P ERBANDI NG AN AL GO RITM A P RIM DAN KRU SK AL P ADA JARIN GA N P ENDI STRIB USI AN AIR P DAM TI RTAN ADI
(STUDI KASUS: PDAM TIRTANADI CABANG HM.YAMIN)
Oleh :
RIZBA SAMUEL NIM: 4122230007 Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
i
iii
P ERBANDI NG AN AL GO RITM A P RIM DAN KRU SK AL P ADA JARIN GA N P ENDI STRIB USI AN AIR P DAM TI RTAN ADI
(STUDI KASUS: PDAM TIRTANADI CABANG HM.YAMIN)
Rizba Samuel 4122230007
ABSTRAK
Algoritma Prim dan Kruskal adalah algoritma yang dapat digunakan untuk mencari pohon rentang minimum pada graf berbobot dengan cepat. Dalam penelitian ini Algoritma Kruskal lebih efektif dibandingkan dengan Algoritma Prim karena jumlah simpul lebih banyak dari pada jalur. Dari data yang diperoleh dapat disusun gambar jaringan. Kemudian dari gambar jaringan tersebut diperoleh pohon rentang minimum menggunakan Algoritma Prim dan Kruskal, dengan bantuan program C++. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa pohon rentang minimum menggunakan Algoritma Prim dan program C++ adalah 27.302 meter, begitupula menggunakan Algoritma Kruskal dan program C++ ternyata 27.302 meter. Hal ini mengakibatkan penghematan pipa pendistribusian sepanjang 2.425 meter dari panjang total sebelumnya yaitu 29.727 meter.
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Skripsi ini berjudul “Perbandingan Algoritma Prim dan Kruskal pada Jaringan Pendistribusian Air PDAM Tirtanadi (Studi Kasus: PDAM Tirtanadi Cabang HM. YAMIN)”. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains di Universitas Negeri Medan.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis telah banyak mendapatkan bantuan dan bimbingan dari berbagai pihak sehingga skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik. Untuk itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Syawal Gultom, M. Pd., selaku Rektor Universitas Negeri Medan, Bapak Dr. Asrin Lubis, M. Pd., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
2. Bapak Dr. Edy Surya, M. Si., selaku Ketua Jurusan Matematika, Bapak Drs. Yasifati Hia, M. Si., selaku Sekretaris Jurusan Matematika, dan Bapak Dr. Pardomuan, M. Si., selaku Ketua Prodi Studi Matematika serta Bapak dan Ibu dosen dan juga beberapa pegawai FMIPA Universitas Negeri Medan.
3. Bapak Dr. H.Banjarnahor, M.Pd., selaku Dosen Pembimbing Akademik. 4. Bapak Dr. Mulyono, M.Si., selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberi bantuan berupa arahan, bimbingan dan saran kepada penulis. 5. Bapak Dr. Pardomuan Sitompul, M.Si., Bapak Lasker Pangarapan Sinaga, S.Si,
M.Si., dan Ibu Chairunnisah, S.Si, M.Si., selaku Dosen Penguji yang telah banyak memberikan saran-saran dalam penulisan skripsi ini.
6. Bapak Tauhid Ichyar, selaku Kepala Cabang PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin, serta staf-staf pegawai PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin, yang telah memberikan izin untuk mengadakan penelitian.
v
sayang yang tak ternilai yang selalu mendoakan, memotivasi dan juga mendukung saya dalam segala hal, untuk adek penulis (Christian Sinaga) dan seluruh sanak saudara atas semua dukungan dan doanya.
8. Sahabat-sahabat penulis dibangku kuliah Imanuel, S.Si., Bruce, Licardo, Julius, Solihadi, Chandra, Intan, dan kepada semua teman teman seperjuangan Nondik12 yang tidak dapat disebutkan satu per satu, dan buat yang spesial Ruth Melda Br Simanjuntak, S.Si yang mendukung dan menyemangati penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
Penulis telah berupaya semaksimal mugkin dalam penyusunan skripsi ini, dan penulis menyadari skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan baik dari segi isi maupun penulisan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari semua pihak untuk membangun demi kesempurnaan skripsi ini.
Semoga skripsi ini bermanfaat dan menambah wawasan bagi kita semua. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih.
Medan, Januari 2017
Penulis,
Rizba Samuel
vi
DAFTAR ISI
Halaman
Lembar Pengesahan i
Riwayat Hidup ii
Abstrak iii
Kata Pengantar iv
Daftar Isi vi
Daftar Gambar ix
Daftar Tabel x
Daftar Lampiran xi
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 3
1.3 Batasan Masalah 3
1.4 Tujuan Penelitian 4
1.5 Manfaat Penelitian 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Teori Graf 5
2.2. Jenis-jenis Graf 6
2.2.1 Graf Ganda (Multi Graph) 6 2.2.2 Graf Semu (Pseudo Graph) 6 2.2.3 Graf Trivial 7 2.2.4 Graf Lengkap (Complete Graph) 7 2.2.5 Graf Teratur (Regular Graph) 8 2.2.6 Graf Bipartit (Bipartive Graph) 8 2.2.7 Graf Tak Berarah (Undirected Graph) 9 2.2.8 Graf Berarah (Directed Graph atau Diagraph) 9
2.3 Terminologi Graf 10
2.3.1 Simpul (Vertex) 10
vii
2.3.3 Bertetangga (Adjacent) 10
2.3.4 Bersisisan (Incident) 11
2.3.5 Derajat (Degree) 11
2.3.6 Lintasan (Path) 12
2.3.7 Subgraf 12
2.3.8 Graf Terhubung (Connected) 13 2.3.9 Graf Berbobot (Weighted Graph) 14
2.4 Pohon (Tree) 14
2.5 Pohon Merentang (Spanning Tree) 15 2.6 Pohon Merentang Minimum (Minimum Spaning Tree) 16
2.7 Algoritma Prim 17
2.8 Algoritma Kruskal 20
2.9 Program C++ 25
2.9.1 Struktur C++ 25
2.9.2 Variabel dan Tipe Data 28
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan tempat penelitian 32
3.2 Jenis Penelitian 32
3.3 Prosedur Penelitian 32 3.3.1 Teknik Pengumpulan Data 32 3.3.2 Teknik Pengolahan Data 32
3.3.3 Penarikan Kesimpulan 33
BAB IV PEMBAHASAN
4.1 Data Awal 34
4.2 Merepresentasikan Data ke dalam Bentuk Graf Terhubung
Berbobot 34
4.3 Implementasi Sistem 34
4.3.1 Tampilan Program 35
4.4 Penyelesaian Minimum Spanning Tree dengan Algoritma
viii
4.5 Penyelesaian Minimum Spanning Tree dengan Algoritma
Kruskal 48
4.6 Langkah-langkah Penyelesaian Minimum Spanning Tree Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal Menggunakan
Program C++ 52
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 53
5.2 Saran 53
ix
DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 Graf G1, Graf G2 dan Graf G3 5
Gambar 2.2 Graf Ganda 6
Gambar 2.3 Graf Semu 7
Gambar 2.4 Graf Trivial 7
Gambar 2.5 Graf Lengkap 8
Gambar 2.6 Graf Teratur 8
Gambar 2.7 Graf Bipartit 9
Gambar 2.8 Graf tak-berarah 10
Gambar 2.9 Graf Berarah 10
Gambar 2.10 Bertetangga 11
Gambar 2.11 Derajat 12
Gambar 2.12 (a) Graf dan (b) Subgraf 14
Gambar 2.13 Terhubung 15
Gambar 2.14 Graf Berbobot 16
Gambar 2.15 Pohon 16
Gambar 2.16 Graf G dan Pohon rentang T1 dan T2 17 Gambar 2.17 (a) Graf Berbobot dan (b) MST 18
Gambar 2.18 Contoh graf G 20
Gambar 2.19 Jalur (v1, v2) 20
Gambar 2.20 Jalur (v1, v2), (v1, v3) 20 Gambar 2.21 Jalur (v1, v2), (v1, v3), (v3, v4) 21 Gambar 2.22 Jalur (v1, v2), (v1, v3), (v3, v4), (v2, v5)
21
Gambar 2.23 Pohon merentang minimum dari graf G 21
Gambar 2.24 Graf G 23
Gambar 2.25 Kumpulan titik G 24
Gambar 2.26 Graf T (Jalur e4) 24
x
x
DAFTAR TABEL
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1: Denah Penyaluran Air
Lampiran 2: Tampilan Program C++
Lampiran 3: Daftar Jalur dan Panjang Pipa Distribusi Air di Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) Tirtanadi Cabang HM. Yamin wilayah kecamatan Medan Perjuangan
Lampiran 4: Bobot yang Paling Kecil ke yang Paling Besar
Lampiran 5: Hasil Minimum Spanning Tree (MST) Algoritma Prim Lampiran 6: Hasil Minimum Spanning Tree (MST) Algoritma Kruskal Lampiran 7: Representasi Denah PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin Lampiran 8: Representasi Algoritma Prim dan Kruskal
Lampiran 9: Code Algoritma Prim Pada Program C++ Lampiran 10: Code Algoritma Kruskal Pada Program C++ Lampiran 11: Dokumentasi Penelitian
Lampiran 12: Surat Persetujuan Dosen Pembimbing Skripsi Lampiran 13: Surat Izin Penelitian dari FMIPA UNIMED
1 BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya dan memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek dinyatakan sebagai simpul, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan jalur.
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), dimana V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul dan E merupakan himpunan jalur yang menghubungkan sepasang simpul (Munir, 2012).
2
Air merupakan salah satu kebutuhan makhluk hidup yang penting karena air dibutuhkan oleh setiap makhluk hidup, terutama manusia. Tingkat kebutuhan air setiap tahunnya mengalami peningkatan sesuai dengan jumlah pertumbuhan manusia. Agar air dapat didistribusikan, maka diperlukan jaringan.
Masalah pendistribusian banyak dialami beberapa industri-industri (perusahaaan) yang ada di Indonesia, salah satunya adalah Perusahaan Daerah Air Minum (PDAM) di kota Medan. Perusahaan daerah ini adalah perusahaan yang bergerak di bidang pengolahan air bersih. Pertambahan jumlah Penduduk yang terjadi di kecamatan Medan Perjuanagan, mengakibatkan meningkatnya kebutuhan terhadap air bersih, peningkatan tersebut dipengaruhi beberapa faktor, misalnya semakin banyak dibangun perubahan baru di kecamatan Medan Perjuangan, semakin banyak penduduk sementara seperti mahasiswa/i. Pertambahan jumlah penduduk tersebut mengakibatkan PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin harus meningkatkan pelayanannya terkhusus dalam pendistribusian air terhadap pelanggan, dalam arti jaringan air yang dipasang minimum dan dapat mengalirkan air keseluruh perumahan penduduk dengan lancar.
Dalam hal ini timbul masalah, apakah pipa yang akan dipasang sudah optimal? Dikatakan optimal jika pipa yang terpasang sudah minimum tanpa mengurangi fungsi dari pipa air tersebut.
3
sebagai jalur dan ujung persanmbungan pipa distribusi direpresensikan sebagai simpul.
Terdapat 2 Algoritma yang sering digunakan untuk mencari pohon merentang minimum dari suatu graf terhubung dan berbobot, yaitu Algoritma Prim dan Kruskal. Untuk mencari pohon rentang minimum dari graf G dengan Algoritma yang di temukan Robert C Prim, mula-mula dipilih satu simpul sembarang (misal v1), Kemudian ditambahkan satu jalur yang berhubungan dengan v1 dengan bobot yang paling minimum (misal e1) dan simpul ujung lainnya ke T sehingga T terdiri dari sebuah jalur e1 dan dua buah simpul ujung jalur e1 (salah satunya adalah v1). Metode lain untuk mencari pohon rentang minimum ditemukan oleh Kruskal, mula-mula semua garis dalam G diurutkan berdasarkan bobotnya dari yang kecil ke besar kemudian pilih jalur dengan bobot terkecil. Pada setiap langkah, dipilih jalur dengan bobot terkecil, tetapi tidak membentuk loop dengan jalur yang sudah dipilih terdahulu (Siang, 2006).
Berdasarkan uraian diatas, peneliti tertarik melakukan penelitian dengan judul: “Perbandingan Algoritma Prim dan Kruskal pada Jaringan Pendistribusian Air PDAM Tirtanadi (Studi Kasus: PDAM Cabang HM. YAMIN)”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, yang menjadi rumusan masalah dalam studi kasus ini adalah :
1. Bagaimana perbandingan Algoritma Prim dan Kruskal dalam pengoptimalan pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin? 2. Bagaimana visualisasi model pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang
HM. Yamin dengan Algoritma Prim dan Kruskal menggunakan program C++?
1.3 Batasan Masalah
4
1. Pengoptimalan jaringan pipa air di PDAM cabang HM. Yamin wilayah kecamatan Medan Perjuangan menggunakan Algoritma Prim dan Kruskal. 2. Daerah atau wilayah yang dilakukan penelitian merupakan dataran rendah
(rata), tidak bergunung-gunung, tidak melewati sungai.
3. Yang menjadi simpul dalam penelitian ini adalah setiap ujung pipa yang berukuran 3 inci dan 4 inci dan menjadi jalur adalah pipa yang menghubungkan ujung pipa yang satu dengan ujung pipa yang lainnya. 4. Pada penyusunan skripsi ini yang dibahas dibatasi pada pohon merentan
minimum (minimum spanning tree). 5. Sumber air dianggap telah memadai.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengetahui perbandingan Algoritma Prim dan Kruskal dalam pengoptimalan pendistribusian air PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin. 2. Mengetahui visualisasi model pendistribusian air PDAM Tirtanadi cabang
HM. Yamin dengan Algoritma Prim dan Kruskal menggunakan program C++.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diperoleh dari penelitian ini adalah:
1. Bagi Perusahaan : Menjadi salah satu bahan pertimbangan dalam membuat perencanaan pendistribusian air yang optimal.
2. Bagi Penulis : Penulis mampu menerapkan ilmu yang telah penulis pelajari, khususnya tentang pohon merentang minimum. Sehingga dapat semakin memantapkan pemahaman mengenai teori-teori yang diperoleh selama mengikuti perkuliahan serta mampu menerapkan ilmunya dalam kehidupan nyata khususnya dalam bidang industri air bersih.
53 BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dari hasil penelitian dan pembahasan maka diperoleh kesimpulan yaitu: 1. Hasil total panjang pipa minimum yang digunakan dari jalur distribusi
pipa PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin wilayah kecamatan Medan Perjuangan yang diperoleh dengan Algoritma Prim yaitu 27.302 meter sama dengan Algoritma Kruskal memperoleh total panjang pipa minimum sepanjang 27.302 meter. Ini berarti penggunaan Algoritma Prim dan Kruskal dalam pencarian pohon rentang minimum mempunyai hasil yang sama.
2. Algoritma Prim dan Algoritma Kruskal dapat menyelesaikan permasalahan pencarian pohon merentang minimum dengan tepat. Dalam penelitian ini Algoritma Kruskal lebih efektif dibandingkan dengan Algoritma Prim karena jumlah simpul lebih banyak dari pada jalur.
3. Dalam penelitian ini, penulis juga menggunakan software komputer yakni program C++ sebagai output secara langsung yang dapat memberikan hasil berupa data pohon rentang minimum, yang mempunyai panjang 27.302 meter, baik menggunakan Algoritma Prim maupun Kruskal. Dengan demikian PDAM Tirtanadi Cabang HM. Yamin dapat menghemat pipa sepanjang 2.425 meter dari total panjang pipa terpasang yaitu 29.727 meter.
5.2 Saran
Saran-saran yang dapat dikemukakan sebagai berikut:
1. Dari hasil penelitian ini disarankan kepada PDAM Tirtanadi Cabang HM.Yamin agar dalam penentuan kebijakan pemasangan pipa distribusi air menggunakan hasil penelitian ini, dengan asumsi bahwa wilayah yang diteliti merupakan dataran rendah.
54
lainnya, misalnya adanya fitur mencetak hasil penyelesaian pohon merentang minimum dengan Algoritma Prim dan Kruskal.
55
DAFTAR PUSTAKA
Abdussakir, d., (2009): Teori Graf, UIN-Malang Press, Malang.
Albertson, M., dan Hutchinson, J., (2000): Discrete Mathematics with Algorithms, Third Edition, John Wiley and Son, Canada.
Bondy, J. A., dan Murty, S. R., (1982): Graph Theory with Applications, Fifth edition, New York.
Darmaji, d., (2013): Penggunaan Algoritma Kruskal Dalam Jaringan Pipa Air Minum Kecamatan Nganjuk Kabupaten Nganjuk, Jurnal Sains dan Seni Pomits, 1(1).
Johnsonbaugh, R., (2002): Matematika Diskrit Jilid 2, Edisi Bahasa Indonesia, PT. Prenhallindo, Jakarta.
Kodirun (2009): Perbandingan Algoritma Prim dan Kruskal dalam Menentukan Pohon Rentang Minimum, Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo, Kendari, 6(2).
Liu, C. L., (2008): Elements of Discrete Mathematics, Third Edition, McGraw-Hill, New Delhi.
Munir, R., (2012): Matematika Diskrit, Edisi Kelima, Penerbit Informatika, Bandung.
Ngoen, T. S., (2004): Pengantar Algoritma Dengan Bahasa C, Edisi Pertama, Salemba Teknika, Jakarta.
Nugraha, D., (2011): Aplikasi Algoritma Prim Untuk Menentukan Minimum Spanning Tree Suatu Graf Berbobot Dengan Menggunakan Pemrograman Berorientasi Objek, Jurnal Ilmiah Foristek, 1(2).
Rosen, K. H., (2007): Discrete Mathematics and Its Applicatoins, Seventh Edition, McGraw-Hill.
Sholeh, M., (2013): Panduan Belajar Pemrograman Terstruktur Algorima dan Pemrograman C++, Akprind Press, Yogyakarta.
Siang, J. J., (2006): Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Komputer, Penerbit ANDI, Yogyakarta.
