Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)

(Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)

ANITA PRATIWI

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

i

RINGKASAN

ANITA PRATIWI. Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi

Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor). Dibimbing oleh ANANG

KURNIA dan LA ODE ABDUL RAHMAN.

Analisis regresi linier merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk menduga suatu peubah respon bila tersedia peubah penjelas yang memiliki hubungan linier dengan peubah respon. Pendugaan terhadap nilai peubah respon yang tidak terambil sebagai contoh memerlukan informasi peubah penjelas yang bersesuaian dari data populasi. Bila peubah respon merupakan peubah yang ingin diduga total populasinya, maka dugaan total populasi dapat diperoleh dengan menjumlahkan gugus data contoh dengan gugus data hasil dugaan. Penggunaan model regresi linier akan menghasilkan penduga total populasi yang tidak berbias bila sebaran data peubah yang digunakan menyebar normal. Namun pada data sosial dan ekonomi seperti saham dan pengeluaran rumah tangga misalnya, seringkali pencilan kanan muncul. Transformasi logaritmik terhadap data dapat memperbaiki kesimetrikan data dan mengatasi masalah ketidaknormalan. Proses transformasi balik menyebabkan model regresi linier yang digunakan untuk menduga total populasi dikoreksi. Model regresi linier terkoreksi ini dinamakan model Karlberg.

Untuk melihat kelebihan model Karlberg (M3) dalam pendugaan total populasi, dilakukan juga pendugaan melalui dua metode lain yang sifatnya langsung. Kedua metode tersebut adalah pendugaan melalui rataan contoh peubah asal (M1) dan pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal dari data hasil transformasi logaritmik (M2).

Melalui simulasi dengan karakteristik data bangkitan yang sama dengan data peubah pengeluaran rumah tangga Kota Bogor hasil Susenas (Survei Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2007, diperoleh nilai ARB (Average of Relative Bias), RLMSE (Relative Mean Square Error), MSE (Mean Square Error), dan AARB (Average of Absolute Relative Bias) dari penduga M3 yang lebih baik dari penduga M1 dan M2 pada berbagai ukuran contoh. Berdasarkan nilai ARB, penduga M3 dan M1 memiliki besar rataan bias relatif yang hampir sama. Berdasarkan nilai ragam (RLMSE dan MSE), penduga M3 menjadi penduga terbaik dengan nilai ragam terkecil, disusul oleh penduga M1 dan penduga M2. Aplikasi ketiga metode pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di kelurahan dalam Kota Bogor, kecamatan dalam Kota Bogor, dan Kota Bogor menghasilkan M1 dan M3 sebagai dua penduga dengan nilai RMSE (Root Mean Square Error) terkecil. Namun demikian, pemilihan peubah penjelas menjadi penentu baiknya penduga M3.

PENDUGAAN TOTAL POPULASI PADA PEUBAH DENGAN SEBARAN

LOGNORMAL

(Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)

ANITA PRATIWI

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika pada

Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

i

Judul : Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)

Nama : Anita Pratiwi NRP : G14080009

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Anang Kurnia La Ode Abdul Rahman, M.Si NIP : 19730824 199702 1001

Mengetahui,

Ketua Departemen Statistika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si NIP : 19650421 199002 1001

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamiin, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan karunia sehingga penyusunan skripsi ini dapat diselesaikan. Skripsi dengan judul “Pendugaan Total Populasi pada Peubah dengan Sebaran Lognormal (Studi Kasus: Data Susenas 2007 Pengeluaran Rumah Tangga Kota Bogor)” penulis rasakan sebagai proses pembelajaran yang begitu menyeluruh tentang ilmu statistika. Dalam skripsi ini penulis mengkaji proses pendugaan total populasi pada peubah dengan sebaran lognormal dengan harapan dari data lokal yang ada dapat dimanfaatkan semaksimal mungkin dalam hal ini data KOR Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) 2007 yang diselenggarakan Badan Pusat Statistik (BPS) setiap tahunnya.

Penulisan karya ilmiah ini dapat diselesaikan oleh penulis tidak lepas dari dukungan, bimbingan, dan bantuan dari banyak pihak. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada:

1. Bapak Dr. Ir. Hari Wijayanto, M.Si selaku Ketua Departemen Statistika FMIPA IPB. 2. Bapak Dr. Anang Kurnia dan Bapak La Ode Abdul Rahman, M.Si selaku dosen

pembimbing atas bimbingan dan ilmu yang diberikan.

3. Ibu Dian Kusumaningrum, M.Si selaku dosen penguji luar yang telah memberikan masukan dan arahan kepada penulis.

4. Seluruh Dosen Departemen Statistika yang telah memberikan ilmu dan wawasan selama penulis menempuh pendidikan di Departemen Statistika IPB serta seluruh staf Departemen Statistika yang telah banyak membantu proses skripsi penulis.

5. Orangtua penulis tercinta, Taufik Hidayat dan Siti Rochani, atas doa keduanya yang tidak pernah putus.

6. Abang tercinta, Taufan Dermawan beserta istri atas dukungannya, baik moril maupun materi, selama penulis menempuh pendidikan di Statistika IPB. Juga adik tersayang, Annuri Rosita dan Hanna Nur Tasia yang selalu menghibur dalam proses penulisan skripsi ini.

7. Nursyita Purnami (untuk 4 tahun ini) dan I.D.G Richard Alan Amory atas kritik, saran, dan semua hal yang pernah kita bagi.

8. Anni Fithriyatul Mas’udah dan Nuril Anwar selaku kawan satu bimbingan. 9. Statistika 44, 45, 46, dan B51 TPB IPB 2008.

10. Seluruh pihak yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam penyelesaian karya ilmiah ini.

Penulis menghaturkan maaf atas segala kekurangan dan kesalahan yang terdapat dalam karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi pembaca.

Bogor, September 2012

i

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di Bogor pada tanggal 7 Mei 1990 sebagai anak kedua dari empat bersaudara dari pasangan Taufik Hidayat dan Siti Rochani. Penulis menempuh pendidikan di SD Negeri Ciriung II Cibinong (1997-2002), SMP Negeri 1 Bogor (2002-2005) dan SMA Negeri 1 Bogor (2005-2008). Pada bulan Februari 2008 penulis dinyatakan lulus USMI IPB 2008 dengan Mayor Statistika. Matematika Keuangan dan Aktuaria merupakan program minor yang dipilih penulis untuk melengkapi program mayornya.

Selama menempuh pendidikan di Statistika IPB, penulis bergabung dengan Himpunan Keprofesian Gamma Sigma Beta (Himpro GSB IPB) sebagai Staf Departemen Survei dan Riset (Masa Kepengurusan 2010/2011) dan Ketua Departemen Survei dan Riset (Masa Kepengurusan 2011/2012). Selain aktif dalam kepengurursan Himpro GSB IPB, penulis juga aktif dalam berbagai kepanitiaan yang diselenggarakan oleh Himpro GSB IPB dan BEM FMIPA. Selama menempuh pendidikan di Statistika IPB penulis juga mendapatkan kesempatan untuk menjadi asisten praktikum pada mata kuliah Metode Statistika, Metode Penarikan Contoh, dan Analisis Data Kategorik. Penulis sempat bergabung dengan Lembaga Olah Data Statistics Centre pada tahun 2010 kemudian keluar pada tahun 2011 dan hingga proses penyusunan skripsi ini penulis bergabung dalam perusahaan riset pemasaran PT. Optima Solusi Indonesia sebagai junior research

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR GAMBAR ... viii

DAFTAR LAMPIRAN ... viii

PENDAHULUAN ... 1

Latar Belakang ... 1

Tujuan ... 1

TINJAUAN PUSTAKA ... 1

Pencilan ... 1

Total Populasi ... 1

Sebaran Lognormal ... 2

Penduga Kemungkinan Maksimum ... 2

Model Penduga ... 3

Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas) ... 3

METODOLOGI ... 4

Data ... 4

Metode ... 4

HASIL DAN PEMBAHASAN ... 6

Kajian Simulasi ... 6

Aplikasi Data Riil Susenas 2007 ... 8

KESIMPULAN DAN SARAN ... 9

Kesimpulan ... 9

Saran ... 10

DAFTAR PUSTAKA ... 10

viii

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Peubah-peubah pada data riil ...4

2 Rata-rata parameter (2 dan ) dan indeks lognormal (LI) dari peubah logY...6

3 Nilai ukuran evaluasi bagi hasil pendugaan melalui simulasi ...6

4 Penduga paramater (2 dan ), skewness, dan kurtosis pada peubah Y (pengeluaran rumah tangga sebulan) ...8

5 Penduga paramater (2 dan ) dan indeks lognormal (LI) peubah logY ...8

6 Ringkasan model bagi penduga M3 ...9

7 Hasil pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun 2007 ...9

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Bentuk sebaran lognormal ...2

2 Diagram kotak dan garis parameter (a). 2, (b). , dan (c) indeks lognormal (LI) pada peubah logY ...6

3 Contoh histogram peubah Y ...6

4 Contoh histogram peubah Z = logY ...6

5 Plot ukuran evaluasi penduga total populasi hasil simulasi vs jumlah contoh yang digunakan ..7

6 Histogram peubah Y ...8

7 Histogram peubah logY...8

8 Diagram pencar X terhadap logY ...9

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Diagram pencar rata-rata aktual luas kavling ( ) vs pendekatan rata-rata luas kavling ( ) pada kelurahan di Kota Bogor tahun 2007 ... 12

2 Dugaan total pengeluaran rumah tangga pada kecamatan di Kota Bogor tahun 2007 ... 13

3 Dugaan total pengeluaran rumah tangga pada kelurahan di Kota Bogor tahun 2007 ... 14

4 Histogram sisaan baku dan diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga M3 pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun 2007 ... 16

PENDAHULUAN

Latar belakang

Total populasi merupakan salah satu parameter yang seringkali dikaji oleh peneliti. Beragam metode pendugaan muncul dan terus berkembang. Metode yang paling sederhana adalah metode pendugaan langsung di mana pendugaan hanya memanfaatkan informasi yang berasal dari peubah yang akan diduga total populasinya. Pendugaan menjadi lebih kompleks ketika mulai memanfaatan informasi peubah lain. Pendugaan seperti itu disebut dengan pendugaan yang bersifat tidak langsung (berbasis model).

Analisis regresi linier merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk menduga suatu peubah respon bila peneliti memiliki infomasi tentang peubah penjelas yang memiliki hubungan linier dengan peubah respon. Pendugaan terhadap nilai peubah respon yang tidak terambil sebagai contoh memerlukan informasi peubah penjelas yang bersesuaian sehingga diperlukan data populasi peubah penjelas. Bila peubah respon tersebut merupakan peubah yang ingin diduga total populasinya maka dugaan total populasi dapat diperoleh dengan menjumlahkan gugus data contoh dengan gugus data hasil dugaan.

Model regresi linier dapat menghasilkan penduga total populasi yang tidak berbias bila dibangun dari data peubah respon yang menyebar normal. Kemunculan nilai pencilan kanan pada data survei sosial ataupun ekonomi seringkali terjadi sehingga asumsi kenormalan tidak lagi terpenuhi. Keberadaan pencilan ini menyebabkan penduga parameter pada model regresi berbias sehingga penduga total populasi pun berbias.

Transformasi logaritma natural terhadap data dapat dilakukan untuk memperbaiki kesimetrikan data dan mengatasi masalah kenormalan. Proses transformasi balik menyebabkan adanya pengoreksian pada model regresi linier penduga total populasi. Model regresi linier terkoreksi ini diperkenalkan oleh Karlberg (2002). Model Karlberg mampu menghasilkan penduga total populasi terbaik dengan nilai bias yang jauh lebih kecil dari model regresi linier yang dibangun dari data yang tidak ditransformasi.

Penerapan model dalam pendugaan parameter total populasi telah banyak dilakukan, salah satunya adalah untuk menduga total pengeluaran rumah tangga suatu daerah di Indonesia. Keadaan ekonomi masyarakat Indonesia yang belum merata menyebabkan beragamnya kuantitas

kebutuhan hidup masyarakat sehingga seringkali muncul pengeluaran rumah tangga yang terlampau besar (pencilan kanan). Model Karlberg mampu mengakomodasi keberadaan pencilan seperti ini yang kemudian menghasilkan penduga total populasi dengan nilai bias dan ragam terkecil.

Tujuan

Penelitian ini dilakukan dengan tujuan sebagai berikut :

1. Mengevaluasi karakteristik penduga total populasi dari model Karlberg dengan simulasi.

2. Melakukan pendugaan total populasi pada data riil pengeluaran rumah tangga Kota Bogor hasil Susenas 2007.

TINJAUAN PUSTAKA

Pencilan

Pencilan adalah amatan yang muncul dengan nilai yang tidak konsisten bila dibandingkan dengan data lain dalam gugus data yang ada (Barnett & Lewis, diacu dalam Karlberg 2002). Keberadaan amatan ini sangat kecil peluangnya. Chambers (1986) menyatakan bahwa terdapat dua tipe dasar pencilan. Tipe yang pertama adalah pencilan yang representatif, yaitu sebuah elemen contoh yang memang bagian dari populasi. Tipe kedua adalah pencilan yang tidak representatif. Pencilan tipe ini merupakan pencilan yang terjadi akibat adanya kesalahan manusia, baik dalam proses pengukuran maupun dalam pengkodean.

Pencilan yang dimaksud dalam penelitian ini adalah pencilan yang respresentatif.

Total Populasi

Bila yi merupakan nilai peubah acak

individu ke-i dari suatu populasi, maka total populasi adalah (Karlberg 2002):

T = ∑N

i = ∑i∈s + ∑i∈r

di mana gugus data s (berukuran n) merupakan gugus data contoh yang diambil dari populasi berukuran N, sedangkan gugus data r (berukuran N-n) merupakan gugus data komplemen dari gugus data contoh.

Pendugaan terhadap total populasi dapat dilakukan melalui desain penarikan contoh seperti direct sampling, inverse sampling, dan

quadrat sampling (Scheaffer et al. 1990).

2

ingin diduga total populasinya (Y). Pendugaan dengan cara seperti ini sering disebut sebagai metode pendugaan langsung (direct sampling). Bila peneliti memiliki data populasi dari suatu peubah lain (X) yang memiliki pengaruh linier terhadap Y, _∈ dapat diduga melalui model regresi linier antara X dan Y. Pendugaan dengan cara seperti ini sering disebut sebagai metode pendugaan tidak langsung (indirect

sampling).

Metode pendugaan total populasi melalui sebuah model sering digunakan dan terus berkembang. Pendugaan total populasi melalui sebuah model bagi data Y yang menyebar lognormal pertama kali diperkenalkan oleh Thorburn (1991, diacu dalam Karberg 2002).

Sebaran Lognormal

Suatu peubah acak U dikatakan menyebar lognormal bila transformasi V = logU

menyebar normal sehingga peubah acak

V~N(,2) memiliki fungsi kepekatan peluang demikian fungsi kepekatan peluang untuk sebaran lognormal bagi peubah acak

U~lognormal(,2) adalah: f(u|,2) =

√  ( ) /

u > 0 ; - <  <  ;  > 0

sedangkan fungsi peluang kumulatif bagi peubah acak U adalah: Bentuk sebaran dari peubah acak lognormal dapat dilihat pada Gambar 1. Gambar 1 menunjukkan bentuk sebaran lognormal pada nilai  yang sama ( = 0) dan 2 yang berbeda (2 = 0.25, 0.5, 0.1) di mana semakin besar nilai 2, semakin panjang ekor sebaran ke kanan (data semakin menjulur ke kanan).

Nilai harapan dan ragam dari

Ulognormal(,2) adalah:

E(U) =

Var(U) = – 1

Melalui pemanfaatan persamaan E(U) suatu sebaran dapat ditentukan apakah menyebar lognormal atau tidak di mana nilai harapan dari peubah asal yang ditunjukkan dengan rataannya sama dengan bentuk dari ruas kanan persamaan E(U) sehingga diperoleh nilai sederhana indeks lognormal (LI):

LI =

dimana:

= rataan peubah asal = rataan peubah transformasi

logaritmik dari V = logU 2

= ragam peubah tranformasi logaritmik dari V = logU

Semakin dekat indeks lognormal (LI) dengan 1 menunjukkan bahwa data tersebut menyebar lognormal.

Gambar 1 Bentuk sebaran lognormal

Sebaran lognormal bersifat menjulur ke kanan dengan nilai rataan lebih besar dari median dan median lebih besar dari modus (Mitzenmacher 2003).

Penduga Kemungkinan Maksimum

Bila suatu peubah acak X mempunyai fungsi kepekatan peluang f(x|Ө) dan y1, ... , yn

adalah contoh acak maka: f(y|Ө) = ∏ni f( yi|Ө) ;Ө

dengan Ө adalah konstanta yang nilainya tidak diketahui dan berada di dalam ruang parameter.

Bila sejumlah contoh acak y1, ... , yn telah

diambil, nilai f(y1, ... , yn|Ө) akan bergantung

kemungkinan dari Ө, dituliskan sebagai berikut:

L(Ө| y1, ... , yn) = f(y1, .. ., yn |Ө)

Prinsip dari penduga kemungkinan maksimum adalah mencari nilai Ө yang memaksimumkan L(Ө| y1, ... , yn).

Penduga Kemungkinan Maksimum pada Model Linier Normal

Bila peubah respon y1, ... , y1 adalah

observasi yang menyebar bebas, stokastik, identik, dan normal N(,2) dengan peubah penjelas X maka  adalah fungsi dari X di mana:

 = h(X,)

Model linier normal ditulis sebagai: y = X + 

dengan X adalah matriks berukuran (n x p), y adalah vektor berukuran (n x 1), dan  adalah vektor sisaan berukuran (n x 1).

Misalkan parameter Ө = (,2), maka fungsi kemungkinan maksimumnya adalah (Pawitan 2001):

L(Ө)= n/ − ∑ni i− i′

sehingga diperoleh: = ( )

= ∑ni i− i′

adalah penduga kemungkinan maksimum bagi parameter model linier.

Model Penduga

Bila terdapat peubah respon hasil transformasi logaritmik Z = logY dengan peubah penjelas i = (1 Xi1 ... Xik)’ maka dari gugus data contoh s akan diperoleh:

s= (1 ZI(1) ... ZI(n))’

Matriks s s adalah matriks definit positif

sehingga untuk sepasang observasi dari gugus data r diperoleh:

i j= i( s s) j

dengan αij yang akan bernilai 0 bila n .

Selanjutnya akan diperoleh penduga untuk

i∈r :

Zi = i

dengan adalah penduga tak bias yang diperoleh melalui metode kemungkinan maksimum dengan nilai harapan Zi dan ragam

Zi sebagai berikut:

E(Zi) = i = E( i)

Var(Zi) = Var ( i ) = i Var i= 

2

sehingga dari hasil transformasi balik diperoleh:

penduga bagi total populasi adalah sebagai berikut (Karlberg 2002):

T = ∑_i∈s + ∑_i∈r

Survei Sosial Ekonomi Nasional (Susenas)

Susenas merupakan salah satu survei yang secara rutin dilaksanakan Badan Pusat Statistik (BPS) setiap tahunnya. Hasil survei dimanfaatkan oleh pemerintah pada khususnya untuk merumuskan masalah perencanaan, pemantauan atau evaluasi kekurangan serta keberhasilan pembangunan sebagai bahan penyusun kebijakan.

Sistematika pengambilan contoh data Susenas adalah sebagai berikut:

4

2. Pemilihan blok sensus dan subblok sensus (untuk blok sensus dengan jumlah rumah tangga > 150 unit).

3. Pemilihan rumah tangga terpilih dalam blok sensus dan subblok sensus.

METODOLOGI

Data

Data yang digunakan pada penelitian ini terdiri dari data simulasi dan data riil.

Data Simulasi

Karakteristik data simulasi yang dibangkitkan sama dengan karakteristik data contoh dari peubah pengeluaran rumah tangga (Y) Kota Bogor hasil Susenas 2007 di mana

Y~lognormal(14.3,0.28).

Data simulasi dibangkitkan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Bangkitkan satu gugus data yang terdiri dari:

a. XN(3.15,0.02) sebanyak N = 1000, X

sebagai peubah penjelas. b. 



N(0,0.2) sebanyak N = 1000. (diperoleh dari langkah 1.d).

3. Ulangi langkah satu sebanyak r = 2000 kali sehingga diperoleh 2000 gugus data. 4. Hitung dan simpan T = ∑ dari setiap

gugus data yang dibangkitkan.

Data Riil

Data riil yang digunakan yaitu data peubah pengeluaran rumah tangga (Y) dan luas kavling (X) dari hasil Susenas Kota Bogor tahun 2007. Keduanya berfungsi sebagai sumber data sebagai contoh, _i∈s dan _i∈s. Data tersebut dilengkapi oleh data pendekatan luas kavling ( i) sebagai sumber data peubah

penjelas untuk elemen yang tidak terambil sebagai contoh, _i∈r. Data pendekatan luas

*)Sumber: Kecamatan dalam Angka 2008 **)Sumber: Bapedda Kota Bogor 2007

Peubah X dipilih berdasarkan nilai korelasi pearson yang cukup besar, arah hubungan yang sesuai, dan kemudahan untuk memperoleh data. Rincian peubah-peubah yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 1. Lampiran 1 menunjukkan diagram pencar rata-rata luas kavling di tiap kelurahan ( )

dengan i. Pola linier pada diagram pencar

menunjukkan bahwa i cukup baik untuk

menduga luas kavling pada rumah tangga yang tidak terambil sebagai contoh.

Tabel 1 Peubah-peubah pada data riil

Peubah Keterangan

X luas kavling (m2)

Y rata-rata pengeluaran per kapita rumah tangga (rupiah)

i rata-rata luas kavling kelurahan

ke-i (m2)

Metode

Pada penelitian ini dilakukan kajian simulasi melalui simulasi berbasiskan model

(Model Based Simulation). Model Based

Simulation merupakan salah satu teknik

simulasi di mana peneliti menentukan terlebih dahulu desain parameter, respon, dan meta model (Stinstra 2006). Pada penelitian ini digunakan parameter 0 = 8 dan 1 = 2, satu

peubah respon, dan regresi linier sederhana sebagai meta model.

Kajian pada penelitian ini ditutup dengan mengaplikasikan temuan dari simulasi pada data survei yaitu data Susenas Kota Bogor tahun 2007.

Simulasi Berbasiskan Model (Model Based

Simulation)

Langkah-langkah yang dilakukan dalam simulasi berbasiskan model adalah sebagai berikut:

1. Lakukan penarikan contoh acak tanpa pengembalian dengan 4 kombinasi jumlah contoh n (n = 15, 30, 50, 100) pada tiap gugus data yang telah dibangkitkan. 2. Lakukan pendugaan total populasi

dengan tiga metode pendugaan: a. Penduga M1:

dengan:

c. Penduga M3 (Model Karlberg):

T = ∑Ni i = ∑i∈s i + ∑i∈r ∗∗i

∗∗ _{= KTG dari pendugaan model linier}

log( ) = i + 

3. Evaluasi terhadap T (berdasarkan 4 ukuran n dan 3 metode pendugaan) dengan ukuran ARB (Average of Relative Bias), RLMSE (Relative Mean Square Error), MSE (Mean Square Error) dan AARB

(Average of Absolute Relative Bias).

Keempat ukuran untuk mengevaluasi penduga parameter tersebut dihitung dari: ARB = ∑ ( )

x 100% RLMSE = ∑ ( ) x 100% MSE = ∑ ( −T)

AARB = ∑ x 100%

4. Bandingkan keempat ukuran evaluasi penduga parameter yang diperoleh dari langkah 3 pada penggunaan n dan metode pendugaan yang berbeda.

Aplikasi pada Data Riil Susenas Kota Bogor 2007

Langkah-langkah yang dilakukan pada aplikasi data riil Susenas 2007 adalah sebagai berikut:

1. Eksplorasi data dan tentukan bentuk sebaran dari peubah Y (pengeluaran rumah tangga) dan logY

2. Lakukan pendugaan total populasi pada tingkat kota, kecamatan dan kelurahan dengan tiga metode pendugaan:

a. Penduga M1:

c. Penduga M3 (Model Karlberg):

T = ∑N _i

∗∗ _{= KTG dari pendugaan model linier}

log( )= _{i j} +  di mana log( ) menunjukkan log pengeluaran

rumah tangga pada rumah tangga ke-j di kelurahan ke-i.

3. Lakukan evaluasi penduga dengan menghitung RMSE (Root Mean Square

Error) sebagai akar dari:

6

HASIL DAN PEMBAHASAN

Kajian Simulasi

Informasi mengenai karakteristik data simulasi dapat dilihat pada Tabel 2, Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4.

Tabel 2 Rata-rata parameter (2,) dan indeks lognormal (LI) peubah logY

 ulangan pada simulasi diperoleh 2000 gugus data populasi dengan rata-rata 2, , dan LI

masing-masing sebesar 0.28, 14.30, dan 0.99. Ketiga nilai tersebut mendekati dugaan parameter bagi data aktual pengeluaran rumah tangga Kota Bogor (Tabel 5). Sementara itu

Gambar 3 Contoh histogram peubah Y

logY

Gambar 4 Contoh histogram peubah logY

14.24 ≤ ≤ 0.32, dan 0.99 ≤ ≤ 1.01.

Contoh histogram bagi salah satu data populasi bangkitan yang diambil secara acak dapat dilihat pada Gambar 3 dan Gambar 4. Gambar 3 menunjukkan histogram bagi peubah Y yang belum ditransformasi, memberikan bentuk sebaran yang menjulur ke kanan. Gambar 4 merupakan histogram bagi peubah hasil transformasi, logY, memberikan bentuk histogram yang simetrik.

Hasil simulasi pada Tabel 3 menunjukkan perolehan ARB di kisaran 0 pada ketiga Tabel 3 Nilai ukuran evaluasi bagi hasil pendugaan melalui simulasi

penduga. Penduga M1 dan penduga M3 merupakan penduga dengan nilai ARB yang lebih dekat dengan nol bila dibandingkan dengan penduga M2. Nilai ARB yang dihasilkan penduga M2 mendekati nol ketika ukuran contohnya besar (n = 100).

Berdasarkan nilai RLMSE, penduga M3 menjadi penduga terbaik di mana pada setiap ukuran contoh nilai RLMSE dari penduga M3 selalu lebih kecil dari dua penduga lainnya. Berbeda dengan ARB, RLMSE yang dihasilkan penduga M1 dan M2 cenderung sama pada setiap ukuran contoh. Hal yang sama juga terjadi pada nilai MSE di mana penduga M3 menjadi penduga terbaik dengan nilai MSE terkecil pada berbagai ukuran contoh, disusul oleh penduga M1 dan penduga M2.

Melalui nilai RLMSE dan MSE pada Gambar 5. (b) dan Gambar 5. (c) dapat kita lihat adanya pola penggunaan ukuran contoh

terhadap ketiga metode pendugaan yang digunakan. Pada kedua ukuran evaluasi tersebut ketiga metode pendugaan mengalami penurunan nilai seiring dengan bertambahnya jumlah contoh yang digunakan, namun laju penurunan RLMSE dan MSE yang terjadi pada penduga M1 dan penduga M2 lebih besar dari penduga M3. Hal ini menunjukkan bahwa untuk penduga M1 dan M2 ukuran contoh menjadi penentu kecilnya ragam dari penduga total populasi yang dihasilkan. Hal tersebut tidak berlaku bagi penduga M3. Bertambahnya ukuran contoh memang menurunkan nilai RLMSE dan MSE yang dihasilkan, namun besarnya tidak signifikan. Hal tersebut menunjukkan bahwa penduga M3 mampu menghasilkan penduga total populasi dengan nilai ragam terkecil pada ukuran contoh yang

M1 (pendugaan melalui rataan contoh peubah asal) M2 (pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal) M3 (pendugaan melalui model Karlberg)

Gambar 5 Plot ukuran evaluasi penduga total populasi hasil simulasi vs jumlah contoh yang digunakan: (a) ARB (Average of Relative Bias), (b) RLMSE (Relative Mean Square

Error), (c) MSE (Mean Square Error), (d) AARB (Average of Absolute Relative Bias)

8

dugaan total populasi yang dihasilkan (yang ditunjukkan oleh RLMSE dan MSE) akan mempengaruhi lokasi ARB di sekitar 0. Semakin kecil nilai RLMSE dan MSE, semakin dekat rataan bias (ARB) dengan 0.

Penduga M1 dan penduga M2 menjadi dua penduga terbaik pada berbagai ukuran evaluasi karena keduanya merupakan penduga tak bias bagi _∈ . Penduga M2 merupakan bentuk umum dari penduga M3 namun dengan besar ragam yang belum terkoreksi.

Ketika informasi mengenai peubah penjelas dimiliki dengan kualitas peubah penjelas yang baik (ditunjukkan oleh korelasi yang kuat terhadap Y), metode pendugaan secara tidak langsung seperti pada penduga M3 misalnya, menghasilkan penduga total populasi yang lebih baik daripada pendugaan secara langsung (penduga M1 dan M2 misalnya). Salah satu kelemahan metode pendugaan langsung adalah nilai ragam yang besar bila diterapkan pada ukuran contoh yang kecil. Sedangkan pendugaan dengan pemanfaatan peubah penjelas secara statistik memiliki sifat “meminjam kekuatan”

(borrowing strength) dari hubungan antara

peubah respon dengan peubah penjelas (Kurnia 2009). Penggunaan model sebagai penduga tidak langsung pada total populasi menyebabkan tingkat kesalahan pendugaan terdistribusi tidak hanya pada kesalahan pengacakan (random error), tetapi juga pada kesalahan model (model error). Pada data simulasi, tingkat kesalahan model (model

error) kecil karena X memang didesain

memiliki korelasi dengan logY. Hal tersebut menyebabkan penduga M3 menghasilkan penduga total populasi dengan nilai ARB, RLMSE, MSE, dan AARB yang paling kecil bila dibandingkan dengan dua metode pendugaan lain.

Aplikasi Data Riil Susenas 2007

Deskripsi data Susenas Kabupaten Bogor 2007 dapat dilihat pada Tabel 4 dan Tabel 5. Sementara bentuk sebaran data peubah pengeluran rumah tangga Kota Bogor (Y) dan logY dapat dilihat pada Gambar 6 dan Gambar 7.

Tabel 4 menunjukkan statistik bagi peubah pengeluaran rumah tangga Kota Bogor. Pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor memiliki ragam Rp. 1,42 milyar dan rata-rata sebesar Rp. 1,93 juta. Statistik skewness

sebesar 2.43 (skewness > 0), menunjukkan

jauh dari karakteristik sebaran normal. Tabel 4 Penduga parameter (2 dan ),

skewness, dan kurtosis peubah Y

(pengeluaran rumah tangga)

Skewness Kurtosis

1.42x1012 1.93x106 2.43 10.48

Tabel 5 Penduga parameter (2 dan ) dan indeks lognormal (LI) peubah logY

0.2871 14.3223 1.0057

Gambar 6 Histogram peubah Y

logY

Gambar 7 Histogram peubah logY

Gambar 6 dan Gambar 7 menunjukkan bentuk sebaran dari peubah Y dan peubah logY. Bentuk histogram pada Gambar 6 menjulur ke kanan sedangkan bentuk histogram pada Gambar 7 simetrik. Hal ini menunjukkan bahwa tranformasi logaritmik pada data aktual pengeluaran rumah tangga Kota Bogor (Y) mampu memperbaiki kesimetrikan data.

total 608 rumah tangga menjadi responden. Peubah penjelas yang dipilih pada aplikasi data riil adalah luas kavling (X). Korelasi pearson yang dihasilkan oleh peubah logY

dan X sebesar 0,502 dan besarnya korelasi signifikan pada taraf nyata 5%. Pola hubungan antara peubah logY dan X dapat dilihat pada Gambar 8 sedangkan ringkasan model bagi penduga M3 dapat dilihat pada

Gambar 8 Diagram pencar X terhadap logY

Tabel 6 Ringkasan model bagi penduga M3

Penduga Nilai p-value

14.0125 0.0000 0.0024 0.0000

R-Sq 25.183%

Secara umum penduga total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor yang dihasilkan oleh ketiga metode pendugaan tidak saling berjauhan. Penduga M1 menjadi penduga dengan nilai RMSE (Root Mean Square Error) terkecil, disusul oleh penduga M3 dan M2. Nilai R-Sq pada model penduga M3 menjadi indikasi besarnya nilai RMSE yang dihasilkan. Hasil pendugaan total pengeluaran rumah tangga Kota Bogor dapat dilihat pada Tabel 7. Tabel 7 Hasil pendugaan total pengeluaran

rumah tangga di Kota Bogor tahun 2007

Metode RMSE

M1 3.96723x1012 9.884x109

M2 3.93323x1012 226.143x109

M3 4.11436x1012 14.516x109 Pendugaan total pengeluaran rumah tangga pada tingkat kecamatan (Lampiran 2) dan kelurahan (Lampiran 3) memberikan hasil yang tidak jauh berbeda dengan pendugaan total populasi pada tingkat kota. Penduga M1

dan penduga M3 menjadi dua penduga yang menghasilkan nilai RMSE terkecil.

Pada pendugaan di tingkat kecamatan, penduga M3 memberikan hasil terbaik dengan RMSE terkecil di Kecamatan Bogor Timur, Kecamatan Bogor Utara, dan Kecamatan Bogor Tengah. Hubungan linier yang kuat antara peubah luas kavling dengan pengeluaran rumah tangga terjadi pada ketiga wilayah tersebut. Sementara itu, pendugaan di tingkat kelurahan menunjukkan hasil yang hampir sama. Pada kelurahan dengan nilai korelasi antara X dan logY yang cukup besar cenderung menghasilkan penduga M3 dengan nilai RMSE yang lebih kecil dari RMSE yang dihasilkan penduga M1 dan penduga M2. Perbandingan antara penduga M3 dan M1 sebagai dua penduga terbaik dapat dilihat pada ukuran evaluasi RR : . Nilai RR : yang

lebih besar dari 1 menunjukkan bahwa penduga M3 menghasilkan penduga total populasi dengan presisi yang lebih baik dari penduga M1.

Pada aplikasi data riil Susenas 2007 Kota Bogor, penduga M3 menghasilkan penduga total populasi dengan nilai RMSE terkecil bila nilai R-Sq yang dihasilkan model Karlberg cukup besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa pemilihan peubah penjelas yang digunakan untuk membangun model Karlberg sangat mempengaruhi ragam dari penduga total populasi yang dihasilkan.

Informasi mengenai sebaran sisaan dari model penduga pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor dan kecamatan di dalam Kota Bogor dapat dilihat pada Lampiran 4 dan Lampiran 5. Melalui histogram secara sederhana dapat kita lihat bahwa sisaan baku yang dihasilkan penduga M3 memberikan bentuk sebaran yang cukup simetrik. Pencaran logY duga (prediksi) terhadap sisaan yang dihasilkan model dari penduga M3 juga bersifat acak dengan pita mendatar, menunjukkan ragam sisaan yang homogen. Kedua informasi tersebut menunjukkan bahwa transformasi logaritmik mampu memperbaiki pola sisaan yang dihasilkan pada pendugaan tidak langsung seperti pada penduga M3.

KESIMPULAN DAN SARAN

Kesimpulan

10

pendugaan langsung, yaitu dengan rataan contoh peubah asal (M1) dan nilai harapan sebaran lognormal (M2). Keunggulan utama dari model penduga adalah kemampuannya dalam memberikan penduga total populasi yang baik pada ukuran contoh yang kecil.

Pada aplikasi data Susenas 2007 di Kota Bogor dengan n = 608, M1 memiliki RMSE yang paling kecil dibandingkan dengan metode pendugaan lain. Hal tersebut terjadi karena sifat penduga M1 yang tidak bias dan didukung oleh ukuran contoh yang besar.

Pada pendugaan total populasi di tingkat kelurahan dengan ukuran n yang kecil (n = 16 hingga n = 32), M3 tidak selalu menjadi penduga total populasi dengan RMSE terkecil. Namun begitu, model Karlberg pada penduga M3 mampu memperbaiki kekurangan pada penduga total populasi. Perbaikan terjadi pada besar ragam (RMSE) yang tidak sebesar penduga M1 dan penduga M2. Namun begitu, peubah penjelas yang digunakan pada penduga M3 akan menentukan kualitas penduga total populasi yang dihasilkan. Secara umum, semakin besar korelasi yang antara X dan logY, semakin baik penduga total populasi yang dihasilkan.

Saran

Saran untuk penelitian selanjutnya adalah:

1. Melakukan simulasi pada berbagai nilai parameter (2,) sebaran lognormal serta besaran korelasi () antara peubah X dan logY.

2. Melakukan koreksi lebih lanjut terhadap ragam dari model Karlberg.

3. Melakukan pendugaan dengan pendekatan sebaran lain yang juga

mampu mengakomodasi kemenjuluran data.

DAFTAR PUSTAKA

Casella G & Berger R. 1990. Statistical

Inference. California: Duxbury Press.

Chambers R. L. 1986. Outliers Robust Finite

Population Estimation. Journal of the

American Statistical Association, Vol. 81, No. 396, pp. 1063-1069.

Karlberg F. 2002. Population Total Prediction Under a Lognormal Superpopulation

Model. Biostatistics and data Management,

R & D Sweden, Pharmacia Corp SE-112 87:53-79.

Kurnia A. 2009. Prediksi Terbaik Empirik untuk Model Transformasi Logaritma di dalam Pendugaan Area Kecil dengan Penerapan pada Data Susenas [Disertasi]. Bogor: Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.

Mitzenmacher M. 2003. A Brief History of Generative Models for Power Law and

Lognormal Distributions. Division of

Engineering and Applied Sciences Harvard University 1-4.

Pawitan Y. 2001. In All Likelihood: Statistical

Modelling and Inference Using Likelihood.

New York: Oxford University Press Inc. Scheaffer R. L., Mendenhall W, & Ott L.

1990. Elementary Survey Sampling 4th ed. Boston: PWS-KENT Publishing Company. Stinstra E. D. 2006. The Meta-Model Approach For Simulation-Based Design

Optimization [Thesis]. Tilburg University,

12

Lampiran 1 Diagram pencar rata-rata aktual luas kavling ( ) vs pendekatan rata-rata luas kavling ( ) pada kelurahan di Kota Bogor tahun 2007

Xi

X

b

a

r

350 300

250 200

150 100

50 350

300

250

200

150

100

Lampiran 2 Dugaan total pengeluaran rumah tangga sebulan pada kecamatan di Kota Bogor tahun 2007

Kecamatan N n

Metode pendugaan

:

M1 M2 M3

M1 RMSE* M2 RMSE* M3 RMSE* R-Sq

Bogor Selatan 39050 144 5.91x1010 2.59x109 5.88x1010 2.77x1010 6.03x1010 3.34x109 0.305 13.96 0.0014 9.33% 0.776

Bogor Timur 18594 48 4.06x1010 3.59x109 4.13x1010 3.05x1010 3.45x1010 2.13x109 0.811 13.62 0.0051 65.77% 1.690

Bogor Utara 35187 112 7.02x1010 3.84x109 7.01x1010 3.99x1010 7.09x1010 3.35x109 0.607 14.03 0.0029 36.83% 1.149

Bogor Tengah 24256 64 5.75x1010 6.59x109 5.63x1010 4.80x1010 4.29x1010 3.28x109 0.640 13.87 0.0029 40.94% 2.007

Bogor Barat 41753 128 8.69x1010 3.45x109 8.72x1010 4.09x1010 1.19x1011 1.61x1010 0.538 14.11 0.0027 29.00% 0.215

Tanah Sareal 46314 112 8.59x1010 3.73x109 8.64x1010 4.32x1010 8.63x1010 4.17x109 0.292 14.17 0.0011 8.51% 0.896

*RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian. Keterangan:

N : populasi rumah tangga

n : jumlah rumah tangga yang terambil sebagai contoh

M1 : pendugaan melalui rataan contoh peubah asal

M2 : pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal

M3 : pendugaan melalui model Karlberg

RMSE : Root Mean Square Error

: : Relative RMSE penduga M1 terhadap M3

: penduga korelasi X terhadap Z

: penduga : penduga

R-Sq : koefisien determinasi

1

14

Lampiran 3 Dugaan total pengeluaran rumah tangga sebulan pada kelurahan di Kota Bogor tahun 2007

*RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian.

Kec Kelurahan N n

Metode pendugaan

:

M1 M2 M3

M1 RMSE* M2 RMSE* M3 RMSE* R-Sq

Bogor Selatan

Mulyaharja 3335 16 4.83x109 6.59x108 4.82x109 2.44x109 6.61x109 2.44x109 0.28 13.79 0.0033 7.81% 0.270

Genteng 1458 16 1.89x109 1.84x108 1.91x109 8.07x108 2.03x109 2.32x108 0.31 13.79 0.0016 9.34% 0.796

Kertamaya 1083 32 1.36x109 8.18x107 1.37x109 4.75x108 5.64x109 3.57x109 0.45 13.71 0.0039 19.98% 0.023

Harjasari 2686 16 3.68x109 3.03x108 3.70x109 1.33x109 3.60x109 3.2 x108 0.23 13.98 0.0006 5.24% 0.943

Pakuan 1490 16 2.00x109 2.14x108 2.04x109 1.03x109 2.19x109 4.74x108 0.13 13.89 0.0010 1.62% 0.452

Batutulis 2768 16 4.66x109 4.81x108 4.66x109 1.79x109 4.10x109 3.95x108 0.49 14.07 0.0011 23.81% 1.216

Empang 4236 16 9.76x109 1.34x109 9.80x109 5.39x109 7.59x109 8.47x108 0.66 13.64 0.0109 43.88% 1.585

Cikaret 3823 16 6.35x109 _1.03x109 _6.29x109 _3.32x109 _5.37x109 _4.93x108 _{0.71 13.74 0.0035 49.73% 2.081}

Bogor Timur

Sindangsari 1652 16 1.82x109 1.76x108 1.84x109 8.10x108 1.93x109 1.65x108 0.64 13.32 0.0050 40.57% 1.062

Katulampa 4657 16 7.11x109 7.07x108 7.13x109 2.77x109 8.97x109 3.87x109 0.20 14.02 0.0022 4.04% 0.183

Baranangsiang 6029 16 2.36x1010 6.24x108 2.37x1010 2.57x109 2.44x1010 2.97x109 -0.08 15.24 -0.0002 0.67% 0.210

Bogor Utara

Bantarjati 5082 32 8.54x109 8.21x108 8.51x109 4.31x109 8.50x109 6.01x108 0.52 14.01 0.0022 27.34% 1.366

Tegal Gundil 5930 16 1.10x1010 1.22x109 1.12x1010 6.02x109 1.45x1010 2.89x109 0.42 13.99 0.0056 17.45% 0.422

Cimahpar 3058 16 1.08x1010 1.24x109 1.10x1010 5.84x109 9.98x109 1.27x109 0.34 14.35 0.0021 11.48% 0.973

Cibuluh 4692 16 7.78x109 1.06x109 7.93x109 4.69x109 8.29x109 9.84x108 0.54 13.76 0.0047 28.76% 1.078

Kedunghalang 4440 16 8.17x109 8.59x108 8.25x109 3.80x109 1.12x1010 1.66x109 0.60 13.95 0.0051 36.58% 0.516

Ciparigi 4691 16 8.06x109 7.70x108 8.08x109 3.07x109 8.31x109 6.33x108 0.61 14.05 0.0025 36.87% 1.217

Bogor Tengah

Gudang 1920 16 2.26x109 2.80x108 2.25x109 9.94x108 2.20x109 2.33x108 0.19 13.81 0.0009 3.63% 1.202

Tegal Lega 4339 16 6.75x109 8.63x108 6.91x109 4.23x109 6.94x109 9.09x108 -0.28 14.48 -0.0036 7.88% 0.949

Babakan 1886 16 9.88x109 1.22x109 9.89x109 4.66x109 7.42x109 6.91x108 0.74 14.75 0.0018 55.17% 1.759

Panaragan 1740 16 2.63x109 2.74x108 2.65x109 1.12x109 2.55x109 3.45x108 0.09 14.10 0.0003 0.89% 0.796

Bogor Barat

Pasirmulya 966 16 3.20x109 2.25x108 3.21x109 9.26x108 3.24x109 3.18x108 0.05 14.92 0.0002 0.28% 0.707

Pasirjaya 4189 16 7.08x109 5.20x108 7.11x109 2.22x109 7.28x109 5.65x108 0.29 14.17 0.0014 8.41% 0.920

Gunungbatu 4328 16 1.01x1010 1.10x109 1.02x1010 4.91x109 1.19x1010 1.42x109 0.57 14.14 0.0037 32.05% 0.772

1

Lampiran 3 (lanjutan)

Kec Kelurahan N n

Metode pendugaan

:

M1 M2 M3

M1 RMSE* M2 RMSE* M3 RMSE* R-Sq

Bogor Barat

Menteng 3363 16 6.20x109 6.64x108 6.42x109 3.76x109 7.53x109 1.09x109 0.50 13.89 0.0035 25.24% 0.606

Cilendek Barat 3396 16 6.57x109 6.00x108 6.66x109 2.83x109 8.57x109 1.64x109 0.40 14.16 0.0032 16.03% 0.366

Marga Jaya 1159 16 2.55x109 2.91x108 2.54x109 1.03x109 3.20x109 2.98x109 0.18 14.38 0.0010 3.37% 0.098

Situgede 1833 16 2.81x109 2.01x108 2.81x109 7.76x108 1.90x109 1.38x109 -0.07 14.25 -0.0006 0.49% 0.146

Curugmekar 2287 16 4.14x109 4.33x108 4.17x109 1.81x109 4.62x109 5.16x108 0.46 14.03 0.0028 21.01% 0.839

Tanah Sareal

Kedungwaringin 5103 16 1.44x1010 1.07x109 1.44x1010 4.56x109 1.33x1010 1.26x109 0.32 14.59 0.0015 10.20% 0.851

Kebonpedes 5577 32 9.10x109 6.88x108 9.16x109 4.28x109 8.46x109 6.43x108 0.38 14.00 0.0025 14.42% 1.069

Kedungbadak 7097 16 1.26x1010 1.08x109 1.26x1010 3.95x109 1.26x1010 9.66x108 0.13 14.28 0.0006 1.71% 1.122

Sukadamai 3066 16 7.48x109 6.38x108 7.54x109 2.84x109 5.22x109 6.61x108 0.64 13.91 0.0033 41.14% 0.965

Kayumanis 2974 16 4.22x109 4.36x108 4.27x109 2.03x109 4.71x109 5.41x108 0.48 13.89 0.0011 22.61% 0.806

Mekarwangi 4879 16 6.18x109 5.69x108 6.21x109 2.41x109 6.14x109 5.57x108 0.25 13.89 0.0005 6.48% 1.021

*RMSE dengan highlight menunjukkan RMSE terkecil pada metode pendugaan yang bersesuaian. Keterangan:

N : populasi rumah tangga

n : jumlah rumah tangga yang terambil sebagai contoh

M1 : pendugaan melalui rataan contoh peubah asal

M2 : pendugaan melalui nilai harapan sebaran lognormal

M3 : pendugaan melalui model Karlberg

RMSE : Root Mean Square Error

: : Relative RMSE penduga M1 terhadap M3

: penduga korelasi X terhadap Z

: penduga : penduga

R-Sq : koefisien determinasi

1

16

Lampiran 4 (a) Histogram sisaan baku dan (b) Diagram pencar prediksi vs sisaan baku dari penduga M3 pada pendugaan total pengeluaran rumah tangga di Kota Bogor tahun 2007

Sisaan baku

F

re

qu

e

n

cy

4 3 2 1 0 -1 -2 70

60

50

40

30

20

10

0

Prediksi

S

is

a

an

b

ak

u

16.0 15.5

15.0 14.5

14.0 5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

18

Lampiran 5 (lanjutan)