PENENTUAN SELANG KEPERCAYAAN YANG BERSIFAT
FUZZY DARI KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI
SKRIPSI
HANNARIA RH SINAGA
080823003
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PENENTUAN SELANG KEPERCAYAAN YANG BERSIFAT
FUZZY DARI KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
HANNARIA RH SINAGA
080823003
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : PENENTUAN SELANG KEPERCAYAAN YANG BERSIFAT
FUZZY DARI KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI Kategori : SKRIPSI
Nama : HANNARIA RH. SINAGA
NIM : 080823003
Program Studi : S1 MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, 15 Oktober 2010
Komisi Pembimbing
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Djakaria Sebayang Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 19511271985031002 NIP. 194612251974031001
Diketahui/Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
PERNYATAAN
PENENTUAN SELANG KEPERCAYAAN YANG BERSIFAT FUZZY DARI KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing–masing disebutkan sumbernya.
Medan, 15 Oktober 2010
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, atas kasih dan berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang ditetapkan.
Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada:
1. Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Djakaria Sebayang selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tulisan ini.
2. Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Dra. Elvina Herawati, M.Si selaku pembanding pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tulisan ini.
3. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si.
4. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Program S1 Matematika FMIPA USU.
5. Kedua orang tua saya S. Sinaga dan R. Saragih serta abang dan kedua adik saya Andyka Sinaga, Desy CH. Sinaga dan Christian Sinaga dan seluruh keluarga saya yang selalu memberi dukungan dan arahan selama ini.
6. Teman-teman yang telah membantu saya Jenhery Purba, Benny Sofyan Samosir, Vitis Jeniver, Hendra Pasaribu, Hadisem Lase, Amir Irianto Sinaga, Harvi Rahman, Lewi S. Tarigan. Thanks for everything buat motivasi, kehangatan keluarga dan keceriaannya.
ABSTRAK
Didalam pengambilan sampel dari populasi, diharapkan mendapatkan pengetahuan mengenai populasi. Penggunaan estimasi titik terkadang tidak cukup baik dalam menentukan dimana parameter berada. Untuk itu digunakan estimasi selang yang jauh lebih baik karena mengandung tingkat kesalahan yang lebih kecil dan mendekati nilai kebenaran pada populasi. Menentukan luas selang kepercayaan melalui seberapa yakin nilai kepercayaan yang diambil memenuhi parameter. Karena selang kepercayaan tersebut mempunyai batas yang tidak tegas, maka disini digunakan fuzzy set yaitu alpha-cut dan direpresentasikan dengan fungsi keanggotaan fuzzy set dalam bentuk kurva trapesium. Penggunaan alpha-cut tersebut digunakan untuk memprediksi selang kepercayaan pada multiple regresi.
Penggunaan fuzzy set yaitu alpha-cut didalam multiple regresi sangat memungkinkan untuk memprediksi selang kepercayaan. Koefisien pada multiple regresi digunakan sebagai penaksir fuzzy. Maka dari itu, penelitian ini menggunakan pendekatan fuzzy pada multiple regresi.
Dalam kajian ini dimisalkan variabel bebasnya adalah serta variabel tak bebasnya adalah y. Bentuk persamaan multiple regresi fuzzy adalah :
DETERMINATION OF CONFIDANCE INTERVAL WITH FUZZY CHARACTER FROM COEFICIEN
OF MULTIPLE REGRESSION
ABSTRACT
In taking sample from population, we hope to take more knowledge about population. Sometimes using of point estimation is not good enough for determining where parameter is. Hence, using of interval estimation is better than using of pointestimation owing to contains smaller error level and near the true value of population. Determining confidence interval area through how much we sure that confidence value which taken satisfy the parameter. Because the confidence interval has uncrisplimit, so it’s be used fuzzy set here, that is alpha-cut and it’s represented by fuzzy set membership function in trapezium curve form. The using of the alpha-cut is used to predict the confidence interval in multiple regression.
Using of fuzzy set like as alpha-cut in multiple regression is so possible to predict the confidence interval. The coefficient in multiple regression is used as fuzzy estimator. Hence from at that, this research explains how to get conffidence interval by using fuzzy approach in multiple regression.
In this study, independent variable are , and dependent variable is y
.
The equation form of fuzzy multiple regression is
DAFTAR ISI
Daftar Gambar viii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 2
1.3 Tinjauan Pustaka 2
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Kontribusi Penelitian 5
1.6 Metode Penelitian 5
BAB 2 LANDASAN TEORI 6
2.1 Himpunan Fuzzy 6
2.1.1 Alpha-Cuts (α-cuts) 8
2.1.2 Bentuk Persamaan Regresi Fuzzy 10
2.2 Analisis Regresi 11
2.2.1 Regresi Linear sederhana 12
2.2.2 Metode Kuadrat Terkecil 12
2.2.3 Metode Regresi Kuadrat Terkecil 14
2.3 Selang Kepercayaan 15
2.3.1 Estimasi Tunggal 15
2.3.2 Estimasi Interval 16
2.3.3 Selang Kepercayaan pada Koefisien Multiple Regresi 16 2.3.4 Prediksi Selang Kepercayaan pada Multiple Regresi 17
BAB 3 PEMBAHASAN DAN HASIL 20
3.1 Multiple Regresi 20
3.2 Penaksir Fuzzy 25
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Representasi Linear Naik 9
Gambar 2.2 Representasi kurva segitiga 9
ABSTRAK
Didalam pengambilan sampel dari populasi, diharapkan mendapatkan pengetahuan mengenai populasi. Penggunaan estimasi titik terkadang tidak cukup baik dalam menentukan dimana parameter berada. Untuk itu digunakan estimasi selang yang jauh lebih baik karena mengandung tingkat kesalahan yang lebih kecil dan mendekati nilai kebenaran pada populasi. Menentukan luas selang kepercayaan melalui seberapa yakin nilai kepercayaan yang diambil memenuhi parameter. Karena selang kepercayaan tersebut mempunyai batas yang tidak tegas, maka disini digunakan fuzzy set yaitu alpha-cut dan direpresentasikan dengan fungsi keanggotaan fuzzy set dalam bentuk kurva trapesium. Penggunaan alpha-cut tersebut digunakan untuk memprediksi selang kepercayaan pada multiple regresi.
Penggunaan fuzzy set yaitu alpha-cut didalam multiple regresi sangat memungkinkan untuk memprediksi selang kepercayaan. Koefisien pada multiple regresi digunakan sebagai penaksir fuzzy. Maka dari itu, penelitian ini menggunakan pendekatan fuzzy pada multiple regresi.
Dalam kajian ini dimisalkan variabel bebasnya adalah serta variabel tak bebasnya adalah y. Bentuk persamaan multiple regresi fuzzy adalah :
DETERMINATION OF CONFIDANCE INTERVAL WITH FUZZY CHARACTER FROM COEFICIEN
OF MULTIPLE REGRESSION
ABSTRACT
In taking sample from population, we hope to take more knowledge about population. Sometimes using of point estimation is not good enough for determining where parameter is. Hence, using of interval estimation is better than using of pointestimation owing to contains smaller error level and near the true value of population. Determining confidence interval area through how much we sure that confidence value which taken satisfy the parameter. Because the confidence interval has uncrisplimit, so it’s be used fuzzy set here, that is alpha-cut and it’s represented by fuzzy set membership function in trapezium curve form. The using of the alpha-cut is used to predict the confidence interval in multiple regression.
Using of fuzzy set like as alpha-cut in multiple regression is so possible to predict the confidence interval. The coefficient in multiple regression is used as fuzzy estimator. Hence from at that, this research explains how to get conffidence interval by using fuzzy approach in multiple regression.
In this study, independent variable are , and dependent variable is y
.
The equation form of fuzzy multiple regression is
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari tidak terlepas dari data, baik itu bersifat kuantitatif
maupun kualitatif. Apabila dikumpulkan data dari seluruh elemen dalam suatu
populasi, maka akan diperoleh informasi yang sesungguhnya, yang biasanya dikenal
dengan istilah parameter, sedangkan jika dilakukan penarikan sampel (mengumpulkan
data sebagian elemen dari suatu populasi) maka akan diperoleh hasil berupa data
pendugaan yang biasanya disebut statistik. Jadi statistik merupakan penduga dari
parameter. Tidak akan diketahui harga-harga parameter tersebut selama tidak
dilakukan observasi yang menyeluruh dan yang meliputi seluruh populasi itu. Untuk
itu diambil sampel yang representative dari populasi tersebut.
Dari data sampel yang diambil tersebut dapat diamati apakah mempunyai
hubungan atau berdampak terhadap peristiwa lain. Anggap kasus yang dipilih
perubahan harga suatu barang akan berpengaruh terhadap jumlah yang diminta bagi
barang tersebut, jumlah makanan yang diberikan pada ternak berhubungan dengan
berat badannya, dan sebagainya. Secara umum, perubahan nilai suatu variabel tidak
selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel lain yang
berhubungan dengan variabel tersebut. Perubahan nilai dua variabel lain yang
terbentuk dari hubungan dua variabel ini menunjukkan hubungan linear maupun
nonlinear. Untuk mengetahui pola perubahan nilai suatu variabel yang disebabkan
variabel lain diperlukan alat analisis yang memungkinkan untuk membuat perkiraan
nilai variabel tersebut pada nilai tertentu variabel yang mempengaruhinya. Untuk itu
digunakan selang kepercayaan.
1.2Perumusan Masalah
Menentukan persamaan regresi populasi berdasarkan regresi sampel yang diambil
dari parameter, melihat sejauhmana regresi sampel dapat mendekati nilai kebenaran
pada regresi populasi menggunakan selang kepercayaan dengan penaksir fuzzy.
Kemudian memprediksi selang kepercayaan tersebut pada multiple regresi.
1.3Tinjauan Pustaka
Multiple regresi banyak dibahas, beberapa permasalahan regresi dapat mencakup lebih
dari satu variabel bebas. Model-model regresi yang menggunakan lebih dari satu
variabel bebas disebut model regresi berganda. Regresi berganda adalah salah satu
teknik statistik yang digunakan secara luas.
Apabila variabel Y mempunyai hubungan linear dengan n buah variabel X,
Dengan :
Y = variabel dependent atau respon
X = variabel independent atau predictor
= konstanta yang merupakan titik potong kurva terhadap sumbu y
= kemiringan kurva linier
= nilai kesalahan
Pada model regresi linier, yaitu model regresi dimana nilai ekspektasi variabel
dependent berhubungan linier terhadap seluruh variabel independent. Misalnya untuk
kasus dimana variabel dependent Y, berhubungan dengan sepasang variabel
independent dan , digunakan untuk mewakili nilai
ekspektasi variabel dependent bila variabel independentnya mempunyai nilai dan
maka
Untuk memudahkan perhitungan notasi untuk diganti dengan a,b,c sehingga
diperoleh model matematika multiple regresinya adalah:
Untuk menghitung selang kepercayaan pada koefisien multiple regresi digunakan
distribusi t yaitu:
Dimana sehingga dengan tingkat kepercayaan 100(1- )%
maka:
Dengan tingkat kepercayaan 100(1- )%, maka rumus selang kepercayaan untuk a
Sedangkan rumus confident interval (1-a)100% untuk b yaitu
Dan rumus confident interval (1-a)100% untuk c yaitu
Dimana = nilai taksiran a, b, dan c.
Untuk memprediksi fuzzy digunakan model matematika multiple regresi fuzzy
sebagai berikut:
Dimana dengan merupakan bilangan fuzzy
merupakan bilangan real.
Nilai fuzzy untuk diperoleh dengan menggunakan alpha cuts yaitu:
Dan
1.4Tujuan Penelitian
Menguraikan cara untuk mendapatkan keputusan dengan menggunakan pendekatan
1.5Kontribusi Penelitian
Dengan diketahuinya bagaimana cara mendapatkan keputusan dengan penaksir fuzzy
pada multiple regresi, maka dapat dilihat sejauhmana koefisien multiple regresi
tersebut berada pada pengambilan keputusan. Disamping itu dengan memprediksi
selang kepercayaan tersebut diharapkan sebagai dasar pembuatan
keputusan/pemecahan persoalan ataupun untuk dasar penelitian lebih lanjut, untuk
mengetahui besarnya pengaruh dari setiap variabel bebas (yang tercakup dalam
persamaan) terhadap variabel tak bebas.
1.6Metode Penelitian
Membentuk persamaan multiple regresi dari jumlah deviasi kuadrat (regresi kuadrat
terkecil) menggunakan matriks dengan dua variabel bebas dan satu variabel terikat.
Berdasarkan matriks tersebut dihitung selang kepercayaan untuk setiap koefisien pada
multiple regresi yang kemudian digunakan sebagai penafsir fuzzy. Langkah terakhir
yaitu menghitung prediksi fuzzy pada multiple regresi dan mengambil kesimpulan
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Himpunan Fuzzy
Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara
jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang
tinggi, dan sebagainya. Pada himpunan orang tinggi, misalnya, tidak dapat ditentukan
secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak. Anggap didefinisikan bahwa
“orang tinggi” adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama dengan 1.75 meter,
maka orang yang tinnginya 1.74 meter menurut definisi tersebut termasuk orang yang
tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya 1.74 meter itu tidak termasuk
orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa memang batas antara kelompok orang tinggi
dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat ditentukan secara tegas.
Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu,
Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan nilai
keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan mengaitkan pada
interval [0,1]. Fungsi ini disebut fungsi keanggotaan (membership function) dan nilai
fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan tak kosong
Himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah generalisasi dari konsep fungsi
karakteristik. Dengan kata lain himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut :
Jika Ω sebarang himpunan tak kosong, himpunan fuzzy pada Ω adalah suatu fungsi
yang didefinisikan pada himpunan Ω yang bernilai pada interval [0,1]. Yang
dinotasikan dengan → [0,1].
Nilai pada x menyatakan nilai keanggotaan dari x pada Ω. Jika
menyatakan nilai keanggotaan yang hanya mengambil dua nilai yaitu 0 dan 1 ;
Dengan untuk
untuk
Maka fungsi seperti ini disebut fungsi karakteristik.
Secara matematis suatu himpunan fuzzy pada Ω dapat dinyatakam sebagai
himpunan pasangan terurut
Dimana adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur , yang merupakan suatu
pemetaan dari himpunan Ω ke selang tertutup [0,1]. Apabila himpunan Ω adalah
himpunan yang diskrit, maka fuzzy seringkali dinyatakan dengan
Dimana lambang ∑ disini tidak melambangkan operasi penjumlahan seperti yang
dikenal dalam aritmatika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur
bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan fuzzy .
Contoh 2.3 : Dalam himpunan Ω = { -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}, himpunan fuzzy
Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, yang biasanya tidak ditulis
dalam penyajian himpunan fuzzy diskrit.
2.1.1 Alpha-Cuts (α-cuts)
Suatu cara lain untuk menyatakan suatu himpunan fuzzy, yaitu dengan menggunakan
alpha-cuts. Alpha-Cuts adalah suatu himpunan yang nilai keanggotaannya lebih besar
atau sama dengan α dari suatu elemen anggota [0,1]. Himpunan seperti ini dinotasikan
dengan . Dan didefinisikan sebagai berikut:
Sedangkan alpha-cuts kuat dari himpunan fuzzy yaitu
Contoh 2.1.1: pada contoh 2.1, alpha-cuts dari dengan α = 0.5 adalah
, sedangkan alpha-cuts kuatnya adalah .
Pada himpunan fuzzy dapat direpresentasikan melalui kurva-kurva berikut:
a. Representasi Linear
Pada representasi linear, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan
sebagai suatu garis lurus. Ada dua keadaan himpunan fuzzy yang linear. Pertama,
kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan
nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat
Gambar 2.1 Representasi Linear Naik
Fungsi keanggotaan:
b. Representasi Kurva Segitiga
Kurva segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis (linear) seperti
terlihat pada gambar 2.2
Gambar 2.2 Representasi kurva segitiga
c. Representasi Kurva Trapesium
Kurva Trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa
titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.
Gambar 2.3 Kurva Trapesium
Fungsi Keanggotaan:
2.1.2 Bentuk Persamaan Regresi Fuzzy
Bentuk hubungan linear antara variable Y mempunayai hubungan dengan dua variable
bebas dan , maka model matematika multiple regresi fuzzy adalah :
Untuk dengan merupakan bilangan fuzzy dan merupakan
adalah penaksir bilangan fuzzy untuk rata-rata dari E(Y) diberikan untuk
dengan notasi .
Nilai baru yang diperoleh untuk untuk memprediksi nilai fuzzy yang baru
untuk E(Y) yaitu
Dan
Semua perhitungan fuzzy dilakukan menggunakan α-cuts dan interval aritmatik.
dan
Untuk semua dengan α-cuts adalah selang kepercayaan .
2.2 Metode Analisis Regresi
Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variable yang hubungannya tidak
dapat dipisahkan, dan hal tersebut biasanya diselidiki sifat hubungannya. Analisis
regresi adalah sebuah teknik statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan
diantara variable-variabel. Tahapan regresi terdiri dari 2 yaitu regresi sederhana dan
multiple regresi. Penerapannya dapat dijumpai secara luas di banyak bidang seperti
teknik, ekonomi, manajemen, ilmu-ilmu biologi, ilmu-ilmu social, dan ilmu-ilmu
pertanian. Analisis regresi berguna dalam menelaah hubungan dua variable atau lebih,
dan terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui
2.2.1 Regresi Linear Sederhana
Regresi linear sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan
matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variable dependent tunggal dengan
variable independent tunggal. Hubungan antara variable dependent dengan variable
independent ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai
berikut:
, untuk i = 1,2,…,n
Dengan : = variable terikat ke-i
= variable bebas ke-i
a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y)
b = kemiringan (slope) kurva linear
Diketahui hubungan antara dua (atau lebih) variable acak. Anggap kasus yang
dipilih adalah hubungan antara berat dan tinggi orang, hubungan antara tekanan dan
suhu udara, dan lain-lain. Untuk mendapatkan suatu persamaan antara dua variable X
dan Y, mula-mula dikumpulkan data (X,Y). Anggap X menyatakan tinggi dan Y berat
seorang pria dewasa, maka dipandang ( , masing-masing
pasangan bebas dan X serta Y didefinisikan pada ruang sampel yang sama, yaitu
kumpulan orang pria dewasa, yang sedang diselidiki.
2.2.2 Metode Kuadrat Terkecil
Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki
kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung , sedemikian sehingga
jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematika, maka
dinyatakan sebagai berikut:
Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung
sedemikian rupa sehingga = terkecil (minimum). Caranya ialah dengan membuat
turunan parsial (partial differensial) dari mula-mula terhadap kemudian
terhadap dan menyamakannya dengan nol.
…(2.1)
…(2.2)
Persamaan (2.1) dibagi dengan n
Sehingga
Sehingga
2.2.3 Regresi Kuadrat Terkecil
Metode ini didasarkan pada pemilihan sehingga meminimalkan jumlah
kuadrat deviasi titik-titik data dari garis yang dicocokkan.
Jumlah dari kuadrat deviasi (SSD) dari garis adalah
…(2.3)
Kemudian akan dipilih taksir sehingga jika taksiran ini disubstitusikan ke
dalam persamaan (2.3) maka jumlah deviasi kuadrat menjadi minimum. Dengan
mendeferensialkan persamaan (2.3) terhadap dengan menetapkan derivative
parsial yang dihasilkan sama dengan nol, diperoleh
…(2.4)
Dan karenanya
…(2.5)
Dari persamaan (2.5), diperoleh
Persamaan (2.6) disebut dengan persamaan normal. Dari persamaan (2.6) diperoleh
Dan , dimana dan adalah dan . dan yang
diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil masing-masing dari dan
. Dengan demikian, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai, ,
yang disebut persamaan prediksi kuadrat terkecil.
2.3 Selang Kepercayaan
2.3.1 Estimasi Tunggal
Suatu Estimasi tunggal pada sebuah parameter populasi adalah nilai tunggal numeric
pada sebuah statistik yang berhubungan dengan parameter tersebut. Estimasi tunggal
adalah sebuah pemilihan yang tunggal untuk sebuah nialai parameter populasi yang
tidak diketahui. Lebih jelasnya, jika X sebuah variable random dengan distribusi
probabilitas f(x), mempunyai parameter θ yang tidak diketahui, dan jika
sebuah sampel random yang besarnya n dari X, maka statistic
yang berhubunga dengan θ disebut estimator θ. Perhatikan bahwa estiamator adalah
sebuah variable random yaitu variable yang mempunyai harga dan probabilitas, karena
estimator tersebut merupakan sebuah fungsi data sampel. Setelah sampel dipilih,
2.3.2 Estimasi Interval
Dalam pengambilan sampel dari populasi, diharapkan memperoleh lebih banyak
pengetahuan mengenai populasi dari sampel besar relative dari pada sampel kecil.
Dalam prakteknya, pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan
gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai
sebenarnya. Itulah sebabnya sering digunakan pendugaan interval (selang), yaitu suatu
pendugaan berupa interval yang dibatasi dua nilai, yang disebut nilai batas bawah dan
nilai batas atas.
Untuk mendapatkan ukuran ketepatan suatu penaksir a dan b parameter θ yang
diestimasi, yang tidak diketahui nilainya, dengan didasarkan pada informasi sampel,
maka
Hal ini menunjukkan peluang selang a dan b memuat θ ialah 1-α. Penaksiran seperti
ini disebut panaksir selang (interval estimation) untuk θ dengan kepercayaan 1-α.
Misalnya θ adalah parameter yang akan diestimasi berdasarkan hasil penelitian
sampel. Untuk membuat pendugaan interval, harus ditentukan terlebih dahulu
besarnya koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan, yang diberi symbol 1-α.
Besarnya nilai 1-α, misalnya
atau angka lainnya.
2.3.3 Selang Kepercayaan pada Koefisien Multipel Regresi
( berdistribusi normal dengan mean dan varians ). merupakan
suatu distribusi dengan derajat kebebasan n-k. Sebab itu, dari definisi distribusi t
diperoleh :
Persamaan diatas merupakan distribusi t dengan derajat kebebasan n-k dimana
adalah elemen diagonal dari suatu matriks .
Untuk menguji hipotesis bahwa , ini menyatakan bahwa tidak
mempunyai hubungan linear terhadap Y, maka perhitungan uji statistiknya yaitu :
2.3.4 Prediksi Selang Kepercayaan pada Multiple Regresi
Salah satu tujuan dari estimasi hubungan pada multiple regresi yaitu memungkinkan
membuat prediksi dari (E(Y)). Andaikan kita mengharapkan nilai X pada periode
(n+1) ditunjukkan dengan vector kolom yaitu
Karena adalah predictor tak bias linear terbaik dari . Jadi predictor titik
tersebut yakni
karena
Dan varians dari adalah
Sehingga adalah berdistribusi normal yakni
Dengan distribusi t
Dimana
Merupakan distribusi t dengan derajat kebebasan (n-k). Oleh karena itu, dengan
tingkat kepercayaan sebesar 100(1-α)%, maka selang kepercayaan untuk
adalah
Sedangkan nilai sebenarnya adalah
Dimana menunjukkan nilai sebenarnya pada periode ramalan. Ketidaksesuaian
antara nilai ramalan dan nilai sebenarnya yaitu:
Sehingga didapat
E(d) = 0
Karena dan
Dan
Merupakan distribusi dengan derajat kebebasan (n-k). Oleh karena itu, dengan tingkat
BAB 3
PEMBAHASAN DAN HASIL
3.1 Multipel Regresi
Multiple regresi adalah analisa regresi yang meramalkan pengaruh dua variabel
predictor atau lebih terhadap satu variabel kriterum. Dapat juga digunakan untuk
membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsional antara dua buah variabel bebas
X atau lebih dengan sebuah variabel terikat Y.
Bentuk persamaan umum multiple regresi adalah
Keterangan:
= Persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida dalam
persen
= Aliran Udara dalam meter per sekon
= Suhu Air Pendingin dalam 0C
= Konsentrasi Asam dalam molar
Dengan metode ekspektasi kofaktor sepanjang kolom pertama dari A, maka diperoleh determinan A yaitu 6529439
adalah adj(A), sehingga
Persamaan multiple regresinya adalah:
42 80 27 89 40.74 1.26 1.59
37 80 27 88 41.06 -4.06 16.44
37 75 25 90 33.64 3.36 11.29
28 62 24 87 21.84 6.16 37.90
18 62 22 87 19.52 -1.52 2.30
18 62 23 87 20.68 -2.68 7.19
19 62 24 93 19.94 -0.94 0.88
20 62 24 93 19.94 0.06 0.003
15 58 23 87 17.12 -2.12 4.47
14 58 18 80 13.53 0.47 0.22
∑ 661 237 881 248 0.00 82.316
Penaksir adalah
Dimana
Maka
3.2 Penaksir fuzzy
Dapat diperlihatkan penaksir fuzzy yaitu selang kepercayaan untuk a,b,c,d. andaikan
. Dengan tingkat kepercayaan , maka selang
kepercayaan untuk a yaitu
Untuk adalah elemen pertama dari diagonal utama matriks A. kemudian selang
kepercayaan untuk b dengan tingkat kepercayaan yaitu
Untuk c yaitu
Dan untuk d yaitu
3.3 Contoh Kasus
Diasumsikan bahwa E(Y) merupakan fungsi linear dari , sehingga
.
Dimana menyatakan nilai ekspektasi variabel
dependent bila variabel independent mempunyai nilai spesifik dimana
Persamaan multiple regresi menjadi
Persamaan multiple regresi dasar untuk rata-rata Y adalah
Matriks
Dari matriks A diatas dapat dihitung , untuk mencari selang
kepercayaan yaitu
Dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, diperoleh:
. Dari tabel distribusi t, dengan dan derajat kebebasan sebesar
, diperoleh nilai
Selang kepercayaan untuk b:
Selang kepercayaan untuk c:
Selang kepercayaan untuk d :
3.4 Prediksi Fuzzy
Setelah menghitung penaksir fuzzy maka dapat dihitung prediksi fuzzy dengan
Untuk menghitung prediksi E(Y) dua tahun ke depan, diasumsikan nilai
pada bulan ke 11 dan 12 yaitu dan .
dari telah dihitung yaitu ,
, dan . Dengan –
, maka dihitung:
Sehingga selang kepercayaan untuk . Yang
berarti bahwa prediksi fuzzy untuk Y(E) yaitu persentase NH3 yang hilang karena
melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke 11 terletak diantara interval
sampai dengan .
Untuk bulan ke 12 dengan diperoleh
Selang kepercayaan untuk . Yang
berarti bahwa prediksi fuzzy untuk Y(E) yaitu persentase NH3 yang hilang karena
melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke 12 terletak diantara interval
sampai dengan .
Selang kepercayaan untuk E(Y) dengan tingkat kepercayaan 99%
Andaikan diharapkan nilai x pada bulan ke 11 yaitu
Maka selang kepercayaan untuk E(Y) yaitu :
Jadi selang kepercayaan untuk . Yang berarti bahwa
melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke 11 terletak di interval sampai
dengan .
Pada bulan ke 12 dengan ditunjukkan dengan
vector kolom sebagai berikut:
Jadi selang kepercayaan untuk . Yang berarti bahwa
dengan tingkat kepercayaan 99%, rata-rata persentase NH3 yang hilang karena
melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke12 terletak di interval sampai
dengan
Selang kepercayaan untuk nilai y dengan tingkat kepercayaan 99%
Untuk periode bulan 11
Jadi prediksi selang kepercayaan untuk . Yang berarti
bahwa dengan tingkat kepercayaan 99% prediksi persentase NH3 yang hilang karena
melepaskan diri dari nitrit oksida pada periode bulan ke 11 di interval sampai
dengan
Jadi prediksi selang kepercayaan untuk ). Yang berarti bahwa
dengan tingkat kepercayaan 99% prediksi persentase NH3 yang hilang karena
melepaskan diri dari nitrit oksida pada periode bulan ke 12 terletak di interval
sampai dengan
Hasil diatas dapat dilihat pada tabel di bawah ini
Selang Kepercayaaan
99% CI untuk E(Y)
99% CI untuk y
CI pada tabel di atas merupakan confidence interval atau selang kepercayaan.
Dari penjelasan di atas diperoleh bahwa:
1. Untuk E(Y) dengan tingkat kepercayaan 99% adalah himpunan bagian dari
untuk 2 bulan yaitu dan
.
2. Untuk nilai y dengan tingkat kepercayaan 99% juga termuat dalam interval
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka
dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
1. Persamaan multiple regresi linear dengan menggunakan matriks :
Diperoleh hasil
2. Dengan menggunakan penaksir fuzzy, selang kepercayaan untuk a adalah
, sedangkan untuk kepercayaan untuk b berada
dalam interval , selang kepercayaan untuk c berada dalam
interval . Dan selang kepercayaan untuk d berada dalam
interval .
3. Alpha-cuts merupakan salah satu cara baru yang dapat digunakan untuk
memprediks selang kepercayaan pada multiple regresi.
4. Prediksi fuzzy dapat menggambarkan secara luas selang kepercayaan
4.2 Saran
Untuk mencari koefisien multiple regresi pada persamaan regresi dapat menggunakan
matriks karena jauh lebih mudah perhitungannya bila dibandingkan dengan
perhitungan biasa.
Dan diharapkan persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida
DAFTAR PUSTAKA
1. Adiningsih, Sri, 1993. Statistika. Yogyakarta: BPFE.
2. Arnord, F. Shapiro. 2005. Journal: Fuzzy Regression Models. Penn State University.
3. Buckley, James J. 2006. Fuzzy Probability and Statistic. New York: SpringerVerlag.
4. Dudewicz, J. Edward. 1995. Statistika Matematika Modern. Bandung.
5. Frans Susilo, SJ. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta:
Graha Ilmu.
6. H. F Wang. 2000. Fuzzy Sets Theories and it’s Application. Chapter 9-21.
7. Johnston, J. 1972. Econometric Methods. Second Edition. Japan: McGrawHill.
8. K. Pal, Sankar. Dutta Mujumder, Dwijesh K. 1989. Fuzzy Pendekatan Matematik
Untuk Pengenalan Pola. Universitas Indonesia (UI-Press).
9. Samuel, S. Wilks. 1962. Mathematical Statistic. New York : John Wiley and Sons, Inc
10.Supranto, J. 2001. Statistik: Teori dan Aplikasi. Jakarta: Erlangga.
11.Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat: Arti dan Interpretasi. Yogyakarta: Rineka
Cipta.
12.Usman Husaini, Setiady R. Purnomo. 2008. Pengantar Statistika. Jakarta: PT. Bumi
Angkasa.
13.Weisberg, Sanford. 2005. Applied Linear Regression. Canada: John wiley and Sons
