n.
P
en
ga
di
lan
Jl
n.
Im
am
B
on
jol
Jl
n.
Im
am
B
on
jol
Jl
n.
D
ip
on
eg
or
o
Jln. Kejaksaan Jln. Kejaksaan Jln. Kejaksaan
Jln. Kapten Maulana Lubis Jln. Benteng/ Jln. Gatot Subroto
Jln. Kapten Maulana Lubis
Contoh Kasus 1
Menentukan jumlah rata-rata volume arus lalu lintas di Kawasan Lapangan Benteng
Medan pada setiap perempatan, seperti gambar di bawah ini.
Gambar 4.2 Denah Lokasi Penelitian
Penyelesaian:
Pada setiap perempatan banyaknya kenderaan roda empat yang masuk harus sama
dengan banyaknya kenderaan roda empat yang keluar.
D
E
A
B
C
P A L L A D I U M
BANKMANDIRI
KANTOR DPRD TK I
PENGADILAN TINGGI SUMATERA
UTARA
LAPANGAN BENTENG
MEDAN
a x1
b
c d
e f
g
x3
x4
h
i
j
x5
x2
Misalnya, pada perempatan A.
Banyaknya kenderaan roda empat yang masuk adalah: a + x5
Banyaknya kenderaan roda empat yang keluar adalah: x1 + k
Jadi:
a + x5 = x1 + k atau x1 + k = x5 + a, maka:
x1 – x5 = a – k (perempatan A)
Dengan cara yang sama untuk setiap perempatan diperoleh:
- Perempatan B
Banyaknya kenderaan roda empat yang masuk adalah: x1
Banyaknya kenderaan roda empat yang keluar adalah: b + c
Jadi:
x1 = b + c (perempatan B)
- Perempatan C
Banyaknya kenderaan roda empat yang masuk adalah: b + d
Banyaknya kenderaan roda empat yang keluar adalah: x2
Jadi:
b + d = x2 atau
x2 = b + d (perempatan C)
- Perempatan D
Banyaknya kenderaan roda empat yang masuk adalah: x2 + x4 + f
Banyaknya kenderaan roda empat yang keluar adalah: x3 + e + g
Jadi:
x2 + x4 + f = x3 + e + g
x2 + x4 + f – (x3 + e + g) = 0 atau (x2 + x4) – x3 = (e + g) – f
Maka:
x2 – x3 + x4 = (e + g) – f (perempatan D)
- Perempatan E
Banyaknya kenderaan roda empat yang masuk adalah: x3 + h + j
Jadi:
x3 + h + j = x4 + x5 + i
x3 + h + j – (x4 + x5 + i) = 0 atau x3 – (x4 + x5) = i – (h + j)
Maka:
x3 – x4 – x5 = i – (h + j) (perempatan E)
Jadi, bentuk persamaan untuk setiap perempatan adalah:
Perempatan A: x1 – x5 = a – k
Matriks yang diperbesar dalam M untuk sistem persamaan di atas adalah:
Jadi bentuk matriks yang diperbesar dalam M untuk menentukan jumlah
rata-rata kenderaan roda empat di Kawasan Lapangan Benteng Medan pada setiap
perempatan adalah:
Tabel 4.1 Jumlah Mobil yang Melintas pada Setiap Titik Penelitian
No. Tanggal /
Waktu (WIB)
Jumlah Mobil yang Melintas pada Titik-Titik
a b c d e f g h i j k
1. Senin, 8 September 2008
17.00-18.00 3125 999 2759 1108 204 775 2827 976 611 764 347
2. Selasa, 9 September 2008
07.00-08.00 2567 992 2101 909 171 587 2269 771 673 680 300
3. Rabu, 10 September 2008
12.00-13.00 2853 898 2533 990 167 576 2555 893 581 639 323
4. Kamis, 11 September 2008
07.00-08.00 2607 948 2215 816 194 426 2305 794 482 540 274
5. Jumat, 12 September 2008
12.00-13.00 2779 944 2365 1067 244 653 2632 970 658 716 336
6. Sabtu, 13 September 2008
Contoh Kasus 2
Dari Tabel 4.1 akan ditentukan banyaknya jumlah rata-rata volume arus lalu lintas di
Kawasan Lapangan Benteng Medan pada setiap perempatan, sebagai contoh pada hari
Senin 8 September 2008 pukul 17.00-18.00 WIB (gambar pada lampiran).
Tentukan banyaknya jumlah rata-rata volume arus lalu lintas pada setiap perampatan?
Penyelesaian:
Pada setiap perempatan banyaknya kenderaan roda empat yang masuk harus sama
dengan banyaknya kenderaan roda empat yang keluar. Sebagai contoh, pada
perempatan A, banyaknya kenderaan roda empat yang masuk adalah x5 + 3125 dan
banyaknya kenderaan roda empat yang keluar adalah x1 + 347, jadi:
x1 + 347 = x5 + 3125
x1 – x5 = 3125 – 347 atau x1 – x5 = 2778 (Perempatan A)
Dengan cara yang sama diperoleh:
Untuk perempatan B: x1 = 999 + 2759 = 3758 atau x1 = 3758 (Perempatan B)
Untuk perempatan C: x2 = 999 + 1108 = 2107 atau x2 = 2107 (Perempatan C)
Untuk perempatan D: x2 – x3 + x4 = (204 + 2827) – 775 = 3031 – 775 = 2256
atau x2 – x3 + x4 = 2256 (Perempatan D)
Untuk perempatan E: x3 – x4 – x5 = 611 – (976 + 764) = 611 – 1740 = –1129
atau x3 – x4 – x5 = –1129 (Perempatan E)
Jadi, bentuk persamaan untuk setiap perempatan adalah:
Perempatan A: x1 – x5 = 2778
Perempatan B: x1 = 3758
Perempatan C: x2 = 2107
Perempatan D: x2 – x3 + x4 = 2256
Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks M seperti di bawah ini:
maka dilakukan proses
sebagai berikut:
11 digunakan sebagai elemen pivot (pembagi) untuk mengeliminasi a21, a31, a41
dan a51
M
dengan operasi:
21 (–a21 / a11), M31 (–a31 / a11), M41 (–a41 / a11), M51 (–a51 / a11
Maka diperoleh:
2. a22 digunakan sebagai elemen pivot (pembagi) untuk mengeliminasi a12, a32, a42
dan a52
M
menjadi nol dengan operasi:
12 (–a12 / a22), M32 (–a32 / a22), M42 (–a42 / a22), M52 (–a52 / a22
Maka diperoleh:
*> baris kedua dipertukarkan dengan baris ketiga
3. a33 digunakan sebagai elemen pivot (pembagi) untuk mengeliminasi a13, a23, a44
dan a53
M
menjadi nol dengan operasi:
13 (–a13 / a33), M23 (–a23 / a33), M43 (–a43 / a33), M52 (–a53 / a33
Maka diperoleh:
4. a44 digunakan sebagai elemen pivot (pembagi) untuk mengeliminasi a14, a24, a34
dan a54
M
menjadi nol dengan operasi:
14 (–a14 / a44), M24 (–a24 / a44), M34 (–a34 / a44), M54 (–a54/ a44
Maka diperoleh:
Karena terdapat satu peubah bebas, maka terdapat banyak penyelesaian yang
mungkin (infinite number of solution). Gambar arus lalu lintas di atas tidak memberi
informasi yang cukup untuk menentukan nilai-nilai peubah x1, x2, x3, x4 dan x5 secara
tunggal. Jika banyaknya volume arus lalu lintas diketahui antara setiap pasang
perempatan, maka nilai-nilai peubah x1, x2, x3, x4 dan x5 dapat ditentukan secara
tunggal.
Dengan menggunakan cara yang sama, maka penyelesaian sistem persamaan
linier dari Tabel 4.1 Jumlah Mobil yang Melintas pada Setiap Titik Penelitian, adalah
sistem persamaan linier yang mempunyai banyak penyelesaian yang mungkin (infinite
number of solution) atau tidak dapat ditentukan nilai-nilai peubah x1, x2, x3, x4 dan x5
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan uraian-uraian pada bab-bab sebelumnya dapat dibuat beberapa
kesimpulan:
1. Penggunaan program komputer dalam Bahasa C untuk menyelesaikan sistem
persamaan linier non-homogen dengan metode eliminasi Gauss-Jordan untuk
menentukan nilai-nilai peubah xi
2. Penyajian masalah dalam bentuk sistem persamaan linier dengan mencari
nilai-nilai peubah x
(i = 1, 2, 3, …, n) dapat dilakukan untuk sistem
persamaan linier yang mempunyai penyelesaian tunggal.
i (i = 1, 2, 3, …, n) untuk menentukan jumlah kenderaan roda empat
mempunyai banyak penyelesaian yang mungkin (infinite number of solution).
5.2 Saran
Saran dari penulis adalah untuk menentukan jumlah kenderaan roda empat pada setiap
perempatan dengan penyelesaian tunggal, perlu dilakukan kajian yang lebih
DAFTAR PUSTAKA
1. Ammeral L., 1997, “Program And Structure In C”, Jhon Wiley & Sons Ltd.,
Chichester New York.
2. Davis W. S., 1983, “ Tools And Tecnique For Structure System Analysis And
Design”, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Miami University.
3. Grossman S. I., 1981, “Elementary Linear Algebra”, Third Edition, Wadsworth
Publishing Company, Inc., California.
4. Howard Anton., 1987, “Elementary Linear Algebra”, Fifth Edition, Jhon Wiley &
Sons Ltd., Chichester New York.
5. Jonhson L. W., 1981, Riess R. D., “Introduction To Linear Algebra”,
Addison-Wesley Publishing Company, Inc., California.
6. Kolman B., 1986, “Elementary Linear Algebra”, Fourth Edition, Macmillan
Publishing Company, Inc., New York.
7. Kusuma M. R., 1991, “Belajar Turbo C Dengan Cepat Dan Mudah”, PT. Elex
Media Komputindo, Jakarta.
8. Steven J. Leon., 2001, “Aljabar Linier Dan Applikasinya”, Edisi Kelima, Penerbit
Jl
n.
P
en
ga
di
lan
Jln
. I
m
am
B
on
jo
l
Jl
n.
Im
am
B
on
jol
Jl
n.
D
ip
on
eg
or
o
Jln. Kejaksaan Jln. Kejaksaan Jln. Kejaksaan
Jln. Kapten Maulana Lubis
Jln. Kapten Maulana Lubis Jln. Benteng / Jln. Gatot Sobroto
LAMPIRAN B. GAMBAR LOKASI PENELITIAN
Gambar 1 Denah Lokasi Penelitian
D
E
A
B
C
P A L L A D I U M
BANKMANDIRI
KANTOR DPRD TK I
PENGADILAN TINGGI SUMATERA
UTARA
LAPANGAN BENTENG
MEDAN
a x1
b
c d
e f
g
x3
x4
h
i
j
x5
x2
5,5 m
7,7 m
279,
2
m
270,
15
m
240,
2
m
234,
65
m
84,7 m
Gambar 2 Lebar dan Panjang Jalan Lokasi Penelitian
D
E
A
B
C
P A L L A D I U M
BANKMANDIRI
KANTOR DPRD TK I
PENGADILAN TINGGI SUMATERA
UTARA
LAPANGAN BENTENG
MEDAN
14,22 m
5,5 m
5,75 m 5,75 m 5,75 m 5,5 m 11,5 m
11,55 m
11,3 m
12,4 m
12,4 m 4,15 m
7,2 m
64,15 m
Jl
n.
P
en
ga
di
lan
Jln
. I
m
am
B
on
jo
l
Jl
n.
Im
am
B
on
jol
Jl
n.
D
ip
on
eg
or
o
Jln. Kejaksaan Jln. Kejaksaan Jln. Kejaksaan
Jln. Kapten Maulana Lubis
Jln. Kapten Maulana Lubis Jln. Benteng / Jln. Gatot Sobroto
Gambar 3 Banyaknya kenderaan roda empat yang melintas pada titik penelitian (Senin 8 September 2008. Pukul 17.00-18.00 WIB)
D
E
A
B
C
P A L L A D I U M
BANKMANDIRI
KANTOR DPRD TK I
PENGADILAN TINGGI SUMATERA
UTARA
LAPANGAN BENTENG
MEDAN
3125
x1
999 2759
1108
204 775
2827
x3
x4
976
611
764
x5
x2
