Peranan Distribusi Normal Pada Kajian Uji Wilcoxon

PERANAN DISTRIBUSI NORMAL PADA KAJIAN UJI

WILCOXON

SKRIPSI

FIRZA UMAYRA

080823013

KEMENTRIAN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

DEPARTEMEN MATEMATIKA

PERANAN DISTRIBUSI NORMAL PADA KAJIAN UJI WILCOXON

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

FIRZA UMAYRA 080823013

KEMENTRIAN PENDIDIKAN NASIONAL

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

DEPARTEMEN MATEMATIKA

PERSETUJUAN

Judul : PERANAN DISTRIBUSI NORMAL PADA KAJIAN UJI WILCOXON

Kategori : SKRIPSI

Nama : FIRZA UMAYRA

Nomor Induk Mahasiswa : 080823013

Program Studi : S1 STATISTIKA EKSTENSI

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (MIPA) UNIVERSITAS SUMATERA

UTARA

NIP. 19461225197403001 NIP. 19500321980303001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

PERNYATAAN

PERANAN DISTRIBUSI NORMAL PADA KAJIAN UJI WILCOXON

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Juli 2010

PENGHARGAAN

Diawali dengan mengucapkan Puji Syukur Kehadirat Allah SWT, yang selama ini telah memberikan Penulis kekuatan dan semangat sehingga penyusunan Skripsi ini dapat diselesaikan dengan baik dan tepat waktu.

Adapun tujuan dari penulisan Skripsi ini adalah merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan Program S1 Statistika Ekstensi pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

Sebagai salah satu perwujudan dari proses pendidikan kemahasiswaan, penyusunan Skripsi ini disajikan berdasarkan pembahasan oleh penulis dari Uji Wilcoxon.

Selama dalam penyusunan Skripsi ini penulis telah banyak memperoleh bantuan dan bimbingan, untuk itu pada kesempatan ini Penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Kepada Almarhum Ayahanda H. Syarifuddin Sayuti dan Ibunda Hj. Ulfa Rahmi yang telah memberikan bantuan materil, ridho dan do’a yang tiada hentinya untuk penulis dari awal perkuliahan sampai selesainya penyusunan Skripsi ini, dan Adinda tersayang Elsya Soraya yang selalu memberi semangat dan motivasi kepada penulis

2. Bapak Prof. Dr. Eddy Marlianto, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU

3. Bapak DR. Saib Suwilo, M.Sc selaku Ketua Departemen Matematika FMIPA USU

4. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng selaku Ketua Pelaksana Jurusan Program S1 Statistika Ekstensi dan dosen pembimbing 2 pada penulisan Skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan Skripsi ini

5. Bapak Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si selaku dosen pembimbing 1 pada penulisan Skripsi ini yang telah bersedia memberikan arahan, bimbingan dan petunjuk kepada penulis dalam menyelesaikan Skripsi ini

7. Seluruh Staff Pengajar di Fakultas Matematika dan lmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara khususnya Jurusan Matematika

8. Semua pihak yang terkait dalam penyelesaian skripsi ini

Sepenuhnya Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan Skripsi ini masih banyak terdapat kekurangan. Untuk itu penulis mengharapkan saran dan kritik yang bersifat membangun, dimana saran dan kritik tersebut dapat dimanfaatkan untuk kemajuan ilmu pengetahuan pada saat ini dan yang akan datang.

Semoga Penulisan Skripsi ini dapat memberikan manfaat dan berguna bagi pembaca dan penulis pada khususnya. Akhir kata penulis mengucapkan banyak terima kasih.

Medan, Juli 2010

ABSTRAK

ABSTRACT

DAFTAR ISI

2.2 Transformasi Normal Standar 10

2.3 Tabel Distribusi Normal Standar 12

2.4 Uji Hipotesis 13

2.5 Spesifikasi Hipotesis : Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif 14

2.6 Tipe Kesalahan I dan Kesalahan II 16

2.7 Aturan Keputusan Pengujian Hipotesis 18

2.8 Distribusi Normal Standar, z untuk Uji Hipotesis 19

2.9 Uji Tanda 20

2.10 Uji Wilcoxon 21

Bab 3 Pembahasan dan Hasil 23

3.1 Pembahasan 23

3.1.1 Untuk Sampel N < 25 24

3.1.2 Untuk Sampel N 25 26

3.2 Penyelesaian 28

3.2.1 Untuk Sampel N < 25 28

3.2.2 Untuk Sampel N 25 30

Bab 4 Penutup 33

4.1 Kesimpulan 33

4.2 Saran 33

Daftar Pustaka 35

DAFTAR TABEL

Halaman

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.6.1 Tipe Kesalahan I 17

Gambar 2.6.2 Tipe Kesalahan II 18

ABSTRAK

ABSTRACT

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar belakang

Dalam penelitian seringkali dijumpai kesulitan untuk memperoleh data kontinu yang

menyebar mengikuti distribusi normal. Data penelitian yang diperoleh kebanyakan

hanya berupa kategori yang hanya dapat dihitung frekuensinya atau berupa data yang

hanya dapat dibedakan berdasarkan tingkatan atau rankingnya.

Menghadapi kasus data kategorikal atau data ordinal, jelas peneliti tidak

mungkin mempergunakan metode statistik parametrik. Sebagai gantinya diciptakan

oleh pakar metode statistik lain yang sesuai yaitu metode statistik nonparametrik.

Metode statistik nonparametrik sering juga disebut metode bebas sebaran

(distribution free) karena model uji statistiknya tidak menetapkan syarat-syarat

tertentu tentang bentuk distribusi parameter populasinya. Artinya bahwa metode

statistik nonparametrik ini tidak menetapkan syarat bahwa observasi-observasinya

harus ditarik dari populasi yang berdistribusi normal dan tidak menetapkan syarat

homoscedasticity. Dalam sejumlah uji statistik nonparametrik hanya menetapkan

asumsi/persyaratan bahwa observasi-observasinya harus independen dan bahwa

varibel yang diteliti pada dasarnya harus memiliki kontinuitas. Banyak di antara uji-uji

statistik nonparametrik kadangkala disebut sebagai “uji ranking”, karena teknik-teknik

pengertian keangkaan, melainkan skor yang semata-mata berupa jenjang-jenjang

(ranks).

Hasil pemikiran para pakar untuk menciptakan metode-metode statistik

nonparametrik, ternyata dapat menunjukkan hasil yang cukup baik, tidak jauh berbeda

dengan hasil yang diperoleh dengan metode statistik parametrik. Metode statistik

nonparametrik ternyata mempunyai kelebihan-kelebihan bila dibandingkan dengan

metode statistik parametrik, di samping kekurangan-kekuranganya.

Sebuah uji parametrik tergantung keabsahannya pada asumsi bahwa dalam

menarik sampel secara acak dari sebuah distribusi yang memiliki sebuah aturan

tertentu. Jika terdapat keraguan, maka uji nonparametrik yang sah dengan asumsi

yang lebih lemah dapat digunakan. Metode-metode nonparametrik tidak terhingga

nilainya, tentu saja metode-metode ini biasanya hanya tersedia bila mempunyai data

yang tersusun secara urut atau rank dan tidak teliti nilai pengamatannya.

Hal ini harus ditekankan bahwa asumsi yang lebih lemah tidak berarti bahwa

metode nonparametrik berasumsi bebas. Apa yang dapat disimpulkan tergantung pada

apakah asumsi dapat terbukti secara sah.

Asumsi dasar yang digunakan adalah bahwa sampel berasal dari populasi yang

mengikuti suatu distribusi tertentu, misalnya distribusi normal. Namun dalam banyak

hal, asumsi tersebut sulit dilakukan karena tidak ada informasi yang cukup memberi

petunjuk mengenai bentuk distribusi populasi yang dikaji. Dalam kondisi seperti ini

metode-metode nonparametrik dapat digunakan untuk melakukan suatu uji statistik

parametrik dan nonparametrik dapat digunakan untuk suatu masalah tertentu, prosedur

parametrik akan lebih efisien.

Dengan karakteristik yang dijelaskan diatas, metode nonparametik kebanyakan

dipakai dalam menangani data kualitatif. Metode ini digunakan dalam menangani

situasi berikut:

1. Jika ukuran sampel terlalu kecil sehingga distribusi sampling dari statistik

tidak mendekati distribusi normal dan ketika bentuk distibusi populasi asal

sampel tersebut tidak dapat diasumsikan.

2. Jika digunakan jenis data ordinal (atau data peringkat)

3. Jika digunakan jenis data nominal

Dengan demikian dapat dipahami bahwa metode nonparametrik memberi

keleluasan yang lebih luas dalam melakukan inferensi statistik karena metode ini

dapat digunakan dalam keterbatasan data dari sampel dan keterbatasan informasi

mengenai populasi. Meskipun tidak seefisien metode parametrik, metode ini lebih

mudah dipahami dibandingkan dengan metode parametrik serta melibatkan

perhitungan – perhitungan yang lebih sederhana. Namun terdapat juga beberapa

keterbatasan dari metode ini. Jika jenis data yang digunakan adalah data ordinal atau

data nominal, maka seluruh data hasil pengukuran yang sudah tersedia diabaikan

sehingga kurang begitu kuat dan kurang sensitif dibandingkan dengan hasil dari uji

1.2 Perumusan Masalah

Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah menentukan hasil yang lebih

signifikan dengan menggunakan Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon untuk beberapa

nilai parameter.

1.3 Tujuan Penelitian

Mengetahui hasil analisis yang menunjukkan bahwa untuk data yang diketahui bentuk

distribusinya, uji parametrik dengan menggunakan uji t memberikan hasil yang lebih

baik daripada uji nonparametrik dengan uji peringkat bertanda Wilcoxon, atau

sebaliknya.

1.4 Kontribusi Penelitian

a. Mengetahui hasil yang lebih baik dalam bentuk distribusi normal pada uji

nonparametrik

b. Mengidentifikasi nilai parameter pada uji nonparametrik

c. Menambah wawasan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika yang

1.5 Tinjauan Pustaka

1. Siegel, Sidney, 1992

Dalam melakukan penelitian untuk menetapkan apakah hipotesis yang

bersumber pada teori-teori tentang tingkah laku dapat diterima atau tidak.

Sesudah memilih hipotesis tertentu yang tampaknya penting dalam suatu teori

yaitu mengumpulkan data empiris yang harus menghasilkan informasi

langsung mengenai dapatnya hipotesis tersebut diterima. Keputusan mengenai

arti data itu mungkin dipertahankan, direvisi atau menolak hipotesis tersebut

serta teorinya merupakan sumber hipotesis tersebut.

Dalam rangka mencapai suatu keputusan objektif mengenai apakah

suatu hipotesis tertentu diperkuat oleh seperangkat data, dipergunakan suatu

prosedur objektif untuk menolak atau menerima hipotesis tersebut. Objektifitas

yang ditekankan disini, sebab salah satu yang dituntut dari metode ilmiah

adalah bahwa seseorang harus sampai pada kesimpulan ilmiah melalui

metode-metode yang diketahui umum dan yang dapat diulangi oleh peneliti

lain yang kompeten.

Prosedur objektif ini harus didasarkan atas informasi yang diperoleh

dalam penelitian tersebut, dan didasarkan atas resiko yang sanggup ditanggung

bahwa keputusan sehubungan dengan hipotesis tersebut bisa menjadi tidak

benar.

Suatu tes statistik nonparametrik adalah tes yang modelnya tidak

menetapkan syarat-syarat mengenai parameter-parameter populasi yang

merupakan induk sampel penelitiannya. Anggapan-anggapan tertentu

observasi-observasinya independen dan bahwa variabel yang diteliti pada

dasarnya memiliki kontinuitas. Namun anggapan-anggapan ini lebih sedikit

dan jauh lebih lemah daripada anggapan-anggapan yang berkaitan dengan tes

parametrik. Terlebih lagi tes nonparametrik tidak menuntut pengukuran sekuat

yang dituntut tes-tes parametrik, sebagian besar tes nonparametrik dapat

diterapkan untuk data dalam skala ordinal dan beberapa yang lain juga dapat

diterapkan untuk data dalam skala nominal.

Dalam mempertimbangkan arah dan besar (magnitude) relatif

perbedaan maka dapat dilakukan suatu tes yang lebih besar kekuatannya. Tes

wilcoxon melakukan hal tersebut. Tes wilcoxon memberikan bobot yang lebih

besar kepada pasangan yang menunjukkan perbedaan yang besar untuk kedua

kondisinya, dibandingkan dengan pasangan yang menunjukkan perbedaan

yang kecil.

Tes wilcoxon ini adalah tes yang paling berguna bagi para ilmuwan

sosial. Dengan data tingkah laku, bukannya tidak lazim bahwa peneliti dapat

mengatakan anggota manakah dalam suatu pasangan yang “lebih besar dari”,

yaitu mengatakan tanda selisih observasi dalam setiap pasangan dan membuat

ranking selisih itu dalam urutan harga absolutnya. Artinya dapat membuat

penilaian tentang “lebih besar dari” itu antara dua penampilan dalam

masing-masing pasangan, dan juga dapat membuat penilaian antara dua skor yang

2. Hasan, Iqbal. M, 2001

Uji Wilcoxon pertama kali diperkenalkan oleh Frank Wilcoxon pada tahun

1945. Uji Wilcoxon merupakan pengembangan dari Uji t dengan ketelitian

hasil analisis Wilcoxon dibandingkan Uji t adalah tidak hanya dapat

menunjukkan arah perbedaan tetapi juga dapat menunjukkan perbedaan antara

kelompok – kelompok yang dibandingkan. Uji peringkat bertanda Wilcoxon

digunakan jika besaran maupun arah perbedaan relevan untuk menentukan

apakah terdapat pebedaan yang sesungguhnya antara data yang satu dengan

data yang lainnya. Uji peringkat bertanda Wilcoxon tidak hanya

memanfaatkan informasi tentang arah tetapi juga besarnya perbedaan pasangan

nilai itu.

Langkah – langkah pengujian urutan bertanda Wilcoxon ialah sebagai berikut:

- Menentukan formulasi hipotesis

H0 : Jumlah urutan tanda positif dengan jumlah urutan tanda negatif adalah

sama ( tidak ada perbedaan nyata antara pasangan data )

H1 : Jumlah urutan tanda positif dengan jumlah urutan tanda negatif adalah

berbeda ( ada perbedaan nyata antara pasangan data )

- Menentukan taraf nyata (α) dengan T tabelnya

Pengujian dapat berbentuk satu sisi atau dua sisi

- Menentukan kriteria pengujian

H0 diterima apabila t hitung T tabel

H0 ditolak apabila thitung < T tabel

- Menentukan nilai uji statistik nilai (nilai t hitung)

Tahap – tahap pengujian ialah sebagai berikut:

- Menentukan tanda beda dan besarnya tanda beda antara pasangan data

- Jika terdapat beda yang sama, diambil rata-ratanya

- Beda nol tidak diperhatikan

- Memisahkan tanda beda positif dan negatif atau tanda jenjang

- Menjumlahkan semua angka positif dan angka negatif

- Nilai terkecil dari nilai absolut hasil penjumlahan merupakan nilai t hitung,

yaitu uji nilai statistik

- Membuat kesimpulan

Menyimpulkan H0 diterima atau ditolak

Untuk pasangan data lebih besar dari 25 ( n 25 ), pengujiannya

menggunakan nilai z yaitu :

z =

E

T

=

σ

T

=

1.6 Metode Penelitian

1. Mengkaji lebih dalam lagi statistik non parametrik khususnya uji peringkat

bertanda Wilcoxon dengan menggunakan beberapa parameter

2. Simulasi data menggunakan paket program Microsoft Excel

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Distribusi Normal

Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi

normal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar

tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan

penggunaan kurva distribusi lainnya. Frekuensi relatif suatu variabel yang mengambil

nilai antara dua titik pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng

setangkup merupakan distribusi normal.

Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal

yang menjadi dasar banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula

disebut Distribusi Gauss untuk menghormati Gauss (1777 – 1855), yang juga

menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang

berulang-ulang mengenai bahan yang sama.

Sifat dari variabel kontinu berbeda dengan variabel diskrit. Variabel kontinu

dipisahkan satu nilai dengan nilai yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel random

kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua

nilai tertentu. Dengan kata lain sesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam

variabel kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati

nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel kontinu,

tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantara dua buah nilai.

Distribusi kontinu mempunyai fungsi matematis tertentu. Jika fungsi

matematis tersebut digambar, maka akan terbentuk kurva kepadatan dengan sifat

sebagai berikut:

1. Probabilitas nilai x dalam variabel tersebut terletak dalam rentang antara 0

dan 1

2. Probabilitas total dari semua nilai x adalah sama dengan satu (sama dengan

luas daerah di bawah kurva)

Fungsi kepadatan merupakan dasar untuk mencari nilai probabilitas di antara

dua nilai variabel. Probabilitas di antara dua nilai adalah luas daerah di bawah kurva

di antara dua nilai dibandingkan dengan luas daerah total di bawah kurva. Dapat dicari

luas daerah tersebut dengan menggunakan integral tertentu (definit integral).

Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung

pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).

persis sama tapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu

datar.

Dengan memeriksa turunan pertama dan kedua dari n(x ; μ, σ) dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut :

1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva,

terdapat pada x = μ

2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan μ

3. Kurva mempunyai titik belok pada x = μ σ, cekung dari bawah bila μ – σ

< x < μ + σ, dan cekung dari atas untuk harga x lainnya

4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x

bergerak menjauhi μ baik ke kiri maupun ke kanan

5. Seluruh luas di bawah kurva diatas sumbu datar sama dengan 1

Bila x menyatakan peubah acak distribusi maka P(x1 < x < x2) diberikan oleh

daerah yang diarsir dengan garis yang turun dari kiri ke kanan. Jelas bahwa kedua

daerah yang diarsir berlainan luasnya. Jadi, peluang yang berpadanan dengan

masing-masing distribusi akan berlainan pula.

2.2 Transformasi Normal Standar

Distribusi normal adalah distribusi variabel kontinu dengan fungsi matematis adalah

dengan π = 3,14159… dan e = 2,71828

Selain beberapa konstanta yang tidak akan berubah nilainya (e, π), bentuk

distribusi kurva normal ditentukan oleh tiga variabel, yaitu:

x = nilai dari distribusi variabel

μ = mean dari nilai-nilai distribusi variabel

σ = standar deviasi dari nilai-nilai distribusi variabel

Para ahli statistik telah menyelidiki bentuk distribusi normal dengan

mempelajari fungsi tersebut dan didapatkan sifat-sifat sebagai berikut:

a. Simetris, yaitu mean distribusi terletak di tengah dengan luas bagian

sebelah kiri sama dengan bagian sebelah kanan (berbentuk lonceng)

sehingga total daerah di bawah kurva sebelah kiri = total daerah di bawah

kurva sebelah kanan = 0,5

b. 68% dari nilai variabel terletak dalam jarak 1σ (antara -1σ dan +1σ)

c. 95% dari nilai variabel terletak dalam jarak 1,96σ

d. 99% dari nilai variabel terletak dalam jarak 3σ

Selain menggunakan metode integral, perhitungan probababilitas distribusi

normal juga bisa menggunakan tabel distribusi normal, yaitu tabel yang memuat

probabilitas dari berbagai nilai variabel dalam distribusi normal. Metode ini lebih

praktis untuk keperluan penelitian. Yang menjadi masalah dalam penyusunan tabel

tersebut adalah kenyataan bahwa terdapat banyak sekali macam distribusi normal,

Untuk mengatasi hal tersebut, maka para ahli hanya membuat satu buah tabel

yaitu tabel untuk menghitung nilai-nilai probabilitas distribusi normal standar,

sedangkan jika akan menghitung probabilitas nilai-nilai variabel distribusi normal

yang tidak standar, tetap bisa menggunakan tabel distribusi normal standar tersebut

dengan memakai metode konversi. Yang dimaksud distribusi normal standar adalah

distribusi normal dengan sifat khusus, yaitu distribusi dengan normal yang mean = 0

dan standar deviasi = 1.

Untuk mengatasi kesulitan dalam menghitung fungsi padat normal maka

dibuat tabel luas kurva normal sehingga memudahkan penggunaanya. Akan tetapi,

tidak akan mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap harga μ dan σ.

Untunglah, seluruh pengamatan dengan setiap peubah acak normal x dapat

ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru suatu peubah acak normal z

dengan rataan nol dan variansi 1. Hal ini dapat dikerjakan dengan transformasi.

z =

Bilamana x mendapat suatu harga x, harga z padanannya diberikan oleh z = (x

– μ)/σ. Jadi, bila z berharga antara x = x1 dan x = x2, maka peubah acak z akan

berharga z1 = (x1 – μ)/σ dan z2 = (x2 – μ)/σ. Distribusi peubah acak normal dengan

rataan nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku.

Dengan demikian sepanjang diketahui rata-rata dan deviasi standar, maka

dapat ditransformasi setiap distribusi nilai ke dalam nilai-nilai z. Bagaimanapun hanya

sendirinya berdistribusi normal. Dengan kata lain, transformasi ke dalam nilai-nilai z

tidak mengubah bentuk awal dari distribusi itu.

2.3 Tabel Distribusi Normal Standar

Berikut ini beberapa hal tentang distribusi normal standar :

1. Tabel distribusi normal standar disusun untuk menghitung probabilitas

nilai-nilai variabel normal standar, yaitu distribusi normal dengan mean nol (μ = 0) d an standar d ev iasi satu (σ = 1 ). Variabel distribu si normal stand ar

menggunakan lambang z.

2. Karena distribusi normal standar bersifat simetris (kiri-kanan sama), maka

tabel distribusi normal standar dibuat hanya untuk menghitung bagian sebelah

kanan mean dari distribusi tersebut. Untuk menghitung nilai di sebelah kiri,

maka nilai z yang negatif dianggap sama dengan z positif, sehingga tabel

tersebut tetap bisa digunakan.

3. Nilai-nilai probabilitas yang terdapat dalam tabel tersebut adalah nilai

probabilitas antara μ = 0 dan satu nilai z tertentu, bukan antara dua buah nilai z

sembarang.

Nilai z begitu penting karena semua distribusi normal ukuran nilai apapun

dapat ditransformasi kedalam satu distribusi nilai, yaitu distribusi nilai z yang disebut

dengan distribusi normal standar.

Distribusi mempunyai dua sifat penting, yaitu :

1. Rata-rata distribusi z, μ adalah 0

Distribusi asli dan sesudah ditransformasi dikarenakan semua harga x antara x1

dan x2 mempunyai harga z padanan antara z1 dan z2, luas di bawah kurva x antara

ordinat x = x1 dan x = x2 sama dengan luas di bawah kurva z antara ordinat yang telah

ditransformasikan z = z1 dan z = z2. Sekarang banyaknya tabel kurva normal yang

diperlukan telah diperkecil menjadi satu, yaitu distribusi normal baku.

2.4 Uji Hipotesis

Dua unsur utama dalam statistik inferensi adalah estimasi dan pengujian hipotesis.

Pengujian hipotesis merupakan hal sangat penting dalam statistik inferensi. Dua tipe

pengujian hipotesis, yaitu uji t untuk menguji hipotesis pada parameter tunggal

(individual) dan uji F menguji hipotesis pada parameter-parameter secara simultan.

Pengujian hipotesis dilakukan setelah menghitung estimasi terhadap parameter

populasi yang benar dengan serangkaian pertanyaan-pertanyaan yang jauh lebih rumit.

Pengujian hipotesis menentukan apa yang dapat dipelajari tentang alam nyata dari

sampel. Apabila hipotesis ditolak dengan menggunakan hasil yang muncul oleh

sampel yang digunakan maka hipotesis dinyatakan benar, keanehan-keanehan yang

terjadi bahwa sampel tertentu akan teramati.

Pengujian hipotesis digunakan di berbagai bidang. Sebuah perusahaan

memiliki bagian penelitian dan pengembangan yang salah satu tugasnya adalah

menguji produk sebelum dipasarkan. Seorang ahli ekonomi Milton Friedman

Walaupun para peneliti selalu tertarik untuk mempelajari apakah teori yang

dipertanyakan (hipotesis) didukung oleh estimasi-estimasi yang dihasilkan dari sebuah

sampel yang berasal dari pengamatan-pengamatan alam nyata, nampaknya hampir

tidak mungkin untuk membuktikan bahwa suatu hipotesis tertentu adalah benar.

Semua yang dapat dilakukan menyatakan bahwa suatu sampel tertentu cocok atau

sesuai dengan hipotesis tertentu. Walaupun hal tersebut tidak dapat membuktikan

bahwa suatu teori tertentu adalah “benar” dengan menggunakan uji hipotesis dengan

suatu tingkat keyakinan tertentu. Dalam kasus seperti ini, peneliti menyimpulkan

bahwa sangatlah tidak mungkin hasil sampel akan teramati, jika teori yang

dihipotesiskan adalah benar. Jika terdapat bukti yang tidak sesuai dengan validitas

teori, pertanyaan itu sering disimpan sampai data tambahan atau suatu pendekatan

baru memberikan jalan terang bagi persoalan itu.

Ada tiga topik yang sangat penting untuk dibicarakan dalam aplikasi pengujian

hipotesis pada analisis regresi :

1. Spesifikasi hipotesis yang harus diujikan

2. Keputusan yang digunakan untuk menentukan apakah menolak hipotesis

yang dipertanyakan

3. Macam kesalahan yang mungkin dihadapi jika aplikasi keputusan

menghasilkan kesimpulan yang tidak benar.

2.5 Spesifikasi Hipotesis : Hipotesis Nol dan Hipotesis Alternatif

Tahap pertama dalam pengujian hipotesis adalah menyatakan secara eksplisit

hipotesis yang akan diuji. Untuk menjaga rasa kejujuran, peneliti seharusnya

menyatakan spesifikasi hipotesis tersebut sebelum parameter dalam hipotesis itu

hipotesis dengan dasar teori selengkap mungkin. Hipotesis yang disusun setelah

estimasi adalah pembenaran hasil-hasil tertentu daripada menguji validatasinya.

Akibatnya, sebagian besar ahli statistik inferensi harus hati-hati dalam menyusun

hipotesis sebelum estimasi.

Dalam menyusun sebuah hipotesis, peneliti harus menyatakan secara hati-hati

tentang apa yang dipikir tidak benar dan apa yang dipikir benar. Ini mencerminkan

harapan-harapan peneliti tentang suatu parameter atau parameter-parameter tertentu

diringkas dalam bentuk hipotesis nol dan hipotesis alternatif.

Hipotesis nol adalah suatu pernyataan tertentu tentang nilai-nilai dalam suatu

range dari parameter yang akan diharapkan terjadi apabila teori yang dimiliki peneliti

tidak benar. Sedangkan Hipotesis alternatif digunakan untuk menspesifikasi nilai-nilai

dalam suatu range dari parameter yang diharapkan terjadi apabila pernyataan teori

oleh peneliti adalah benar.

Kata nol berarti “kosong” dan hipotesis nol dapat dipertimbangkan sebagai

hipotesis yang mana peneliti tidak dipercaya. Dalam membangun hipotesis nol dan

hipotesis alternatif dengan cara seperti ini supaya dapat menyusun pernyataan yang

kuat apabila menolak hipotesis nol. Ini hanya terjadi apabila didefinisikan hipotesis

nol dengan beranggapan bahwa hal tersebut tidak mengharapkan dapat membatasi

probabilitas menolak secara kebetulan hipotesis nol apabila faktanya memang benar.

Pernyataan sebaliknya tidak berlaku, yaitu bahwa sesungguhnya hal tersebut

tidak pernah mengetahui probabilitas menerima secara kebetulan hipotesis nol apabila

hipotesis nol. Dapat dikatakan bahwa tidak dapat menolak hipotesis nol atau

meletakkan kata menerima dalam permasalahan.

Dalam statistik inferensi, hipotesis biasanya tidak menspesifikasi nilai-nilai

tertentu, namun menyatakan suatu arah atau tanda tertentu yang mana peneliti

mengharapkan statistik hasil estimasi itu akan diperoleh. Dapat dinyatakan hipotesis

suatu parameter tertentu akan positif atau negatif. Dalam kasus-kasus semacam itu

hipotesis nol menunjukkan bahwa apa yang diharapkan tidak terjadi, namun harapan

itu merupakan suatu range nilai hipotesis yang sama (dalam suatu range) untuk

hipotesis alternatif.

Notasi yang digunakan untuk menunjukkan suatu hipotesis nol adalah “H0”

dan notasi ini diikuti oleh suatu pernyataan nilai atau range nilai-nilai yang tidak

diharapkan sebagai parameter yang akan diperoleh. Apabila kita mengharapkan suatu

parameter yang negatif maka hipotesis nol yang benar adalah

H0: μ < 0 (nilai yang tidak diharapkan)

Hipotesis alternatif dinyatakan oleh “H1” diikuti oleh parameter nilai atau

nilai-nilai yang diharapkan teramati :

H1: μ 0 (nilai yang diharapkan benar)

Cara lain untuk menyatakan hipotesis nol dan hipotesis alternatif adalah

menguji hipotesis bahwa μ adalah tidak berbeda secara signifikan dari nol untuk

H0: μ = 0

H1: μ 0

Oleh karena H1 memiliki nilai-nilai pada kedua arah dari hipotesis nol, maka

pendekatan ini disebut uji dua-arah untuk membedakan dengan contoh yang pertama,

yaitu uji satu-arah

2.6. Tipe Kesalahan I dan Kesalahan II

Pengujian dalam statistik inferensi adalah menghipotesiskan suatu arah yang

diharapkan dari parameter atau masing-masing parameter dan kemudian menentukan

apakah menolak atau tidak menolak hipotesis nol. Oleh karena statistik hanyalah

estimasi dari parameter (parameter-parameter) populasi yang benar, maka tidaklah

realistis untuk menduga bahwa kesimpulan yang ditarik dari analisis sampel akan

selalu benar. Ada dua macam kesalahan yang dapat dibuat dalam pengujian hipotesis

semacam itu :

Tipe Kesalahan I : Tidak menolak sebuah hipotesis nol yang benar

Tipe Kesalahan II : Tidak menolak sebuah hipotesis nol yang salah

Dapat diperhatikan kesalahan-kesalahan ini sebagai kesalahan-kesalahan Tipe

I dan Tipe II. Anggaplah memiliki hipotesis nol dan hipotesis alternatif sebagai

berikut :

H0:μ 0

membuat kesalahan Tipe I, namun hanya satu-satunya kesempatan dapat dinolak

kebenaran adalah ketika jatuh di daerah penolakan.

Memperkecil tipe kesalahan I berarti memperbesar tipe kesalahan II. Dapat

dipilih di antara kedua tipe kesalahan tersebut dengan memperhatikan biaya (cost)

membuat satu jenis kesalahan yang secara dramatis lebih besar daripada biaya

membuat kesalahan jenis lain.

2.8 Distribusi Normal Standar, z untuk uji Hipotesis

Uji hipotesis sering menggunakan distribusi normal standar. Untuk kasus-kasus di

mana ukuran jumlah sampel cukup besar dan deviasi standar populasi diketahui

digunakan distribusi normal standar z, sementara untuk ukuran jumlah sampel kecil

dan deviasi standar populasi tidak diketahui digunakan distribusi normal standar.

a. Untuk Sampel Berukuran Besar dan σ Diketahui

z =

dengan :

σ

x

=

σ = deviasi standar populasi

= rata-rata sampel

b. Untuk Sampel Berukuran Besar dan σ Tidak Diketahui

z =

dengan :

S

x

=

S = deviasi standar data sampel

= rata-rata sampel

μ = rata-rata populasi

2.9 Uji Tanda

Di dalam menggunakan uji t, populasi dari mana sampel diambil harus berdistribusi

normal. Untuk pengujian perbedaan mean dari dua populasi didasarkan pada

anggapan bahwa varians populasinya harus identik/sama. Dalam banyak hal bila salah

satu atau kedua anggapan tersebut tidak diketahui, maka uji t tidak dapat

dipergunakan. Dalam hal demikian dapatlah dipergunakan uji nonparametrik yang

umum dikenal sebagai uji tanda (sign test).

Uji tanda didasarkan atas tanda-tanda, positif atau negatif, dari perbedaan

antara pasangan pengamatan. Bukan didasarkan atas besarnya perbedaan. Uji tanda

dapat dipergunakan untuk mengevaluasi efek dari suatu treatment tertentu. Efek dari

variabel eksperimen atau treatment tidak dapat diukur melainkan hanya dapat diberi

2.10 Uji Wilcoxon

Uji nonparametrik akhir-akhir ini mendapat perhatian yang lebih besar karena

beberapa sebab. Pertama, perhitungannya biasanya singkat dan mudah dikerjakan.

Kedua, datanya tak perlu berupa pengukuran kuantitatif tapi dapat saja berupa respon

kualitatif seperti ‘cacat’ atau ‘tidak cacat’, ‘ya ‘ atau ‘tidak’ atau sering pula nilai skala

ordinal yang dapat diberi rank. Pada skala ordinal datanya di rank menurut aturan

tertentu, dan dengan uji nonparametrik berbagai rank itu dianalisis.

Pada tahun 1945 Frank Wilcoxon mengusulkan suatu cara nonparametrik yang

amat sederhana untuk membandingkan dua populasi kontinu bila hanya tersedia

sampel bebas yang sedikit dan kedua populasi asalnya tidak normal. Cara ini sekarang

dinamakan uji Wilcoxon atau Uji Jumlah Rank Wilcoxon.

Hipotesis nol H0 bahwa μ1= μ2 akan diuji lawan suatu tandingan yang sesuai.

Pertama-tama ambilah sampel acak dari tiap populasi. Misalkan n1 banyaknya

pengamatan dalam sampel yang lebih kecil, dan n2 banyaknya pengamatan dalam

sampel yang lebih besar. Bila sampelnya berukuran sama, maka n1 dan n2 dapat

dipertukarkan. Urutlah semua n1 + n2 pengamatan dengan urutan membesar dan

berikan rank 1, 2, … , n1 + n2 pada tiap pengamatan. Bila terdapat seri (pengamatan

yang besarnya sama), maka pengamatan tersebut diganti dengan rataan ranknya jika

2.11 Uji Wilcoxon untuk pengamatan berpasangan

Uji tanda ditunjukkan dengan pemberian tanda tambah atau kurang, anggota yang

mana dari pengamatan yang berpasangan yang lebih besar, tapi tidak menunjukkan

besarnya selisih tersebut. Suatu uji memperhitungkan tanda dan besarnya selisih telah

dikemukakan oleh Wilcoxon dan sekarang biasa disebut sebagai Uji Wilcoxon untuk

pengamatan berpasangan. Uji wilcoxon lebih peka daripada uji tanda dalam

menentukan perbedaan antara rataan populasi dan karena itu akan dibahas secara

mendalam.

Untuk menguji hipotesis bahwa μ1 = μ2 dengan uji Wilcoxon, mula-mula

kesampingkan semua selisih yang besarnya nol dan kemudian rank bi, yaitu sisanya,

tanpa memperhatikan tandanya. Rank 1 diberikan pada nilai mutlak bi yang terkecil,

rank 2 pada terkecil berikutnya, dan seterusnya. Bila nilai mutlak dari dua atau lebih

selisih sama, berilah pada tiap selisih rata-rata dari yang seharusnya akan diberikan

seandainya selisih tersebut dapat diberikan. Bila tidak ada perbedaaan antara kedua

rataan populasi, maka jumlah ruang dari selisih yang positif seharusnyalah hampir

sama dengan jumlah rank dari selisih yang negatif.

Uji ini digunakan untuk menguji kondisi (variabel) pada sampel yang

berpasangan atau dapat juga untuk penelitian sebelum dan sesudah. Dalam uji ini

ingin diketahui manakah yang lebih besar dari antara pasangan. Misalkan di = selisih

tiap pasangan yang harus dibuat ranking, untuk di tanpa memperhatikan tandanya,

rank 1 diberikan untuk harga mutlak di terkecil dan rank terbesar untuk harga mutlak

di terbesar. Kemudian untuk masing-masing ranking berikan tandanya sesuai dengan

Bila perlakuan pertama sama pengaruhnya dengan perlakuan kedua, yaitu

apabila Ho benar, diharapkan akan dijumpai beberapa di yang bertanda + dan beberapa

yang bertanda – dalam jumlah yang sama. Jika jumlah tersebut berbeda, maka berarti

perlakuan pertama berbeda dengan perlakuan kedua.

Tujuan Penggunaan Uji Peringkat Bertanda Wilcoxon ialah menggunakan arah

dan besar perbedaan untuk mengetahui apakah benar-benar terdapat perbedaan pada

data ordinal pasangan tersebut.

BAB 3

PEMBAHASAN DAN HASIL

3.1 Pembahasan

Setiap data merupakan alat bagi pengambilan keputusan untuk dasar pembuatan

keputusan – keputusan atau untuk memecahkan suatu persoalan. Keputusan yang baik

dapat dihasilkan jika pengambilan keputusan tersebut didasarkan atas data yang baik.

Jumlah data yang akan dianalisis tergantung dari penentuan ukuran sampel yang

diambil.

Penentuan ukuran sampel n, merupakan salah satu hal yang penting dalam

studi penarikan sampel, karena telah diketahui bahwa banyaknya informasi tentang

sifat populasi yang terkandung dalam sampel sangat ditentukan oleh ukuran sampel

yang ada. Pada dasarnya memang berlaku bahwa semakin besar ukuran sampel adalah

semakin baik karena akan menambah informasi, tetapi dari penambahan ukuran

sampel tersebut berkaitan dengan penambahan ongkos, sehingga penentuan ukuran

Dalam metode Wilcoxon memperkenalkan pengujian yang relatif cukup

sederhana dan tidak membutuhkan berbagai macam asumsi yang harus dipenuhi

seperti pengujian-pengujian lainnya, misalnya tentang sifat dan bentuk distribusinya

serta parameter populasinya.

Dalam analisa ini, Wilcoxon mengenalkan pengujian terhadap 2 macam

sampel yang dikenal sebagai Wicoxon Two Sample Test. Pengujian dengan metode

ini sebenarnya ditujukan untuk menguji suatu hipotesa nol (H0). Untuk menguji hal

tersebut diatas, maka pertama kali yang harus dilakukan adalah memilih beberapa

sampel secara random dari tiap populasi yang akan diteliti. Setelah itu diusahakan

untuk membuat ranking yang sesuai dengan pengamatan sampel yang telah diperoleh.

Selanjutnya jumlah ranking yang diperoleh tersebut dari sejumlah pengamatan

n1 pada jenis sampel yang pertama disebut sebagai W1 dan jumlah ranking yang

diperoleh dari sejumlah pengamatan pada jenis sampel kedua n2 sebagai W2.

3.1.1 Untuk sampel n < 25

Jika diberikan sebuah persoalan seperti berikut:

Seorang peneliti ingin menentukan apakah kenaikan gaji akan meningkatkan tingkat

motivasi pegawai. Misalkan X menunjukkan tingkat motivasi pegawai sebelum

Ukuran sampel 20 pekerja dan hasil penelitian sebagai berikut :

Tabel 3.1.1 Tingkat Motivasi Pegawai Sebelum & Sesudah Kenaikan Upah

Pegawai Sebelum (X) Sesudah (Y)

Dari data diatas ujilah hipotesis nol (Ho) bahwa kenaikan upah tidak

mempunyai pengaruh terhadap jumlah output per jam dengan taraf nyata 0,01.

3.1.2 Untuk sampel n 25

Penelitian kinerja sebelum dan sesudah pelaaksanaan otonomi daerah pegawai telah

dilakukan terhadap sampel berukuran 29 pegawai suatu instansi “X”. Hasil

Tabel 3.1.2 Tingkat Kinerja Sebelum & Sesudah Otonomi Daerah

Responden Sebelum Sesudah

24 56 57

Sumber : Nana Danapriatna dan Rony Setiawan (2005)

Dari data diatas ujilah Hipotesis nol (H0) bahwa pelaksanaan otonomi daerah

tidak berpengaruh nyata terhadap kinerja pegawai dengan taraf nyata 0.05

3.2 Penyelesaian

3.2.1 Untuk sampel n < 25

Adapun penyelesaian dari permasalahan diatas adalah sebagai berikut :

1. H0 : Kenaikan upah tidak mempunyai pengaruh terhadap tingkat motivasi

pegawai (jumlah ranking positif = jumlah ranking negatif)

H1 : Kenaikan upah mempunyai pengaruh terhadap tingkat motivasi pegawai

(jumlah ranking positif ≠ jumlah ranking negatif)

2. Taraf nyata a = 0,01; n = 20 pasangan dan akan dikurangi jika terdapat nilai

di = 0. Karena n 25 maka menggunakan tabel Wilcoxon (T tabel)

3. Kriteria daerah kritis : dk = (n1 + n2 – 2)

= (20 + 20 – 2)

dengan α = 0,01 maka t hitung = 37

4. Kriteria uji: H0 ditolak jika t hitung < T tabel atau sebaliknya.

5. Penyelesaian menghitung T

Tabel 3.2.1 Tingkat Motivasi Pegawai Sebelum & Sesudah Kenaikan Upah

S 75 65 -10 20 -19 -19

T 65 67 2 8 6 6

Jumlah 137.5 -72.5

6. Kesimpulan :

T hitung terkecil = 72.5 dan t hitung terbesar = 137.5

Nilai T tabel yang diperoleh adalah 37

Lalu diperoleh t hitung < T tabel

Maka H0 diterima : Kenaikan upah tidak mempunyai pengaruh terhadap

tingkat motivasi pegawai

3.2.2 Untuk sampel n 25

Adapun penyelesaian dari permasalahan diatas adalah sebagai berikut :

1. H0 : pelaksanaan otonomi daerah tidak berpengaruh terhadap kinerja pegawai

atau jumlah ranking positif sama dengan jumlah ranking negatif

H1 : pelaksanaan otonomi daerah berpengaruh terhadap kinerja pegawai

2. Taraf nyata : 0.05, n = 29 dan akan dikurangi jika terdapat nilai di = 0. Sebaran

sampel dari data diatas n 25 maka digunakan pendekatan kurva normal atau

z tabel.

3. Kriteria uji : H0 ditolak jika z hitung > z tabel atau sebaliknya dengan z tabel

= Z0.05 = 1.64

Tabel 3.2.2 Tingkat Kinerja Sebelum dan Sesudah Otonomi Daerah

Responden Sebelum Sesudah di Urutan Jenjang

22 23 90 67 22 22 22

23 56 78 22 19 19 19

24 56 57 1 4 2.5 2.5

25 70 70 0 - -

26 76 78 2 6 5.5 5.5

27 45 60 15 17 16.5 16.5

28 76 80 4 10 10 10

29 54 54 0 - -

Jumlah 215 -38

Dari penyelesaian diatas maka nilai t hitung = 38 dengan Beda (di) = 0 tidak dihitung.

Oleh karena itu n = 29-7 = 22

E

T

=

=

= 126.5

σ

T

=

=

= 30.802

z =

=

= -2.87

5. Kesimpulan

z hitung yang diperoleh adalah 2.87

Nilai Z tabel yang diperoleh adalah 1.64

Lalu diperoleh z hitung (2.87) > Z tabel (1.64)

Maka H0 ditolak : Pelaksanaan otonomi daerah berpengaruh terhadap kinerja

BAB 4

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka

dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Untuk sampel n < 25 maka diperoleh hasil bahwa H0 diterima yang berarti

Kenaikan Upah tidak mempunyai pengaruh terhadap tingkat motivasi pegawai

2. Untuk sampel n 25 maka diperoleh hasil bahwa H0 ditolak yang berarti bahwa

Pelaksanaan Otonomi Daerah Berpengaruh terhadap Kinerja Pegawai

3. Untuk sampel n 25 uji Wilcoxon berperan cukup penting pada Distribusi

Normal

4. Uji Wilcoxon memiliki hasil yang cukup signifikan untuk beberapa nilai

4.2Saran

Dari analisis dan kesimpulan yang telah didapat, ada beberapa saran yang mungkin

dapat membantu dalam melakukan pengambilan sampel sebagai berikut :

1. Jika ingin mengambil sampel haruslah lebih teliti rumus mana yang akan

digunakan agar tidak terjadi kesalahan dalam menentukan penyelesaian.

DAFTAR PUSTAKA

1. Danapriatna, Nana dan Rony Setiawan, ” Pengantar Statistika”, Graha

Yogyakarta, 2005

2. Daniel, W, ” Statistik Nonparametrik Terapan ”, PT. Gramedia, Jakarta, 1989

3. Dixon, J. Wilfrid and Frank J. Massey, Jr, ” Pengantar Analisis Statistik ”,

Universitas Gajah Mada, Yogyakarta, 1997

4. Djarwanto, ” Statistik Nonparametrik ”, Universitas Sebelas Maret Surakarta,

Yogyakarta, 2003

5. Drapper, NR and Harry smith, S, “ Applied Regression Analysis “, Second

Edition. John Wiley & Sons, Inc, New York, 1981

6. Dudewicz, J. Edward dan Satya N. Mishra, “ Statistika Matematika Modern “, ITB

Bandung, 1995

7. Dwi Waluyo, Sihono, “ Statistika Untuk Pengambilan Keputusan “, Ghalia

Indonesia, Jakarta, 2001

8. Hakim, Abdul, “ Statistik Induktif ”, Ekonisia, Yogyakarta, 2002

9. Harinaldi, ” Prinsip – Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains ”, Erlangga,

Jakarta, 2005

10.Hasan, Iqbal. M, ” Pokok-Pokok Materi Statistik 2 (Statistik Inferensif) ”, Bumi

Aksara, Jakarta, 2001

11.Saleh, Samsubar, ” Statistik Nonparametrik ”, Universitas Gajah Mada,

Yogyakarta, 1996

12.Siegel, Sidney, ” Statistik Nonparametrik ”, PT. Gramedia, Jakarta, 1992

13.Supangat, Andi, ”Statistika dalam Kajian Deskriptif, Inferensi dan

14.Spigel, M, ” Statistik Terjemahan ”, Erlangga, Jakarta, 2004

15.Sprent, P, ” Metode Statistik Nonparametrik Terapan ”, Universitas Indonesia,

Jakarta, 1991

16.Supranto, J, ” Statistik : Teori dan Aplikasi ”, PT. Gelora Aksara Pratama, Jakarta,

1989

17. Walpole, E. Ronald dan Raymond H. Myrers, ” Ilmu Peluang dan Statistika

Untuk Insinyur dan Ilmuwan”, ITB, Bandung, 1986

18. http:// www.google.com

19. http://

/ Kajian Uji Mann-Whitney dan Uji Peringkat Bertanda

Wilcoxon oleh Yelvarina, Bengkulu, diakses pada 02 Maret 2010