Penyajian Data - Repository UNIKOM

Penyajian Data dan Ukuran

Pemusatan

BAB I : PENDAHULUAN



DEFINISI STATISTIK

1. Statistik dalam arti sempit :

Statistik adalah data ringkasan berbentuk angka ( kuantitatif ).

2.

Statistik dalam arti luas :

Suatu ilmu yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, penyajian dan analisis data serta cara pengambilan kesimpulan secara umum

berdasarkan hasil penelitian yang tidak menyeluruh.

 JENIS STATISTIK :

DATA

 Menurut Sifatnya

1. Data Kualitatif : Data yang tidak berbentuk angka. 2.Data Kualitatif : Data dalam bentuk angka.

 Menurut Sumbernya

1. Data Internal. 2. Data Eksternal.

 Menurut Cara Perolahannya

1. Data Primer. 2. Data Sekunder.

 Menurut Waktu Pengumpulannya

POPULASI dan SAMPEL



POPULASI :

Semua individu / unit-unit yang menjadi obyek penelitian.



SAMPEL :

BAB 2.

DISTRIBUSI FREKUENSI



BEBERAPA KONSEP DALAM DISTRIBUSI

FREKUENSI.

1. ARRAY DATA.

2. KELAS.

3. RANGE.

4. INTERVAL KELAS.

5. BATAS KELAS ( ATAS, BAWAH ).

6.TEPI KELAS ( ATAS, BAWAH )

TEKNIK PEMBENTUKAN

DISTRIBUSI FREKUENSI

1.

Tentukan banyaknya kelas.

Menggunakan

“ KRITERIUM STURGES “

Rumus :

1+ 3,322 log n

dimana : k = banyaknya kelas yang dicari.

n = banyaknya data

2. Tentukan besarnya Interval Kelas.

Rumus : i = jarak atau range

banyak kelas

Contoh Distribusi Frekuensi

Besarnya Tunggakan KreditNasabah Bank Arta Tahun 2004

KELAS

FREKUENSI

14 - 18,99

19 – 23,99 24 – 28,99 29 – 33,99 34 – 38,99 39 – 43,99 44 – 48,99

Jenis Distribusi Frekuensi

1.

Distribusi Frekuensi Relatif

Frekuensi tidak dinyatakan dalam bentuk angka absolut

tetapi dalam bentuk angka-angka relatif tau prosentase.

2.

Distribusi Frekuensi Komulatif

Terdiri dari :

PENYAJIAN DATA

DALAM BENTUK GRAFIK

1.

POLYGON FREKUENSI

.

Merupakan penggambaran suatu distribusi frekuensi

dalam bentuk garis yang menghubungkan titik-titik

tengah kelas sebagai sumbu mendatar.

2.

CURVE OGIVE.

Merupakan penggambaran suatu distribusi frekuensi

komulatif kurang dari dan distribusi frekuensi komulatif

atau lebih dalam suatu diagram.

3.

HISTOGRAM FREKUENSI

BAB 3. UKURAN TENDESI SENTRAL

•

Merupakan bilangan-bilangan yang menunjukkan di sekitar

mana bilangan2 yang ada dalam sekumpulan data itu

tersebar.

•

Jenis Data :

1. Group Data ( Data yang dikelompokkan ).

MACAM – MACAM UKURAN TENDENSI SENTRAL.

1. MEAN ( RATA – RATA ), Notasi = 

a. Mean untuk Un-Group Data.

X1 + X2 + X3 + X4 + X5 X =

n

Di mana : X = Mean yang sedang dicari.

X = harga tiap-tiap data.

b. Mean untuk Group Data

.

Rumus : X = 

f. x

( 1 )

n

dimana : f = Frekuensi tiap-tiap kelas.

x = Titik tengah kelas.

Mean untuk Group Data ( Lanj. )

Rumus ( 2 )

X = Xo + i f.U

n

Di mana : Xo = Harga x ( titik tengah kelas yang bersesuaian dengan angka nol pada skala U.

i = Besarnya interval kelas.

U = Skala baru pengganti skala x

Peletakan angka nol pada skala U:

1. Jika datanya ganjil : Angka nol pada kelas yang di tengah.

Rumus mencari skala U

x – xo

U =

i

di mana :

MEDIAN

a.

Untuk ungroup data :

- Jika banyaknya data ganjil, median merupakan

nilai data yang ditengah.

- Jika banyaknya data genap, median merupakan

rata-rata dari dua harga data yang di tengah.

b.

Untuk Group data

:

Rumus

1 . Md = TBKmd + i



n/2 – f



fmd

2. Md = TAKmd - i



f ‘ – n / 2



fmd

Di mana :

TBK

md = Tepi bawah kelas median. TAKmd = Tepi atas kelas median. n = banyaknya data.

i = interval kelas.

f = Frekuensi komulatif dari kelas2 di muka kelas median.

f ‘ = Frekuensi komulatif sampai dengan kelas median.

MODUS ( MODE )

SIMBOL = Mo

a.

Untuk un- group data : Modus adalah angka / bilangan yang

paling sering muncul ( keluar ).

b.

Untuk group – data : Modus terletak pada kelas

yang mempunyai frekuensi terbesar.

Rumus :

Atau :

Mo = TBKmo + i_ d1 _ d1 + d2

Di mana :

Xmo = titik tengah kelas modus.

fmo = frekuensi kelas modus.

TBKmo = tepi bawah kelas modus.

f-1 = Frek. Dari kelas sebelum kelas modus. f1 = frek.dari kelas sesudah kelas modus.

d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frek. kelas sebelumnya ( fmo – f-1 ).

BAB 4. UKURAN LETAK

1. KUARTIL

Adalah nilai yang membagi data ke dalam 4 bagian yang sama.

Ada 3 kuartil, yaitu : Kuartil 1 ( K1 ) , kuartil 2 ( K2 ), dan kuartil 3 ( K3 ).

a. Kuartil untuk un – group data. :

- Dicari dengan rumus :

Letak K1 pada bilangan ke ( n + 1 ) / 4.

Letak K2 = 2 ( n + 1 ) / 4. Atau sama dengan letak median. Letak K3 = 3 ( n + 1 ) / 4.

b. Kuartil untuk group data :

K1 = TBK.k1 + i n / 4 – F K3 = TBKk3 + i 3n / 4 – F fk1

fk3 K2 = TBK.k2 + i 2n / 4 – F

Di mana :

TBK.k = Tepi bawah kelas kuartil. n = banyaknya data.

i = interval kelas.

F = Frekuensi kumulatif dari kelas-kelas sebelum kelas kuartil. Fk = Frekuensi kelas kuartil.

2. DESIL.

Suatu harga yang menbagi data menjadi 10 bagian yang sama. Dalam sekelompok data ada 9 desil, dimana nilai D5 = median. Rumus :

D1 = TBKD1 + i _n / 10 – F_ Letak D1 = n / 10

fD1

D2 = TBKD2 + i  2n / 10 – F  Letak D2 = 2n / 10

PERSENTIL

Adalah : harga – harga yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama.

Terdapat 99 harga persentil, dimana P50 = harga median.

Letak P1 = n / 100

Letak P2 = 2n / 100 , dst.

BAB 5. UKURAN VARIASI / DISPERSI

Adalah :

Harga yang menunjukkan besar kecilnya sekelompok

data itu bervariasi.



MACAM UKURAN VARIASI.

1.

RANGE.

Adalah : Selisih perbedaan antara nilai data terbesar

dengan nilai data yang terkecil.

Kelemahannya : Range belum dapat menjelaskan bentuk

distribusi dari angka2 dalam kelompok data.

2

RANGE ANTAR KUARTIL ( RAK ).

RAK = K3 –K1

3.

RANGE SEMI ANTAR KUARTIL ( RSAK ) atau DEVIASI

KUARTIL

4.

DEVIASI RATA – RATA ( MEAN DEVIATION = DR ).

a. Untuk un – group data :

DR =





x



dimana x = X - X

n

x = deviasi data dari mean-nya.

X = data yang diketahui.

X = Mean dari kelompok data.

b. Untuk group data :

DR = f



x



n

5. STANDAR DEVIASI.

a. Untuk un – group data.

* Jika datanya merupakan data dari suatu populasi : SD = x2

n

* Jika datanya merupakan sampel : SD = x2

n-1

b. Untuk data yang dikelompokkan :

SD = f x2 ( untuk POPULAsi ).

n

SD =  f x2 ( untuk SAMPEL ).

n-1

6. VARIANCE.

S = SD

2

7.

KOEFISIEN VARIASI ( V ).

V = SD X 100%

X

8. STANDAR SCORE ( Z ).

- Untuk menilai besarnya perubahan ( kenaikan /

penurunan ) suatu variabel dari rata-ratanya.

- Semakin besar Z, maka semakin besar perubahan

variabel dari rata-ratanya.

Z = X – X

UKURAN KECONDONGAN dan UKURAN

KERUNCINGAN SUATU DISTRIBUSI

A.

UKURAN KECONDONGAN ( Ukuran Kemencengan;

Scewness = Sk )



Untuk mengukur derajat kemencengan suatu distribusi

frekuensi.



Kemungkinan : Beberapa distribusi frekuensi yang

bentuknya

berbeda

tetapi mempunyai

harga Mean

dan Standar Deviasi yang

sama.

 TEKNIK PENGUKURAN.

Sk = X – Md ( Rumus Karl Pearson ). SD

 Besarnya nilai koefisien Skewness ( Sk )

- Nilai Sk positif ( + ) , maka kurva akan menceng positif. - Nilai Sk = 0, maka bentuk kurvanya simetris.

- Nilai Sk = negatif ( - ), maka kurva akan menceng negatif.

B. UKURAN KERUNCINGAN ( PEAKEDNESS = KURTOSIS ).

 Untuk mengetahui bentuk / derajat keruncingan suatu distribusi

frekuensi.

 Beberapa distribusi frekuensi yang mempunyai Mean, Standar

deviasi dan Kemencengan yang sama, tetapi memiliki tingkat

keruncingan yang berbeda.

 TEKNIK PENGUKURAN.

a. Untuk un – group data :

4 =  ( x )4 di mana : x = ( X – X )

n. SD4

b. Untuk group data :

4 =  f ( x ) 4 di mana : x = ( X – X )

n. SD4 X = titik tengah kelas.

X = mean. f = _ n

 UKURAN NILAI _4.

- _4 > 3 : Bentuk kurva LEPTOKURTIS. - 4 < 3 : Bentuk kurva PLATIKURTIS.

BAB 6. ANGKA INDEKS

 Merupakan ukuran yang menunjukkan perbandingan antara nilai suatu

barang pada waktu atau tempat tertentu dengan nilai barang yang sama pada waktu atau tempat yang berbeda.

 _{Biasanya dinyatakan dalam prosentase.}  _{INDEKS HARGA}

Merupakan angka yang menunjukan besar kecilnya tingkat perubahan harga suatu barang pada waktu atau tempat yang sama atau berbeda.

 TEKNIK PERHITUNGAN INDEKS HARGA.

A. INDEKS HARGA TAK TERTIMBANG.

Metode perhitungan

1. Metode Sederhana ( Simple Method ).

Pn

Is = X 100 dimana : Pn = harga barang pada P0 tahun tertentu

P 0= harga barang pada tahun dasar.

2. Metode Agregatif Sederhana ( Simple Agregative Method ).

_ Pn

Ias = X 100 _ P0

3. Metode Rata-rata Relatif Sederhana ( Simple average relative method ).

_ ( Pn / P0 )

Irs = X 100

B. INDEKS HARGA TERTIMBANG.

- Memperhitungkan besarnya timbangan ( kuantitas penjualan ), produksi dsb.

Rumus :

_ Pn. W

I = X 100 _ P0.W

1. Metode Agregatif Tertimbang ( Weighted agregatif method ).

Ada 5 rumus :

a. Rumus Laspeyres.

_ ( Pn. Q0 )

IL = X 100

b. Indeks Pasche. _ ( Pn. Qn )

IL = X 100 _ ( P0.Qn )

c. Rumus DROBISCH.

ID = IL + IP 2

d. Rumus Fisher. IF =  IL.IF

e. Rumus Marshall – Edgeworth.

_ Pn ( Q0 +Qn )

6. Metode Rata – rata relatif tertimbang ( weighted average relative method ).

Rumus : _ ( Pn / P0 ) W I = X 100

_ W w = weight : timbangan. Ada 2 rumus :

1. Nilai tahun dasar dipakai sebagai penimbang.



( Pn / P0 ) ( P

0.

Q

0

)

I RT =

X 100

2. Nilai tahun tertentu sebagai tahun dasar. Rumus :

 ( Pn / P0 ) ( Pn. Qn ) I RT = X 100

BAB 6. REGRESI dan KORELASI

A.

REGRESI.

Regresi garis sederhana :

menggambarkan hubungan

antara 2 variabel yang biasanya cukup tepat dinyatakan

dalam suatu garis lurus.

DIAGRAM PENCAR :

Fungsi :

1.

Membantu menunjukkan apakah terdapat

hubungan yang bermanfaat antara 2

variabel.

PERSAMAAN REGRESI LINIER

Bentuk persamaan

:

Y’ = a + b X

di mana :

Y’ = Nilai yang diukur / dihitung pada variabel

tidak bebas.

a = Y pintasan ( Nilai Y’, bila X = 0 ).

b = Koefisien garis regresi atau kemiringan dari

garis regresi.

Mengukur besarnya pengaruh X terhadap

Y

kalau X naik satu unit.

b =

 xy di mana x = X – X ; y = Y - Y _ x2

a = Y – b. X

atau :

B. KORELASI

 Apabila 2 variabel X dan Y mempunyai hubungan, maka nilai variabel

X yang sudah diketahui dapat digunakan untuk menaksir / meramalkan nilai Y.

 Variabel Y yang nilainya akan diramalkan disebut variabel tidak

bebas ( dependent variabel ).

 Variabel X yang nilainya digunakan untuk meramalkan nilai Y

disebut variabel bebas ( independent variabel ).

 Hubungan 2 variabel :

a. Hubungan positif.

Apabila kenaikan / penurunan X pada umumnya diikuti oleh kenaikan / penurunan Y.

b. Hubungan negatif.



Kuat tidaknya hubungan antara X dan Y diukur

dengan suatu nilai yang disebut dengan :

Koefisien

Korelasi ( r ).



Koefisien korelasi berkisar

antara –1 sampai

dengan 1.

a. r = 1 ;

hubungan X dan Y sempurna dan positif.

( r mendekati 1, maka hubungannya sangat

kuat dan

positif ).

b.

r = -1 ;

hubungan X dan Y sempurna dan negatif.

( r mendekati –1, maka hubungannya

sangat kuat dan

negatif ).

 _{Besarnya kontribusi X terhadap naaik turunnya Y dapat dihitung dengan}

KOEFISIEN PENENTUAN ( = KP atau KOEFISIEN OF DETERMINATION ).

KP =

r

2

dimana r = _ xy

_ x2. _ y2.

dan : x = X – X y = Y – Y

Atau :

r = n XY - X Y

n _ x2 – ( _ X )2. n _Y2 – (_Y) 2.

Kedua rumus ini disebut dengan : Koefisien Korelasi Pearson ( Pearson’s Product moment coefficient of correlation.



Contoh :

Bila r = 0,9 maka KP = ( 0,9 )

2

= 0,81 atau 81%.

ANALISA RANGKAIAN WAKTU ( TIME SERIES ANALYSIS )

Secara umum variasi ( gerakan ) data rangkaian waktu dibedakan menjadi 4 komponen :

1. Trend Jangka Panjang / trend sekuler ; atau sering disebut TREND: adalah

suatu garis ( trend ) yang menunjukkan gerakan data dalam jangka waktu panjang, biasanya tiap tahun , yang menunjukkan arah perkembangan secara umum.

2. VARIASI UMUM.

Adalah suatu gerakan yang naik turun secara teratur yang cenderung untuk terulang kembali dalam jangka waktu yang tidak lebih dari 1 tahun.

3. VARIASI SIKLIS.

Merupakan suatu gerakan data yang naik turun secara teratur yang cenderung terulang kembali setelah jangka waktu lebih dari 1 tahun.

4. VARIASI RANDOM.

TREND LINIER

Merupakan garis peramalan yang sifatnya linier, sehingga

secara matematis bentuk fungsinya adalah sebagai berikut :

Y’ = a + bX

dimana :

Y’ = Nilai trend periode tertentu.

a = Harga konstanta = nilai trend pada periode dasar.

b = Koefisien arah garis trend = perubahan trend setiap

periode.

METODE PENENTUAN PERSAMAAN TREND LINIER

 _{1. METODE BEBAS.}

– Langkah – langkah :

1. Buat sumbu tegak Y sebagai skala variabel tergantung ( misalnya volume penjualan, volume produksi, dsb ) dan sumbu Xsebagai skala waktu.

2. Gambar titik – titik koordinat ( X, Y ) dalam diagram sebaran.

3. Tarik sebuah garis lurus yang relatif mewakili atau mendekati semua titik koordinat yang membentuk diagram sebaran tersebut.

4. Ambil 2 buaah titik secara sembarang yang berada digaris tsb. Misalnya titik tsb. adalah A ( X1,Y1 ) dan B ( X2, Y2 ) maka garis trend tsb.

fungsinya dapat dicari dengan rumus sebagai berikut :

Y1 – Y2

 2. METODE SETENGAH RATA – RATA.

 Langkah – langkahnya :

1. Bagi data yang ada menjadi 2 kelompok, tiap kelompok mempunyai data yang sama.

Jika jumlah data ganjil :

a. Data yang di tengah diikut-sertakan dalam setiap kelompok.

b. Data yang di tengah tidak diikut-sertakan dalam pengelompokan. 2. Hitung harga rata-rata setiap kelompok.

Rata – rata kelompok I = Y1 Rata – rata kelompok II = Y2

3. Menghitung konstanta b, di mana

Y2 - Y1 b = n

3. METODE KUADRAT TERKECIL ( LEAST SQUARE METHOD ).

Jika persamaan garis trend linier itu Y’ = a + bX maka untuk

menentukan harga konstanta a dan b dapat digunakan persamaan normal sebagai berikut :

I.  Y = n.a + b.  x

II.  XY = a.  x + b.  x2

Dimana :

Y = harga-harga hasil observasi.

X = Unit tahun yang dihitung dari tahun dasar. a = Nilai trend pada periode dasar.

b = Perubahan trend ( koefisien arah garis ). n = Banyaknya data.

 BILA DIPENUHI SYARAT _ X = 0 , maka a = _ Y dan b = _{ XY}

4. METODE MOMENT.

Rumus dasar yang digunakan :

I. Y’ = a + bX

B. TREND NON LINIER

 Merupakan suatu trend yang persamaannya berpangkat satu, berpangkat

dua dan berpangkat x.

 MACAMNYA :

1. TREND PARABOLIK / KUADRATIS.

Persamaan : Y’ = a + bX + cX2

Harga a, b, dan c dapat dicari dengan :

I. _ Y = n.a + b. _X + c _X2

II. _ XY = a. _ X + b. _X2 + c _ X 3 III. _ X2Y = a. _X2 + b. _X3 + c. _ X 4

Jika dapat dipenuhi syarat X = 0 , maka rumusnya menjadi :

I.  Y = n.a + c X2

Jika dapat dipenuhi syarat _X = 0 , maka rumusnya menjadi : I. _ Y = n.a + c _X2

II. _ XY = b. _X2 III. _ X2Y = a. _X2 + c.

Dapat disederhanakan lagi menjadi : b = _ XY

_ X2

c = _ X2. _Y – n. _ X2 .Y

( _ X2 )2 + n. _ X4

a = Y – c. _ X2

2. TREND EKSPONENSIIL.

Persamaan : Y’ = a.bx

Apabila bentuk persamaan trend di ats diubah dalam bentuk logaritma, maka persamaannya menjadi Y’ = Log a + x . log b

Harga a dan b dapat dicari dengan menggunakan persamaan

normal dari metode least square untuk trend linier sebagai berikut :

Jika _X = 0 maka persamaannya menjadi :

I.  logY = n log a log a =  logY n

II. ( X. log Y ) = ( _X2 ) logb