ABSTRAK
TEKNIK PENENTUAN RUMUS UMUM SUKU KE-n DARI BARISAN BILANGAN PELL DAN PELL-LUCAS
Oleh ABDUL ROHIM
Dalam menentukan bentuk umum rumus suku ke-n dari barisan bilangan dapat ditempuh dengan cara analitik. Metode analitik yang dapat digunakan diantaranya adalah metode iterasi, metode persamaan karakteristik, metode fungsi pembangkit dan algoritma penyortiran (Bubblesort Algoritma). Dalam penelitian ini digunakan metode persamaan karakteristik dan metode fungsi pembangkit berdasarkan pertimbangan kedua metode tersebut lebih mudah untuk dipahami. Penelitian ini mengupayakan sebuah cara mendapatkan bentuk umum rumus suku ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas dari bentuk relasi rekurensinya.
Untuk metode persamaan karakteristik tahapan yang dilakukan adalah dengan mencari akar-akar dari bentuk persamaan karakteristiknya kemudian didapatlah suatu solusi homogen. Dari nilai awal yang sudah diketahui didapatlah bentuk umum rumus suku ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas. Untuk metode yang kedua yaitu metode fungsi pembangkit, bentuk umum rumus suku ke-n barisan bilangan Pell dan Pell-Lucas diperoleh dari bentuk fungsi pembangkitnya.
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan uraian pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa metode persamaan karakteristik memberikan perolehan bentuk umum rumus suku ke-n barisan bilangan lebih mudah bila dibandingkan dengan menggunakan metode fungsi pembangkit yang memberikan hasil yang sama dari sebuah relasi rekurensi yang berbentuk :
1 , 0 , 2 , 2 2 1 1 n n n a c a c a n n n
Dengan hasil sebagai berikut :
n n n G c c c c c G c c c c c a 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 4 2 2 ) 4 ( 4 2 2 ) 4 ( dengan 2 4 2 2 1
1 c c
c
G .
4.2 Saran
45
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Didalam berbagai masalah komputasi, sering kali lebih mudah untuk memperoleh rumus umum bagi suatu fungsi numerik dalam bentuk relasi rekurensi dari pada dalam bentuk rumus umum yang menyatakan nilai fungsi di n atau pun bentuk-tertutup bagi fungsi pembangkitnya. Relasi
rekurensi dapat dikerjakan setahap demi setahap untuk menentukan andari an 1,an 2,..., asalkan
nilai fungsi di satu atau lebih titik diketahui sehingga komputasi bisa dimulai. Dengan nilai awal yang diketahui (initial value) suatu fungsi numerik dapat dideskripsikan oleh suatu relasi
rekurensi. Fungsi numerik demikian ini juga sering diacu sebagai solusi bagi relasi rekurensi bersangkutan.
Selain penentuan nilai-nilai suatu fungsi numerik secara tahap demi tahap berdasarkan relasi rekurensi yang diketahui, yang lebih sulit lagi adalah mendapatkan dari relasi rekurensi itu suatu rumus umum bagi solusinya atau suatu bentuk-tertutup bagi fungsi pembangkitnya. Untuk mendapatkan suatu rumus umum dari relasi rekurensi dapat dipergunakan beberapa metode yaitu metode iterasi, metode fungsi pembangkit dan metode khusus yang berlaku untuk relasi
rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan. Metode khusus ini disebut sebagai metode persamaan karakteristik.
Oleh karena itu, perlu dicari sebuah rumus umum dari suatu relasi rekurensi. Sedangkan rumus umum yang akan dicari adalah rumus umum dari relasi rekurensi bilangan Pell dan bilangan
2 1
2 n n
n P P
P untuk n 2 dengan syarat awalP0 0 dan P1 2. Sedangkan bilangan
Pell-Lucas (Qn) adalah bilangan yang memiliki bentuk relasi rekurensi Qn 2Qn 1 Qn 2 untuk
2
n dengan syarat awal Q0 2 dan Q1 2.
Pada penelitian ini penulis menggunakan metode persamaan karakteristik dan metode fungsi pembangkit berdasarkan pertimbangan bahwa bentuk dari relasi rekurensi bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas adalah relasi rekurensi homogen linier dengan koefisien konstan dan juga karena metode ini lebih mudah untuk dipakai.
1.2 Batasan Masalah
Pada penelitian ini pembahasan masalah dibatasi hanya untuk mencari rumus umum suku ke-n dari bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas menggunakan metode persamaan karakteristik dan fungsi pembangkit.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk mencari rumus umum suku ke-n dari bilangan Pell dan bilangan Pell-Lucas.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah :
