i
ESTIMATOR PARAMETER
TERBAIK PADA
DISTRIBUSI
-STABLE
skripsi
disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
oleh Putut Mitasarhi
4111409016
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
ii
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya akan bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan perundang-undangan.
Semarang, 22 Juli 2013
iii
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul
Estimator Parameter Terbaik pada Distribusi -Stable disusun oleh
Putut Mitasarhi 4111409016
telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA UNNES pada tanggal 22 Juli 2013.
Panitia:
Ketua Sekretaris
Prof. Dr. Wiyanto, M. Si. Drs. Arief Agoestanto, M. Si. NIP 19631012 198803 1001 NIP 19680722 199303 1005 Ketua Penguji
Putriaji Hendikawati, S.Si., M.Pd., M.Sc. NIP 19820818 200604 2001
Anggota Penguji/ Anggota Penguji/
Pembimbing Utama Pembimbing Pendamping
iv
MOTTO DAN PERSEMBAHAN
Motto:
Peluang berhasil tercipta dari mencoba. Persembahan:
Orang tua terhebat dalam hidupku Subandi dan Sujiati, terima kasih atas segalanya.
Wiwik, Santoso, Agus, Ana, kakak-kakak terbaik yang Allah SWT kirimkan untukku, terima kasih seluruh dukungannya.
Frestika, Ratnaningtyas, sahabat terbaik yang Allah SWT perkenalkan padaku.
Kyuhyun, yang telah mengajarkan arti perjuangan untukku.
v
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirobil’alamin, puji syukur atas kehadirat Allah SWT yang
telah melimpahkan berkah serta hidayah-Nya kepada penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Sholawat serta salam semoga senantiasa tercurah kepada suri teladan yang mulia, Nabi Muhammad SAW yang telah memberikan tuntunan yang bijaksana untuk umat manusia umumnya dan pada penulis khususnya.
Terselesaikannya skripsi ini, merupakan sebuah usaha dan perjuangan yang berlandaskan keteguhan, kesabaran, dan keikhlasan. Terima kasih atas kemurahan dari kekuasaan-Nya yang tidak tertandingi oleh apapun dan siapapun.
Penyusunan skripsi ini tidak terlepas dari berbagai pihak yang dari awal hingga akhir memberikan segenap dukungan, baik moral dan spiritual. Hanya ucapan terima kasih yang bisa penulis haturkan kepada pihak-pihak yang selalu memberikan dukungan tenaga, pikiran, dan semangat.
1. Prof. Dr. Fathur Rokhman, M.Hum., Rektor Universitas Negeri Semarang. 2. Prof. Dr. Wiyanto, M.Si., Dekan Fakultas MIPA Universitas Negeri
Semarang.
3. Drs. Arief Agoestanto, M.Si., Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang.
4. Dra. Kristina Wijayanti, M.S., Ketua Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang.
vi
kepada penulis dari awal penyusunan sampai akhir selesainya skripsi ini. Mohon maaf jika selama ini banyak sikap yang kurang berkenan di hati Ibu dan Bapak.
6. Iqbal Kharisudin, S.Pd., M.Sc. Terimakasih atas bimbingan, inspirasi dan semangat yang telah Bapak bagikan kepada penulis, sehingga semua ini bisa tercapai dengan maksimal.
7. Seluruh Dosen di Fakultas MIPA Universitas Negeri Semarang yang telah membagikan banyak ilmu tentang berbagai hal kepada penulis.
8. Bapakku Subandi dan Ibuku Sujiati yang selalu memberikan kekuatan dan inspirasi untuk tetap berjuang.
Berbagai saran maupun kritik demi penyempurna lebih lanjut atas penelitian pengembangan skripsi ini sangat diharapkan oleh penulis. Semoga memberi manfaat bagi penulis dan bagi pembaca.
Semarang, 22 Juli 2013
vii
ABSTRAK
Mitasarhi, Putut. 2013. Estimator Parameter Terbaik pada Distribusi -Stable.
Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing I: Dr. Scolastika Mariani, M.Si., Pembimbing II: Drs. Wuryanto, M.Si.
Kata Kunci: estimasi parameter distribusi stable, mean squared error, estimator Hint, estimator Hill, estimator McCulloch
Kegagalan distribusi normal dalam menangani salah satu masalah yaitu kerugian ekstrim pada indeks saham yang terjadi menyebabkan konsekuensi yang cukup besar dalam menjalankan bisnis dalam dunia finansial dan khususnya untuk penilaian resiko. Solusi untuk menangani masalah tersebut adalah dengan mengganti distribusi normal dengan keluarga distribusi -stable. Sebagai awal dalam mengasumsikan bahwa sekumpulan data tersebut merupakan salah satu wujud dari keluarga distribusi -stable, maka perlu diketahui nilai indeks stabilitas dari sekumpulan data, selain untuk mengetahui ketebalan suatu ekor, dapat digunakan untuk mengindikasikan kemungkinan dari kenjadian-kejadian ekstrem, menunjukkan keberadaan momen yang paling maksimal dari suatu data dan membantu memilih pengujian statistik yang tepat untuk sekumpulan data tersebut.
Pembahasan kali ini berpusat pada bagaimana menentukan estimator parameter terbaik pada distribusi stable dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum. Tiga estimator yang dipakai adalah estimator Hill, estimator Hint, dan estimator McCulloch, melalui simulasi data random hasil pembangkitan dengan dengan masing-masing ukuran sampel
, ditentukan nilai MSE minimum untuk masing-masing
viii
2.1Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang ... 10
2.1.1 Fungsi Distribusi ... 10
2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang ... 11
2.2Fungsi Karakteristik ... 15
ix
2.3.1 Distribusi Normal ... 18
2.3.2 Distribusi Normal Standar ... 23
2.3.3 Distribusi Cauchy Standar ... 26
2.3.4 Distribusi Cauchy ... 29
2.4 Distribusi Stable ... 30
2.5 Estimator ... 57
2.5.1 Estimator Parameter ... 57
2.5.1.1 Estimator Hill ... 57
2.5.1.2Estimator McCulloch ... 58
2.5.1.2.1 Estimasi untuk dan ... 58
3.5Prosedur Penelitian ... 72
3.6Penarikan Kesimpulan ... 73
4. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 74
4.1Simulasi dan Hasil Analisis... 74
4.1.1 Fungsi Penghitung Estimasi di Rstudio ... 74
4.1.2 Pembangkit Data ... 74
4.1.3 Simulasi Data Hasil Bangkitan ... 77
4.1.3.1Simulasi untuk Estimator McCulloch ... 77
4.1.3.2Simulasi untuk Estimator Hill ... 77
4.1.3.3Simulasi untuk Estimator Hint ... 79
4.1.4 Analisis Hasil Simulasi ... 80
x
5. PENUTUP ... 84
5.1Simpulan ... 84
5.2Saran ... 84
DAFTAR PUSTAKA ... 86
xi
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
xii
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
2.1 Koefisien untuk Perpotongan ̂ ... 61
2.2 Interface R Studio ... 63
2.3 Bagian Menu Utama ... 64
2.4 Jendela Dokumen ... 64
2.5 Jendela Console ... 65
2.6 Jendela Workspace dan History ... 65
2.7 Jendela Files, Plots, Packages, dan Help ... 66
4.1 Jendela Packages Berisi Package stabledist ... ... 75
4.2 Script generating.R ... 75
4.3 Jendela Workspace R studio ... 76
4.4 Plot Garis dan Histogram ... 76
4.5 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator McCulloch ... 77
4.6 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hill ... 78
4.7 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hill ... 79
4.8 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hint ... 79
xiii
xiv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran Halaman
1. Tabel McCulloch... 90
2. Plot Garis dan Histogram Data Random Berdistribusi Stable Hasil Bangkitan... 93
3. Daftar Nilai ̂, MSE untuk Data Random Berditribusi Stable... 115
4. MSE Parameter untuk Masing-masing Estimator ... 126
5. Script Membangkitkan Data Random Berdistribusi Stable ... 128
6. Script Fungsi Estimator untuk Simulasi ... 129
7. Script Fungsi Estimator ... 136
1
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Salah satu topik terpenting dalam statistika adalah masalah distribusi. Permasalahan distribusi telah diajarkan namun hanya terbatas untuk beberapa model distribusi seperti distribusi binomial, poisson, gamma, chi-kuadrat, cauchy, dan normal. Dalam kehidupan nyata, distribusi normal adalah salah satu distribusi yang popular digunakan.
Kenyataannya ada kalanya terdapat data-data yang berfluktuasi tinggi. Grafik data tersebut berupa grafik heavy-tail dan sering dijumpai dalam permasalahan finansial, pemrosesan signal, telekomunikasi, kimia, fisika, dan biologi (misal dalam Zolotarev (1986)).
Data dengan karakteristik, grafiknya berupa grafik heavy-tail dengan puncaknya berada di sekitar pusat dikatakan berdistribusi Leptokurtik. Kelas distribusi yang penting dalam konteks ini adalah distribusi stable, yang merupakan kelas yang fleksibel untuk memodelkan data.
Sekitar tahun 1920 sampai 1930, teori distribusi stable univariat mulai dikembangkan oleh Paul Levy dan Aleksander Yakovlevich Khinchine, disusul oleh Gnedenko & Kolmogorov (1954), Feller (1971), Zolotarev (1986), dan Sato (1999).
lingkup lain statistika. Lebih lengkapnya dapat dilihat dalam Mandelbrot (1963), Paulson et al., (1975), Nolan (2001), tidak hanya sebatas itu masalah kekinian tentang penggunaan distribusi stable dapat diperiksa dalam Burnecki et al., (2008) yang berhasil menunjukkan bahwa proses FARIMA dengan -stable noise dapat menyediakan suatu alat stokastik baru untuk mempelajari fenomena letupan matahari dalam kerangka kerja dari pemecahan persamaan Langevin, dalam bidang finansial Burnecki et al., (2011) membicarakan tentang logaritma return
dari index Hang Seng mulai 2 Januari 1987 sampai 14 November 2005, secara statistik menyerupai suatu barisan independen yang identik dengan variabel random berdistribusi Levy stable.
Penelitian aplikasi distribusi stable dalam permasalah finansial dibahas dalam Frain (2009). Kegagalan distribusi normal dalam menangani salah satu masalah yaitu kerugian ekstrim pada indeks saham yang terjadi menyebabkan konsekuensi yang cukup besar dalam menjalankan bisnis dalam dunia finansial dan khususnya untuk penilaian resiko. Solusi untuk menangani masalah tersebut adalah dengan mengganti distribusi normal dengan keluarga distribusi -stable. Dalam penelitiannya diungkapkan bahwa distribusi -stable memiliki beberapa keistimewaan yang mengakibatkan distribusi -stable menjadi model yang menarik untuk permasalahan keuntungan, yaitu:
1. memungkinkan seseorang untuk memperhitungkan frekuensi garis besar nilai-nilai ekstrim,
2. memungkinkan seseorang untuk memodelkan kemiringan dalam data. Apakah nilai-nilai negatif yang ekstrim lebih mungkin dibandingkan positif ekstrim?,
4. distribusi -stable menggantikan distribusi normal seperti yang diketahui sebagai generalisasi teorema limit pusat, dan
5. dalam beberapa kasus seseorang bisa memodelkan keuntungan sebagai suatu distribusi -stable dengan memeriksa nilai ekstrim atau mengurai nilai ekstrim melalui beberapa proses.
Wang et al., (2008) membahas pengembangan Constant False Alarm Rate
(CFAR) algoritma deteksi kapal pada citra radar apertur sintetik pesawat ruang angkasa (SAR) berdasarkan model distribusi -stabel. Algoritma CFAR menggunakan model distribusi normal untuk menggambarkan karakteristik statistik dari suatu gejolak citra SAR. Seperti gelombang air laut dalam citra SAR menunjukkan karakteristik runcing atau heavy-tail, distribusi normal sering gagal untuk menggambarkan gelombang air laut. Distribusi -stable digunakan untuk menggantikan distribusi normal yang banyak digunakan dalam pemrosesan sinyal impulsif untuk menggambarkan gelombang air laut dalam pencitraan SAR.
Model distribusi stable merupakan generalisasi dari beberapa model distribusi yang telah dikenal, selain distribusi normal, distribusi cauchy juga merupakan anggota dari distribusi stable. Distribusi normal yang merupakan salah satu kasus khusus dalam distribusi stable terjadi ketika nilai parameter dan
sehingga dapat dituliskan ( ). Sedangkan untuk distribusi cauchy terjadi ketika nilai parameter dan , dapat dituliskan
terjadi ketika nilai parameter dan , kemudian distribusi menurun yang berbentuk untuk suatu .
Distribusi suatu variabel random biasanya digambarkan dengan menggunakan bentuk fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dan fungsi pembangkit momennya. Namun dalam distribusi stable bentuk fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi kumulatif dan momen ke-2 nya tidak diketahui dengan pasti. Jadi untuk dapat mengenali distribusi stable diberikan suatu fungsi yang disebut fungsi karakteristik. Oleh sebab itu fungsi karakteristik dapat dijadikan jalan untuk menggambarkan suatu variabel random karena eksistensi dari fungsi karakteristik selalu ada.
Meskipun bentuk fungsi kepadatan peluang dari distribusi stable tidak diketahui secara pasti kecuali untuk kasus khusus, Zolotarev (1964) berusaha menyajikan perhitungan tentang distribusi stable dan fungsi kepadatannya dengan menggunakan gambaran integral yang baik. Kemudian DuMouchel (1971) menyajikan tabulasi fungsi distribusi untuk dengan
. Sebelumnya Fama and Roll (1968) telah mampu
menyajikan tabulasi untuk dengan . Tabulasi dan grafik dari fungsi kepadatan untuk dan
disajikan oleh Holt dan Crow (1973).
Distribusi stable memiliki empat parameter yaitu indeks stabilitas (index of
stability) yang menyatakan ketebalan ekor dari distribusi (dimana nilai
parameter skala (scale parameter) , dan parameter lokasi (location
parameter) .
Paolella (2001) dalam penelitiannya menyebutkan bahwa dengan mengetahui nilai indeks stabilitas dari sekumpulan data, dapat memberikan keuntungan yaitu dapat menjadi suatu alasan penting untuk mengasumsikan bahwa sekumpulan data tersebut merupakan wujud dari salah satu keluarga distribusi yang memiliki domain of attraction dalam ekor yang sama. Seperti dalam data finansial, Stable Paretian, Pareto, dan, untuk tingkat kebebasan yang
cukup kecil, Student’t dan generalisasi t (dalam McDonald & Newey (1988),
Bollerslev et al., (1994)) yang menunjukkan tipe ekor Pareto. Selain untuk mengetahui ketebalan suatu ekor, dapat digunakan untuk mengindikasikan kemungkinan dari kenjadian-kejadian ekstrem, menunjukkan keberadaan momen yang paling maksimal dari suatu data dan membantu memilih pengujian statistik yang tepat untuk sekumpulan data tersebut. Jadi, untuk dapat melakukan hal tersebut dibutuhkan suatu estimator ekor.
dilakukan oleh Paulson et al., (1975), Koutrouvelis (1980), Kogon & Williams (1998), Feuerverger & McDunnough (1981). Ada pula yang mengusulkan metode likelihood empiris. Metode ini awalnya diperkenalkan oleh Owen (1988, 1990) untuk membangun konstruksi interval kepercayaan nonparametrik dan kemudian dikembangkan untuk estimasi masalah persamaan dilakukan oleh Qin & Lawless (1994). Hill (1975) mengusulkan estimator grafik untuk indeks yang dikenal sebagai estimator Hill ̂ . Mittnik dan Paolella (1999) memperbaiki kekurangan-kekurangan yang ada dalam estimator Hill ̂ dan estimator McCulloch ̂ sehingga tercipta estimator baru yang disebut estimator Hint
̂ .
Nilai estimasi dari suatu parameter untuk setiap estimator berbeda-beda, namun untuk menentukan nilai estimasi parameter terbaik dari beberapa estimator dapat menggunakan beberapa kriteria yang telah diperkenalkan misal Unbias, Efisiensi, Mean Squared Error, dan Best Linear Unbiased Estimator.
Mittnik dan Paolella (1999), menunjukkan bahwa untuk dengan ukuran sampel dan pada kasus distribusi Stable yang simetris yaitu dan , ̂ hampir sempurna simetris bias untuk seluruh rentang yang dipertimbangkan, dengan pengecualian . Dibandingkan ̂ , ̂ unggul dalam hal bias dan varian.
Error (MSE). Estimator yang digunakan adalah estimator McCulloch, estimator Hill, dan estimator Hint.
1.2 Rumusan Masalah
Permasalahan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Bagaimana menentukan estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum?
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Untuk menentukan estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum.
1.4 Manfaat Penelitian
Melalui tulisan ini diharapkan dapat memberikan kontribusi dalam pengenalan dan pemahaman tentang model distribusi stable, karena model distribusi stable sendiri memberikan ruang yang lebih luas dalam penggunaannya sehingga mampu memberikan solusi lain dalam penyelesaian suatu masalah statistika dalam kehidupan nyata.
1.5 Sistematika Penulisan
10
BAB 2
LANDASAN TEORI
Dalam bab ini dipaparkan berbagai teori pendukung berkaitan dengan fungsi kepadatan peluang, fungsi distribusi, fungsi karakteristik, distribusi normal, distribusi cauchy dan distribusi stable.
2.1 Fungsi Distribusi dan Fungsi Kepadatan Peluang 2.1.1 Fungsi Distribusi
Untuk suatu variabel random , didefinisikan himpunan fungsi
. Maka adalah fungsi peluang karena untuk setiap ,
, dan jika dengan ( ) .
Jelas ( ) , yang juga setiap pasangannya disjoin dan (⋃ )
⋃ . Oleh karena itu
⋃
⋃
⋃( )
∑ ( )
∑ ( )
disebut sebagai distribusi peluang dari variabel random . Dengan memilih menjadi , dipunyai
. Dari sini didefinisikan fungsi yang disebut sebagai fungsi distribusi dari . Jadi bila diketahui maka dapat ditentukan nya dan berlaku sebaliknya (Roussas, 2003:33-34).
Fungsi distribusi dari variabel random memiliki beberapa sifat dasar, yaitu:
Sifat 2.1.1. (Roussas, 2003:34)
(i) untuk setiap ;
(ii) fungsi tak turun;
(iii) kontinu dari kanan; dan
(iv) .
2.1.2 Fungsi Kepadatan Peluang
Dipunyai variabel random diskrit dan ambil nilai . Pilih
{ } dan pada himpunan definisikan fungsi dengan ( )
({ }). Selanjutnya, perpanjang atas seluruh dengan menetapkan untuk . Kemudian untuk setiap , jelas bahwa
∑ ( ) untuk . Khususnya, ∑ ( )
∑ ( ) . Dalam Roussas (2003), fungsi yang telah
Dengan memilih untuk suatu , dipunyai
∑ ( ). Misalkan dipunyai titik . ( ) ( ) ( )
(2.1)
dengan .
Dipunyai variabel random kontinu, pilih semua nilai dalam interval (berhingga ataupun tidak berhingga) dalam , sehingga dengan
. Dipunyai sifat ∫ . Khususnya,
∫
(2.2) Jika tidak semuanya elemen , perpanjang dari dengan mengatur
untuk . Jadi untuk semua , dan
∫ . Berakibat ∫ dan khususnya,
∫ ∫
(2.3) Fungsi dengan sifat: untuk semua dan
∫ , merupakan fungsi kepadatan peluang dari variabel random
(Roussas, 2003:34-36).
Dalam Hogg & Craig (1978:23) fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.1.2. Dipunyai dinotasikan sebagai suatu variabel random dengan
titik-titik yang berhingga dalam setiap interval berhingga. Misalkan himpunan
disebut himpunan titik-titik diskrit. Dipunyai fungsi dengan
, dan
∑
Bagaimanapun peluang dengan , dapat dinyatakan dalam bentuk
sebagai berikut.
∑
Dipunyai himpunan berdimensi satu yaitu sehingga integral Riemann
∫
dengan , dan memiliki paling banyak suatu bilangan
berhingga kontinu dalam setiap interval berhingga yang merupakan subset dari
. Jika merupakan ruang variabel random dan jika peluang ,
dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut.
∫
Maka disebut fungsi kepadatan dari variabel random .
Dalam Aunon & Chandrasekar (1997), fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai turunan dari fungsi distribusi untuk kontinu.
Jika variabel random diskrit maka fungsi kepadatan peluang didefinisikan sebagai
Maka fungsi distribusi dari dinyatakan sebagai
Jadi
berakibat merupakan fungsi kontinu dari .
Jelas
Kuantil ke- dari yaitu adalah penyelesaian yang unik untuk ( )
. Karena terdapat secara unik yang memenuhi persamaan ( ) , berakibat . Jadi
2.2 Fungsi Karakteristik
Berawal dari suatu tranformasi integral yang dijelaskan dalam Lukacs (1970) yaitu Integral Lebesgue-Stieltjes yang didefiniskan dengan
∫
(2.8) Kondisi untuk menentukan adanya integral ini tentu sangat penting. Ada beberapa kemungkinan pilihan untuk .
1. .
2. | | .
3. .
4. .
5. .
Dalam kasus 4, 5, dan 6 parameter adalah suatu nilai real dan variabel kontinu.
Transfomasi 1, 2, dan 3 mentransformasikan fungsi distribusi kedalam suatu barisan (dengan syarat integralnya ada).
∫
(2.9) disebut sebagai aljabar momen ke- dari atau lebih singkatnya momen ke-dari . fungsi variabel real . Fungsinya adalah
∫
memiliki lompatan pada bilangan bulat tak negatif. Dari kasus ini diperoleh fungsi bulat tak negatif). Fungsi pembangkit peluang diperkenalkan oleh Laplace, fungsi ini jarang digunakan.
Substitusi 6 dalam persamaan 2.8. Diperoleh
∫
(2.14) Transformasi ini yang disebut sebagai fungsi karakteristik fungsi distribusi .
Dalam Uchaikin dan Zolotarev (1999:69), didefinisikan fungsi karakteristik sebagai berikut:
Definisi 2.2.1. Fungsi bernilai kompleks
(2.15)
disebut sebagai fungsi karakteristik dari variabel real .
∫
Zwilinger dan Kokoska (1957) fungsi karakteristik variabel random
dengan parameter dalam hal ini merupakan mean (rataan) dan parameter merupakan standard deviasi dinyatakan sebagai berikut.
Stone (1996:148) menyatakan fungsi kepadatan peluang variabel random
| |
dan
∫ | |
Untuk menilai integral , perhatikan dan bahwa dituliskan sebagai:
∫ ∫
Misal dan , diperoleh
∫ ∫
∫
Berakibat √ dan
∫
√ ∫
∫
√
Diperkenalkan variabel integrasi , dengan
memenuhi syarat untuk menjadi fungsi kepadatan peluang dari suatu variabel random bertipe kontinu. Variabel random bertipe kontinu yang memiliki fungsi kepadatan peluang disebut berdistribusi normal (dalam Hogg dan Craig (1978)).
Selanjutnya menentukan fungsi pembangkit momen untuk distribusi normal.
∫
Jelas
[ ( )]
[ ( )]
( )
( )
Jadi
.
Jelas
[ ( ) ]
[ ( )]
( )
( )
Jadi
Jadi dapat dituliskan dengan merupakan mean dan merupakan varian.
2.3.2 Distribusi Normal Standar
Jelas
Kelebihan distribusi normal didukung dengan keberadaan teorema limit pusat, dalam Roussas (2003:210) dinyatakan sebagai berikut.
Teorema 2.3.1. Dipunyai variabel random yang saling bebas stokastik
dengan berhingga dan positif berhingga, dan dipunyai ̅ rataan sampel
2.3.3 Distribusi Cauchy Standar
Zwilinger dan Kokoska (1957) menyatakan bahwa jika dan
saling independen, maka distribusi dari memiliki fungsi
kepadatan peluang
disebut sebagai distribusi cauchy standar dinyatakan sebagai Bukti.
Dipunyai dan saling independen. Misal
Jelas variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang
√
Jelas variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang
√
Jelas fungsi kepadatan peluang bersama dari dan adalah
√ √
Berdasarkan transformasi , dengan invers transformasi
| |
Jelas
∫
∫| |
kasus
∫
∫
∫ ( )
∫ ( )
∫ ( )
( ( )| )
∫
2.3.4 Distribusi Cauchy
Dalam Zwilinger dan Kokoska (1957) fungsi karakteristik variabel random
dengan merupakan parameter lokasi dan parameter skala
dinyatakatan sebagai:
| |
Zwilinger dan Kokoska (1957) menyatakan bahwa jika ,
maka distribusi dari variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang
( )
disebut sebagai distribusi cauchy dan dinyatakan sebagai . Bukti.
Dipunyai , . Misal .
Jelas variabel random memiliki fungsi kepadatan peluang
Berdasarkan Teorema 3.2.3 diperoleh
( )
( )
untuk
Dalam Zwilinger dan Kokoska (1957), distribusi cauchy tidak memiliki fungsi pembangkit momen, mean, maupun varian.
2.4 Distribusi Stable
Ada beberapa definisi yang memberikan gambaran tentang distribusi stable, yaitu:
Definisi 2.4.1. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:1) Variabel random dikatakan
berdistribusi Stable jika untuk setiap bilangan positif dan , terdapat bilangan
positif dan bilangan real sehingga
(2.18)
Dimana dan independent copies dari , dan menyatakan persamaan
dalam distribusi.
Terdapat beberapa macam distribusi stable seperti stable mutlak (strictly
stable) dan stable simetri (symmetric stable). Variable random dikatakan strictly
stable jika pada Definisi 2.4.1 terjadi dengan nilai . Variable random stable
memiliki distribusi yang sama. Variable random stable simetris dipastikan dia stable mutlak.
Teorema 2.4.2 (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:2) Untuk setiap variable random
stable , terdapat suatu bilangan sehingga bilangan dalam Definisi
2.4.1 memenuhi
(2.19) Bukti di Feller (1971), Section V1.1.
Dalam Teorema 2.4.2 muncul suatu nilai yang kemudian disebut sebagai index stabilitas atau eksponen karakteristik. Suatu variable random stable
dengan index selanjutnya disebut -stable.
Definisi 2.4.3. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:3) Suatu variable random
dikatakan berdistribusi stable jika untuk setiap , terdapat bilangan positif
dan bilangan real sehingga
(2.20)
dengan independent copies dari .
Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3 saling ekivalen. Untuk menunjukkannya dari Definisi 2.4.1 ke Definisi 2.4.3, dilakukan induksi. Untuk bukti sebaliknya ada di Feller (1971), SectionV1.1.
Definisi 2.4.4. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:5) Suatu variable random
dikatakan berdistribusi stable jika memiliki suatu domain of attraction, atau bisa
bebas stokastik dan suatu deret bilangan positif dan bilangan real ,
sehingga
⇒
(2.21)
⇒ menunjukkan kekonvergenan dalam distribusi.
Definisi 2.4.3, dan Definisi 2.4.4 saling ekivalen.
Definisi 2.4.5. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:5) Suatu variable random Fungsi karakteristik Definisi 2.4.5 dapat dituliskan
Fungsi tak kontinu pada dan . Fungsi karakteristik yang berbentuk
[ ( | | ) ]
(2.24)
dengan
{ | |
| |
{
adalah suatu fungsi yang kontinu bersamaan di dan (Samorodnitsky dan Taqqu, 1994:7).
Fungsi Karakteristik di atas merupakan salah satu alat yang digunakan untuk mengidentifikasi bahwa suatu variabel random berdistribusi stable. Distribusi stable dengan varian berhingga merupakan distribusi normal.
Kepadatan peluang variabel random -stable ada dan kontinu dengan beberapa pengecualian, mereka tidak diketahui bentuk terdekatnya (Zolotarev, 1986). Distribusi yang telah dipelajari dan merupakan kasus khusus distribusi stable yaitu:
1. distribusi normal , dengan kepadatan peluangnya berbentuk
merupakan fungsi kepadatan peluang dari distribusi cauchy dengan parameter dan .
Selain dua distribusi di atas, ada distribusi lain yang merupakan kasus khusus dari distribusi stable, yaitu sebagai berikut.
Bukti. Kasus
( [ ( )])
| | | |
| |
Kasus
( [ ( )])
| | | | | |
| | [ | | ]
disebut parameter geseran (shift parameter).
Sifat 2.4.7. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Dipunyai dan
suatu konstanta real. Maka .
Bukti. Kasus
( [ ( )])
| |
| |
| |
Kasus
( [ ( )])
| | (
| | )
| | ( | | )
Sifat 2.4.8. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Dipunyai dan suatu konstanta real tak nol. Maka
| |
(| | | | )
(2.25) Bukti.
Kasus
( [ ( )]) | |
| | | |
Kasus
( [ ( )]) | | ( | | )
| | | | ( | || | )
disebut parameter skala (scale parameter).
Sifat 2.4.9. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) Untuk suatu ,
Bukti. Kasus
(i) Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ ”, benar. Dipunyai .
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
(| | ( ) )
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ⇒ ”, benar.
(ii) Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ ”, benar. Dipunyai .
Jelas .
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
(| | ( ) )
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ⇒ ”, benar.
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ”,
benar.
Kasus
Dipunyai .
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
(| | ( ) | | )
( )
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ⇒ ”, benar.
(ii) Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ ”, benar. Dipunyai .
Jelas .
Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
| | ( ) | |
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ⇒ ”, benar.
Jadi terbukti bahwa pernyataan “ ”, benar.
disebut parameter kemiringan (skewness parameter).
Sifat 2.4.10. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:11) simetri jika dan
hanya jika dan . simetri terhadap jika dan hanya jika .
Ditunjukkan pernyataan “ ”, benar
dan “ simetris terhadap ”, benar.
(i) Ditunjukkan pernyataan “ ”, benar.
a) Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ ”,
benar.
Dipunyai .
Jelas simetris jika dan berdistribusi sama atau . Berdasarkan Sifat 4.1.8 diperoleh
kasus
(| | ( ) )
kasus
(| | ( ) | | )
( )
Jadi terjadi ketika dan .
Jadi terbukti pernyataan “ simetris ⇒ ”, benar. b) Ditunjukkan pernyataan “ dan ⇒ simetris”, benar.
Dipunyai , . Jelas .
Jadi diperoleh atau dengan kata lain simetris.
Jadi terbukti pernyataan“ dan ⇒ simetris”, benar.
Jadi terbukti pernyataan “ ”, benar.
(ii) Ditunjukkan pernyataan “ simetri terhadap ”, benar. a) Ditunjukkan pernyataan “ simetri terhadap ⇒ ”, benar.
Dipunyai .
Jelas , jadi .
Jadi terbukti pernyataan “ simetri terhadap ⇒ ”, benar. b) Ditunjukkan pernyataan “ ⇒ simetri terhadap ”, benar.
Dipunyai , jelas . Jelas
dan
Berakibat , jadi simetri terhadap .
Jadi terbukti pernyataan “ ⇒ simetri terhadap ”, benar.
Suatu variabel random stable simetri (symmetric stable) adalah stable sempurna (strictly stable) tetapi variabel random stable sempurna (strictly stable) tak perlu simetri.
Sifat 2.4.11. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12) Dipunyai dengan
. Maka stable sempurna (strictly stable) jika dan hanya jika .
Bukti.
Dipunyai independent copies dari dan dipunyai dan secara berturut-turut konstanta positif. Dari Sifat 2.4.6 dan Sifat 2.4.8 diperoleh
Dengan mengatur dalam Definisi 2.4.1. Dari Sifat 2.4.7 dan Sifat 2.4.8 diperoleh
( )
dan, dipunyai dengan jika dan hanya jika . Akibat 2.4.12. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12), Akibat 1.2.7) Dipunyai dengan . Maka stable sempurna (strictly stable).
Bukti.
Berdasarkan Sifat 2.4.7 diperoleh . Oleh sebab parameter untuk variabel random , menurut Sifat 2.4.11 maka variabel random
stable mutlak.
Sifat 2.4.13. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:12), Sifat 1.2.8)
Bukti.
Dipunyai dan berdistribusi sama dengan dan dipunyai . Maka, dari Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.6,
mengingat
( )
Oleh sebab itu dalam Definisi 2.4.1 jika dan hanya jika
atau dengan kata lain jika dan hanya jika
untuk suatu . Jadi cukup bahwa .
Akibat 2.4.14. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:13) Jika bebas stokastik , maka
( )
(2.27) jika , dan
(2.28) jika .
Bukti.
Ditunjukkan
(i) kasus ditunjukkan . ditunjukkan generalisasi Sifat 2.4.6 yaitu
dengan
⏟
⏟
⏟
untuk
sesuai dengan yang didefinisikan. Andaikan pernyataan , benar.
( )
dibuktikan , benar.
dengan
(( ) ) ( )
jadi , benar untuk bebas stokastik , .
Berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh
( ) (| | ( ) ( ))
( ) ( )
( ) ( )
jadi untuk , ; dan
(ii) kasus , ditunjukkan . Berdasarkan generalisasi Sifat 2.4.6 diperoleh
dengan
⏟
⏟
⏟
berdasarkan Sifat 2.4.8 dan Sifat 2.4.7 diperoleh
(| | ( ) )
( )
jadi , .
Akibat 2.4.15. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:13)
1. Tidak ada variabel random -stable yang tidak mutlak bisa dibuat menjadi
stable mutlak dengan menggunakan geseran.
2. Setiap variabel random -stable mutlak bisa dibuat simetri melalui
penggeseran.
Bukti.
1. Ambil sembarang , , dengan melakukan geseran
berdasarkan Sifat 2.4.13 maka variabel random tidak dapat dinyatakan stable mutlak.
2. Ambil sembarang , dengan menggunakan Akibat 2.4.12 maka
.
Karena parameter hanya memperngaruhi pada lokasi maka biasanya dianggap . Distribusi dikatakan miring ke kanan jika dan miring ke kiri jika . Kemudian dikatakan miring seluruhnya ke kanan jika
dan miring seluruhnya ke kiri jika .
Sifat 2.4.16. (Samorodnitsky & Taqqu, 1994:16) Dipunyai berdistribusi dengan . Maka terdapat dua variabel yang bebas stokastik yaitu
dan dengan distribusi lazim sehingga
( ) ( )
(2.29)
dan
( ) ( ) ( ( ) ( ))
(2.30)
Bukti.
Dipunyai dengan , .
Kasus , ditunjukkan . Berdasarkan Sifat 2.4.8 diperoleh
( ) ( )
( ) ( )
( ) |( ) | ( )
(
) (
)
( ) ( )
Berdasarkan Sifat 2.4.9 diperoleh
( ) ( )
Berdasarkan Sifat 2.4.6 diperoleh
( ) ( ) ( ) ( )
dengan
( ) ( )
( ) [ ( ) ] ( ( ) ( ))
Bukti.
Dipunyai . Variabel random mempunyai mean berhingga (melalui Sifat 2.4.19 dalam kasus , dan karena normal ketika ). Selain itu, stable mutlak berdasarkan Akibat 2.4.12. Dipunyai dan masing-masing berdistribusi sama dengan . Berdasarkan Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.3, hubungan
Untuk suatu dan positif. Ekspektasi yang diberikan untuk kedua sisi adalah
dan dengan begitu .
Dalam Bilik (2008) dijelaskan bahwa dari Definisi 2.4.4. menghantarkan pada satu versi dari teorema limit pusat heavy-tail.
Teorema 2.4.18. (Breiman, 1968) Suatu fungsi distribusi F berada dalam domain of attraction suatu hukum stable dengan jika dan hanya jika terdapat
konstanta , sehingga :
dan untuk setiap ,
⇒
Versi lain dari teorema dengan penyajian yang lebih kongkret. Pertama, diperkenalkan definisi baru:
Definisi 2.4.19. (Whitt, 2002) Suatu fungsi terdefinisi pada disebut regularly varying dengan indeks jika
Suatu fungsi terdefinisi pada disebut slowly varying jika
Misalkan adalah variabel random dengan fungsi distribusi . Dipunyai menyatakan komplemen fungsi distribusi dan menyatakan komplemen fungsi distribusi dari | | yang dinyakatan sebagai berikut.
| |
Dalam versi teorema selanjutnya digunakan notasi
dengan , suatu deret variable random yang saling bebas stokastik.
Teorema 2.4.20.(Whitt, 2002) Dipunyai bariasan dari nilai nyata
variabel random yang i.i.d dengan fungsi distribusi . Fungsi distribusi
termasuk dalam domain of attraction dari untuk jika dan
Ruang skala konstanta harus memenuhi
Dan konstanta yang dipilih memenuhi
2.5 Estimator
2.5.1 Estimator Parameter
Untuk menemukan estimasi dari parameter-parameter di dalam distribusi Stable diperkenalkan beberapa macam estimator yang digunakan.
2.5.1.1Estimator Hill
Estimator Hill yang diperkenalkan Hill (1975), merupakan salah satu estimator grafik yang popular untuk indeks , yang berdasarkan urutan statistik, dalam kelas heavy-tailed yang tidak hanya distribusi stable. Diberikan urutan statistik dari sampel , estimator Hill dapat didefinisikan sebagai
̂ ∑ ( ) ( )
(2.31)
dengan
̂ ̂ ̂
(2.32) Akurasi dari nilai estimasi ̂ bergantung pada parameter yang mengindikasi dimana ekor distribusi berawal. Nilai lebih mudah ditentukan jika kita mengetahui distribusi samplingnya.
Estimator ini hanya digunakan untuk nilai-nilai ekstrim terbesar. Jika
2.5.1.2Estimator McCulloch
Estimator lain yang dapat digunakan untuk melakukan estimasi terhadap parameter dalam distribusi stable adalah estimator yang diperkenalkan oleh McCulloch (1986). Metode yang dikembangkan oleh McCulloch (1986) merupakan generalisasi dari pendekatan Fama and Roll (1968, 1971) yang mengembangkan metode yang lebih sederhana, menggunakan fungsi sederhana dari satistik yang telah ditentukan, mereka bisa mengestimasi secara konsisten begitu juga untuk dan yang hampir konsisten. Namun metode yang telah mereka kembangkan terbatas pada kasus simetris , dan pada nilai . Generalisasi ini dimaksudkan untuk menyediakan estimator yang konsisten untuk keempat parameter, dengan yang berada pada range , dan pada range
. Seperti pada estimator Fama/Roll, estimator ini menggunakan fungsi sederhana dari lima sampel quantil yang telah ditentukan, normal asimtotik dapat dihitung dengan error standart asimtotik. Metode ini menghilangkan bias asimtotik yang kecil dalam estimator Fama/Roll dari parameter dan ; pada waktu yang sama ini mengurangi keterbatasan pada dan .
2.5.1.2.1 Estimasi untuk dan
Didefinisikan
̂ merupakan estimator konsisten dari indeks . Didefinisikan
(2.35) Dipunyai ̂ menjadi nilai sampel yang bersesuaian, yaitu
dapat dibalik untuk menghasilkan hubungan
( ),
( )
Parameter dan dapat diestimasi oleh
̂ ( ̂ ̂ ),
̂ ( ̂ ̂ )
Tabel 3 dan Tabel 4 (lihat Lampiran 1) menunjukan dan sebagai fungsi dan .
Dengan sampel berhingga, dapat terjadi bahwa ̂ mungkin kurang dari nilai terkecil yang diizinkan yaitu 2.439, dan oleh karena itu akan keluar dari skala pada Table 3 (lihat Lampiran 1). Pada kasus ini ̂ harusnya diatur sama dengan 2.0 dan ̂ mungkin diatur secara paksa ke signum ( ̂ ).
Standart Error (SE) dari estimator McCulloch dinyatakan sebagai
̂ ̂
√
(2.37) dengan merupakan Normalized Asymptotic Standart Deviations of Parameter
Estimates, dan merupakan ukuran sampel. Lebih lengkap lihat Lampiran 1
Tabel 5.
2.5.1.3Estimator Hint
akan tetapi berdasarkan fungsi estimasi Hill untuk suatu nilai (dalam estimator ini, dinyatakan sebagai Hill-intercept atau ̂ . Telah ditemukan bahwa keduanya perpotongan dan kemiringan penaksir linear ini bisa digunakan untuk memperoleh ketepatan estimasi tertinggi. Bentuk dari estimatornya adalah
̂ ̂ ̂
(2.38)
dimana ̂ merupakan perpotongan dalam regresi linear sederhana dari ̂ pada
, dimana elemen dari sedemikian sehingga dalam langkah maksimum
.
̂
(2.39)
Gambar 2.1 Koefisien untuk Perpotongan ̂
diperoleh
̂ ̂ ̂
(2.40) Tidak seperti estimator McCulloh, ̂ baru diaplikasikan untuk simetri, stable Paretian dengan lokasi sama dengan nol, dengan dan rataan sama dengan nol, tetapi skalanya invarians.
̂ ̂
(2.41) dengan
.
Untuk menentukan bahwa suatu estimator merupakan estimator yang baik, dapat digunakan beberapa kriteria salah satunya kriteria Mean Squared Error (MSE).
Definisi 2.5.1. Dipunyai suatu estimator dari suatu parameter . Mean Squared
Error dari adalah bilangan .
Berdasarkan kriteria Mean Squared Error (MSE), estimator lebih baik daripada estimator jika .
2.6 R Studio Version 0.97.318 dengan R i386 2.15.3
R Studio merupakan semacam alat pendukung dalam penggunaaan program R yang masing-masing secara bebas beredar di internet, dengan menggunakan R Studio beberapa pekerjaan yang belum bisa dilakukan di R dapat dilakukan di R Studio misal mendefinisikan fungsi sendiri melaui R script, menyimpan fungsi tersebut dan menggunakannya kembali. Menggunakan R Studio dengan interface yang lebih baik dapat mempermudah penggunanya daripada menggunakan R secara langsung.
2.6.1 Interface R Studio
Gambar 2.2 merupakan interface dalam program R Studio yang masing-masing bagian dapat dilihat pada Gambar 2.3, Gambar 2.4, Gambar 2.5, Gambar 2.6, dan Gambar 2.7.
Gambar 2.2 Interface R Studio 1
2
3
4
1. Menu Utama
Terdiri dari File, Edit, Code, View, Plot, Session, Project, Build, Tools, dan Help. Ditambah pula shortcut seperti (6) New, (7) Open an existing file, (8)
Save current document, (9) Save all open documents, (10) Print the current
document, dan (11) Go to file/function.
Gambar 2.3 Bagian Menu Utama 2. Jendela Dokumen
Tempat untuk melakukan editing dokumen yang dibuat maupun membuat R script, dan tempat untuk menjalankan script yang telah dibuat. Dilengkapi dengan shortcut seperti (12) Go back/forward to the previous/next source
location, (13) Save current document, (14) Source on Save, (15) Find/Replace,
(16) Code Tools, (17) Run the current line or selection, (18) Re-run the previous
code region, (19) Source the active document, dan (20) Compile an HTML
notebook from the current R script.
Gambar 2.4 Jendela Dokumen
6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18 19
3. Jendela Console
Jendela console berisi suatu keinstanan dari R, dengan kata lain tidak perlu menjalankan program R secara terpisah.
Gambar 2.5 Jendela Console
4. Jendela Workspace dan History
Jendela workspace menampilkan hasil dari perintah yang dijalan di R Studio, sedangkan jendela history menampilkan perintah apa saja yang telah dijalankan di R Studio. Terdapat shorcut (21) Load Workspace, (22) Save
Workspace, (23) Import Dataset (import data yang telah tersimpan), (24) Clear all
objects from workspace, (25) Send the selected commands to the R console, (26)
Insert the selected commands into the current document, (27) Remove the selected
history entries.
Gambar 2.6 Jendela Workspace dan History
5. Jendela Files, Plots, Packages, dan Help
Jendela Files menampilkan bermacam-macam file yang tersimpan, jendela
Plots menampilkan gambar hasil dari berbagai perintah yang berhubungan dengan
plot gambar misal histogram, scatterplot, dan grafik-grafik yang lain, jendela
Packages menampilkan berbagai packages yang telah ada di R Studio selain bisa
menggunakan packages yang sudah ada dapat pula menambah package dengan cara melakukan download package, jendela Help menampilkan berbagai informasi yang berhubungan dengan packages yang telah ada di R Studio. Tambahan shortcut yang cukup penting adalah (28) New Folder, (29) Delete, (30)
Rename, (31) More (berisi perintah Copy, Move, dll), (32) Zoom, (33) Export
(menyimpan plot dalam bentuk gambar atau pdf), (34) Install Packages (untuk melakukan download packages yang diperlukan), dan (35) Check for Updates.
Gambar 2.7 Jendela Files, Plots, Packages, dan Help
2.6.2 Perintah dalam R Studio.
Disajikan beberapa macam perintah yang digunakan dalam R Studio. 1. Aritmatika
(Enter)
(Enter)
Operator matematika yang sering digunakan seperti +, -, ^, *, /, ==(sama dengan), >= (lebih dari atau sama dengan), dan <= (kurang dari atau sama dengan).
2. Objek
(Enter)
Dapat pula menuliskan objek lain misal temp, seperti contoh berikut.
(Enter)
(Enter)
3. Vektor
(Enter) #Vektor dengan tiga elemen.
(Enter)
(Enter) #Menampilkan elemen ke-2 dari vektor x.
(Enter) #Menampilkan elemen ke-2 dan ke-3 dari vektor x.
4. Matriks
(Enter)
#Dua perintah terakhir dari fungsi matrix tersebut adalah ukuran baris dan kolom dari matriks yang dibuat.
(Enter)
(Enter) #Menampilkan elemen baris pertama dari matriks y.
5. Mode
(Enter) #Menyatakan panjang total dari vektor x.
Fungsi lain yang mendukung selain length, dim, mode, names adalah sebagai berikut.
(a) sin, cos, tan, asin, acos, atan: fungsi trigonometri. (b) log*, log10, exp: fungsi log dan eksponensial.
(c) min, median, max, quantile*: urutan statistik untuk suatu vektor. (d) sum, prod: jumlah, produk dari elemen-elemen suatu vektor. (e) var, sd, cov, cor: varian, standar deviasi, covarian, korelasi. (f) union, intersect: gabungan, irisan dari himpunan.
(h) %*%: perkalian matriks.
(i) solve*: inverse jika hanya satu matrik, penyelesaian untuk x dalam a%*%x=b jika dua matriks.
(j) diag: diagonal matriks.
Selain menggunakan fungsi yang ada, fungsi baru dapat dibuat dalam R script dengan perintah dasar fungsi sebagai berikut.
function ( ) {
}
6. Plot
(a) Scatterplots
Membuat matriks yang dinamakan regdata, seperti berikut.
# plot titik dari data:
#sumbu x merupakan argumen pertama.
# plot garis:
# menambahkan label sumbu dan judul pada scatterplot:
# mengatur pembatasan dari sumbu y:
(b) Histograms
# plot histogram data random uniform(0,1): > hist(runif(1000, min=0, max=1))
> hist(rnorm(1000, mean=0, sd=1))
#fungsi hist diijinkan untuk beberapa pilihan, lebih lengkapnya ketikan `help(hist)'.
71
BAB 3
METODE PENELITIAN
Pada penelitian ini langkah-langkah yang dilakukan adalah merumuskan masalah, studi pustaka, penyelesaian masalah dan penarikan kesimpulan.
3.1 Perumusan Masalah
Tahap ini dimaksudkan untuk memperjelas permasalahan sehingga mempermudah pambahasan selanjutnya.
3.2 Studi Pustaka
Dalam studi pustaka ini digunakan sumber pustaka yang relevan yang digunakan untuk mengumpulkan informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi pustaka dengan mengumpulkan sumber pustaka yang dapat berupa buku, jurnal, makalah dan sebagainya. Setelah sumber pustaka terkumpul dilanjutkan dengan pengkajian dari sumber pustaka tersebut. Pada akhirnya sumber pustaka itu dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan.
3.3 Pengumpulan Data
Data yang digunakan adalah data hasil pembangkitan melalui R studio, berupa data random berdistribusi stable dengan dan . Ukuran sampel
3.4 Pemecahan Masalah
3.4.2 Membangkitkan data menggunakan program R studio, berupa data berdistribusi Stable dengan dan . Ukuran sampel
3.4.3 Melakukan simulasi dengan data yang telah disediakan dan fungsi penghitung estimasi serta MSE yang telah dibuat, diperoleh MSE untuk masing-masing nilai dengan ukuran sampel
3.4.4 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator. 3.4.5 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator. 3.4.6 Mencari minimum MSE dari masing-masing estimator.
3.5 Prosedur Penelitian
3.5.1 Mencari jurnal ataupun buku-buku yang berhubungan dengan teori distribusi stable, distribusi normal, distribusi cauchy, teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint.
3.5.2 Mengkaji informasi tentang distribusi stable, distribusi normal, distribusi cauchy, estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint.
3.5.3 Membuat fungsi untuk menghitung nilai estimasi dari parameter beserta MSE nya berdasarkan teori estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint dengan menggunakan program R studio.
3.5.4 Membangkitkan data menggunakan program R studio, berupa data berdistribusi Stable dengan dan . Ukuran sampel
3.5.6 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator. 3.5.7 Mencari minimum MSE untuk setiap dari masing-masing estimator. 3.5.8 Mencari minimum MSE dari masing-masing estimator.
3.6 Penarikan Kesimpulan
74
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Dalam bab ini dijelaskan tentang penentuan estimator parameter terbaik dengan kriteria MSE minimum dan banyaknya sampel optimum untuk distribusi stable.
4.1 Simulasi dan Hasil Analisis
4.1.1 Fungsi Penghitung Estimasi di R Studio
Fungsi dibuat dalam dua bentuk yaitu fungsi untuk melakukan simulasi dan fungsi untuk diterapkan dalam contoh menggunakan program R Studio. Pada dasarnya landasan teori yang digunakan untuk kedua fungsi itu sama meliputi estimator Hill, estimator McCulloch, dan estimator Hint, perbedaannya terletak pada tambahan perhitungan untuk MSE (Mean Squared Error). Perhitungan MSE dibutuhkan dalam simulasi karena dalam pembahasan kali ini kriteria untuk menentukan estimator parameter terbaik menggunakan kriteria MSE. Sedangkan fungsi yang digunakan dalam perhitungan contoh, dibatasi hingga perhitungan SE (Standart Error). Script lengkapnya lihat Lampiran 6 dan Lampiran 7.
4.1.2 Pembangkitan Data
Pembangkitan data random berdistribusi Stable yang dibutuhkan dalam simulasi menggunakan program Rstudio, melalui langkah-langkah berikut.
Gambar 4.1 Jendela Packages Berisi Package stabledist
(ii) Aktifkan script untuk membangkitkan data, dalam pembahasan ini script dinamakan generating.R.
Gambar 4.2 Script generating.R
dibutuhkan dengan nilai variabel yang telah diisikan pada script baris pertama. Seperti yang telah dicontohkan pada gambar. Script lengkapnya lihat Lampiran 5. Untuk menggunakan script generating.R, tekan tombol Ctrl+Shift+Enter.
Pembahasan kali ini data yang dibangkitkan menggunakan batas
dan , dengan ukuran sampel . Plot data hasil bangkitan dapat dilihat di Lampiran 2. Data yang telah dibangkitkan muncul pada jendela Workspace di R studio, lihat Gambar 4.3. Secara otomatis grafik plot data dan histogram data muncul di jendela Plots, lihat Gambar 4.4. Contoh digunakan data random hasil bangkitan yaitu
dengan .
Gambar 4.3 Jendela Workspace Rstudio
4.1.3 Simulasi Data Hasil Bangkitan
Fungsi simulasi yang telah dibuat dinamakan functionhill.R, functionhill.R, dan functionmccnew.R.
4.1.3.1Simulasi untuk Estimator McCulloch
Aktifkan script functionmccnew.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console ketikkan mcc( ) ( merupakan nama data yang dibangkitkan) diikuti – Enter, maka muncul hasil yang ditunjukkan pada Gambar 4.5.
Gambar 4.5 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator McCulloch Representasi dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
̂ ̂ ̂
4.1.3.2Simulasi untuk Estimator Hill
Untuk estimator Hill, dipilih menggunakan seperti dalam Paolella (2001), sebelumnya Mittnik & Paolella (1999) menggunakan interval , kemudian Paolella (2001) mengungkapkan interval
dianjurkan untuk dengan ukuran sampel
. Walaupun dalam simulasi menggunakan
dengan ukuran sampel kurang dari , karena interval simulasi yang dilakukan lebih mendekati dengan syarat-syarat tersebut, maka interval dari Paolella (2001) yang dipilih untuk digunakan, dengan interval demikian memberikan MSE yang cenderung bernilai kecil.
Aktifkan script functionhill.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console ketikkan hill( ) ( merupakan nama data yang dibangkitkan, adalah nilai yang dipilih dimana ) – Enter, hasil dapat dilihat pada Gambar 4.6.
Gambar 4.6 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hill Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
Untuk simulasi kedua, dipilih nilai . Hasil ditunjukkan pada gambar 4.7.
Gambar 4.7 Hasil Simulasi Data Menggunakan Estimator Hill Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
̂ ̂
4.1.3.3Simulasi untuk Estimator Hint
Aktifkan script functionhint.R - Ctrl+Shift+Enter - Pada jendela Console ketikkan hint( ) ( merupakan nama data yang dibangkitkan, dan secara berturut-turut menyatakan nilai dengan
dan yang digunakan pada estimasi data dengan menggunakan estimator Hill, dan berturut-turut merupakan nilai ̂ dari data dengan dan ) – Enter, hasilnya seperti pada Gambar 4.8.
Representasi hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut.
̂ ̂
Hasil dari estimasi setiap data hasil bangkitan untuk setiap estimator lihat
Lampiran 3, MSE masing-masing estimator untuk setiap dan dapat dilihat di Lampiran 4.
4.1.4 Analisis Hasil Simulasi
Berikut ini disajikan Tabel 4.1 yang memuat MSE minimum untuk ketiga estimator yang digunakan untuk setiap nilai .
Tabel 4.1 MSE minimum untuk setiap
untuk estimator Hint terjadi pada semua yang diperiksa dengan , kemudian untuk estimator McCulloch MSE terkecil di antara terjadi pada
dengan .
Disajikan pula Tabel 4.2 yang memuat MSE minimum untuk ketiga estimator yang digunakan untuk setiap nilai .
Tabel 4.2 MSE minimum untuk setiap
Hill Hint McCulloch
MSE MSE MSE
30 1.1 0.072458 [1.0,2.0] 0.019099 1.2 0.07803
40 1.1 0.048717 [1.0,2.0] 0.006147 1.1 0.05041
50 1.3 0.052828 [1.0,2.0] 0.023287 1.3 0.040323
60 1.0 0.031827 [1.0,2.0] 0.032005 2.0 0.008145
70 1.2 0.025223 [1.0,2.0] 0.034715 1.2 0.028806
80 1.0 0.042932 [1.0,2.0] 0.03447 1.0 0.034031
90 1.2 0.024085 [1.0,2.0] 0.032928 [1.0,1.3] 0.02704
100 1.0 0.020979 [1.0,2.0] 0.030899 1.1 0.032041
Nilai MSE minimal untuk masing-masing nilai yang telah disajikan, terlihat bahwa nilai MSE terkecil di antara untuk estimator Hill terjadi pada dengan nilai . MSE terkecil di antara untuk estimator Hint terjadi ketika yaitu pada semua yang diperiksa, dan untuk estimator McCulloch, MSE terkecil di antara terjadi saat dengan nilai .
