PERBANDINGAN 3 METODE UNTUK MENYELESAIKAN
SISTEM PERSAMAAN LINIER
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
NANA INDRAYANI
040803009
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
PERSETUJUAN
Judul : PERBANDINGAN 3 METODE UNTUK
MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Kategori : SKRIPSI
Nama : NANA INDRAYANI
No Induk Mahasiswa : 040803009
Program Study : SARJANA (S 1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Medan, Desember 2010
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Drs. Haluddin Panjaitan, M.Si Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si
NIP. 194603091979021001 NIP. 19500312 1980031001
Diketahui oleh:
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua
Dr. Saib Suwilo. M.sc.
PERNYATAAN
PERBANDINGAN 3 METODE UNTUK MENYELESAIKAN SISTEM
PERSAMAAN LINIER
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.
Medan, Desember 2010
Nana Indrayani
PENGHARGAAN
Puji dan syukur panulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan kekuatan, keridhoan dan keberkahanNya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan judul “ Perbandingan 3 Metode untuk Menyelesaikan 3 Sistem Persamaan Linier”. Skripsi ini adalah salah satu mata kuliah wajib yang harus diselesaikan oleh seluruh mahisiswa Fakultas MIPA Departemen Matematika.
Dalam kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada :
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
2. Bapak Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku dosen pembimbing I dan bapak Drs. Haluddin Panjaitan, M.Si selaku pembimbing II, yang telah member dukungan moril, motivasi, dan ilmu pengetahuan bagi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Juga kepada bapak Drs. Henry Rani Sitepu, M.Si dan bapak Drs. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritik membangun dalam perbaikan skripsi penulis.
3. Seluruh staf pengajar Jurusan Matematika , Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sumatera Utara, atas bantuannya kepada penulis selama masa perkuliahan sampai akhirnya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.
4. Seluruh Staf Administrasi FMIPA USU khususnya staf admnistrasi di Departemen Matematika yang telah memberikan pelayanannya kepada penulis selama masa perkuliahan sampai akhirnya penulis bisa menyelesaikan skripsi ini.
penulis, serta kepada kakanda Rudi, Nanang, Andri, Pipin, Evi, Icut, Ita, Sutri yang mendo’akan penulis.
6. Kepada keluarga besar UKMI Al-Falak yang senantisa memberikan motivasi dan do’a yang tiada henti kepada penulis.
Terima kasih kepada sahabat – sahabat seperjuangan laila, diana, hana, kak dina, kak sugi, masna, siti, Irma, sarah, chinta yang senantiasa memberikan semangat dan do’anya. Juga kepada kak ani, bu ningsih, bu fitri, bu dani yang senantiasa mendo’akan penulis. Juga kepada adik – adik UKMI Al-Falak yudha, agus, shabri, naimah, ika, ainun, ina, beta, melly, sri, lia, henny, kiki, dillah, arni, nova, evie, minah, jannah, melly, ulie, shofie, titin, saidah, putri, nur, ade serta rekan-rekan lainnya yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas do’a, motivasi dan bantuan yang saudari berika kepada penulis.
ABSTRAK
Comparison Three Methods to Solve System of Linier Similiarity
ABSTRACT
ABSTRAK
Comparison Three Methods to Solve System of Linier Similiarity
ABSTRACT
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1
Latar
belakang
Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan dalam dunia nyata ke dalam istilah-istilah matematika. Menyelesaikan sistem persamaan linier merupakan salah satu permasalahan yang cukup penting dalam matematika, karena lebih dari 75 persen dari semua masalah matematika yang dijumpai dalam aplikasi ilmiah maupun industri melibatkan penyelesaian sistem linier hingga tahap tertentu. Dengan menggunakan metode-metode matematika modern, sering kali suatu masalah yang rumit dapat direduksi menjadi suatu sistem persamaan linier. Dalam dunia nyata, sistem linier dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada beberapa bidang, di antaranya pada bidang perdagangan, ekonomi, elektronika, fisika, kimia dan lain sebagainya.
Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk
Persamaan semacam ini dinamakan persamaan linier dalam peubah (variabel) x
dimana dan b adalah konstanta-konstanta riil.
Pemecahan persamaan linier adalah urutan dari n
bilangan sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila mensubsitusikannya terhadap . Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.
Sebuah sistem sebarang yang terdiri dari m persamaan linier dengan n bilangan tak diketahui akan dituliskan sebagai
dimana adalah bilangan–bilangan tak diketahui sedangkan a
dan b menyatakan konstanta-konstanta.
Misalnya, sebuah sistem umum terdiri dari tiga persamaan linier dengan empat bilangan yang tak diketahui akan ditulis sebagai
Maka sistem yang terdiri dari n persamaan linier dengan n bilangan tak diketahui dapat dituliskan dalam persamaan matriks :
Metode dasar untuk memecahkan sistem persamaan linier adalah untuk mengganti sistem yang diberikan dengan sistem baru yang mempunyai himpunan pemecahan yang sama dengan pemecahan yang lebih mudah. Sistem baru ini umumnya didapatkan dalam satu tahapan dengan menerapkan ketiga tipe operasi berikut untuk menghilangkan bilangan-bilangan tak diketahui secara sistematis.
1.Kalikankanlah persamaan dengan konstanta yang tak sama dengan nol. 2.Pertukarkanlah dua persamaan tersebut
3.Tambahkanlah kelipatan dari satu persamaan bagi yang lainnya. Operasi ini dinamakan operasi baris elementer.
1.2
Perumusan
Masalah
Permasalahan adalah dari ketiga metode yang digunakan ingin dilihat metode mana dalam penyelesaiannya lebih efisien.
1.3
Tujuan
Penelitian
dan LU-decomposition. Melalui 3 metode ini akan dilihat metode mana yang paling simple dan efisien.
1.4
Manfaat
Penelitian
Adapun yang menjadi manfaat penelitian ini adalah dapat memberikan gambaran kepada pembaca dalam menyelesaikan sistem persamaan linier secara sederhana dan efesien.
1.5
Tinjauan
Pustaka
Metode Eleminasi Gauss
[1] Pada bagian ini diberikan prosedur yang sistematik untuk memecahkan sistem-sistem persamaan linier, prosedur tersebut didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar menjadi bentuk yang cukup sederhana sehingga sistem persamaan tersebut dapat di pecahkan dengan memeriksa sistem tersebut.
Invers Matriks
Sebuah matriks bujur sangkar A berordo n :
[4] Disebut mempunyai invers bila ada suatu matriks B, sehingga AB = BA = In.
Matriks B disebut invers matriks A, ditulis A-1, merupakan matriks bujur sangkar berordo n.
[3] Asumsikan bahwa sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam operasi matrik
SAx = b (1)
Pada metode LU-decomposition, matrik A difaktorkan menjadi matrik L dan matrik U, dimana dimensi atau ukuran matrik L dan U harus sama dengan dimensi matrik A. Atau dengan kata lain, hasil perkalian matrik L dan matrik U adalah matrik A,
A = LU (2)
sehingga persamaan (1) menjadi
LUx = b
Langkah penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode LU-decomposition, diawali dengan menghadirkan vektor y dimana,
Ux = y (3)
Langkah tersebut tidak bermaksud untuk menghitung vektor y, melainkan untuk menghitung vektor x. Artinya, sebelum persamaan (3) dieksekusi, nilai-nilai yang menempati elemen-elemen vektor y harus sudah diketahui.
Ly = b (4)
Kesimpulannya, metode LU-decomposition dilakukan dengan tiga langkah sebagai berikut:
¾ Melakukan faktorisasi matrik A menjadi matrik L dan matrik U → A =
LU.
¾ Menghitung vektor y dengan operasi matrik Ly = b. Ini adalah proses
forwardsubstitution atau substitusi-maju.
¾ Menghitung vektor x dengan operasi matrik Ux = y. Ini adalah proses
backwardsubstitution atau substitusi-mundur.
1.6
Metodologi Penelitian
Penelitian ini merupakan penelitian literature atau kepustakaan dengan langkah-langkah sebagai berikut :
• Menjelaskan langkah-langkah dari metode SPL yang digunakan.
• Menjelaskan keistimewaan/kelebihan dan kekurangan dari masing-masing metode SPL yang yang digunakan.
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Sistem Persamaan Linier
Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan :
Dimana x1, x2, … xn : bilangan tak diketahui a,b : konstanta
Jika SPL diatas ditulis dalam bentuk matriks, maka :
A x = b
Matriks A dinamakan dengan matriks koefisien dari SPL. Vektor x dinamakan dengan vektor variable dan vektor b dinamakan dengan vektor b konstanta.
2.2 LU Dekomposisi
Sistem persamaan n x n dapat ditulis dalam bentuk matriks :
Akan ditunjukkan bahwa algoritma Gauss sederhana yang diterapkan pada A dapat memfaktorkan A menjadi hasil kali dua matriks diagonal bawah
Dan matriks diagonal atas
2.3
Invers Matriks
Jika diketahui 2 besaran a dan x sedemikian sehingga ax = 1, maka dikatakan x
adalah kebalikan dari a dan nilai x = 1/a = a-1. Jika A dan I keduanya matriks bujur sangkar dan ordenya sama maka [I] [A] = [A] [I] = [A].
Jika terdapat suatu matriks bujur sangkar [X] yang berorde sama sehinggga [A] [X] = [I] maka dikatakan [X] kebalikan atau invers matriks dari [A] dan dituliskan [X] = [A]-1.
Matriks-matriks yang mempunyai invers adalah matriks non singular yaitu matriks yang determinannya 0. Berlaku sifat :
1. (A-1)-1 = A
2. (AB)-1 = B-1 A-1
Matriks adjoint untuk mencari invers yaitu :
,
dimana :A-1 = invers matriks A
adj (A) = matriks adjoint dari matriks A det (A) = determinan dari matriks A
Jika A adalah matriks nxn, maka inversnya dapat dicari dengan cara mereduksi A menjadi matriks identitas (I) dengan menggunakan operasi-operasi baris dan menerapkan operasi-operasi ini secara serempak pada I untuk menghasilkan A-1. Transformasi elementer untuk mencari invers yaitu :
Jika A matriks n x n yang memiliki invers, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B memiliki tepat satu penyelesaian yaitu X = A-1B
2.4
Eliminasi Gauss
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan system persamaan linier adalah metode eleminasi Jordan. Metode ini diberi nama Gauss-Jordan untuk menghormati Carl Friedrich Gauss dan Wilhlem Gauss-Jordan. Metode ini sebenarnya adalah modifikasi dari metode eliminasi Gauss, yang dijelaskan oleh Jordan di tahun 1887.
Metode Gauss-Jordan ini menghasilkan matriks dengan bentuk baris eselon yang tereduksi, sementara eleminasi Gauss hanya menghasilkan matriks sampai pada bentuk baris eselon. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah :
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi untuk mengubah matriks A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi. Langkah – langkah pada operasi baris elementer yaitu :
1. Menukar posisi dari 2 baris
2.
Mengalikan baris dengan sebuah bilangan skalar positif3.
Menambah baris dengan hasil kali scalar dengan baris lainnya1. Jika sebuah baris seluruhnya bukan merupakan angka nol, maka angka bukan nol pertama pada baris tersebut adalah 1(leading 1).
2. Jika ada baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris tersebut dikelompokkan dibaris paling bawah dari marriks.
3. Jika ada 2 baris berurutan yang sama-sama tidak terdiri dari angka nol seluruhnya, maka leading 1 dari baris yang lebih bawah berada disebelah kanan dari leading 1 yang berada di baris yang lebih atas. 4. Pada setiap kolom yang memiliki leading 1 di kolomnya, maka nilai
yang ada kolom tersebut kecuali leading 1 adalah nol.
BAB 3
PEMBAHASAN
Pada BAB sebelumnya telah dijelaskan defenisi-defenisi dari 3 metode penyelesaian sistem persamaan linier. Pada BAB ini akan diperlihatkan penyelesaian sistem persamaan linier melalui metode Eliminasi Gauss, Invers, LU dekomposisi.
3.1
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier menggunakan
metode Eliminasi Gauss-Jordan
Berikut ini akan ditunjukkan cara untuk menyelesaikan SPL dengan metode eliminasi Gauss-Jordan.
Sistem persamaan linier sebagai berikut : 2x + 4y – 2z = 12
x + 5y + 3z = 8 -3x + y + 3z = -4
b. kalikan baris pertama dengan 0.5
c. tambahkan baris ke 2 dengan (-1) kali baris pertama
d. tambahkan baris ke 3 dengan 3 kali baris pertama
f. tambahkan baris pertama dengan (-2) kali baris ke 2
g. tambahkan baris ke 3 dengan (-3) kali baris ke 2
h. kalikan baris ketiga dengan -1/9.33
i. menambah baris 1 dengan 3.67 kali baris ke 3
j. menambahkan baris ke 2 dengan (-0.33) kali baris ke 3
3.2
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier menggunakan
metode LU dekomposisi
Berikut ini akan ditunjukkan cara untuk menyelesaikan SPL dengan metode LU dekomposisi.
Diketahui system persamaan linier sebagai berikut: P1 :
P2 : P3 : P4 :
System tersebut dapat dinyatakan dalam operasi matriks Ax = y
pada LU dekomposisi dimana A = LU
Jadi matrik L dan U masing-masing adalah :
L = U =
Cara memperoleh matrik U adalah dengan proses tringularisasi, sedangkan cara memperoleh matrik L yaitu ,
1. elemen elemen diagonal matrik L diberi nilai 1
2. elemen – elemen matrik L yang berada di atas elemen – elemen diagonal diberi nilai nol
3. sedangkan elemen-elemen matrik L yang berada dibawah elemen-elemen diagonal diisi dengan factor pengali.
Setelah langkah faktorisasi matrik A dilalui, maka operasi matrik A menjadi,
=
=
Dengan proses substitusi maju, elemen-elemen vector y dapat ditentukan,
y1 = 4 2y1 + y2 = 1
3y1 + 4y2 + y3 = -3
-y1 – 3y2 + y4 = 4
Maka diperoleh :
y1 = 4 y2 = -7 y3 = 13 y4 = -13
Langkah terakhir adalah proses substitusi mundur untuk menghitung vector x, dimana
Ux = y
Melalui proses ini , yang pertama kali didapat solusinya adalah x4, kemudian x3, lalu diikuti x2, dan x1.
x4 = 1
x3 =
x2 = x1 =
Akhirnya diperoleh solusi :
x1 = -1
x2 = 2 x3 = 0 x4 = 1
3.3
Penyelesaian Sistem Persamaan Linier menggunakan
metode Invers matrik
Berikut ini akan ditunjukkan cara untuk menyelesaikan SPL dengan metode Invers matrik.
Maka kofaktor dari kesembilan elemen dari A adalah sebagai berikut :
A11= A12 =
A13 = A21 =
A22 = A23 =
A31 = A32 =
A33 =
Jadi adj.A =
Dengan adanya matriks adjoin dapat dicari inversnya dengan menggunakan rumus :
Det (A) =
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Dari pembahasan BAB 3 di atas diperoleh beberapa kesimpulan yaitu :
a. Pada metode elemen Gauss penyelesaian SPL dilakukan lewat proses triangularisasi.
b. Pada metode LU dekomposisi penyelesaian SPL dilakukan lewat :
- Melakukan faktorisasi matrik A = LU
- Menghitung vector y dengan operasi matrik Ly = b - Menghitung vector x dengan operasi matrik Ux = y
c. Pada metode Invers matriks penyelesaian SPL dilakukan lewat menghitung matriks adjoin terlebih dahulu kemudian dicari invers matriksnya.
4.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard, “Aljabar linier Elementar”, Edisi kelima, Erlangga, Jakarta, 1987.
E.Spence, Lawrence and J. Insel, Arnold, “Elementary Linier Algebra A Matrix Approach”, Prentice Hall, New Jersey
Horn, Roger A and Jhonson, Charles R, “Matrix Analysis”, Edisi pertama, Sydney, 1985.
JR, Frank Ayers, “Theory and Problems of Matrices”, Singapore, 1974.
