Rata-Rata Kredibilitas Sebagai Solusi Pasti Pada Keluarga Sebaran Eksponensial

RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI

PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL

MIKA NISHIHARA

G54103024

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRACT

MIKA NISHIHARA. Mean of Credibility as an Exact Solution of Exponensial Families. Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.

Taking an insurance was the manner to overcome or decrease the risk which appear from accidents that we do not expect by paying relatively small amount of insurance premium to insurer. The premium fee from insured to insurance company depend on the risk that happened, but the risk can not be calculated exactly. American actuaries in 1920 proposed a credibility formula to estimate the fair premium of an individual risk, when given only collective statistics and individual risk experience for n years. The credibility formula are linear combination of the mean of collective premium and the mean of individual risk experience for n years with certain proportion.

ABSTRAK

MIKA NISHIHARA. Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran Eksponensial. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.

Asuransi merupakan cara untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang ditimbulkan dari kejadian-kejadian yang tidak diharapkan dengan cara membayar premi asuransi yang relatif kecil kepada perusahaan asuransi. Premi yang harus dibayarkan seorang tertanggung kepada perusahaan asuransi tergantung pada risiko yang dialaminya, tetapi risiko tidak dapat diperhitungkan secara pasti. Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920 menggunakan rumus kredibilitas untuk menduga tarif premi yang wajar dari suatu risiko individu jika informasi yang dimiliki hanya berupa statistik kolektif dan pengalaman risiko individu selama n tahun. Rumus kredibilitas merupakan kombinasi linear dari rata-rata premi kolektif dan rata-rata data pengalaman risiko individu selama n tahun dengan proporsi tertentu.

RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI

PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

MIKA NISHIHARA

G54103024

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul : Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran

Eksponensial

Nama : Mika

Nishihara

NIM : G54103024

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP. 131878945

NIP. 131663020

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.

NIP. 131473999

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 20 Juni 1986 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Setsuo Nishihara dan Gabby Sisca George.

Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 47 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor).

7

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman.

Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi Matematika.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan dan pengarahan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.

2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah bapak berikan.

3. Bpk. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku Penguji yang telah memberikan saran dan masukannya.

4. Papah dan Kano yang terus memberikan doa, semangat dan dorongan. 5. Ka Aika yang telah membantu penulis dalam penyelesaian karya ilmiah ini.

6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen matematika: Mas Deny, Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, dan Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

7. Mas Sudar, Mba tantin dan Bude atas doa dan semangat yang telah diberikan.

8. Teman-teman Matematika 40 : Aam, Lili, Manto, Mayang, Mita, Mufti, Kafi, Elis, Cucut (Icha), Yuda, Azis, Prima, Ari, Nchi, Sriti, Gogon (Vina), Uli, Bedu (Abdillah), Komeng, Jayu, Rusli, Sawa, Beri, Marlin, Om (Rama), Dwi, Gandronk (Indah), Anton, Dimas, Walidah, Ali, Abay, Metha, Uve, Achie, Herni, Amie, Gatchul (Gatha), Fee (Bian), Ucup, Nisa, Ifni, Demi, Jagunk (Septi), Putra. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini.

9. Semua mahasiswa/i matematika atas dukungannya. 10. Penghuni wisma Blobo yang telah memberikan semangat.

11. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.

Bogor, Mei 2007

DAFTAR ISI

Halaman

PENDAHULUAN

Latar Belakang...1

Tujuan ...1

LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ...1

Peubah Acak ...2

Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang dan Sebaran Degenerate ...2

Nilai Harapan dan Ragam ...3

Statistik dan Penduga ...3

Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan Kelas Eksponensial ...3

Himpunan dan Fungsi Konveks ...4

PEMBAHASAN Rata-rata Kredibilitas...4

Keluarga Eksponensial ...5

Keluarga Eksponensial Sederhana ...6

Modus Prior dan Posterior...8

Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti...8

Sebaran Khusus ... 10

KESIMPULAN ... 18

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Biasanya seseorang mengambil asuransi untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang ditimbulkan dari kejadian-kejadian yang tidak diharapkan. Misalnya dalam asuransi kendaraan bermotor. Salah satu kejadian yang tidak diharapkan yaitu kecelakaan lalu lintas.

Risiko adalah kemungkinan kerugian yang akan dialami seseorang yang diakibatkan oleh bahaya yang mungkin terjadi tetapi tidak diketahui kapan terjadinya dan apa yang akan terjadi. Kerugian yang dialami seseorang akibat terjadinya kecelakaan lalu lintas merupakan suatu risiko.

Fungsi dari asuransi yaitu seseorang atau perusahaan dapat memindahkan risiko ke perusahaan asuransi dengan membayar premi yang relatif kecil dan premi yang diterima kemudian dihimpun oleh perusahaan asuransi sebagai dana untuk membayar risiko yang terjadi.

Semakin tinggi risiko yang dialami seseorang maka premi yang harus dibayarkan kepada perusahaan asuransi juga semakin tinggi. Tetapi risiko yang dialami seseorang tidak dapat diperhitungkan secara pasti.

Teori kredibilitas adalah suatu metode yang digunakan untuk menghitung risiko berdasarkan banyaknya kejadian, misalkan jumlah terjadinya kecelakaan. Teori kredibilitas ini membahas masalah rata-rata

hasil dari frekuensi klaim, total kerugian, dan sebaran dari risiko individu yang diperoleh dari risiko bersama kolektif berdasarkan statistik kolektif dan data pengalaman individu.

Rumus kredibilitas digunakan untuk menduga jumlah premi tahun ke n+1 yang wajar berdasarkan pengalaman individu selama n tahun. Rumus kredibilitas merupakan kombinasi linear dari rata-rata premi kolektif dan rata-rata data pengalaman individu selama n tahun dengan proporsi tertentu.

Telah diketahui bahwa rumus kredibilitas yang digunakan pada asuransi kecelakaan adalah solusi pasti untuk risiko yang memiliki sebaran prior-likelihood dan merupakan penduga tak bias kuadrat terkecil minimum untuk sebaran lainnya.

Sebaran prior-likelihood yang dibahas adalah keluarga eksponensial. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari Jewell (1977).

Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari rumus rata-rata kredibilitas yang diketahui merupakan solusi pasti untuk risiko yang memiliki sebaran prior-likelihood

yaitu keluarga eksponensial sederhana.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)

Percobaan acak ialah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul.

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 2 (Ruang Contoh)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A

adalah himpunan bagian dari Ω.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 3 (Medan-σ)

Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut :

1. ∅ ∈F ,

2. Jika A A1, 2,...∈F maka 1

i i

A ∞

=

∈F,

3. Jika A∈F maka c

A ∈F.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi

: [0,1]

2

1. P

( )

∅ =0,P

( )

Ω =1,

2. Jika A A1, 2,...∈F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai∩Aj = ∅ untuk

setiap pasangan i≠ j, maka

( )

1 1

i i

i i

P A P A

∞ ∞

= =

⎛ ⎞₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

.

(Grimmet dan Stirzaker,1992)

Peubah Acak

Definisi 5 (Peubah Acak)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X:Ω →R dengan sifat

( )

{

ω∈ Ω:X ω ≤x

}

∈F untuk setiap x∈R. (Grimmet dan Stirzaker, 1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital misalnya X Y, , dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti , , dan x y z.

Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika himpunan semua nilai

{

x x1, 2,...

}

merupakan himpunan tercacah.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi fX

( )

x sehingga fungsi sebaran

( )

P

(

)

X

F x = X≤x dapat dinyatakan sebagai

( )

( )

X X

F x f u du

∞

−∞

= ∫ ,

x∈R, dengan f R: →

[ ]

0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992) Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.

Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang dan Sebaran Degenerate

Definisi 8 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran peubah acak X adalah fungsi

[ ]

: 0,1

F R→ , yang didefinisikan oleh

( )

P

(

)

X

F x = X≤x .

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang)

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p R: →

[ ]

0,1, yaitu

( )

P

(

)

X

p x = X=x .

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 10 (Sebaran Binom)

Peubah acak X dikatakan menyebar binom dengan parameter n dan p, dinotasikan

(

,

)

binom n p , jika memiliki fungsi kerapatan

peluang

(

; ,

)

n x n x

b x n p p q

x −

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ; untuk

0,1, 2,...,

x= n, dengan p adalah peluang keberhasilan dan q= −1 p peluang kegagalan.

(Ross, 1996)

Definisi 11 (Sebaran Eksponensial)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter α, α >0, jika nilainya terletak pada

[

0,∞

)

dan memiliki fungsi kepekatan peluang

( )

x ; 0

X

f x =αe−α x≥ .

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 12 (Sebaran Normal)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan parameter µ dan σ2, dinotasikan dengan N

(

µ σ, 2

)

, jika mempunyai fungsi kepekatan peluang

( )

1

(

)

2

exp ,

2 2

X

x

f x µ

σ σ π

⎛ − ⎞

= ⎜_⎜− ⎟_⎟

⎝ ⎠

dengan −∞ < < ∞x .

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 13 (Sebaran Poisson)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Poisson dengan parameter λ >0, jika memiliki fungsi kerapatan peluang

( )

; 0,1, 2,... !

x

e

p x x

x λ_λ −

= =

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 14 (Sebaran Gamma)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Gamma dengan parameter αdan β, dinotasikan Gamma

(

α β,

)

, jika memiliki fungsi kepekatan peluang

( )

( )

1 1 ,

x

f x _α xα e β x R

α β

−

− +

= ∈

RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI

PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL

MIKA NISHIHARA

G54103024

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

ABSTRACT

MIKA NISHIHARA. Mean of Credibility as an Exact Solution of Exponensial Families. Supervised by I G PUTU PURNABA and I WAYAN MANGKU.

Taking an insurance was the manner to overcome or decrease the risk which appear from accidents that we do not expect by paying relatively small amount of insurance premium to insurer. The premium fee from insured to insurance company depend on the risk that happened, but the risk can not be calculated exactly. American actuaries in 1920 proposed a credibility formula to estimate the fair premium of an individual risk, when given only collective statistics and individual risk experience for n years. The credibility formula are linear combination of the mean of collective premium and the mean of individual risk experience for n years with certain proportion.

ABSTRAK

MIKA NISHIHARA. Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran Eksponensial. Dibimbing oleh I G PUTU PURNABA dan I WAYAN MANGKU.

Asuransi merupakan cara untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang ditimbulkan dari kejadian-kejadian yang tidak diharapkan dengan cara membayar premi asuransi yang relatif kecil kepada perusahaan asuransi. Premi yang harus dibayarkan seorang tertanggung kepada perusahaan asuransi tergantung pada risiko yang dialaminya, tetapi risiko tidak dapat diperhitungkan secara pasti. Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920 menggunakan rumus kredibilitas untuk menduga tarif premi yang wajar dari suatu risiko individu jika informasi yang dimiliki hanya berupa statistik kolektif dan pengalaman risiko individu selama n tahun. Rumus kredibilitas merupakan kombinasi linear dari rata-rata premi kolektif dan rata-rata data pengalaman risiko individu selama n tahun dengan proporsi tertentu.

RATA-RATA KREDIBILITAS SEBAGAI SOLUSI PASTI

PADA KELUARGA SEBARAN EKSPONENSIAL

Skripsi

Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Oleh:

MIKA NISHIHARA

G54103024

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

Judul : Rata-rata Kredibilitas sebagai Solusi Pasti pada Keluarga Sebaran

Eksponensial

Nama : Mika

Nishihara

NIM : G54103024

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA.

Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc.

NIP. 131878945

NIP. 131663020

Mengetahui :

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S.

NIP. 131473999

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 20 Juni 1986 sebagai anak kedua dari dua bersaudara dari pasangan Setsuo Nishihara dan Gabby Sisca George.

Tahun 2003 penulis lulus dari SMUN 47 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor).

7

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita nabi besar Muhammad SAW yang telah memberikan suri tauladan kepada umatnya hingga akhir jaman.

Karya ilmiah ini disusun sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada program studi Matematika.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bpk. Dr. Ir. I G Putu Purnaba, DEA. selaku Pembimbing I yang telah meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan dan pengarahan sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.

2. Bpk. Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc. selaku Pembimbing II atas bimbingan dan saran yang telah bapak berikan.

3. Bpk. Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl. selaku Penguji yang telah memberikan saran dan masukannya.

4. Papah dan Kano yang terus memberikan doa, semangat dan dorongan. 5. Ka Aika yang telah membantu penulis dalam penyelesaian karya ilmiah ini.

6. Dosen-dosen atas ilmu yang telah diberikan kepada penulis, serta staff departemen matematika: Mas Deny, Bu Susi, Bu Ade, Mas Yono, Mas Bono, dan Bu Marisi, terima kasih atas bantuan selama di Departemen Matematika.

7. Mas Sudar, Mba tantin dan Bude atas doa dan semangat yang telah diberikan.

8. Teman-teman Matematika 40 : Aam, Lili, Manto, Mayang, Mita, Mufti, Kafi, Elis, Cucut (Icha), Yuda, Azis, Prima, Ari, Nchi, Sriti, Gogon (Vina), Uli, Bedu (Abdillah), Komeng, Jayu, Rusli, Sawa, Beri, Marlin, Om (Rama), Dwi, Gandronk (Indah), Anton, Dimas, Walidah, Ali, Abay, Metha, Uve, Achie, Herni, Amie, Gatchul (Gatha), Fee (Bian), Ucup, Nisa, Ifni, Demi, Jagunk (Septi), Putra. Terima kasih atas kebersamaannya selama ini.

9. Semua mahasiswa/i matematika atas dukungannya. 10. Penghuni wisma Blobo yang telah memberikan semangat.

11. Semua pihak yang ikut membantu dan penulis tidak dapat menyebutkan satu persatu. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pihak yang membaca.

Bogor, Mei 2007

DAFTAR ISI

Halaman

PENDAHULUAN

Latar Belakang...1

Tujuan ...1

LANDASAN TEORI Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang ...1

Peubah Acak ...2

Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang dan Sebaran Degenerate ...2

Nilai Harapan dan Ragam ...3

Statistik dan Penduga ...3

Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan Kelas Eksponensial ...3

Himpunan dan Fungsi Konveks ...4

PEMBAHASAN Rata-rata Kredibilitas...4

Keluarga Eksponensial ...5

Keluarga Eksponensial Sederhana ...6

Modus Prior dan Posterior...8

Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti...8

Sebaran Khusus ... 10

KESIMPULAN ... 18

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Biasanya seseorang mengambil asuransi untuk mengatasi atau mengurangi risiko yang ditimbulkan dari kejadian-kejadian yang tidak diharapkan. Misalnya dalam asuransi kendaraan bermotor. Salah satu kejadian yang tidak diharapkan yaitu kecelakaan lalu lintas.

Risiko adalah kemungkinan kerugian yang akan dialami seseorang yang diakibatkan oleh bahaya yang mungkin terjadi tetapi tidak diketahui kapan terjadinya dan apa yang akan terjadi. Kerugian yang dialami seseorang akibat terjadinya kecelakaan lalu lintas merupakan suatu risiko.

Fungsi dari asuransi yaitu seseorang atau perusahaan dapat memindahkan risiko ke perusahaan asuransi dengan membayar premi yang relatif kecil dan premi yang diterima kemudian dihimpun oleh perusahaan asuransi sebagai dana untuk membayar risiko yang terjadi.

Semakin tinggi risiko yang dialami seseorang maka premi yang harus dibayarkan kepada perusahaan asuransi juga semakin tinggi. Tetapi risiko yang dialami seseorang tidak dapat diperhitungkan secara pasti.

Teori kredibilitas adalah suatu metode yang digunakan untuk menghitung risiko berdasarkan banyaknya kejadian, misalkan jumlah terjadinya kecelakaan. Teori kredibilitas ini membahas masalah rata-rata

hasil dari frekuensi klaim, total kerugian, dan sebaran dari risiko individu yang diperoleh dari risiko bersama kolektif berdasarkan statistik kolektif dan data pengalaman individu.

Rumus kredibilitas digunakan untuk menduga jumlah premi tahun ke n+1 yang wajar berdasarkan pengalaman individu selama n tahun. Rumus kredibilitas merupakan kombinasi linear dari rata-rata premi kolektif dan rata-rata data pengalaman individu selama n tahun dengan proporsi tertentu.

Telah diketahui bahwa rumus kredibilitas yang digunakan pada asuransi kecelakaan adalah solusi pasti untuk risiko yang memiliki sebaran prior-likelihood dan merupakan penduga tak bias kuadrat terkecil minimum untuk sebaran lainnya.

Sebaran prior-likelihood yang dibahas adalah keluarga eksponensial. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari Jewell (1977).

Tujuan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah untuk mempelajari rumus rata-rata kredibilitas yang diketahui merupakan solusi pasti untuk risiko yang memiliki sebaran prior-likelihood

yaitu keluarga eksponensial sederhana.

LANDASAN TEORI

Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1 (Percobaan Acak)

Percobaan acak ialah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, namun hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi kita bisa mengetahui semua kemungkinan hasil yang muncul.

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 2 (Ruang Contoh)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω. Suatu kejadian A

adalah himpunan bagian dari Ω.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 3 (Medan-σ)

Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut :

1. ∅ ∈F ,

2. Jika A A1, 2,...∈F maka 1

i i

A ∞

=

∈F,

3. Jika A∈F maka c

A ∈F.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 4 (Ukuran Peluang)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi

: [0,1]

2

1. P

( )

∅ =0,P

( )

Ω =1,

2. Jika A A1, 2,...∈F adalah himpunan yang saling lepas yaitu Ai∩Aj = ∅ untuk

setiap pasangan i≠ j, maka

( )

1 1

i i

i i

P A P A

∞ ∞

= =

⎛ ⎞₌

⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑

.

(Grimmet dan Stirzaker,1992)

Peubah Acak

Definisi 5 (Peubah Acak)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X:Ω →R dengan sifat

( )

{

ω∈ Ω:X ω ≤x

}

∈F untuk setiap x∈R. (Grimmet dan Stirzaker, 1992) Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital misalnya X Y, , dan Z. Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti , , dan x y z.

Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak X dikatakan diskret jika himpunan semua nilai

{

x x1, 2,...

}

merupakan himpunan tercacah.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 7 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi fX

( )

x sehingga fungsi sebaran

( )

P

(

)

X

F x = X≤x dapat dinyatakan sebagai

( )

( )

X X

F x f u du

∞

−∞

= ∫ ,

x∈R, dengan f R: →

[ ]

0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang dari X.

(Grimmett dan Stirzaker, 1992) Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.

Fungsi Sebaran, Fungsi Kerapatan Peluang dan Sebaran Degenerate

Definisi 8 (Fungsi Sebaran)

Fungsi sebaran peubah acak X adalah fungsi

[ ]

: 0,1

F R→ , yang didefinisikan oleh

( )

P

(

)

X

F x = X≤x .

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 9 (Fungsi Kerapatan Peluang)

Fungsi kerapatan peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p R: →

[ ]

0,1, yaitu

( )

P

(

)

X

p x = X=x .

(Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 10 (Sebaran Binom)

Peubah acak X dikatakan menyebar binom dengan parameter n dan p, dinotasikan

(

,

)

binom n p , jika memiliki fungsi kerapatan

peluang

(

; ,

)

n x n x

b x n p p q

x −

⎛ ⎞ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ; untuk

0,1, 2,...,

x= n, dengan p adalah peluang keberhasilan dan q= −1 p peluang kegagalan.

(Ross, 1996)

Definisi 11 (Sebaran Eksponensial)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar eksponensial dengan parameter α, α >0, jika nilainya terletak pada

[

0,∞

)

dan memiliki fungsi kepekatan peluang

( )

x ; 0

X

f x =αe−α x≥ .

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 12 (Sebaran Normal)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan parameter µ dan σ2, dinotasikan dengan N

(

µ σ, 2

)

, jika mempunyai fungsi kepekatan peluang

( )

1

(

)

2

exp ,

2 2

X

x

f x µ

σ σ π

⎛ − ⎞

= ⎜_⎜− ⎟_⎟

⎝ ⎠

dengan −∞ < < ∞x .

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 13 (Sebaran Poisson)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Poisson dengan parameter λ >0, jika memiliki fungsi kerapatan peluang

( )

; 0,1, 2,... !

x

e

p x x

x λ_λ −

= =

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 14 (Sebaran Gamma)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar Gamma dengan parameter αdan β, dinotasikan Gamma

(

α β,

)

, jika memiliki fungsi kepekatan peluang

( )

( )

1 1 ,

x

f x _α xα e β x R

α β

−

− +

= ∈

3

dengan α≥0,β≥0, dan Γ

( )

α >0, dimana

( )

1 0

y

yα e dy

α ∞ − −

Γ =

∫

.

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 15 (Sebaran Degenerate)

Bila suatu peubah acak X mempunyai

(

)

P X=c =1 atau F x

( )

= Ι_(c,∞)

( )

x , maka

X dikatakan mempunyai sebaran “degenerate” pada titik c.

(Hogg dan Craig, 1995)

Nilai Harapan dan Ragam

Definisi 16 (Nilai Harapan)

1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi kerapatan peluang pX

( )

x

(

)

P X x

= = , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E

[ ]

X , adalah

[ ]

(

)

( )

,

E P

x

X x

X x X x

x p x

=∑ =

= ∑

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Misalkan X adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang fX

( )

x .

Nilai harapan dari X adalah

[ ]

( )

E X x fX x dx

∞

−∞

= ∫ ,

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Grimmett dan Stirzaker, 1992)

Definisi 17 (Ragam)

Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dengan nilai harapannya. Secara matematis dapat dinyatakan sebagai

( )

(

[ ]

)

[ ]

(

)

2

2 2

.

Var E E

E E

X X X

X X

⎡ ⎤

= _⎣ − _⎦

⎡ ⎤ = _{⎣ ⎦}−

(Hogg dan Craig, 1995)

Statistik dan Penduga Definisi 18 (Statistik)

Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak bergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 19 (Penduga)

Misalkan X1, ,Xn adalah contoh acak.

Suatu statistik U X

(

1, ,Xn

)

yang digunakan

untuk menduga fungsi parameter g

( )

θ , dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi

( )

g θ , dilambangkan oleh gˆ

( )

θ .

Bilamana nilai X1=x X1, 2 =x2, ,Xn=xn,

maka nilai U X

(

1, ,Xn

)

disebut sebagai

dugaan (estimate) bagi g

( )

θ .

(Hogg dan Craig, 1995)

Definisi 20 (Penduga Tak Bias)

(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g

( )

θ , yaitu

(

1, , n

)

( )

E U X⎡_⎣ X ⎤_⎦=g θ disebut

penduga tak bias bagi parameter g

( )

θ . Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.

(ii) Jika lim_n→∞E U X⎡⎣

(

1, ,Xn

)

⎤⎦=g

( )

θ

untuk n→ ∞, maka U X

(

1, ,Xn

)

disebut sebagai penduga tak bias asimtotik.

(Hogg dan Craig, 1995)

Fungsi Likelihood , Statistik Cukup dan

Kelas Eksponensial

Definisi 21 (Fungsi likelihood)

Misalkan X1, ,Xn adalah contoh acak dari

suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang f x

( )

;θ . Maka fungsi likelihoodnya (fungsi kepekatan peluang bersama dari

1, , n

X X ) adalah

( )

(

1;

) (

2;

)

(

n;

)

L θ = f x θ f x θ f x θ .

(Hogg dan Craig, 1995)

Teorema 1 (Faktorisasi Neyman)

Misalkan X1, ,Xn adalah contoh acak dari

suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluang f x

( )

;θ , θ ∈ Ω. Y1=u1

(

X1, ,Xn

)

adalah statistik cukup untuk θ jika dan hanya jika dapat ditemukan dua fungsi nonnegatif

1

k dan k2sedemikian rupa sehingga

(

1;

) (

2;

)

(

n;

)

f x θ f x θ f x θ =

(

)

(

)

1 1 1, 2, , n ; 2 1, 2, , n

k u x x⎡_⎣ x θ⎤_⎦k x x x

dimana k2

(

x x1, 2, ,xn

)

tidak bergantung

4

Bukti:

Lihat Hogg dan Craig, 1995 halaman 319.

Definisi 22 (Kelas Eksponensial)

Misalkan

{

f x

( )

;θ θ ∈ Ω:

}

adalah fungsi

kepekatan peluang dimana

{

θ γ θ δ:

}

Ω = < < dengan γ dan δ diketahui konstan.

( )

; exp

( ) ( ) ( ) ( )

f xθ = ⎡_⎣p θ K x +S x +q θ ⎤_⎦

dengan a< <x b disebut anggota dari kelas eksponensial fungsi kepekatan peluang kontinu bila:

a) adan btidak bergantung pada parameter θ, γ θ δ< <

b) p

( )

θ adalah fungsi kontinu nontrivial dari θ, γ θ δ< <

c) K x′

( )

≠0 dan S x

( )

adalah fungsi kontinu dari

x

, a< <x b.

(Hogg dan Craig, 1995)

Himpunan dan Fungsi Konveks Definisi 23 (Himpunan konveks)

Himpunan C⊂Rn dikatakan himpunan konveks jika dan hanya jika untuk setiap x

dan y di C, maka ruas garis yang

menghubungkan x dan y juga terletak di

C.

(Peressini et.al, 1988)

Definisi 24 (Konveks hull)

Misalkan E adalah himpunan bagian dari ruang linear S dan didefinisikan

1 1

, , 0 , 1

n n

i i i i

i i

conv E z z a x a a

= =

⎧ ⎫

=⎨ = ≥ = ⎬

⎩

∑

∑

⎭,

E

i

x ∈ .

Himpunan conv E disebut konveks hull dari E.

(Istratescu, 1979)

Definisi 25 (Fungsi Konveks)

Fungsi f dikatakan fungsi konveks pada selang I jika dan hanya jika

(

)

(

1 1 2

)

( ) (

1 1

) ( )

2

f λx + −λ x ≤λf x + −λ f x

untuk setiap x x1, 2∈I dan untuk setiap 0≤ ≤λ 1.

Jika yang berlaku

(

)

(

1 1 2

)

( ) (

1 1

) ( )

2

f λx + −λ x <λf x + −λ f x

untuk x1≠x2 dan 0< <λ 1 maka f dikatakan fungsi konveks sempurna (strictly convex).

(Peressini et.al, 1988)

PEMBAHASAN

Rata-rata Kredibilitas

Pada model biasa dari asuransi non-life

(Bailey, 1950), ξ adalah peubah acak risiko yang memiliki parameter risiko θ. ξ dapat berupa diskret atau kontinu. Jika θ diketahui, ξ adalah contoh acak dari sebaran yang fungsi likelihoodnya p x

(

|θ

)

atau f x

(

|θ

)

dan didefinisikan x adalah nilai dari ξ yang merupakan anggota dari himpunan X .

Berikut ini hanya dijelaskan kasus dimana

ξ adalah peubah acak diskret. Untuk kasus ξ adalah peubah acak kontinu, bisa diperoleh dengan mengganti fungsi kerapatan peluang

p dengan fungsi kepekatan peluang f. Untuk suatu risiko dengan parameter θ diketahui, premi yang wajar adalah

( )

[

|

]

(

|

)

m θ =Eξ θ =

∫

x p x θ dx

dan ragam risiko adalah

( )

[

|

]

v θ =V ξ θ .

( )

v θ adalah notasi untuk ragam risiko dan V

adalah notasi untuk ragam. Parameter risiko memiliki sebaran prior u

( )

θ dengan θ anggota dari himpunan Θ. Kita asumsikan untuk semua nilai θ

,

fungsi kerapatan peluang peubah acak ξ adalah p x

( )

yang diketahui dari sebaran kolektif sehingga

( )

(

|

)

(

|

) ( )

p x =E_θ⎡_⎣p x θ _⎦⎤=

∫

p x θ u θ θd . Rata-rata premi kolektif adalah

( )

m=E_θ⎡_⎣m θ ⎤_⎦ dan ragam kolektif adalah

( )

( )

v=E_{θ ⎣}⎡v θ _⎦⎤+V_θ⎡_⎣m θ ⎤_⎦.

5

tahun x=

{

ξt =xt;

(

t=1, 2,....,n

)

}

, atau dengan kata lain untuk menduga E

[

ξn+1|x

]

.

[

n1|

]

E ξ ₊ x merupakan solusi Bayes:

[

n1|

]

(

|

) (

n |

)

E ξ + x =

∫∫

y p y θ u θ x d dyθ (1)

dengan

(

)

(

) ( )

(

) ( )

| | | t n t

p x u

u x

p x u d

θ θ

θ = ∏

∏ Φ Φ Φ

∫

(2)

Asosiasi aktuaris di Amerika pada tahun 1920 menggunakan rumus kredibilitas sebagai berikut:

[

n 1

]

(

)

I 1 | 1 n t t

E x Z m Z x

n n Z n N ξ + = ⎛ ⎞ ≈ − _{+ ⎜ ⎟} ⎝ ⎠ = +

∑

(3)

dengan N ditentukan dari percobaan (Longley, 1962).

Bailey (1950) dan Mayerson (1964) menunjukkan bahwa persamaan (1) adalah solusi Bayes untuk kombinasi sebaran

prior-likelihood: Beta-Binomial, Gamma-Poisson,

Gamma-Eksponensial, dan Normal-Normal. Buhlmann (1967) menunjukkan bahwa persamaan (3) penduga tak bias kuadrat

terkecil minimum untuk sebarang sebaran ξ, jika

( )

( )

N=Eθ⎡⎣v θ ⎤⎦ Vθ⎡⎣m θ ⎤⎦.

Keluarga Eksponensial

Keluarga eksponensial menurut Koopman-Pitman-Darmois (De Groot, 1970) dari fungsi

likelihoods adalah:

(

)

( )

( )

1

( ) ( )

exp |

I

i i i

a x f x

p x c φ θ θ θ = ⎡_∑ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

= (4)

dengan c

( )

θ adalah faktor normalisasi yang

membuat

(

)

X

| 1

x

p x θ

∈ =

∑ dan f_i

( )

x adalah fungsi dari x.

Teorema 2:

Jika x=

(

x x₁, ₂,...,x_n

)

adalah contoh acak berukuran n dari sebaran yang merupakan keluarga eksponensial maka

( )

1 n i

t i t

F f x

=

= ∑

dengan i=1, 2, ....,I adalah statistik cukup untuk θ.

Bukti:

( 1, 2,.., n| )

p x x x θ

( )

( ) ( )

( )

1 1

exp I

n t i i t

i

t

a x f x

c φ θ θ = = ⎡ ⎡_∑ ⎤⎤ ⎢ ⎢_⎣ ⎥_⎦⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∏

( )

( )

1

( ) ( )

1

1

exp ln ln

n _I

t i i t

i t

a x f x

c θ =φ θ

= ⎡ ⎤ = ⎢ + + ∑ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∏

( )

( )

1

( ) ( )

1 2

( ) ( )

2

( ) ( )

1

1

exp ln ln ...

n

t t t I I t

t

a x f x f x f x

c θ φ θ φ θ φ θ

=

= ⎡_⎢ + + + + + ⎤_⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

∏

( )

( )

1( ) 1

( )

2( ) 2

( )

( )

( )

1 1 1 1

1

...

exp ln ln

n n n n

t t t I I t

t t t t

c

n a x θ f x θ f x θ f x

θ = φ = φ = φ = + + + + ⎡ ⎤ = _⎢ + _⎥ ⎣

∑

∑

∑

∑

⎦ ( )

( )

( )

( )

( )

( )

_{( )} ( ) ( )

( )

[ ] 2 1 1

1 1 2 2

1 1 1 1

0 , , ; 0

1 ...

exp ln exp ln

I

n n n n

t t I I t t

t t t t

k x k F x F x

c

f x f x f x n a x

θ θ θ θ θ φ φ φ = = = = > > ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ + + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = _⎢ + _{⎥ ⎢ ⎥} ⎣

∑

∑

∑

⎦ ⎣

∑

⎦

Maka menurut Teorema 1 1

( )

1( ) 1 n t t f x F x = =

∑

,

( )

( ) 2 2 1 n t t f x F x = =

∑

,...,

( )

( ) 1 n

I I t

t

f x

F x =

=

∑

adalah statistik cukup, atau dengan kata lain

( )

1 n

i i t

t

F f x

=

=

∑

statistik cukup bagi θ.

■ terbukti

Jika keluarga sebaran conjugate prior dari parameter risiko θ yang kita gunakan (De Groot, 1970)

( )

( )

0

( )

0 1 exp I n i i i

u θ c θ − f φ θ

=

⎡ ⎤

∝ ⎡_⎣ ⎤_{⎦ ⎢⎣}∑ _⎥⎦ (5) maka keluarga tersebut bersifat tertutup, yaitu

(

|

)

n

u θ x sama seperti persamaan (5) dengan 1

I+ hyperparameters yang diperbaharui

6

( )

0 0

0i 0i i t .

n n n

f f f x

← +

← + ∑

Bentuk sebaran posterior untuk θ

(

)

(

) ( )

1 | | n n t t

u θ x p x θ u θ

=

=

∏

( )

( ) ( )

( )

1 1

exp

I

t i i t

n

i

t

a x f x

c φ θ θ = = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ =

∏

∑

( )

0

( )

0 1 exp I n i i i

c θ − f φ θ

= ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢_⎣

∑

⎥_⎦

( )

( )

( )

0 0 1 exp I n i i i n c f c θ φ θ θ − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢_⎣ ⎥_⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∑

( )

( ) ( )

1 1 exp n I

t i i t

i t

a x φ θ f x

= = ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣

∑

⎦

∏

( )

( )

( )

0 0 1 exp I n i i i n c f c θ φ θ θ − = ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ⎢_⎣ ⎥_⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∑

( )

1 n t t a x =

∏

( ) ( )

( ) ( )

1 1 1 1 exp n n

t I I t

t t

f x f x

φ θ φ θ

= =

⎡ _{+ +} ⎤

⎢ ⎥

⎣

∑

∑

⎦

( )

(0 )

( )

1 n n n

t t

c θ − + a x

=

= ⎡_⎣ ⎤_⎦

∏

( )

0

( )

1 1

exp

I n

i i t

i t

i f f x

φ θ

= =

⎡ ⎛ ₊ ⎞⎤

⎢ ⎜_⎝ ⎟_⎠⎥

⎣

∑

∑

⎦

(

)

( )

(0 )

| n n

n

u θ x ∝ ⎡_⎣c θ ⎤_⎦− +

( )

0

( )

1 1

exp

I n

i i i t

i t

f f x

φ θ = = ⎛ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

∑

.

Pada bagian berikutnya akan dibahas sebaran risiko dari salah satu keluarga eksponensial yaitu keluarga eksponensial sederhana atau keluarga eksponensial dengan satu parameter.

Keluarga Eksponensial Sederhana

Keluarga dari sebaran yang memiliki kredibilitas pasti adalah keluarga eksponensial dengan satu parameter. Dari persamaan (4) dengan f x1

( )

=x dan parameter φ θ1

( )

= −θ maka:

(

|

)

( )

( )

x

a x e p x c θ θ θ −

= . (6)

X dapat berupa himpunan kontinu atau titik-titik.

Teorema 3:

Jumlah contoh

( )

∑x atau rata-rata x

n

∑

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

pada keluarga eksponensial sederhana tersebut adalah statistik cukup untuk θ.

Bukti :

(

1, 2,.., n|

)

p x x x θ

( )

[

]

( )

1 exp n t t t

a x x

c θ θ = ⎡ − ⎤ = _{⎢ ⎥} ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∏

( )

( )

1 1

exp ln ln

n

t t

t

a x x

c θ θ

= ⎡ ⎤ = ⎢ + − ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

∏

( ) 1

( )

1

1

exp ln ln

n n

t t

t t

c

n a x x

θ = θ = + ⎡ ⎤ = _⎢ − _⎥ ⎣

∑

∑

⎦ ( )

( )

( )

[ ]

1 1 ₂

1 1

; 0 ₀

1

exp exp ln ln

n n

t t

t t

k u x _{k x}

x n a x

c θ θ θ = = > ⎡ ⎤

⎣ ⎦ >

⎡ ⎤

⎡ ⎤

= _⎢− _⎥ ⎢ + ⎥

⎣

∑

⎦ ⎢_⎣

∑

⎥_⎦

Maka menurut Teorema 1 1

( )

1 n t t x u x = =

∑

adalah statistik cukup bagi θ.

■ terbukti

Conjugate prior dari parameter risiko θ yang biasa digunakan untuk persamaan (6) adalah:

( )

( )

(

0

)

0

0, 0

n _x

c e

u

d n x θ θ θ − ₋ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

= . (7)

Misalkan ruang parameter Θ, dimana persamaan (6) adalah fungsi kerapatan peluang untuk semua nilai θ dengan c

( )

θ

finite. Pembatasan pada hyperparameters

(

n x0, 0

)

diperlukan sehingga persamaan (7)

menjadi fungsi kepekatan peluang dengan membuat faktor normalisasi d n x

(

0, 0

)

finite. Diasumsikan n0>0, bentuk sebaran posterior untuk θ adalah:

(

)

(

) ( )

1 | | n n t t

u θ x p x θ u θ

= =

∏

( )

(

) ( )

( )

0 0 1 0, 0

t n _x n x t n t c e

a x e

d n x c

θ θ θ θ − ₋ − = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

∏

( )

( )

(

)

( )

0 ₀ 1 1 0, 0

n t t

n n x _n

x t t

c e

e a x

d n x

θ _θ θ − + − ₌ = − ∑ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ =

∏

(

)

( )

(₀ ) 0

1 | n t t x x n n n

u θ x c θ eθ =

⎛ ⎞

− ⎜ + ∑ ⎟

− + _{⎝ ⎠}

∝ ⎡_⎣ ⎤_⎦ .

Dengan parameter yang baru: 0 0

n ←n +n

0 0 1 n

t t

x x x

=

7

( )

c θ adalah transformasi (Van Der Pol, 1955) pada kasus kontinu:

( )

( )

X

x

x

c θ a x e−θ dx

∈

= ∫ . (9)

Jika X (finite) diskret, maka a x

( )

dapat dituliskan dalam bentuk fungsi Dirac delta dan mendefinisikan persamaan (9) pada konveks hull dari X.

Jika Θ ada dan konveks maka Θ memiliki daerah pada salah satu kemungkinan berikut, yaitu:

a) Finite

b) Semi-finite

c) Doubly infinite

X tidak dapat bergantung pada θ, tetapi dapat mempengaruhi Θ. Sebagai contoh, jika X finite maka Θ = −∞ +∞

(

,

)

. Atau, jika (konveks hull) X adalah ⎡⎣0,∞

)

maka

(

θ1,

)

Θ = +∞ dengan θ₁ selalu finite. Satu-satunya kasus dimana Θ dapat finite yaitu jika X adalah

(

−∞ ∞,

)

.

Berikut contoh hubungan antara X dan Θ:

Contoh 1:

Jikaa x

( )

=sinhxdengan X=

[

0,∞

)

maka berdasarkan persamaan (7), (9),(10), dan (11), kita dapatkan:

( )

( )

0 0 2 sinh 1 . 1 x x

c a x e dx

x e dx

θ θ θ θ ∞ − ∞ − = = = −

∫

∫

( )

( )

2 2 ln 1 ln 1 2 . 1 d m c d d d θ θ θ θ θ θ θ = − ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} − ⎝ ⎠ = −

( )

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 1 2 1 . 1 dm v d d d θ θ θ θ θ θ θ θ = − ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} − ⎝ ⎠ + = −

( )

( )

(

)

(

)

(

)

0 ₀ 0 0 0 0 2 0 0 , 1 . , n _x n _x c e u

d n x

e d n x

θ θ θ θ θ − − − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − =

Karena u

( )

θ fungsi kepekatan peluang, maka u

( )

θ >0

.

Untuk membuat u

( )

θ

menjadi fungsi kepekatan peluang maka haruslah 2

1 0

θ − >

. S

ehingga Θ =

[

1,∞

)

.

Contoh 2: Jika

( )

1

2 x

a x = e− dengan X= −∞ ∞

(

,

)

maka berdasarkan persamaan (7), (9),(10), dan (11), kita dapatkan:

( )

( )

1 2 2 1 . 1 x x x

c a x e dx

e e dx

θ θ θ θ ∞ − −∞ ∞ − − −∞ = = = − −

∫

∫

( )

( )

2 2 ln 1 ln 1 2 . 1 d m c d d d θ θ θ θ θ θ θ = − ⎛ ⎞ = − _⎜− _⎟ − ⎝ ⎠ = −

( )

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 1 2 1 . 1 dm v d d d θ θ θ θ θ θ θ θ = − ⎛ ⎞ = − _{⎜ ⎟} − ⎝ ⎠ + = −

( )

( )

(

)

(

)

(

)

0 0 0 0 0 0 2 0 0 , 1 . , n _x n _x c e u

d n x

e d n x

θ θ θ θ θ − ₋ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − =

Karena u

( )

θ fungsi kepekatan peluang, maka u

( )

θ >0

.

Untuk membuat u

( )

θ

menjadi fungsi kepekatan peluang maka haruslah 1−θ2>0

. S

ehingga Θ = −

[

1,1

]

.

8

persamaan (9), yang memberikan fungsi analitik untuk θ.

Rata-rata risiko individu dan ragamnya yaitu :

( )

c

( )

( )

d ln

( )

m c c d θ θ θ θ θ ′ −

= = − (10)

( )

dm

( )

v

d

θ θ

θ

= − (11)

Jika v

( )

θ ≥0

(

θ∈ Θ

)

maka m

( )

θ

harus monoton menurun dengan daerah pada (konveks hull dari) X . Selain c

( )

θ fungsi positif dan infinite di daerah batas akhir,

( )

c θ pasti konveks sempurna (strictly

convex) dan monoton menurun jika

[

)

X= 0,∞ .

Modus Prior dan Posterior

Misalkan

( )

(

( )

)

(

)

0 0

0, 0

n _x

c e

u

d n x θ

θ θ

− ₋

= .

Dengan mendiferensiasikan u

( )

θ didapat

( )

(

( )

)

(

)

0 0

0, 0

n _x

c e

du d

d d d n x

θ θ θ θ θ − ₋ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

(

)

( )

(

0 1

)

₀

0

n x

n c θ − − c′ θ e−θ

= −

( )

(

)

0 ₀ 0

n x

c θ − x e−θ

−

(

)

(

)

(

0 0

)

2 0 0

, ,

d n x d n x

⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

( )

(

)

( )

( )

(

( )

)

(

)

0 0 0 0 0

0

0, 0

n _x n c n _x

c e c e x

c d n x

θ θ θ θ θ θ − − ⎛− ′ ⎞₋ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =

( )

(

0

( )

)

( )

0

u θ n mθ u θ x

= − .

Sehingga

( )

(

( )

)

( )

0 0

du

n m x u

d

θ

θ θ

θ = − . (12)

( )

u θ pertama-tama berada pada nol atau slope positif pada batas kiri di titik nol yang kemudian berada pada slope negatif, dengan modus prior θˆ0 yang unik pada

( )

ˆ0 0 0

mθ =x n . (13) Dari persamaan (8), kita lihat bahwa ˆθn

adalah modus posterior dari sebaran prior

(

|

)

n

u θ x yang memenuhi :

( )

0

0 ˆ t n x x m n n θ = + ∑

+ . (14)

Jika diambil x n0 0 pada konveks hull dari X maka rata-rata risikonya akan selalu tetap pada daerah tersebut.

Jika data pengalaman adalah contoh dari risiko dengan parameter sebenarnya θT dan

sebaran prior sebarang maka sebaran posterior harus konvergen ke sebaran degenerate pada

T

θ . Artinya penduga acak m

( )

θˆn konvergen

secara peluang, dengan n→ ∞, mendekati premi wajar yang sebenarnya m

( )

θˆT . Hal ini

dapat dibuktikan dengan hukum kuat bilangan besardari persamaan (14).

ˆ

n

θ bukan penduga maximum-likelihood (penduga θ didapat dari persamaan (14) denganx0=n0=0).

Rata-rata Kredibilitas adalah Solusi Pasti

Akan diperlihatkan hasil dari rata-rata risiko. Dengan mengintegralkan persamaan (12) pada daerah umum Θ, didapatkan :

( )

( )

(

( )

)

0 0

du

d u n m x d

d

θ

θ θ θ θ

θ = −

∫ ∫

( )

| 0

( ) ( )

0

( )

u θ Θ=n m∫ θ u θ θd −x u∫ θ θd

( )

| 0

( ) ( )

0

u θ Θ=n m∫ θ u θ θd −x . (15)

Asumsikan u

( )

θ bernilai nol pada batas akhir Θ,

( )

( ) ( )

E_θ m m u d

θ θ θ θ θ ∈Θ = ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦

( )

| 0

( ) ( )

0

u n m u d x

θ θ Θ θ θ θ ∈Θ = _∫ −

( )

0 0

0=n E_θ⎡_⎣m θ ⎤_⎦−x

n E0 θ⎡⎣m

( )

θ =⎤⎦ x0

( )

0

0

x

E m

n θ⎡⎣ θ =⎤⎦ .

Maka rata-rata risiko prior harus :

( )

0 0

m=Eθ⎡⎣m θ ⎤⎦=x n . (16)

Jika θ diperbaharui dengan persamaan (8) maka rata-rata risiko posteriornya adalah :

[

n 1|

]

E ξ+ x 0

0 t x x n n + ∑ = + 0 0 0 t x x

n n n n

∑

= +

+ +

0 0

0 0 0

t

n n n x x

n n n n n

⎛ + − ⎞ ∑

=_{⎜ ⎟} +

+ +

⎝ ⎠

0 0 0 0

1

1 t

x

n n

x

n n n n n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= −⎜ ₊ ⎟ + ₊ ⎜_⎝ ∑ ⎟_⎠

9

(

)

1

1 Z m Z xt

n

⎛ ⎞

= − + ⎜_⎝ ∑ ⎟_⎠. Maka

( )

0

1

0 t

n x

x x

E x E m

n n

θ

ξ₊ = θ = + ∑

⎡ ⎤ ⎡_⎣ ⎤_⎦

⎣ ⎦ ₊

(

)

1

1 Z m Z xt

n

⎛ ⎞

= − + _⎜ ∑ _⎟

⎝ ⎠ , (17) dengan 0 n Z n n =

+ . (18) Sehingga kredibilitas adalah solusi pasti untuk keluarga eksponensial sederhana.

Fakta tetap bahwa

( )

( )

0

n =E v_θ θ V m_θ θ =N (19) dapat diduga dari hasil yang diketahui (Buhlmann, 1967), atau dengan membentuk

( )

2 2 d u d θ

θ dari persamaan (12), dan mengintegralkan untuk mendapatkan :

( )

(

( )

)

( )

0 0

du

n m x u

d θ θ θ θ = − .

( )

( ) ( )

(

( )

)

( )

2

0 0 0 .

d u

n m u n m x u

d θ θ θ θ θ θ = ′ + − ′

( )

( ) ( )

0 du

n m u d

d θ θ θ θ θ _Θ Θ ′ = ∫

( )

(

n m0 θ x u0

)

( )

θ θd

Θ ′ +_∫ −

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) 0 0 1 2

n m θ u θ θd n m θ u θ θd

Θ Θ ′ ′ = ∫ + ∫

( )

( ) 0 3 .

x u θ θd

Θ

′ − ∫

(1) n0 m

( ) ( )

θ u θ θd n0 v

( ) ( )

θ u θ θd

Θ Θ ⎛ ⎞ ′ = − ∫ ⎜_⎝ ∫ ⎟_⎠

( )

0 .

n E_θ v θ

= − ⎡_⎣ ⎤_⎦ (2) n0 m

( ) ( )

θ u θ θd

Θ

′ ∫

( ) ( )

(

( )

)

0 0 0

n m θ u θ n mθ x dθ

Θ

= ∫ −

( )

2

( )

2

0 0 0 .

n E_θ m θ −n x E_θ m θ

= ⎡_⎣ ⎤_⎦ ⎡_⎣ ⎤_⎦

(3) x0 u

( )

θ θd x0 u

( )

θ

(

n m0

( )

θ x d0

)

θ

Θ Θ

′ = −

∫ ∫

( ) ( )

( )

0 0 0

x n u θ mθ θd x u θ θd

Θ Θ

⎛ ⎞

= ⎜_⎝ ∫ −∫ ⎟_⎠

( )

(

)

0 0 0

x n E_θ m θ x

= ⎡_⎣ ⎤_⎦−

( )

2 0 0 0 .

x n E_θ m θ x

= ⎡_⎣ ⎤_⎦−

Maka,

( )

( )

₂

( )

2

0 0

du

n E v n E m

d θ θ

θ

θ θ

θ _Θ = − ⎡⎣ ⎤⎦+ ⎡⎣ ⎤⎦

( )

( )

2

0 0 0 0 0

n x E_θ m θ n x E_θ m θ x

− ⎡_⎣ ⎤_⎦− ⎡_⎣ ⎤_⎦+

( )

₂

( )

2

0 0

n E_θ v θ n E_θ mθ

= − ⎡_⎣ ⎤_⎦+ ⎡_⎣ ⎤_⎦

( )

2

0 0 0

2n x E_θ m θ x

− ⎡_⎣ ⎤_⎦+

( )

( )

₂

( )

2

0 0

du

n E v n E m

d θ θ

θ

θ θ

θ _Θ = − ⎡⎣ ⎤⎦+ ⎡⎣ ⎤⎦

2 0 0 0

2n x m x

− +

.

(20) Persamaan (19) mengikuti asumsi slope dari u

( )

θ yang bernilai nol pada titik akhir dari Θ, maka persamaan (20) menjadi

( )

( )

2 2

0 0

0 n E v E m

n θ θ θ θ ⎛ ⎡_⎣ ⎤_⎦ = − ⎜_⎜ − ⎡_⎣ ⎤_⎦ ⎝ 2 0 0 0 0

2x m x

n n

⎞ ⎛ ⎞ _⎟

+ _{− ⎜ ⎟ ⎟}

⎝ _{⎠ ⎠}

( )

( )

2 0

0 E v E m

n θ θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − ⎡_⎣ ⎤_⎦

2 2 0

0 2m m ;m x

n

+ − =

( )

( )

2 ₂ 0

0 E v E m m

n θ θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − ⎡_⎣ ⎤_⎦ +

( )

( )

2 0

0 E v E m

n θ θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − ⎡_⎣ ⎤_⎦

( )

(

)

2

( )

;

Eθ m θ m Eθ m θ

+ ⎡_⎣ ⎤_⎦ = ⎡_⎣ ⎤_⎦

( )

( )

0

0 E v V m

n θ θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = − ⎡_⎣ ⎤_⎦

( )

0

( )

0

0 E v n V m

n

θ ⎡⎣ θ ⎤⎦− θ ⎡⎣ θ ⎤⎦

=

( )

0

( )

0=E_θ ⎡_⎣v θ _⎦⎤−n V_θ⎡_⎣m θ ⎤_⎦

( )

( )

0

n V_θ⎣⎡m θ _⎦⎤=E_θ⎡_⎣v θ ⎤_⎦

( )

( )

0 E v n V m θ θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦.

Pembatasan pada hyperparameter diperlukan untuk mengasuransikan ragam risiko yang

10

Sebaran Khusus

Sebaran khusus dari keluarga eksponensial sederhana yaitu sebaran Eksponensial, Bernoulli, Geometri, Poisson, dan sebaran Normal. Berikut ini adalah contoh dari peubah acak risiko ξ:

a. Jika parameter θ diketahui

,

ξ menyebar Eksponensial dengan fungsi kepekatan peluang f x

(

|π

)

=πe−πx, dimana

[

0,

)

X= ∞ , sebaran prior u

( )

π menyebar

(

; 0 1, 0

)

Gamma π n + x , x0∈ =π

[

0,∞

)

dengan

(

; ,

)

( )

1

a a bx

b x

Gamma x a b e

a −

−

=

Γ dan parameter θ π= , Θ =

[

0,∞

)

.

(i) dengan θ π= , maka

( )

(

)

0 |

m θ x f x π θ dx

∞

=

∫

=

0

x

x eθ θ dx ∞ − =

∫

1 θ = .

(ii) v

( )

d

(

m

( )

)

d

θ θ

θ = −

( )

d

( )

1 2

v d θ θ θ θ − − = − =

( )

( ) ( )

0

E_θ v θ v θ f_θ θ θd

∞

=

⎡ ⎤ ∫

⎣ ⎦ , dengan

( )

f_θ θ d

(

P

(

)

)

dθ θ θ

= ≤

(

)

(

P

)

d

dθ π θ

= ≤

(

)

0 0 0 1 0 0 0 1

n n x e x d d d n θ _{π π} π θ + − ⎛ ⎞ = _{⎜∫ ⎟} Γ + ⎝ ⎠

(

)

0 0 0 1 0 0 0 1 n n x e x d d d n θ _π π π θ + − ⎛ ⎞ = _{⎜∫ ⎟} Γ + ⎝ ⎠

(

)

(

)

0 0 0 1 0 0 1 n x n x e n θ_θ + − = Γ + .

( )

(

0

)

0 0 1

2 0 0 ₀ 1

n

x n

x

E v e d

n θ θ θ θ θ θ + ∞ − − = ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦ _{Γ +}

(

)

0 0 0 1 2 0 0 0 1 n n x x e d n θ θ θ + _∞ − − =_{Γ +} ∫

(

)

(

(

)

)

0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 n n x x n n + − = Γ − Γ +

(

)

2 0 0 0 1

x n n = − .

( )

( ) ( )

0

E_θ m θ m θ f_θ θ θd

∞ = ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦

(

)

0 0 0 1 0 0 ₀ 1 1 n x n x e d n θ_{θ θ} θ + ∞ − = ∫ _{Γ +}

(

)

00 1 0 0 1

0 0 1

1

n x n

x e d

n θ_{θ θ} ∞ + − − = _∫ Γ +

(

)

0

( )

0

0 1

1 x n

n = Γ Γ + 0 0 x n = .

( )

2

(

( )

)

2

( )

0

E_θ m θ m θ f_θ θ θd

∞ = ⎡ ⎤ ∫ ⎣ ⎦

(

)

0 0 0 1 0 2 0 ₀ 1 1 n x n x e d n θ_{θ θ} θ + ∞ − = ∫ _{Γ +}

(

)

0 1 0 0 2

0 0 0 1

1

n x n

x e d

n θ_{θ θ} ∞ + − − = _∫ Γ +

(

)

(

)

(

)

2 2 0 0 0

0 0 0

1

1

1 1

x

x n

n n n

= Γ − =

Γ + − .

( )

( )

2

(

( )

)

2

V_θ⎣⎡mθ _⎦⎤=E_θ⎣⎡mθ ⎤_⎦ − E_θ⎡_⎣m θ ⎤_⎦

(

)

(

)

2 2 2 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1

x

x x

n n n n n

⎛ ⎞

= −_{⎜ ⎟} =

− _{⎝ ⎠} − .

Maka

( )

( )

E v N V m θ θ θ θ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎣ ⎦

(

)

(

)

2 2 0 0 0 2

0 0 1 0 0 1

x x