KATA PENGANTAR
Tiada kata yang pantas kita ucapkan selain kata puja dan puji syukur kehadirat ilahi rabbi yang senantiasa memeberikan nikmat-Nya beru[a kesehatan dan kesempatan kepada kita sehingga dalam penyusunan makalah “matematika diskrit” ini dapat terselesaikan sebagaimana mestinya.
Makalah ini kami sususn sebagai pendukung dalam prosese perkuliahan dan sebagai bahan diskusi guna menyatakan pendapat dan saran dari teman-teman namun dalam makalah ini pastilah terdapat kekurangan, oleh karena itu krutik dan saran akan kami terima demi kualitas penyusunan makalah selanjutnya.
Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita semua khususnya kami kelompok IV, atau teman-teman pada umumnya.
Majene………. Penyusun
BAB I PENDAHULUAN
LATAR BELAKANG
Seseorang dalam melakukan komunikasi dengan orang lain menggunakan kata-kata. Rangkaian kata ini merupakan suatu kalimat yang kemudian dapat dimengerti oleh orang lain. Kalimat itu disebut kalimat berarti. Kalimat berarti dapat digolongkan menjadi dua, yaitu pernyataan (deklaratif) dan bukan pernyataan ( non deklaratif).
Tapi dalam makalah ini kita tidak akan membahas tentang kalimat deklaratif dan kalimat non deklaratif karena pada penjelasanb sebenarnya telah dijelaskan tentang kedua bentuk kalimat tersebut, mulai dari kanjungasi, disjungsi, semua itu telah dibahas pada pertemuan sebelumnya.
Pada petemuam sebelumnya telah dibahas bahwa ekspresilogika dapat termasuk teutologi, kotradiksi, jika sesuatu ekspresi logika termasuk teutologi, maka ada implikasi logis yang diakibatkannya, yaitu jika dua buah ekspresi logika eknivalen (sama)
BAB II PEMBAHASAN 1. EKUIVALENSI LOGIS
Pada teutologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah teutologi, maka keduabuh ekspresi tersebut ekuivalen secara logis, demikian juga jika keduanya kontradiksi : persoalanya ada pada catingent, karena memiliki semua nilai S dan B. tetapi jika ukuran B dan S atau sebaliknya pada table kebenaran tetap pada ukuran yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis.
Contoh :
1. Dewi sangat cantik dan peramah 2. Dewi peramah dan sangat cantik
Kedua pernyataan diatas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja, dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut :
A = Dewi sangat cantik B = Dewi peramah Maka ekspresi logika adalah : (1) A ∧ B
(2) B ∧ A
Kedua buah ekspresi logika tesebut dikatakan ekuivalen secara logis, dan dapat ditulis :
Ekuivaelnsi logis dan kedua ekspresi ogikja dapat dibuktikan dengan tebel kebenaran. Sebagai berikut.
A B A ∧ B B ∧ A
B B B B
B S S S
S B S S
S S S S
Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, w3alaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai B dan S, tetapi untungnya sama maka secara logis dikatakan ekuivalen, tetapi jika untuk S dan B tidak sama maka tidak bias dikatakan ekuivalen secara logis.
Defenisi = proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A B adalah teutologi. Notasi atau symbol A ≡ B menandakan bahwa A dan B ekuivalen secara logis. Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut.
Contoh:
1. Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur
2. Adalah tidak benar jika badu pandai dan jujur
[image:4.612.135.337.168.242.2]A= Badu pandai B = Badu jujur
Kedua penyataan menjadi : 1. –A V – B
2. – (A V B)
Selanjutnya dibuktikan dalam tabel kebenaran bahwa kedua ekspresi logika itu ekuivalen
A B A ∧ B - A V - B - (A ∧ B)
B B B S S
B S S B B
S B S B B
S S S B B
Meskipun kedua ekspresi logika diatas memiliki nilai kebenaran yang sama, ada nilai B dan S, keduanya baru dukatakan ekuivalen secara lois kija dihubungkan dengan perangkai ekuivalen ( ) dan akhirnya menghasilkan teutologi
Perhatikan lanjutan tabel berikut : – A V – B – (A V B)
2. Komutatif (Pertukaran)
Pada begian diatas sudah dibahas bahwa (A ∧ B) ≡ (B ∧ A), pada perangkai (∧) tersebut, variable kedua propesional dapat salng berganti tempat tampa mengubah nilai kebenaran dari kedua ekspresi logika karena tetap memiliki nilai kebenaran yang sama disebut komutatif
Jadi (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)
Demikian juga dengan perangkai (V) : (A V B) ≡ (B V A)
Demikian juga dengan perangkai ( ) : (A B) = (B A)
Sifat komutatif dari ketiga perangkai diatas dapat dibuktikan denga tabel kebenaran . lain halnya dengan perangkai ( ) tidak memiliki sifat komutatif, karena (A B) dengan (B A) memiliki nilai kebenaran ahng berbeda. Lihat pembuktiannya dengan tabel kebenaran berikut.
A B A B B A
B B B B
B S S B
S B B S
S S B B
Jadi terbukti bahwa ekspresi logika A B dengan B A keduanya tidak ekuivalen
Penempatan tanda kurung bias pada suati ekspresi logika peranan penting, karena tanda kurung berarti meminta proses dikerjakan lebih dahulu pada tanda kurung terdalam.
Jika diterapkan pada dua buah ekspresi logika, penempatan tanda kurung biasa dapat diubah, tetapi tidak mengubah nilai kebenarannya pada tabel kebenaran yan dibuat
contoh :
A B C A ∧ B (A ∧ B) ∧ C B ∧ C A ∧ (B ∧ C)
B B B B B B B
B B S B S S S
B S B S S S S
B S S S S S S
S B B S S B S
S B S S S S S
S S B S S S S
S S S S S S S
Jadi dapat dibuktikan bahwa {(A ∧ B) ∧ C} ≡ {A ∧ (B ∧ C)}
dan karena tanda kurungnya bias dipindahkan dan tidak mengubah nilai kebenaran maka disebut asosiatif
asosiatif lainya biasana terjadi pada perangkai yang sama misalnya : perangkai (V) dan perangkai ( ), jadi (A V B)VA) ≡ (AV(BVC). Tetapui tidak berlaku ( ), jika pada A B dan B A sudah bernilai tidak sama. Maka ((A B) C) dan (A (B C)) juga dipastikan tidak sama. Akan tetapi, jika perangkainya berbeda pada satu ekspresi logika, anda tidak bisa memindahkan tandakurung dengan sembarangan karena akan menghasilkan nilai kebenaran yang berbeda.
Contoh :
B B B B B B B
B B S B B B B
B S B S B B B
B S S S S S S
S B B S B B S
S B S S S B S
S S B S B B S
S S S S S S S
Jadi terbukti nilai kebenaran dari (A > B) VC dan A > (B V C) tidak sama, walaupun urutan perangkainya sama. Pletakan tanda kurung yang berbeda menyebabkan perbedaan nilai kebenaran.
4. Hukum logika
hukum-hukum logika yang digunakan untuk memebutikan berbagai keperluan, termasuk validitas sebuah argument, dapat dikembangkan dari ekuivalen logis. Hukum-hukum logika juga diambil dari ekspresi-ekspresi logika berdasarkan pernyataan-pernyataan sehingga tetap dapat dibuktikan kebenarannya melalui pernyataan tersebut
contoh:
1. Jika anda tidak belajar, maka anda akan gagal. 2. Anda Harus Belajar, atau anda akan gagal.
Jika ingin membuat ekspresi logika, maka variabel proposisionalnya harus duganti dulu, seperti berikut.
A = anda belajar B = anda gagal
Maka ekspresi logika akan menjadi 1. A B
Kemudian dibuktikan bahwa A B ≡ – A V B. dalam tabel kebenaran.
A B A B – A – A V B
B B B S B
B S S S S
S B B B B
S S B B B
Ternyata A B ≡ - A V B karena memiliki nilai kebenaran yang sama pada tabel kebenaran.
Sekarang perhatikan hukum de morgan 1. – (A Λ B) - A V – B
2. – (A V B)≡ - A Λ- B
Pembuktian hukum de morgan juga dapat dibuiktikan dengan tabel kebenaran, seperti hukum-hukum lainya, sebuah hukum juga dapat diberlakukan terbalik, jadi – (A Λ B) ≡- A V – B tetap akan sam dengan - A V – B ≡ – (A Λ B) untuk hukum-hukum logika lainya dapat dilihat pada
contoh berikut. Contoh :
untuk membuktikan maka harus diubah menjadi ekspresi logika seperti berikut :
A = badu sekolah B = badu pandai Maka akan menjadi 1. – A - B 2. B A
Pembuktian ekuivalensi dilakukan dengan tabel kebenaran
A B – A – B – A –B B A
B B S S B B
B S S B B B
S B B S S S
S S B B B B
Jadi terbukti bahwa : – A –B ≡ B A
5. Konvers, invers, dan kontraposisi
Dari suatu komplikasi p q, dapat peroleh : i. q p yang disebut konvers dari p q ii. –p -q yang disebut invers dari p q
[image:11.612.130.508.321.396.2]iii. –q -p yang disebut kontraposisi dari p q
Tabel kebenaran dari keempatpernyataan diatas sebagai berikut.
Implikasi Konvers Invers Kontraposis i p q – p – q p q q p –p –q –q –p
B B S S B B B B
B S S B S B B S
S B B S B S S B
S S B B B B B B
i. p q ≡ – q – p ii. q p ≡ – p – q
contoh :
apakah konvers, invers, kantraposisi kalimat dibawah ini ?
a. Jika merupakan suatu bujur sangkar, maka A meruppakan sauatu 4 persegi panjang
b. Jika N adalah bilangan prima > 2, maka N adalah bilangan ganjil Penyelesaian :
a. Konvers : jika a merupakan 4 persegi panjang maka a adalah suatu bujur sangkar
Invers : jika a bukan bujur sangkar mak a bukan 4 persegi panjang
Kantraposisi : jika a bukan 4 persegi panjang maka a bukan bujur sangkar
b. Konvers : jika N adalah bilangan ganjil, maka N adalah bilangan prima > 2
Invers : jika N bukan bilangan prima > 2 maka N bukan bilangan ganjil
Kantraposisis : jika N bukan bilangan ganjil, maka N bukan bilangan prima. > 2
BAB III PENUTUP
1. KESIMPULAN
Dari penjelasan dan pembahasan tentang logika matematika, dapat dapat disimpulkan bahwa matematika merupakan mata kuliah yang sangat membutuhkan pemahaman yang tinggi, khususnya dalam kehidupan sahari-hari logika peranan yang sangat penting, karena apabila seseorang tidak memahami logika maka akan sering terjadi kesalapahaman dalam kehidupan sehari-hari. Logika matematika juga memberiikan bukti bahwa pada bidang matematika itu bukan selamanya berupa angka- angka tapi selain dari itu terdapat sebuah pernyataan-pernyataan yang membutuhkan pemahaman tinggi
2. SARAN-SARAN
