TUGAS MATEMATIKA TEKNIK 2

TUGAS KELOMPOK

MATEMATIKA TEKNIK 2

RANGKUMAN LAPLACE

ANGGOTA:

1. ANGKIT SABEKTI (4313215102) 2. DIDIK MULYADI (4313215110) 3. MUKHAMMAD SIS WAHYUDI (4313215126)

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS PANCASILA

TRANSFORMASI LAPLACE

Pengertian Laplace Transform

Transformasi laplace sering dipergunakan untuk menganalisa sinyal dan sistem linier tak ubah waktu. Transformasi laplace mempunyai banyak karakteristik yang mempermudah analisa tersebut. Transformasi laplace juga sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Dalam desain sistem transformasi laplace digunakan untuk menyatakan fungsi alih sistem. Berikut dibahas mengenai transformasi laplace dimulai dari rumusan transformasi laplace.

 

 _  _



   

0

st

e t f s F t F



dengan s adalah bilangan kompleks yaitu s=+j. Penggunaan laplace transform akan lebih jelas dengan contoh sebagai berikut.

Contoh soal 1:

Diketahui suatu fungsi f(t) sebagai berikut:

 



0 ; 0

0 ;

 

 t

t A t

f

Carilah tranformasi laplace F(s) dari fungsi tersebut.

Penyelesaian:

Dari rumusan transformasi laplace, nilai F(s) dapat dicari sebagai berikut:

 





s A

e s A e

s A

e s A

dt e A t F

st st



  

   

 

   





0 0 0



Dari penyelesain tersebut dapat dilihat bahwa untuk A=1 berarti f (t) = u (t) maka

F (s) =

s

1

. Jadi untuk fungsi undak dapat diperlihatkan bahwa hasil transformasi

laplace adalah nilai dari fungsi tersebut dibagi dengan s. Untuk lebih memantapkan penggunaan rumusan transformasi laplace disajikan contoh transformasi laplace dari fungsi lereng.

1 

 

t 1

2 1

s

1

3 t 2

1

s

4

) 1 (

1





n tn

n s

1

5 _tn

1

! 

n s

n

6 _eat

a s

1

7 tn e at

n

 



1

)! 1 (

1

n

a

s )

( 1



8 _teat

2

) (

1

a s

9 Sin wt _s2 _w2

w



10 Cos wt _{2 2}

w s

s



11 _tn_eat

1

) (

!



a n s

n

12 eat_sinwt

2 2

)

(s a w

w

 

13 eat_coswt

2 2

)

(s a w

a s

 



14



_e at



a





1 1

) (

1

a s

s 

Contoh soal.2:

Diketahui suatu fungsi sebagai berikut:

 



0 ; 0

0 ;

 

 At tt

t f

Carilah F(s).

Penyelesaian:

 

 





 

  



    

0 0 0

dt s e A s

e At

dt e t A t

f

st st

st



2 0

s A

dt e s

A st

 



 

fungsi undak, fungsi lereng, fungsi sinus dan fungsi-fungsi lain menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks s.

Penggunaan integral untuk mencari transformasi laplace dari suatu fungsi sering menjadi pekerjaan yang kurang menyenangkan. Untuk lebih mempermudah proses transformasi pada Tabel 3.1, disajikan tabel transformasi laplace.

Karakteristik Transformasi Laplace

Transformasi Laplace mempunyai beberapa sifat penting yang berguna untuk analisa sinyal dan sistem linier tak ubah waktu. Sifat-sifat Transformasi Laplace antara lain adalah sebagai berikut:

1) £



A f

 

t



AF

 

s

2) £



f1

 

t f2

 

t



F1

 

s F2

 

s

3) £

 

_

 











 

 

 f t sF s f 0

dt d

4) £

 

_

 



















 

 

 0 0

1 2

2 2

f sf

s F s t f dt

d

5) £

 

_

 

  









 



 

 





0

1

1

k n

k k n n

n n

f s s

F s t f dt

d

6) £



 



 



 



s dt t f s

s F dt t

f t







  0

7) £



 



 



  





  



 

 



 

0

1 1

1

t k n

k n k

n

n _{f t dt}

s s

s F dt t

f 



8) £

 

 

s s F dt t f t

    

 



0

9)



    



    

 

0 0 0

limF s jika f t d t ada

dt t f

s

10) £



eat f

 

t



_F



s_a



11) £



_f



_t _

 

_{u t} _





_es_F

 

_{s }0

12) £



 



F

 

s ds

d t f

t ₂

2

2 _

13) £



 



 

F

 

s ds

d t

f

t _n

n n

n _{ 1}

14) £



 



F

 

s ds

d t

f

15) £ f

 

t F

   

s d s t 



 0

16) £ aF

 

as a

t

f _

  

 

     

Penggunaan sifat-sifat tersebut dalam membantu transformasi sinyal atau sistem

diaplikasikan dalam contoh berikut:

Contoh soal 3.

Carilah transformasi Laplace dari gambar sinyal berikut ini:

2a

a

1

a

2

1

a

2

f

(t)

t

Penyelesaian:

Persamaan dari sinyal diatas adalah:

 



 



















 





u



t a



a a t u a t u a

a t u a t u a a t u t u a t f

2 1

2 1

2 1

1

2 2

2

2 2

 

 



   

  

F (s) = £ f (t)

 























as as



as as

e e s

a

e s a e

s a s a

a t u a a t u a t u a

2 2

2 2 2

2

2 2

2

2 1 1

1 1 1

2 1 1

2 1

2 1

 

 

 



 



 

 

   

£ [u(t)] =

s

1

£



_f



_t _

 

_{u t}  _





_es_F

 

_s ,_ 0

Transformasi Laplace Balik

Transformasi balik dipergunakan untuk mendapatkan fungsi atau sinyal dalam bentuk t dari suatu fungsi laplace s.

 



F s



f

 

t

1 

 







 





    j c j c

st _{ds t}

e s F j t f 0 2 1 

c = dipilih > dari semua bagian real titik singular.

Cara ini sangat sulit untuk dikerjakan maka dipakai Tabel Transformasi Laplace yang ada pada Tabel 3.1, yaitu dengan cara mengubah fungsi ke dalam bentuk yang ada dalam tabel.

 

 

 





 





s p



s p

 

s p





m n



z s z s z s k s A s B s F n m _           2 1 2 1

 

 

 

n

n p s a p s a p s a s A s B s F          2 2 1 1

dengan ak (k = 1, 2, …..n), akdihitung sebagai berikut:



  

 













k p s k n n k k k k p s k a p s p s a p s p s a p s a p s p s a s A s B p s k k                                  2 2 1 1 ja di:



  

 

k p s k k s A s B p s a          

 



 



1 2



0



2 1 1 1                    t e a e a e a s F t f e a p s a t p n t p t p t p k k k n k   

Berikut contoh penggunaan tabel tranformasi laplace unntuk mendapatkan kembali f(t) dari F(s) dengan orde penyebut lebih tinggi.

Contoh soal.4:

Diketahui F(s) sebagai berikut:

 



1

 

2



Penyelesaian:

 



1

 

2



1 2

4 _{1 2}

     

 

s a s

a s

s s s

F

dengan rumusan ak didapat:







 









 



1 2

4 2

1 4 2

3 2

4 2

1 4 1

2 2

2

1 1

1

     

      

 

 

 



      

      

 

 

 



  



  



s s

s s

s s s

s s s

a

s s s

s s s

a

jadi:

 



 









e e



u

 

t t e

e

s s

s F t

f

t t

t t

2 2

1 1

1

2 3

0 2

3

2 2 1

3

 

 

 



 

 



   

      

 



 



Berikut contoh penggunaan tabel tranformasi laplace untuk mendapatkan kembali f(t) dari F(s) dengan orde pembilang lebih tinggi.

Contoh soal.5:

 



1

 

2



8 9 5 2 3

 

   

s s

s s s s G

carilah g (t).

Penyelesaian:

Pembagian pembilang dengan penyebut menghasilkan:

 



 



 

2

 

3 2 ; 0

2 1

4 2

2

 

 



 

 

 

 

t e

e t t

dt d

s s

s s

s G

t t

 

Untuk fungsi dalam yang melibatkan banyak kutub maka Transformasi Laplace baliknya dikerjakan dengan ekspansi parsial sebagai berikut:

Contoh soal.6:

Tinjau

 





3

2

1 3 2

   

Penyelesaian:

Ekspansi pecahan parsial menghasilkan

 

 

  

1





1





1



1 2 2 3 3        s b s b s b s A s B s F





 

 









2 1 2 3

3 _{1 1}

1     

 b b s b s

s A

s B s

saat s = -1 maka:





 

 

3

1 3 1 b s A s B s s           2

b didapatkan dengan diferensiasi persamaan (1)





 

 

2



1



1 2 1

3         

 b b s

s A s B s ds d

dengan s = -1,





 

 

2

1 3 1 b s A s B s ds d s           1

b didapatkan dengan diferensial kuadrat persamaan (1)





 

 

1

1 3 2 2 2 1 b s A s B s ds d s          

Secara umum penyelesaian Laplace balik n kutub dapat diringkas sebagai berikut:









 

 

_{s a}

n k

n k n

k _{A s}

s B a s ds d k n b              ! 1

dengan n = derajat polinomial banyak kutub. k = n, n-1, n-2, …….1

dengan demikian didapatkan b1,b2,b3 sebagai berikut:













1 2 . 2 1

) 3 2 ( !

2 1

1 3 2 1

! 2 1

1 2

2 2

1 3

3 2

1

 

   

 

  

   

 

   



 

 

s

s

s s ds

d

s s s s

ds d b

jadi untuk contoh soal.6.

 



 





















t



e u

 

t t e t

e e t

s s

s s F t

f

t t t t

    



 

 

  

   

 

     



1

0 1

1 1 1 0 1

2

2 2 2

2 3

1 1

 

Transformasi Laplace Untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial

Cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial tanpa harus menggunakan perumpamaan tanggapan adalah dengan transformasi Laplace.

Untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial yang pertama dilakukan adalah pengubahan persamaan ke bentuk s. Untuk lebih jelasnya disajikan contoh berikut: Contoh soal.7:

Carilah penyelesaian untuk persamaan diferensial berikut ini:

 

a x

 

b

x x

x

x3 2 0, 0  , 0 

Penyelesaian:

     

0

2

x

x

x

x





s

s



s

o

















 

s s

 

o

s

x

x

x

 

     

           

 

s

s

 

s

as

a

b

s

s

s

s

s

s

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x





























































3

2

3

2

0

0

0

2

3

2

2



maka,

 

s as b a

x s

s 3 2) 3

( 2 _{    }

 



 



2 1

2

2 1

3 2 3

3

2

   

 

 

  

 

  

s b a s

b a

s s

a b as

s s

a b as s X

Laplace balik dari X (s) menghasilkan:

 



 





2









0



2 1

2

2 1 1

1

 

  

     

  

     

  



 

 



t e

b a e b a

s b a s

b a

s X t

X

t t

 