Pemodelan Regresi Tiga Level pada Data Pengamatan Berulang (Studi Kasus : Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata uliah Metode Statistika Tahun 2008/2009)

(1)

Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009). Dibimbing oleh INDAHWATI dan YENNI ANGRAINI.

(2)

(Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode

Statistika Tahun 2008/2009)

TRI WURI SASTUTI

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(3)

Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009). Dibimbing oleh INDAHWATI dan YENNI ANGRAINI.

(4)

(Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode

Statistika Tahun 2008/2009)

TRI WURI SASTUTI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Statistika pada

Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

(Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah

Metode Statistika Tahun 2008/2009)

Nama

: Tri Wuri Sastuti

NIM :

G14051612

Menyetujui:

Pembimbing I Pembimbing II

( Ir. Indahwati, M.Si) (Yenni Angraini, S.Si, M.Si)

NIP. 196507121990032002 NIP. 197805112007012001

Mengetahui:

Ketua Departemen,

(Dr. Ir, Hari Wijayanto, MS)

NIP. 196504211990021001

(6)

bersaudara dari pasangan Parlan dan Supri Hariyanti.

Pada tahun 1999 penulis menyelesaikan pendidikan dasar di Madrasah Ibtidaiyah Nurul Huda Jakarta, kemudian melanjutkan studi ke sekolah menengah pertama di SLTP Negeri 175 Jakarta hingga tahun 2002. Pada tahun 2005 penulis menyelesaikan pendidikan menengah atas di SLTA Negeri 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Ujian Saringan Masuk IPB (USMI) serta pada tahun 2006 penulis diterima menjadi mahasiswa mayor Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam IPB dengan minor Matematika Keuangan dan Aktuaria Departemen Matematika.

(7)

sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam disampaikan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabatnya. Karya ilmiah ini memiliki judul “Pemodelan Regresi Tiga Level pada Data Pengamatan Berulang (Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode Statistika Tahun 2008/2009)”. Karya ilmiah ini merupakan syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.

Terima kasih penulis ucapkan kepada:

1. Ibu Ir. Indahwati, M.Si selaku pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk membimbing, berdiskusi, serta memberi arahan kepada penulis.

2. Ibu Yenni Angraini, S.Si, M.Si selaku pembimbing yang telah meluangkan waktunya untuk membimbing, berdiskusi, serta memberi arahan dan saran kepada penulis.

3. Mama, Bapak, mba Reri, mas Arif dan Jati atas segala doa, dukungan, dan kasih sayangnya.

4. Srt Mar Eko Yulianto selaku imam dalam hidupku, terima kasih atas rasa sayang, dukungan, perhatian, dan penantian yang dicurahkan kepada penulis.

5. Seluruh dosen Departemen Statistika atas ilmu dan nasihat yang bermanfaat sehingga membantu penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini, serta kepada seluruh staf Departemen Statistika (Bu Markonah, Bu sulis, Pak Iyan, Bu Tri, Bu Dedeh, Bu Aat, Bang Sudin, Mang Herman, Mang Dur) yang telah membantu penulis selama belajar di Statistika IPB.

6. Rekan satu pembimbing (Wiwid, Isna, Miu, Ela, Mega), Wiwi, Trimi, Hafiz, Angga, Mojo, Popi, teman-teman STK 42 lainnya, adik-adik STK 43 dan STK 44.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Desember 2009

(8)

Halaman

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

TINJAUAN PUSTAKA Data Kelompok dan Pengamatan Berulang ... 1

Pemodelan Multilevel ... 1

Model Regresi Tiga Level dengan Pengamatan Berulang ... 2

Pendugaan Parameter ... 2

Pendugaan Koefisien Korelasi Intra Kelompok ... 3

Pengujian Hipotesis ... 3

Likelihood Ratio Test (LRTs) ... 3

Centering Covariates ... 3

BAHAN DAN METODE Bahan ... 4

Metode ... 4

PEMBAHASAN Deskripsi Data ... 4

Ilustrasi Keragaman Antar Kelas dan Antar Mahasiswa ... 5

Eksplorasi data... 5

Analisis Regresi Tiga Level ... 6

Interpretasi Hasil Model Terbaik ... 8

KESIMPULAN DAN SARAN ... 9

Kesimpulan ... 9

Saran ... 9

DAFTAR PUSTAKA ... 9

LAMPIRAN ... 10

(9)

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Keragaman antara kelas Statistika dengan kelas Ilmu Ekonomi ... 5

2 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur intersep acak ... 6

3 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur efek tetap ... 7

4 Hasil uji LRT perbandingan model dalam memilih struktur kemiringan acak ... 7

5 Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 ... 8

6 Nilai dugaan komponen ragam pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 ... 8

7 Hasil perbandingan model struktur kovarian untuk sisaan pada level satu ... 8

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Struktur data kelompok dalam pengukuran berulang pada data Metode Statistika ... 4

2 Grafik antara nilai capaian dengan waktu pada dua kelas yang berbeda ... 5

3 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan IPK TPB ... 6

4 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan waktu ... 6

5 Langkah dalam memilih struktur intersep acak ... 6

6 Langkah dalam memilih struktur efek tetap ... 7

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Urutan 30 kelas paralel Metode Statistika tahun 2008/2009 ... 11

2 Pengkodean peubah penjelas... 11

3 Kelas paralel yang memiliki nilai tertinggi lebih dari seratus ... 11

4 Statistika deskriptif setiap kelas paralel ... 12

5 Plot interaksi antara peubah penjelas intra level dan interaksi peubah penjelas antar level 13

(10)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Pada kehidupan sehari-hari sering kali dijumpai data yang memiliki struktur berjenjang (hierarchical) atau berkelompok

(clustered). Pada struktur berjenjang,

individu-individu dalam kelompok yang sama memiliki karakteristik yang cenderung mirip, dengan kata lain antar amatan pada level yang lebih rendah tidak saling bebas, sehingga melanggar asumsi kebebasan dalam pendekatan statistika konvensional, misalnya regresi linear sederhana satu level. Jika pelanggaran asumsi ini diabaikan maka akan mengakibatkan nilai dugaan galat baku koefisien regresi berbias ke bawah sehingga akan banyak ditemukan hubungan yang signifikan secara statistik dalam pengujian hipotesis. Hal inilah yang menjadi salah satu alasan mengapa diperlukan analisis multilevel

pada data berjenjang (

www.tramss.data-archive.ac.uk).

Salah satu jenis data berjenjang adalah data pengamatan berulang. Dikatakan data pengamatan berulang jika peubah responnya diukur secara berulang pada unit analisis yang sama berdasarkan faktor pengamatan yang berbeda. Salah satu contoh dari faktor pengamatan yang berbeda adalah waktu. Setiap unit amatan yang sama akan diamati secara berulang berdasarkan waktu yang berbeda-beda. Secara alamiah, pengamatan yang diukur secara berulang pada individu yang sama memiliki keterkaitan (tidak saling bebas).

Metode Statistika (STK211) merupakan mata kuliah interdep yang berada di bawah naungan Departemen Statistika sejak berlakunya sistem Mayor-Minor di IPB tahun 2005. Pada tahun 2008/2009, kelas paralel mata kuliah Metode Statistika mencapai lebih dari 30 kelas paralel. Pada umumnya setiap kelas paralel terdiri dari satu departemen dan kelas-kelas tersebut di bawah tanggung jawab dosen Departemen Statistika ataupun dosen departemen lain yang sudah terbiasa mengajar mata kuliah ini. Setiap kelas paralel terdiri dari sejumlah mahasiswa dan setiap mahasiswa memiliki nilai ujian yang dilakukan pada beberapa titik waktu. Pada umumnya setiap mata kuliah diuji pada dua titik waktu yaitu pada saat ujian tengah semester (UTS) dan ujian akhir semester (UAS). Namun ada pula dosen yang memberikan ujian sampai tiga ataupun empat waktu. Oleh Karena itu data nilai capaian mahasiswa pada mata kuliah Metode

Statistika memiliki struktur data berjenjang pengamatan berulang dengan faktor pengamatan berulang yang digunakan adalah waktu ujian.

Selain struktur datanya berjenjang, banyaknya kelas paralel yang terdiri dari mahasiswa dengan IPK TPB yang berbeda-beda diduga menimbulkan keragaman dalam capaian nilai mahasiswa dalam mata kuliah ini. Demikian pula faktor jenis kelamin, asal daerah, serta jumlah mahasiswa per kelas.

Berdasarkan permasalahan di atas, akan dilakukan pemodelan regresi tiga level pada data pengamatan berulang. Nilai amatan berulang sebagai level kesatu yang tersarang pada level kedua (mahasiswa) tersarang pada level ketiga (kelas paralel).

Tujuan

Penelitian ini bertujuan untuk:

1. Mengkaji penerapan model regresi tiga level data pengamatan berulang untuk menganalisis hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan faktor-faktor yang mempengaruhinya.

2. Mencari faktor-faktor yang berpengaruh dalam keragaman capaian mahasiswa untuk mata kuliah Metode Statistika, baik pada level kesatu, kedua (mahasiswa) maupun pada level ketiga (kelas paralel).

3. Menduga komponen-komponen ragam

capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika.

TINJAUAN PUSTAKA

Data Kelompok dan Data Pengamatan Berulang

Data kelompok merupakan data dimana peubah responnya diukur hanya satu kali pada setiap satuan analisis pada level terendah. Setiap satuan analisis pada data ini tersarang dalam unit kelompok sebagai level yang lebih tinggi.

Sebuah data dikatakan data pengamatan berulang jika peubah respon diukur lebih dari satu kali pengamatan pada satuan analisis yang sama dengan memberikan faktor pengamatan yang berbeda. Faktor pengamatan berulang dapat berupa waktu, perlakuan percobaan atau berupa kondisi observasi. (West et al., 2007).

Pemodelan Multilevel

(11)

rendah tersarang dalam level yang lebih tinggi. Pemodelan multilevel merupakan suatu pemodelan statistik untuk menduga hubungan antar peubah yang diamati pada level-level yang berbeda dalam struktur data berjenjang.

1. Model Regresi Tiga Level dengan

Pengamatan Berulang

Analisis regresi mengkaji pola hubungan antara satu peubah respon dengan satu atau lebih peubah penjelas. Jika datanya memiliki struktur berjenjang atau mengandung data pengamatan berulang yang berjenjang, regresi

multilevel lebih tepat digunakan dalam

masalah ini. Pada regresi multilevel, satu peubah respon hanya diukur pada level terendah dan peubah penjelas dapat berada pada semua level. Secara konseptual, model dipandang sebagai suatu sistem berjenjang dari persamaan-persamaan regresi.

Jika Ytij merupakan peubah respon dalam waktu ke-t pada mahasiswa ke-i dan pada kelas paralel ke-j, dan diasumsikan setiap level memiliki satu peubah penjelas dengan intersep dan kemiringan acak, maka model regresi tiga level pada data pengamatan berulang dapat diformulasikan sebagai berikut:

Model Level 1 (Pengamatan Berulang)

Ytij = β0ij + β1ij Ttij + tij

Model Level 2 (Mahasiswa) β0ij = β00j + β01j Vti + u0ij β1ij = β10j + β11j Vti + u1ij

Model Level 3 (Kelas Paralel) β00j = β000 + β001 Zt + w00j β01j = β010 + β011 Zt + w01j β10j = β100 + β101 Zt + w10j β11j = β110 + β111 Zt + w11j

Ketiga model di atas dapat digabung menjadi model regresi tiga level sebagai berikut:

banyaknya pengamatan berulang pada mahasiswa ke–i dalam kelas ke–j. Dalam model tersebut T adalah peubah penjelas pada level satu, V merupakan peubah penjelas pada level dua, dan Z merupakan peubah penjelas pada level tiga. Meskipun demikian, pada pemodelan multilevel tidak diharuskan kehadiran peubah penjelas pada setiap levelnya. Tantular (2009) misalnya, hanya menggunakan satu peubah penjelas pada level terendah dalam analisis regresi tiga level tanpa pengamatan berulang, dan tidak ada peubah penjelas pada level kedua dan ketiga.

Secara umum model regresi multilevel

dapat diformulasikan melalui catatan matriks dan vektor dalam bentuk model

linear campuran (Linear Mixed

Model/LMM) sebagai berikut: (West et

al., 2007)

y= X β + Z u+ ε

Tetap Acak

u ~ N (0,G) dan ε ~ N (0,R)

dimana y merupakan peubah respon

berukuran nx1, dimana n merupakan jumlah dari nij. X adalah matriks rancangan untuk efek tetap dan Z adalah matriks rancangan untuk afek acak. β adalah parameter efek tetap, sedangkan u dan ε masing-masing merupakan vektor parameter efek acak dan sisaan.. G

merupakan matriks blok diagonal yang merepresentasikan ragam koragam untuk semua efek acak dalam u, dan R adalah matriks blok diagonal yang merepresentasikan matriks ragam koragam untuk semua sisaan dalam ε. Matriks G dan R keduanya merupakan matriks simetrik dan definit positif. Dalam model dengan pengamatan berulang, sisaan dalam individu yang sama dapat berkorelasi, namun antara u dan ε diasumsikan saling bebas.

2. Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter (koefisien regresi dan komponen ragam) yang umum digunakan pada pemodelan multilevel

(12)

3. Pendugaan Koefisien Korelasi Intraklas

Jika kita mempunyai data dengan struktur berjenjang yang sederhana, maka regresi multilevel dapat digunakan untuk memberikan nilai dugaan bagi korelasi intraklas. Korelasi intraklas menunjukkan proporsi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelompok dalam populasi, yang dapat juga diinterpretasikan sebagai korelasi harapan antara dua unit yang dipilih secara acak yang berada dalam kelompok yang sama (Hox, 2002).

Korelasi intraklas dapat diperoleh pada setiap level kelompok. Pada model regresi tiga level terdapat dua korelasi intraklas yaitu korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa (Goldstein, 1999). Jika efek acak keragaman yang berhubungan dengan level ketiga dilambangkan dengan σ23 dan efek acak keragaman yang berhubungan dengan level kedua yang tersarang pada level ketiga dilambangkan dengan σ2

2, maka korelasi intra kelas (ρ3) dan korelasi

intra mahasiswa (ρ2) dengan asumsi

intersep acak dan tanpa peubah penjelas adalah sebagai berikut:

Pada regresi tiga level, korelasi intra kelas dan proporsi keragaman yang dapat dijelaskan oleh struktur kelas memiliki formula yang sama, sedangkan proporsi keragaman yang dapat dijelaskan oleh struktur mahasiswa adalah sebagai berikut:

Pengujian Hipotesis

Hipotesis dalam LMM terdiri dari

hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif

(HA). Hipotesis dapat menjadi formula dalam

dua model yang memiliki hubungan tersarang. Model yang lebih umum yang mengandung kedua hipotesis H0 dan HA disebut model

referensi sedangkan model yang hanya

mencakup H0 disebut sebagai model

tersarang. Model referensi mengandung semua parameter yang diuji sedangkan model tersarang tidak. Model tersarang merupakan bagian dari model referensi. Uji hipotesis ini biasanya digunakan untuk menentukan model

mana yang akan dipilih antara model tersarang dengan model referensi.

Likelihood Ratio Test (LRT)

LRT digunakan untuk membandingkan nilai fungsi likelihood antara model tersarang dengan model referensi dalam pengujian hipotesis. Fungsi dari LRT dituliskan sebagai:

-2 log Ltersarang Lreferensi

= -2 log Ltersarang

- -2 log Lreferensi

~χ_df2

Statistik di atas menyebar mengikuti sebaran khi kuadrat dengan derajat bebas selisih dari banyaknya parameter antara kedua model. Pada LRT untuk pengujian efek tetap, pendugaan parameternya menggunakan metode ML. Penghitungan uji statistik dalam pendugaan efek tetap adalah selisih dari -2

ML log-likelihood antara dua model yang

menyebar khi kuadrat dengan nilai derajat bebas selisih dari banyaknya parameter efek tetap antara kedua model.

Uji hipotesis untuk parameter kovarian dalam LMM menggunakan pendugaan REML baik untuk model tersarang ataupun untuk model referensi. Penghitungan uji statistik untuk pendugaan ini adalah selisih dari -2 REML log-likelihood antara dua model yang menyebar khi kuadrat dengan nilai derajat bebas selisih dari banyaknya parameter acak antara dua model (West et al., 2007).

Centering Covariates

Centering Covariates berfungsi untuk

(13)

Gambar 1 Struktur data kelompok dalam pengukuran berulang pada data Metode Statistika

BAHAN DAN METODE

Bahan

Data yang digunakan adalah data nilai capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika tahun 2008/2009 pada beberapa titik waktu yang menjadi peubah respon pada level satu. Peubah penjelas pada level satu adalah waktu ujian. Peubah penjelas level dua adalah IPK TPB, jenis kelamin, dan asal daerah. Jumlah mahasiswa per kelas dan persentase nilai Pengantar Matematika minimal berhuruf mutu B merupakan peubah-peubah penjelas pada level ketiga. Struktur data dapat dilihat pada Gambar 1.

Metode

Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah:

1. Melakukan konversi nilai capaian

Metode Statistika untuk kelas paralel yang nilai maksimumnya melebihi 100. 2. Melakukan analisis deskriptif per kelas

paralel untuk mendapatkan gambaran umum data.

3. Mengeksplorasi hubungan antara

capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya secara grafis.

4. Melakukan centering terhadap beberapa peubah penjelas, yaitu mengurangkan data dengan rataannya.

5. Mencari model terbaik yang dapat

memodelkan hubungan antara capaian mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika dengan peubah-peubah penjelasnya, dengan tahapan:

1. Memilih struktur intersep acak 2. Memilih struktur efek tetap 3. Memilih struktur kemiringan acak

4. Memasukkan interaksi peubah

penjelas antar level ke dalam model 5. Memilih struktur kovarian untuk

sisaan pada level satu

6. Menduga komponen ragam capaian

mahasiswa dalam mata kuliah Metode Statistika berdasarkan model yang telah diperoleh.

PEMBAHASAN

Deskripsi Data

Perkuliahan Metode Statistika tahun 2008/ 2009 terbagi menjadi dua waktu yaitu semester ganjil dan semester genap. Jika waktu yang berdasarkan semester itu diabaikan dan data diamati hanya pada satu angkatan (2007), maka diperoleh jumlah kelas paralel seluruhnya sebanyak 30 kelas. Urutan kelas paralel dapat dilihat pada Lampiran 1.

(14)

Secara umum kelas paralel Metode Statistika tahun 2008/2009 memiliki rataan jumlah mahasiswa sebanyak 85.13 mahasiswa per kelas, rata-rata persentase Pengantar Matematika minimal B per kelas sebesar 49.12%, rata-rata IPK TPB sebesar 2.86, mayoritas mahasiswa berjenis kelamin perempuan (63%), 76% mahasiswa berasal dari Pulau Jawa, rata-rata nilai UTS setiap mahasiswa sebesar 61.33, dan rata-rata nilai UAS setiap mahasiswa sebesar 56.34 (Lampiran 4).

Ilustrasi Keragaman Antar Kelas dan Antar Mahasiswa

Untuk menggambarkan adanya keragaman antar kelas, dipilih dua kelas yang memiliki rata-rata nilai ujian tertinggi pada setiap waktu ujian yaitu kelas Statistika yang memiliki rata-rata UAS tertinggi dan kelas Ilmu Ekonomi yang memiliki rata-rata UTS tertinggi. Kelas Statistika memiliki rata-rata IPK TPB cukup besar yaitu 3.2 dan 71.21% mahasiswanya memiliki nilai mutu Pengantar Matematika minimal B, sedangkan kelas Ilmu Ekonomi memiliki rata-rata IPK TPB yang cukup kecil yaitu sebesar 2.72 dan 67.42 % mahasiswanya memiliki nilai Pengantar Matematika dibawah B. Meskipun kedua kelas itu sama-sama memiliki rata-rata nilai ujian tertinggi, namun terlihat jelas keragaman dari dua kelas tersebut berdasarkan peubah tertentu, sehingga menimbulkan pertanyaan apakah peubah-peubah tersebut memiliki pengaruh terhadap nilai capaian atau tidak (Tabel 1).

Tabel1 Keragaman antara kelas Statistika dengan kelas Ilmu Ekonomi

Beberapa faktor yang diduga memiliki pengaruh terhadap nilai capaian Metode Statistika terdiri dari peubah kategorik dan numerik. Sebelum dianalisis, dilakukan pengkodean terhadap peubah kategorik yang dapat dilihat pada Lampiran 2.

Mahasiswa yang berada dalam kelas yang sama akan memiliki kemiripan. Hal ini kemungkinan karena proses seleksi awal masuk departemen, pengaruh dosen, jumlah

mahasiswa, suasana kelas, dan faktor lainnya. Gambar 2 menggambarkan ilustrasi keragaman nilai dalam kelas dibandingkan antar kelas, sebagai contoh diambil kelas MSL dan kelas Kimia.

Keterangan axis:

0 = UTS MSL 2 =UTS Kimia

1 = UAS MSL 3 = UAS Kimia

Gambar 2 Grafik antara nilai capaian dengan waktu pada dua kelas yang berbeda

Nilai capaian dua pasang mahasiswa pada dua kelas berbeda yang terpilih secara acak menunjukkan kemiripan yang lebih besar pada mahasiswa dalam kelas yang sama, dimana kelas yang diwakili dengan bujur sangkar adalah mahasiswa pada kelas MSL dan simbol yang diwakili oleh segitiga adalah mahasiswa pada kelas Kimia. Umumnya perubahan nilai untuk mahasiswa-mahasiswa kelas MSL tidak terlalu besar.

Eksplorasi Data

Ekplorasi dilakukan untuk mendeteksi keberadaan interaksi antar peubah penjelas, baik antar peubah penjelas dalam level yang sama atau interaksi peubah penjelas antar level yang berbeda. Eksplorasi interaksi bermanfaat dalam pemilihan struktur efek tetap dan penambahan interaksi peubah antar level pada analisis regresi tiga level supaya model yang terbentuk lebih efektif. Interaksi peubah yang terjadi dalam level yang sama adalah interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah sedangkan interaksi antar level terjadi pada peubah waktu (level 1) dengan peubah pada level 2 yaitu jenis kelamin. Untuk interaksi antar peubah penjelas lainnya tidak nampak adanya interaksi dalam eksplorasi ini karena plot interaksinya menunjukkan pola yang sejajar (Lampiran 5).

Selain mendeteksi interaksi, eksplorasi juga diperlukan untuk mendeteksi adanya keragaman perbedaan nilai karena adanya keragaman pengaruh peubah penjelas antar kelas. Untuk pengaruh IPK TPB misalnya,

0

Peubah Nilai rata-rata

(15)

dilakukan eksplorasi dengan membuat garis regresi antar nilai capaian Metode Statistika (Y) dengan IPK TPB (X) pada setiap kelas paralel, sehingga akan diperoleh 30 garis regresi. Pada eksplorasi garis regresi ini terdeteksi adanya keragaman pengaruh IPK TPB antar kelas berupa keragaman intersep dan kemiringan garis regresi antar kelas (Gambar 3). Sama halnya dengan peubah IPK TPB, intersep dan kemiringan peubah waktu juga beragam antar kelas (Gambar 4).

Gambar 3 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan IPK TPB

Gambar 4 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan waktu

Analisis Regresi Tiga level

Untuk mendapatkan model dugaan regresi tiga level yang terbaik, maka diperlukan beberapa tahapan sebagai berikut:

Tahap 1 Memilih struktur intersep acak

Pada tahap satu dilakukan pemilihan struktur intersep acak dengan menggunakan metode REML (Gambar 5). Pemilihan struktur intersep ini untuk mengetahui apakah ada keragaman intersep antar mahasiswa jika diketahui terdapat keragaman intersep antar kelas. Hasil uji LRT menyatakan terdapat keragaman intersep antar mahasiswa yang

tersarang dalam kelas dengan nilai-p sebesar 0.0000 sehingga untuk analisis selanjutnya digunakan pengaruh intersep acak terhadap kelas dan terhadap mahasiswa dalam kelas (Tabel 2).

Gambar 5 Langkah dalam memilih struktur intersep acak

Tabel 2 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur intersep acak

Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa ini dapat memberikan informasi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelas dan struktur mahasiswa, selain itu dapat pula diketahui korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa. Proporsi keragaman nilai capaian yang dapat dijelaskan oleh kelas tanpa dipengaruhi oleh faktor apapun sebesar 20.92% sedangkan proporsi keragaman nilai capaian yang dapat dijelaskan oleh struktur mahasiswa dalam kelas tanpa dipengaruhi oleh faktor apapun sebesar 17.61%. Selain itu dapat diketahui pula bahwa korelasi antara dua mahasiswa yang dipilih secara acak yang berada dalam kelas yang sama adalah sebesar 0.21, sedangkan korelasi intra mahasiswa antara dua nilai ujian yang dipilih secara acak yang berada dalam mahasiswa yang sama sebesar 0.39 (Lampiran 6).

Tahap 2 Memilih struktur efek tetap

Pemilihan struktur efek tetap bermaksud untuk mendapatkan peubah-peubah penjelas yang memiliki pengaruh yang besar terhadap nilai capaian dengan cara memasukkan satu-persatu peubah penjelas setiap levelnya pada model (Gambar 6). Pendugaan parameter pada tahap ini menggunakan metode ML.

0

Perbandingan model Nilai-P

M1.1 dengan M1.2 0.0000

M1.1

Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas

M1.2

(16)

Berdasarkan hasil perbandingan model dengan menggunakan LRT yang hasilnya disajikan pada Tabel 3, model yang diterima adalah M2.3 dengan peubah penjelas waktu, IPK TPB, jenis kelamin, asal daerah, dan interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah. M2.4 tidak dapat diterima karena setelah diuji LRT, peubah penjelas pada level 3 (persentase nilai Pengantar Matematika dan jumlah mahasiswa setiap kelas) tidak berpengaruh terhadap nilai capaian dengan nilai-p sebesar 0.3529. Tidak berpengaruhnya persentase nilai pengantar Matematika terhadap nilai capaian Metode Statistika mungkin disebabkan kurangnya pendalaman logika dan analisis statistika pada mata kuliah Pengantar Matematika sedangkan dalam mata kuliah Metode Statistika sangat dibutuhkan kemampuan tersebut.

Gambar 6 Langkah dalam memilih struktur efek tetap

Tabel 3 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur efek tetap

Tahap 3 Memilih struktur kemiringan acak

Setelah melakukan tahap dua, dilanjutkan dengan tahap tiga yaitu memilih struktur kemiringan acak yang berpengaruh terhadap model. Pada tahap ini metode yang digunakan

adalah pendugaan REML. Awalnya model tanpa pengaruh kemiringan acak dibuat dengan peubah penjelas sesuai dengan Model 2.3 (M3.1), kemudian model tersebut dibandingkan satu persatu dengan:

1. Model dengan kemiringan waktu acak (M3.2)

2. Model dengan kemiringan IPK TPB acak (M3.3)

3. Model dengan kemiringan jenis kelamin acak (M3.4)

4. Model dengan kemiringan asal daerah acak (M3.5)

Berdasarkan hasil uji LRT, pengaruh kemiringan acak yang signifikan terhadap model adalah kemiringan waktu, IPK TPB, dan jenis kelamin (Tabel 4).

Tabel 4 Hasil uji LRT perbandingan model dalam memilih struktur kemiringan acak

Tahap 4 Memasukkan peubah penjelas yang

menjelaskan interaksi peubah antar level

Tahap empat adalah tahap pembentukan model dengan efek tetap dan efek acak yang signifikan serta ditambahkan interaksi peubah antar level (M4.1). Interaksi yang dimasukkan dalam model adalah interaksi waktu dengan peubah penjelas yang berada pada level 2 yaitu interaksi waktu dengan jenis kelamin seperti yang dijelaskan pada eksplorasi data sebelumnya. Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan nilai dugaan komponen ragamnya disajikan dalam Tabel 6.

Tahap 5 Memilih struktur kovarian untuk

Langkah terakhir adalah memeriksa apakah nilai-nilai yang ada pada mahasiswa yang sama saling bebas atau tidak saling bebas. Dari model yang diperoleh pada tahap 4 yaitu model dengan asumsi ragam sisaan antar waktu homogen saling bebas (M4.1), kemudian dibuat model pembandingnya yaitu model dengan asumsi keragaman sisaan antar waktu homogen tidak saling bebas (M5.1).

Berdasarkan hasil uji hipotesis diketahui bahwa ragam sisaan antar waktu homogen dan saling bebas (Tabel 7). Dengan demikian tidak Perbandingan model Nilai-P

M2.1 dengan M2.2 0.0000

M2.2 dengan M2.3 0.0000 M2.3 dengan M2.4 0.3529

Perbandingan model Nilai-P M3.1 dengan M3.2 0.0000 M3.1 dengan M3.3 0.0000 M3.1 dengan M3.4 0.0000 M3.1 dengan M3.5 0.9048

M2.3

Model 2.2 ditambahkan dengan peubah-peubah penjelas pada level 2 dan interaksinya

M2.1

Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas

M2.2

Model dengan peubah penjelas pada level 1 (waktu) dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas

M2.4

(17)

terbukti ada keterkaitan antar nilai ujian dalam mahasiswa yang sama. Hal ini mungkin disebabkan oleh jumlah titik waktu dominan terlalu sedikit (dua titik), adanya perbedaan tingkat kesulitan antara materi UTS dan UAS, dan kemungkinan dikarenakan adanya perbedaan dosen pada waktu UTS dengan UAS. Dengan demikian Model 4.1 merupakan model terbaik pada data capaian Metode Statistika.

Tabel 5 Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1

Tabel 6 Nilai dugaan komponen ragam pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1

Tabel 7 Hasil perbandingan model struktur kovarian untuk sisaan pada level satu

Interpretasi Hasil Model Terbaik

Berdasarkan Tabel 5 dapat diketahui bahwa rata-rata nilai capaian Metode Statistika dari mahasiswa yang berjenis

kelamin perempuan, memiliki IPK 2.86, berasal dari Pulau Jawa, dan pada saat UTS sebesar 61.4169. Selain itu terlihat adanya interaksi IPK TPB dengan asal daerah. Hal ini berarti pengaruh IPK TPB terhadap nilai capaian Metode Statistika tergantung dari asal daerah mahasiswanya. Naiknya IPK TPB sebesar satu satuan mengakibatkan rata-rata nilai capaian untuk mahasiswa dari Pulau Jawa meningkat sebesar 15.7099, untuk mahasiswa dari luar Jawa meningkat sebesar 18.1829.

Interaksi juga terjadi pada peubah waktu dengan jenis kelamin mahasiswa. Pengaruh waktu ujian terhadap nilai capaian Metode Statistika tergantung pada jenis kelamin. Rata-rata nilai capaian Metode Statistika dari UTS ke UAS pada mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan menurun sebesar 1.8166, sedangkan penurunan rata-rata nilai capaian pada mahasiswa yang berjenis kelamin laki-laki sebesar 6.683.

Rata-rata nilai capaian Metode Statistika pada mahasiswa berjenis kelamin laki-laki selalu lebih rendah dari mahasiswa yang berjenis kelamin perempuan. Pada saat UTS, rata-rata nilai mahasiswa lebih rendah 1.7724 dari mahasiswinya, sedangkan pada saat UAS, rata-rata nilai capaian mahasiswa laki-laki lebih rendah 6.6388 dari rata-rata nilai mahasiswa perempuannya.

Berdasarkan Tabel 6, keragaman nilai tidak hanya terjadi antar kelas, keragaman nilai juga terjadi antar mahasiswa dalam kelas dan antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas. Keragaman nilai Metode Statistika antar kelas pada mahasiswa yang memiliki IPK TPB 2.86, berjenis kelamin perempuan yang berasal dari Pulau Jawa pada saat UTS sebesar 127.65.

Nilai koragam antara intersep dan kemiringan waktu sebesar -45.6871 yang signifikan menandakan adanya hubungan negatif antara intersep dengan kemiringan waktu. Perbedaan nilai antara UTS dan UAS untuk kelas-kelas dengan intersep rendah lebih besar dari pada kelas-kelas yang memiliki intersep tinggi, demikian pula sebaliknya. Adapun keragaman perbedaan nilai UTS dan UAS antar kelas sebesar 37.8378.

Begitu pula dengan IPK TPB dan jenis kelamin, kedua faktor tersebut juga dapat menimbulkan keragaman perbedaan nilai antar kelas. Keragaman kemiringan IPK TPB antar kelas sebesar 30.7299, sedangkan keragaman perbedaan nilai antara laki-laki dan perempuan antar kelas sebesar 11.0338. Solusi untuk Efek Tetap

Efek tetap Nilai duga Nilai -P

Intersep 61.4169 <.0001

Waktu -0.9083 0.4406

IPK TPB 15.7099 <.0001

Jk -1.7724 0.0429

Asal daerah -0.6831 0.2136

Ipktpb*Asaldaerah 2.4730 0.0180

Waktu*Jk -2.4332 <.0001

Pendugaan Parameter Koragam Parameter

; 24.9697 <.0001

; 45.5365 <.0001

127.52 <.0001

(18)

Dari Tabel 6 juga terlihat adanya keragaman perbedaan nilai antara UTS dan UAS antar mahasiswa dalam kelas sebesar 45.5365, dan keragaman nilai antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas sebesar 127.52.

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap nilai capaian Metode Statistika adalah IPK TPB, jenis kelamin mahasiswa, interaksi IPK TPB dengan asal daerah dan interaksi antara waktu dengan jenis kelamin mahasiswa.

Waktu, IPK TPB dan jenis kelamin yang berbeda-beda menimbulkan keragaman perbedaan nilai antar kelas. Namun keragaman nilai tidak hanya terjadi antar kelas saja, keragaman juga terjadi antar mahasiswa dalam kelas dan keragaman antar waktu dalam mahasiswa dalam kelas. Keragaman nilai terbesar adalah keragaman nilai Metode Statistika antar kelas pada mahasiswa yang memiliki IPK TPB 2.86, berjenis kelamin perempuan yang berasal dari Pulau Jawa dan pada waktu UTS sebesar 127.65.

Saran

Pada data struktur berjenjang, amatan-amatan yang berada dalam kelompok yang sama cenderung mirip. Namun dalam penelitian ini, keterkaitan antara nilai UTS

dan nilai UAS dalam mahasiswa yang sama tidak nampak. Hal ini kemungkinan dikarenakan banyaknya titik waktu pada data pengamatan berulang terlalu sedikit. Supaya korelasi antara nilai ujian dalam mahasiswa yang sama dapat terlihat, maka sebaiknya titik waktu pada data pengamatan berulang diperbanyak, dengan kata lain perlu penambahan frekuensi ujian.

DAFTAR PUSTAKA

[Anonim].http://tramss.data.archive.ac.uk/doc umentation/MLwiN [23 Desember 2008, 10:02:20]

Goldstein H. 1999. Multilevel Statistical Models. Institute of Education, Multilevel

Model Project, London.

Hox J. 2002. Multilevel Analysis : Techniques and Applications. New Jersey : Lawrence Erlbaum Associates, Inc.

Tantular B. 2009. Penerapan Model Regresi Linier Multilevel pada Data Pendidikan

dan Data Nilai Ujian. [Tesis]. Bogor:

Program Pascasarjana. Institut Pertanian Bogor.

West B.T., K.B. Welch, dan A.T. Galecki. 2007. Linear Mixed Models : A Practical

Guide Using Statistical Software. New

(19)

(20)

(21)

Lampiran 1 Urutan 30 kelas paralel Metode Statistika tahun 2008/2009 1. Statistika (STK)

2. Manajemen Sumberdaya Lahan (MSL) 3. Geo Fisika dan Meteorologi (GFM) 4. Matematika (MTK)

5. Ilmu Komputer (KOM) 6. Fisika (FIS)

7. Bio Kimia 8. Kimia

9. Agronomi dan Holtikultura (AGH) 10. Lanskap

11. Fakultas Kedokteran Hewan (FKH) 12. Budi Daya Perairan (BDP)

13. Manajemen Sumber Daya Perairan (MSP)

14. Teknologi hasil Perairan (THP) 15. PSP

16. Ilmu Teknologi Kelautan (ITK)

17. Ilmu Pakan Peternakan(IPTP) 18. Ilmu Nutrisi Perternakan(INTP) 19. Manajemen Hutan (MENHUT) 20. Teknologi Hasil Hutan (THH) 21. Konservasi Sumberdaya Hutan (KSH) 22. Silvikultur (SILVI)

23. Ilmu Teknologi Pangan (ITP) 24. Teknologi Industri Pertabian (TIN) 25. Ilmu Ekonomi (IE)

26. Ilmu Manajemen (MAN) 27. Ekonomi Sumberdaya Lingkunagn

(ESL)

28. Gizi Masyarakat (GM)

29. Ilmu Keluarga dan Konsumen (IKK) 30. Komunikasi dan Pengembangan

Masyarakat (KPM)

Lampiran 2 Pengkodean peubah penjelas

Lampiran 3 Kelas paralel yang memiliki nilai tertinggi lebih dari seratus

Peubah Penjelas Kode Makna

Waktu -1 Ujian Sebelum UTS

0 UTS

1 Ujian diantara UTS dan UAS

2 UAS

Jenis Kelamin 0 Perempuan

1 Laki-laki

Asal Daerah 0 Jawa

1 Luar Jawa

Kelas Paralel Ujian1 (sebelum UTS)

Ujian2 (UTS)

Ujian3

(Antara UTS dan UAS)

Ujian4 (UAS)

STK - 110 - 110

KIMIA - 120 - -

FKH - 115 - 110

IPTP - - - 120

INTP - - - 120

(22)

Lampiran 4 Statistika deskriptif setiap kelas paralel

No Dept

% PM min B

Jumlah mahasiswa

IPK TPB

% Laki-laki

% Luar Jawa

Ujian1 Ujian2

(UTS) Ujian3

Ujian4 (UAS)

1* STK 71,21 70 3,20 38 26 - 66,00 - 83,68

2* MSL 57,97 71 2,82 49 33 - 55,46 - 53,73

3 GFM 51,02 49 2,76 49 43 - 45,24 - 53,27

4 MTK 76,71 79 2,98 38 11 - 48,76 - 35,36

5 KOM 71,91 115 3,02 61 16 - 74,16 - 48,34

6 FIS 56,25 38 2,89 50 41 - 66,24 - 58,88

7* BIOKIMIA 60,66 79 2,95 44 20 - 71,49 - 70,80

8 KIMIA 58,67 78 2,99 37 11 - 74,72 - 72,15

9 AGH 59,46 71 3,05 41 24 59,87 61,46 58,03 72,70

10 LANSKAP 70,00 117 2,98 30 22 - 84,66 - 51,66

11 FKH 46,97 133 2,83 39 47 - 82,42 - 60,73

12 BDP 47,69 69 2,75 42 42 - 38,59 - 46,94

13 MSP 40,98 62 2,60 52 30 - 41,17 - 43,36

14 THP 40,28 74 2,77 24 30 - 56,02 - 36,23

15 PSP 32,35 47 2,57 61 27 - 39,04 - 37,87

16 ITK 33,90 65 2,71 52 34 - 40,70 - 52,56

17 IPTP 32,29 100 2,71 32 32 - 60,92 - 65,53

18 INTP 32,47 80 2,62 45 29 - 57,82 - 53,31

19 MENHUT 35,58 113 2,71 47 31 - 60,08 - 44,30

20 THH 38,81 83 2,70 62 29 - 52,49 - 56,78

21 KSH 30,93 98 2,68 41 26 - 61,24 - 52,10

22 SILVI 33,33 50 2,49 48 34 - 59,75 - 44,37

23 ITP 89,47 121 3,41 35 14 - 70,22 - 76,18

24 TIN 63,81 147 3,09 34 17 - 60,51 58,11 68,43

25 IE 32,58 93 2,72 25 10 - 86,15 - 69,88

26 MAN 42,86 100 2,81 27 9 - 65,49 - 64,08

27 ESL 36,05 87 2,73 28 15 - 62,83 - 53,35

28 GM 66,96 112 3,05 15 23 - 57,29 - 57,92

29 IKK 34,15 45 2,77 5 12 - 54,17 - 77,10

30 KPM 28,42 108 2,63 15 19 - 64,35 - 53,52

Seluruh kelas 49.12 85.13 2.86 37 24 61.33 56.34

(23)

Lampiran 5 Plot interaksi antar peubah penjelas intra level dan interaksi peubah penjelas antar Plot I nteraksi Antara Asal Daerah dengan Jenis Kelamin

Asal Daerah Plot I nter aksi Antar a I PK TPB dengan Jenis Kelamin

Waktu Plot I nteraksi Antara Waktu Dengan Asal Daerah

(24)

Lampiran 6 Korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa

Sebagai fungsi proporsi keragaman

_. _.. _. .

Sebagai fungsi korelasi intraklas

_. _.. _. .

_. . _. . _. .

Pendugaan Parameter Koragam Parameter Koragam Pendugaan

(25)

(Studi Kasus: Nilai Capaian Mahasiswa dalam Mata Kuliah Metode

Statistika Tahun 2008/2009)

TRI WURI SASTUTI

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(26)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

(27)

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Tujuan

(28)

rendah tersarang dalam level yang lebih tinggi. Pemodelan multilevel merupakan suatu pemodelan statistik untuk menduga hubungan antar peubah yang diamati pada level-level yang berbeda dalam struktur data berjenjang.

1. Model Regresi Tiga Level dengan

Pengamatan Berulang

Analisis regresi mengkaji pola hubungan antara satu peubah respon dengan satu atau lebih peubah penjelas. Jika datanya memiliki struktur berjenjang atau mengandung data pengamatan berulang yang berjenjang, regresi

multilevel lebih tepat digunakan dalam

masalah ini. Pada regresi multilevel, satu peubah respon hanya diukur pada level terendah dan peubah penjelas dapat berada pada semua level. Secara konseptual, model dipandang sebagai suatu sistem berjenjang dari persamaan-persamaan regresi.

Jika Ytij merupakan peubah respon dalam waktu ke-t pada mahasiswa ke-i dan pada kelas paralel ke-j, dan diasumsikan setiap level memiliki satu peubah penjelas dengan intersep dan kemiringan acak, maka model regresi tiga level pada data pengamatan berulang dapat diformulasikan sebagai berikut:

Model Level 1 (Pengamatan Berulang)

Ytij = β0ij + β1ij Ttij + tij

Model Level 2 (Mahasiswa) β0ij = β00j + β01j Vti + u0ij β1ij = β10j + β11j Vti + u1ij

Model Level 3 (Kelas Paralel) β00j = β000 + β001 Zt + w00j β01j = β010 + β011 Zt + w01j β10j = β100 + β101 Zt + w10j β11j = β110 + β111 Zt + w11j

Ketiga model di atas dapat digabung menjadi model regresi tiga level sebagai berikut:

banyaknya pengamatan berulang pada mahasiswa ke–i dalam kelas ke–j. Dalam model tersebut T adalah peubah penjelas pada level satu, V merupakan peubah penjelas pada level dua, dan Z merupakan peubah penjelas pada level tiga. Meskipun demikian, pada pemodelan multilevel tidak diharuskan kehadiran peubah penjelas pada setiap levelnya. Tantular (2009) misalnya, hanya menggunakan satu peubah penjelas pada level terendah dalam analisis regresi tiga level tanpa pengamatan berulang, dan tidak ada peubah penjelas pada level kedua dan ketiga.

Secara umum model regresi multilevel

dapat diformulasikan melalui catatan matriks dan vektor dalam bentuk model

linear campuran (Linear Mixed

Model/LMM) sebagai berikut: (West et

al., 2007)

y= X β + Z u+ ε

Tetap Acak

u ~ N (0,G) dan ε ~ N (0,R)

dimana y merupakan peubah respon

berukuran nx1, dimana n merupakan jumlah dari nij. X adalah matriks rancangan untuk efek tetap dan Z adalah matriks rancangan untuk afek acak. β adalah parameter efek tetap, sedangkan u dan ε masing-masing merupakan vektor parameter efek acak dan sisaan.. G

merupakan matriks blok diagonal yang merepresentasikan ragam koragam untuk semua efek acak dalam u, dan R adalah matriks blok diagonal yang merepresentasikan matriks ragam koragam untuk semua sisaan dalam ε. Matriks G dan R keduanya merupakan matriks simetrik dan definit positif. Dalam model dengan pengamatan berulang, sisaan dalam individu yang sama dapat berkorelasi, namun antara u dan ε diasumsikan saling bebas.

2. Pendugaan Parameter

Pendugaan parameter (koefisien regresi dan komponen ragam) yang umum digunakan pada pemodelan multilevel

(29)

3. Pendugaan Koefisien Korelasi Intraklas

Jika kita mempunyai data dengan struktur berjenjang yang sederhana, maka regresi multilevel dapat digunakan untuk memberikan nilai dugaan bagi korelasi intraklas. Korelasi intraklas menunjukkan proporsi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelompok dalam populasi, yang dapat juga diinterpretasikan sebagai korelasi harapan antara dua unit yang dipilih secara acak yang berada dalam kelompok yang sama (Hox, 2002).

Korelasi intraklas dapat diperoleh pada setiap level kelompok. Pada model regresi tiga level terdapat dua korelasi intraklas yaitu korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa (Goldstein, 1999). Jika efek acak keragaman yang berhubungan dengan level ketiga dilambangkan dengan σ23 dan efek acak keragaman yang berhubungan dengan level kedua yang tersarang pada level ketiga dilambangkan dengan σ2

2, maka korelasi intra kelas (ρ3) dan korelasi

intra mahasiswa (ρ2) dengan asumsi

intersep acak dan tanpa peubah penjelas adalah sebagai berikut:

Pada regresi tiga level, korelasi intra kelas dan proporsi keragaman yang dapat dijelaskan oleh struktur kelas memiliki formula yang sama, sedangkan proporsi keragaman yang dapat dijelaskan oleh struktur mahasiswa adalah sebagai berikut:

Pengujian Hipotesis

Hipotesis dalam LMM terdiri dari

hipotesis nol (H0) dan hipotesis alternatif

(HA). Hipotesis dapat menjadi formula dalam

dua model yang memiliki hubungan tersarang. Model yang lebih umum yang mengandung kedua hipotesis H0 dan HA disebut model

referensi sedangkan model yang hanya

mencakup H0 disebut sebagai model

tersarang. Model referensi mengandung semua parameter yang diuji sedangkan model tersarang tidak. Model tersarang merupakan bagian dari model referensi. Uji hipotesis ini biasanya digunakan untuk menentukan model

mana yang akan dipilih antara model tersarang dengan model referensi.

Likelihood Ratio Test (LRT)

LRT digunakan untuk membandingkan nilai fungsi likelihood antara model tersarang dengan model referensi dalam pengujian hipotesis. Fungsi dari LRT dituliskan sebagai:

= -2 log Ltersarang

- -2 log Lreferensi

~χ_df2

Statistik di atas menyebar mengikuti sebaran khi kuadrat dengan derajat bebas selisih dari banyaknya parameter antara kedua model. Pada LRT untuk pengujian efek tetap, pendugaan parameternya menggunakan metode ML. Penghitungan uji statistik dalam pendugaan efek tetap adalah selisih dari -2

ML log-likelihood antara dua model yang

menyebar khi kuadrat dengan nilai derajat bebas selisih dari banyaknya parameter efek tetap antara kedua model.

Uji hipotesis untuk parameter kovarian dalam LMM menggunakan pendugaan REML baik untuk model tersarang ataupun untuk model referensi. Penghitungan uji statistik untuk pendugaan ini adalah selisih dari -2 REML log-likelihood antara dua model yang menyebar khi kuadrat dengan nilai derajat bebas selisih dari banyaknya parameter acak antara dua model (West et al., 2007).

Centering Covariates

Centering Covariates berfungsi untuk

(30)

Bahan

Metode

PEMBAHASAN

Deskripsi Data

(31)

Bahan

Metode

PEMBAHASAN

Deskripsi Data

(32)

Bahan

Metode

PEMBAHASAN

Deskripsi Data

(33)

Secara umum kelas paralel Metode Statistika tahun 2008/2009 memiliki rataan jumlah mahasiswa sebanyak 85.13 mahasiswa per kelas, rata-rata persentase Pengantar Matematika minimal B per kelas sebesar 49.12%, rata-rata IPK TPB sebesar 2.86, mayoritas mahasiswa berjenis kelamin perempuan (63%), 76% mahasiswa berasal dari Pulau Jawa, rata-rata nilai UTS setiap mahasiswa sebesar 61.33, dan rata-rata nilai UAS setiap mahasiswa sebesar 56.34 (Lampiran 4).

Ilustrasi Keragaman Antar Kelas dan Antar Mahasiswa

Untuk menggambarkan adanya keragaman antar kelas, dipilih dua kelas yang memiliki rata-rata nilai ujian tertinggi pada setiap waktu ujian yaitu kelas Statistika yang memiliki rata-rata UAS tertinggi dan kelas Ilmu Ekonomi yang memiliki rata-rata UTS tertinggi. Kelas Statistika memiliki rata-rata IPK TPB cukup besar yaitu 3.2 dan 71.21% mahasiswanya memiliki nilai mutu Pengantar Matematika minimal B, sedangkan kelas Ilmu Ekonomi memiliki rata-rata IPK TPB yang cukup kecil yaitu sebesar 2.72 dan 67.42 % mahasiswanya memiliki nilai Pengantar Matematika dibawah B. Meskipun kedua kelas itu sama-sama memiliki rata-rata nilai ujian tertinggi, namun terlihat jelas keragaman dari dua kelas tersebut berdasarkan peubah tertentu, sehingga menimbulkan pertanyaan apakah peubah-peubah tersebut memiliki pengaruh terhadap nilai capaian atau tidak (Tabel 1).

Tabel1 Keragaman antara kelas Statistika dengan kelas Ilmu Ekonomi

Beberapa faktor yang diduga memiliki pengaruh terhadap nilai capaian Metode Statistika terdiri dari peubah kategorik dan numerik. Sebelum dianalisis, dilakukan pengkodean terhadap peubah kategorik yang dapat dilihat pada Lampiran 2.

Mahasiswa yang berada dalam kelas yang sama akan memiliki kemiripan. Hal ini kemungkinan karena proses seleksi awal masuk departemen, pengaruh dosen, jumlah

mahasiswa, suasana kelas, dan faktor lainnya. Gambar 2 menggambarkan ilustrasi keragaman nilai dalam kelas dibandingkan antar kelas, sebagai contoh diambil kelas MSL dan kelas Kimia.

Keterangan axis:

0 = UTS MSL 2 =UTS Kimia

1 = UAS MSL 3 = UAS Kimia

Gambar 2 Grafik antara nilai capaian dengan waktu pada dua kelas yang berbeda

Nilai capaian dua pasang mahasiswa pada dua kelas berbeda yang terpilih secara acak menunjukkan kemiripan yang lebih besar pada mahasiswa dalam kelas yang sama, dimana kelas yang diwakili dengan bujur sangkar adalah mahasiswa pada kelas MSL dan simbol yang diwakili oleh segitiga adalah mahasiswa pada kelas Kimia. Umumnya perubahan nilai untuk mahasiswa-mahasiswa kelas MSL tidak terlalu besar.

Eksplorasi Data

Ekplorasi dilakukan untuk mendeteksi keberadaan interaksi antar peubah penjelas, baik antar peubah penjelas dalam level yang sama atau interaksi peubah penjelas antar level yang berbeda. Eksplorasi interaksi bermanfaat dalam pemilihan struktur efek tetap dan penambahan interaksi peubah antar level pada analisis regresi tiga level supaya model yang terbentuk lebih efektif. Interaksi peubah yang terjadi dalam level yang sama adalah interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah sedangkan interaksi antar level terjadi pada peubah waktu (level 1) dengan peubah pada level 2 yaitu jenis kelamin. Untuk interaksi antar peubah penjelas lainnya tidak nampak adanya interaksi dalam eksplorasi ini karena plot interaksinya menunjukkan pola yang sejajar (Lampiran 5).

Selain mendeteksi interaksi, eksplorasi juga diperlukan untuk mendeteksi adanya keragaman perbedaan nilai karena adanya keragaman pengaruh peubah penjelas antar kelas. Untuk pengaruh IPK TPB misalnya,

0

Peubah Nilai rata-rata

(34)

dilakukan eksplorasi dengan membuat garis regresi antar nilai capaian Metode Statistika (Y) dengan IPK TPB (X) pada setiap kelas paralel, sehingga akan diperoleh 30 garis regresi. Pada eksplorasi garis regresi ini terdeteksi adanya keragaman pengaruh IPK TPB antar kelas berupa keragaman intersep dan kemiringan garis regresi antar kelas (Gambar 3). Sama halnya dengan peubah IPK TPB, intersep dan kemiringan peubah waktu juga beragam antar kelas (Gambar 4).

Gambar 3 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan IPK TPB

Gambar 4 Garis regresi dari 30 kelas paralel berdasarkan waktu

Analisis Regresi Tiga level

Untuk mendapatkan model dugaan regresi tiga level yang terbaik, maka diperlukan beberapa tahapan sebagai berikut:

Tahap 1 Memilih struktur intersep acak

Pada tahap satu dilakukan pemilihan struktur intersep acak dengan menggunakan metode REML (Gambar 5). Pemilihan struktur intersep ini untuk mengetahui apakah ada keragaman intersep antar mahasiswa jika diketahui terdapat keragaman intersep antar kelas. Hasil uji LRT menyatakan terdapat keragaman intersep antar mahasiswa yang

tersarang dalam kelas dengan nilai-p sebesar 0.0000 sehingga untuk analisis selanjutnya digunakan pengaruh intersep acak terhadap kelas dan terhadap mahasiswa dalam kelas (Tabel 2).

Gambar 5 Langkah dalam memilih struktur intersep acak

Tabel 2 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur intersep acak

Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa ini dapat memberikan informasi keragaman yang dijelaskan oleh struktur kelas dan struktur mahasiswa, selain itu dapat pula diketahui korelasi intra kelas dan korelasi intra mahasiswa. Proporsi keragaman nilai capaian yang dapat dijelaskan oleh kelas tanpa dipengaruhi oleh faktor apapun sebesar 20.92% sedangkan proporsi keragaman nilai capaian yang dapat dijelaskan oleh struktur mahasiswa dalam kelas tanpa dipengaruhi oleh faktor apapun sebesar 17.61%. Selain itu dapat diketahui pula bahwa korelasi antara dua mahasiswa yang dipilih secara acak yang berada dalam kelas yang sama adalah sebesar 0.21, sedangkan korelasi intra mahasiswa antara dua nilai ujian yang dipilih secara acak yang berada dalam mahasiswa yang sama sebesar 0.39 (Lampiran 6).

Tahap 2 Memilih struktur efek tetap

Pemilihan struktur efek tetap bermaksud untuk mendapatkan peubah-peubah penjelas yang memiliki pengaruh yang besar terhadap nilai capaian dengan cara memasukkan satu-persatu peubah penjelas setiap levelnya pada model (Gambar 6). Pendugaan parameter pada tahap ini menggunakan metode ML.

0

M1.1 dengan M1.2 0.0000

M1.1

Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas

M1.2

(35)

Berdasarkan hasil perbandingan model dengan menggunakan LRT yang hasilnya disajikan pada Tabel 3, model yang diterima adalah M2.3 dengan peubah penjelas waktu, IPK TPB, jenis kelamin, asal daerah, dan interaksi antara IPK TPB dengan asal daerah. M2.4 tidak dapat diterima karena setelah diuji LRT, peubah penjelas pada level 3 (persentase nilai Pengantar Matematika dan jumlah mahasiswa setiap kelas) tidak berpengaruh terhadap nilai capaian dengan nilai-p sebesar 0.3529. Tidak berpengaruhnya persentase nilai pengantar Matematika terhadap nilai capaian Metode Statistika mungkin disebabkan kurangnya pendalaman logika dan analisis statistika pada mata kuliah Pengantar Matematika sedangkan dalam mata kuliah Metode Statistika sangat dibutuhkan kemampuan tersebut.

Gambar 6 Langkah dalam memilih struktur efek tetap

Tabel 3 Hasil perbandingan model dalam memilih struktur efek tetap

Tahap 3 Memilih struktur kemiringan acak

Setelah melakukan tahap dua, dilanjutkan dengan tahap tiga yaitu memilih struktur kemiringan acak yang berpengaruh terhadap model. Pada tahap ini metode yang digunakan

adalah pendugaan REML. Awalnya model tanpa pengaruh kemiringan acak dibuat dengan peubah penjelas sesuai dengan Model 2.3 (M3.1), kemudian model tersebut dibandingkan satu persatu dengan:

1. Model dengan kemiringan waktu acak (M3.2)

2. Model dengan kemiringan IPK TPB acak (M3.3)

3. Model dengan kemiringan jenis kelamin acak (M3.4)

4. Model dengan kemiringan asal daerah acak (M3.5)

Berdasarkan hasil uji LRT, pengaruh kemiringan acak yang signifikan terhadap model adalah kemiringan waktu, IPK TPB, dan jenis kelamin (Tabel 4).

Tabel 4 Hasil uji LRT perbandingan model dalam memilih struktur kemiringan acak

Tahap 4 Memasukkan peubah penjelas yang

menjelaskan interaksi peubah antar level

Tahap empat adalah tahap pembentukan model dengan efek tetap dan efek acak yang signifikan serta ditambahkan interaksi peubah antar level (M4.1). Interaksi yang dimasukkan dalam model adalah interaksi waktu dengan peubah penjelas yang berada pada level 2 yaitu interaksi waktu dengan jenis kelamin seperti yang dijelaskan pada eksplorasi data sebelumnya. Nilai dugaan efek tetap pada analisis regresi tiga level sesuai dengan Model 4.1 dapat dilihat pada Tabel 5, sedangkan nilai dugaan komponen ragamnya disajikan dalam Tabel 6.

Tahap 5 Memilih struktur kovarian untuk

Langkah terakhir adalah memeriksa apakah nilai-nilai yang ada pada mahasiswa yang sama saling bebas atau tidak saling bebas. Dari model yang diperoleh pada tahap 4 yaitu model dengan asumsi ragam sisaan antar waktu homogen saling bebas (M4.1), kemudian dibuat model pembandingnya yaitu model dengan asumsi keragaman sisaan antar waktu homogen tidak saling bebas (M5.1).

Berdasarkan hasil uji hipotesis diketahui bahwa ragam sisaan antar waktu homogen dan saling bebas (Tabel 7). Dengan demikian tidak Perbandingan model Nilai-P

M2.1 dengan M2.2 0.0000

M2.2 dengan M2.3 0.0000 M2.3 dengan M2.4 0.3529

Perbandingan model Nilai-P M3.1 dengan M3.2 0.0000 M3.1 dengan M3.3 0.0000 M3.1 dengan M3.4 0.0000 M3.1 dengan M3.5 0.9048

M2.3

Model 2.2 ditambahkan dengan peubah-peubah penjelas pada level 2 dan interaksinya

M2.1

Model tanpa peubah penjelas dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas

M2.2

Model dengan peubah penjelas pada level 1 (waktu) dengan intersep acak terhadap kelas dan mahasiswa dalam kelas

M2.4