KALKULUS
KALKULUS
KALKULUS
KALKULUS
KALKULUS
KALKULUS
KALKULUS
KALKULUS
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
VARIASI
JURUSAN PENDIDIKAN FISIKA FPMIPA
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
B
Bidang
Bentuk kurvaapakah yang
menunjukkan jarak terpendek yang menghubung-kan titik A dan titik B dalam bidang datar
Simak Pertanyaan !
A
dalam bidang datar di samping ?
B
Bidang
Simak Jawaban !
Tentu mudah jawabnya, yaitu kurva C yang berbentuk garis C A lurus yang menghubungkan langsung A dan B. CPersoalan
kurva
yang
menandai
jarak
terpendek
yang
menghubungkan dua titik dalam bidang yang dikenal sebagai “
Geodesic
” tercakup dalam persoalan nilai “
maksimum
” atau
“
minimum
” suatu fungsi, atau lebih umum disebut sebagai
persoalan nilai “
Stasioner
”.
Menurut kalkulus dasar, syarat perlu suatu fungsi f(x) bernilai
stasioner adalah :
0
=
dx
df
Dalam Fisika, persoalan nilai stasioner (maksimum/minimum)
suatu fungsi banyak dijumpai, dan analisis sifat stasioner suatu
kuantitas fisika banyak menghasilkan hukum dan prinsip.
Contoh
A B
Sinar datang dari titik
A menuju cermin
Cermin datar
A menuju cermin
datar dan dipantulkan
ke titik B. Dari sekian
banyak lintasan yang
dapat dilalui sinar,
hanya satu lintasan
yang sesungguhnya
akan dilalui sinar.
Prinsip Fermat
: Sinar datang dari titik A menuju cermin dan
dipantulkan ke titik B akan menempuh satu lintasan tertentu
yang
jaraknya terpendek
atau
waktu tempuhnya tersingkat
Dari prinsip ini lahirlah
hukum Snelius
tentang pemantulan
cahaya
Sudut Datang = Sudut Pantul
Sudut Datang = Sudut Pantul
Sudut Datang = Sudut Pantul
Sudut Datang = Sudut Pantul
Bukti
Cermin datar A B θ θ’ b a l l2 1 x d-x N d 2 1l
l
l
=
+
(
)
2 2 2 2x
d
b
x
a
l
=
+
+
+
−
Bukti
(
)
20
2 2 2
=
+
+
+
−
=
a
x
b
d
x
dx
d
dx
dl
Menurut kakulus syarat perlu suatu kuantitas minimum adalah turunan pertama bernilai nol (0), dalam hal ini :
0
=
dx
dl
(
)
−1/2( )
(
(
)
)
−1/2(
)( )
(
2 2)
1/2( )
2
12(
2(
)
2)
1/22
(
)( )
1
0
2 1a
+
x
−x
+
b
+
d
−
x
−d
−
x
−
=
(
)
(
)
20
2 2 2=
−
+
−
−
+
b
d
x
x
d
x
a
x
(
)
(
)
2 2 2 2x
d
b
x
d
x
a
x
−
+
−
=
+
(
)
∫
=
=
2 1'
;
'
,
,
x xdx
dy
y
dx
y
y
x
F
I
Dalam Kalkulus Variasi, kuantitas atau fungsi yang dibuat
stasioner dinyatakan dalam notasi integral (I) sebagai berikut :
Pada persoalan awal yaitu kurva yang menandai
jarak
terpendek
yang menghubungkan dua titik dalam bidang
∫
=
=
S
dS
I
∫
y dS dy dx x∫
+
=
=
2 2dy
dx
S
I
dx
dx
dy
S
I
∫
+
=
=
21
dx
dy
y
dx
y
S
I
=
=
∫
1
+
'
2;
'
=
(
)
dx
dy
y
y
y
y
x
F
,
,
'
=
1
+
'
2;
'
=
Penanganan persoalan ini dilakukan dengan
Prinsip Variasi
sehingga teknik ini disebut
Kalkulus Variasi
:
dx
dy
y
dx
y
S
I
=
=
∫
1
+
'
2;
'
=
Dalam persoalan ini ingin diketahui kurva y = f(x) yang menandai jarak terpendek atau kuantitas berikut bernilai paling kecil :
Dengan prinsip Variasi, kurva
y(x)
divariasikan nilainya di atas maupun di bawah nilai sesungguhnya. Variasi ini diwakili oleh suatu fungsi sembarangη
(x)
seperti pada gambar berikut.Y(x) = y(x) +
εη
(x)
x Y (x2,y2) (x1,y1) y(x) Y(x)ε
xη
x1 x2 η(x)η
(x) adalah suatu fungsi sembarang yang berkelakuan baik diantara x1 dan x2. nilainya nol di x = x1 dan di x = x2∫
+
=
2 1 2'
1
x xdx
Y
I
Dengan variasi ini, maka sekarang kita menginginkan kuantitas berikut bernilai minimum
Dan I sekarang menjadi fungsi parameter ε; jika ε = 0 maka Y = y(x). Persoalan sekarang adalah membuat I(ε) memiliki nilai minimum ketika ε = 0. Dengan kata lain :
0
;
0
=
=
ε
ε
d
dI
ketika ε = 0. Dengan kata lain :
Jika kita lakukan diferensiasi I terhadap ε, didapat :
∫
+
=
2 1'
'
2
1
1
2
1
2 ' x xdx
d
dY
Y
Y
d
dI
ε
ε
( )
x
d
dY
'
'
η
ε
=
Dan jika kita lakukan diferensiasi persamaan Y(x) terhadap x,
didapat :
( ) ( )
x
y
x
( )
x
Y
'
=
'
+
εη
'
didapat
( ) ( )
0
'
1
'
'
2 1 2 0=
+
=
∫
=dx
y
x
x
y
d
dI
x xη
ε
εJika hasil terakhir ini disubstitusi ke prs dI/d
ε
dan mengambil
dI/d
ε
= 0 ketika
ε
= 0, maka didapat :
( ) ( )
0
'
1
'
'
2 1 2 0=
+
=
∫
=dx
y
x
x
y
d
dI
x xη
ε
ε( )
x
dx
dv
y
y
u
=
η
+
=
,
'
'
1
'
2Kita dapat mengintegrasi secara by part (parsial) terhadap
integral ini, sebagai berikut :
( )
x
v
dx
y
y
dx
d
du
=
η
+
=
,
'
1
'
2dan
( )
( )
0
'
1
'
'
1
'
2 2 0 2 1 2 1=
+
−
+
=
∫
=dx
y
y
dx
d
x
x
y
y
d
dI
x x x xη
η
ε
ε0
'
=
y
d
didapat
( )
( )
0
'
1
'
'
1
'
2 2 0 2 1 2 1=
+
−
+
=
∫
=dx
y
y
dx
d
x
x
y
y
d
dI
x x x xη
η
ε
ε = 0 ≠ 0sehingga
0
'
1
'
2
=
+
y
y
dx
d
C
y
y
=
+
2'
1
'
sehingga
atau
2
'
1
'
C
y
y
=
+
(
2)
2 2 2 2 2'
'
1
'
C
y
C
C
y
y
=
+
=
+
(
2)
2 21
'
C
C
y
−
=
(
)
2 2 2 21
'
K
C
C
y
=
−
=
K
y
'
=
K
dx
dy
=
dx
K
dy
=
∫
=
+
=
Kdx
Kx
B
y
Merupakan persamaan
garis lurus linier seperti
yang diramalkan di awal
(
)
∫
=
2 1,
'
,
,
x xdx
y
y
x
F
I
( ) ( )
x
y
x
( )
x
Y
=
+
εη
( )
=
∫
2(
,
,
'
)
xdx
Y
Y
x
F
I
ε
Persamaan
Euler
Tapi
sehingga
Kembali ke kuantitas
∫
1 x∫
∂
∂
+
∂
∂
=
2 1'
'
x xdx
d
dY
Y
F
d
dY
Y
F
d
dI
ε
ε
ε
( )
( )
∫
∂
∂
+
∂
∂
=
2 1'
'
x xdx
x
Y
F
x
Y
F
d
dI
η
η
ε
Jika I diturunkan terhadap
ε
, didapat
( )
'
( )
0
'
2 1 0=
∂
∂
+
∂
∂
=
∫
= x xdx
x
y
F
x
y
F
d
dI
η
η
ε
ε( )
( )
( )
x
dx
y
F
dx
d
x
y
F
dx
x
y
F
x x x x x xη
η
η
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∫
∫
'
'
'
'
2 1 2 1 2 1Untuk ε = 0 maka dI/dε = 0
Jika kita lakukan proses integrasi untuk suku kedua didapat :
0 x1 x1 x1
( )
0
'
2 1 0=
∂
∂
−
∂
∂
=
∫
=dx
x
y
F
dx
d
y
F
d
dI
x xη
ε
ε0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
y
F
y
F
dx
d
Persamaan Euler
Maka : atau∫
+
=
2 1 2'
1
x xdx
y
I
(
)
2'
1
'
,
,
y
y
y
x
F
=
+
0
,
'
=
∂
∂
=
∂
∂
F
y
F
Dalam persoalan kurva yang menandai jarak minimum yang menghubungkan dua buah titik dalam bidang, yakni :
maka dan
,
0
'
1
'
=
+
2∂
=
∂
y
y
y
0
'
1
'
2
=
+
y
y
dx
d
Sama seperti sebelumnya
dan
Sehingga persamaan Eulernya :
0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
y
F
y
F
dx
d
ds
dx
y
x
x x x∫
∫
+
2 2 1 2.
2
'
1
.
1
Latihan Soal
dx
y
e
x
ds
x x x x∫
∫
+
2 1 1 2'
1
.
3
.
2
Penggunaan Persamaan Euler
(
)
∫
F
r
,
θ
,
θ
'
dr
;
θ
'
=
d
θ
dr
a. Variabel lain
0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
θ
θ
F
F
dr
d
Varibel r dan θθθθ0
'
−
∂
=
∂
θ
θ
dr
Varibel s dan p(
)
∫
F
s
,
p
,
p
'
ds
;
p
'
=
dp
ds
0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
p
F
p
F
ds
d
(
)
∫
F
t
,
x
,
x
&
dt
;
x
&
=
dx
dt
Variabel t dan x
0
=
∂
∂
−
∂
∂
x
F
x
F
dt
d
&
dst...
Contoh Soal
Tentukan lintasan yang akan dilalui sinar cahaya jika indeks
bias (dalam koordinat polar) sebanding dengan r
-2!
∫
=
∫
−ds
r
ds
n
2∫
−+
=
∫
−+
dr
r
r
d
r
dr
r
2 2 2θ
2 21
2θ
'
2( )
,
'
'
1
2 2 2θ
θ
r
F
r
r
F
=
−+
=
Persamaan Euler :
0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
θ
θ
F
F
dr
d
0
=
∂
∂
θ
F
Karena F bukan fungsi
θ
(
) ( )
+
=
∂
∂
− −'
2
'
1
2
1
'
2 2 / 1 2 2 2θ
θ
θ
r
r
r
F
2 2'
1
'
'
θ
θ
θ
r
F
+
=
∂
∂
0
=
∂
θ
Karena F bukan fungsi
θ
0
0
'
1
'
2 2
−
=
+
θ
θ
r
dr
d
C
r
=
+
2 2'
1
'
θ
θ
2 2
'
1
'
θ
θ
=
C
+
r
(
2 2)
2 2 2 2 2 2'
'
1
'
θ
θ
θ
=
C
+
r
=
C
+
C
r
(
2 2)
2 21
'
−
C
r
=
C
θ
(
2 2)
2 21
'
r
C
C
−
=
θ
C
r
=
−
2 2'
1
'
θ
θ
(
2 2)
1
−
C
r
2 21
'
r
C
C
−
=
θ
2 2
1
C
r
C
dr
d
−
=
θ
C
dr
r
C
C
d
2 21
−
=
θ
B
Cr
Sin
CArc
dr
r
C
C
+
=
−
=
∫
θ
θ
2 21
b. Integral Pertama dari Persamaan Euler
0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
y
F
y
F
dx
d
0
=
∂
F
Persamaan Euler untuk F(x,y,y’) adalah
Jika F bukan fungsi y, yakni F(x,y’), maka :
0
'
=
∂
∂
y
F
dx
d
C
y
F
=
∂
∂
'
0
=
∂
∂
y
F
Sehingga persamaan Eulernya menjadi :
atau
Integral Pertama dari Persamaan Euler
Jika suatu persoalan dapat diarahkan ke bentuk integral pertama persamaan Euler, maka pengerjaannya akan lebih mudah dan lebih sederhana.
Cara yang dapat ditempuh agar suatu persoalan mengarah ke integral pertama persamaan Euler adalah melakukan pertukaran variabel, yaitu pertukaran variabel bebas dengan variabel terikat
seperti berikut : seperti berikut :
'
1
'
1y
dx
dy
dy
dx
x
=
=
=
−dy
x
dy
dy
dx
dx
=
=
'
dan∫
+
=
dx
y
y
I
2'
1
(
)
y
y
y
y
x
F
2'
1
'
,
,
=
+
Tentukan dan selesaikan persamaan Euler agar kuantitas berikut stasioner !
Dari soal dapat ditentukan F sebagai berikut :
(
)
y
y
y
x
F
,
,
'
=
(
)
( )
2 2 / 1 2 2 1'
1
'
'
2
'
1
'
y
y
y
y
y
y
y
F
+
=
+
=
∂
∂
− 2 / 3 2 2 / 1 2 1 22
'
1
'
1
y
y
y
y
y
y
F
+
−
=
+
−
=
∂
∂
− sehingga'
1
'
+
2
y
y
d
atauDengan demikian persamaan Eulernya menjadi :
0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
y
F
y
F
dx
d
0
2
'
1
'
1
'
2 / 3 2 2
=
+
−
−
+
y
y
y
y
y
dx
d
Tampak tidak sederhana bukan ??
Dan mencari solusinya tidak cukup mudahdy
x
dy
x
y
dx
y
'
1
'
'
'
1
1
+
2=
+
2=
2+
∫
+
=
dy
y
x
I
2'
1
Sehingga F nya sekarang berubah menjadi :
Coba sekarang lakukan pertukaran variabel bebas dengan terikat sbb:
Sekarang kuantitas yang dibuat stasioner menjadi :
0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
x
F
x
F
dy
d
Sehingga F nya sekarang berubah menjadi :
( )
y
x
x
y
F
2'
1
'
,
=
+
0
=
∂
∂
x
F
0
0
'
1
'
=
−
+
x
y
x
dy
d
DanSehingga persamaan Eulernya menjadi :
0
0
'
=
−
x
d
C
x
y
x
=
+
2'
1
'
0
0
'
1
'
=
−
+
x
y
x
dy
d
Tampak lebih mudah diselesaikan dari sebelum dilakukan pertukaran variabel
Beberapa variabel terikat; Persamaan Lagrange
Dalam persoalan nilai stasioner ini sesungguhnya tidak perlu terbatas pada sesudah variabel terikat, melainkan bisa terdiri atas beberapa variabel terikat.
Ingat kembali pada kalkulus dasar, bahwa jika x = f(x), maka syarat perlu agar f(x) bernilai stasioner adalah :
0
=
dy
0
=
dx
dy
0
=
∂
∂
x
z
Dan jika suatu z = f(x,y) maka untuk kondisi ini, syarat stasioner adalah :
0
=
∂
∂
y
z
danBeberapa variabel terikat; Persamaan Lagrange
Analog dengan itu terjadi pula dalam kalkulus variasi. Misalkan kita diberikan sebuah F yang merupakan fungsi dari :
dan kita ingin mencari dua kurva y = y(x) dan z = z(x) yang membuat :
,
,
,
,
,
z
x
y
dxdy dxdz(
)
dy
(
)
∫
=
=
=
z
dz
dx
dx
dy
y
z
y
z
y
x
F
I
,
,
,
'
,
'
;
'
'
bernilai stasioner. Maka nilai integral I bergantung pada y(x) dan z(x). Untuk kasus ini terdapat dua persamaan Euler, satu untuk y dan satu lagi untuk z, seperti berikut
0
'
0
'
∂
=
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
z
F
z
F
dx
d
dan
y
F
y
F
dx
d
Prinsip Hamiltonian dalam Mekanika
Dalam Fisika Dasar,
hukum II Newton
merupakan persamaan fundamental dalam membahas gerak benda.Dalam mekanika lanjut, persoalan gerak benda dianalisis dari sudut pandang yang berbeda, yang disebut
prinsip Hamiltonian
∑
F
=
m
a
r
r
pandang yang berbeda, yang disebut
prinsip Hamiltonian
∫
=
2 1 t tdt
L
I
Prinsip ini menyatakan bahwa suatu partikel atau sistem partikel selalu bergerak pada suatu lintasan sedemikian rupa sehingga :
bernilai stasioner, dengan :
V
T
Persamaan Lagrange
Untuk persoalan ini terdapat persamaan Euler, yang lebih dikenal sebagai persamaan Euler-Lagrange atau persamaan Lagrange, yang jumlahnya bergantung pada jumlah variabel terikat. Untuk 3 Dimensi maka persamaan Lagrange-nya dalam sistem kartesian adalah :
0
=
∂
∂
−
∂
∂
x
L
x
L
dt
d
&
0
0
0
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
−
∂
z
L
z
L
dt
d
y
L
y
L
dt
d
x
x
dt
&
&
&
Contoh Soal
Sebuah benda dijatuhkan secara bebas dari ketinggian tertentu dekat permukaan bumi. Tentukan persamaan gerak benda yang jatuh bebas tersebut !
Dengan Hukum II Newton
∑
F
=
m
a
r
m ymg
W
F
=
=
−
g
a
a
m
g
m
y yr
r
r
r
−
=
=
−
Resultan gaya yang bekerja pada benda adalah gaya berat :
sehingga : g
h W
Contoh Soal
gt
v
r
y=
−
m h∫
−
=
g
dt
v
r
yKecepatan benda sbg fungsi waktu
v
0= 0
∫
=
v
dt
y
r
r
( )
∫
−
=
gt
dt
y
r
g W 0 2 2 1gt
y
y
r
=
−
+
Contoh Soal
Sebuah benda dijatuhkan secara bebas dari ketinggian tertentu dekat permukaan bumi. Tentukan persamaan gerak benda yang jatuh bebas tersebut !
Dengan prinsip Hamiltonian
V
T
L
=
−
m 2 2 1m
y
T
=
&
Dengan : sehingga : g h Wmgy
V
=
mgy
y
m
L
=
21&
2−
Persamaan Lagrange
0
=
∂
∂
−
∂
∂
y
L
y
L
dt
d
&
y
m
y
L
&
&
=
∂
∂
d
mg
y
L
−
=
∂
∂
( ) (
m
y
−
−
mg
)
=
0
dt
d
&
( ) ( )
g
a
mg
y
m
y=
−
=
+
0
&
&
Prinsip Variasi Van Baak dalam Rangkaian DC
Dalam Fisika Dasar,
teorema simpal Kirchoff
merupakan teorema fundamental dalam membahas rangkaian listrik arus searah (DC).Dari sudut pandang lain, persoalan rangkaian arus listrik DC dapat diselesaikan menggunakan
prinsip Variasi Van Baak
∑ ∑
ε
+
iR
=
0
diselesaikan menggunakan
prinsip Variasi Van Baak
∑
==
n k k k di
R
P
1 2 g dP
P
S
=
−
2
Prinsip ini menyatakan bahwa arus listrik akan mengalir ke suatu percabangan rangkaian sedemikian rupa sehingga :
bernilai stasioner, dengan :
∑
==
n k k k gi
P
1ε
Syarat perlu :
0
=
∂
∂
k
i
S
Contoh soal
Gunakan prinsip variasi untuk menyelesaikan persoalan rangkaian listrik berikut ini. Tentukan kuat arus listrik yang mengalir pada setiap cabang rangkaian di bawah ini !
R2 = 1 Ω i2 i3 i1 R1 = 2 Ω R3 =3 Ω ε2 = 1V ε1 = 2V ε3 = 3V
Jawab
Prinsip Variasi Van Baak : S = Pd – 2 Pg
