Deret Bolak-balik (Alternating Series) Deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda. Sebagai contoh,

(1)

Deret Bolak-balik (Alternating Series)

Deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda. Sebagai contoh,

1 −1 2+1

3−1

4+ ⋯ +(−1)^𝑛+1 𝑛

Deret bolak-balik ∑^∞_𝑛=1(−1)^𝑛+1𝑎_𝑛, dengan 𝑎_𝑛 positif, konvergen jika memenuhi dua syarat berikut:

i. Setiap suku-suku deret ini secara numerik kurang dari suku-suku sebelumnya, |𝑎_𝑛+1| <

|𝑎_𝑛|.

ii. lim

𝑛→∞|𝑎_𝑛| = 0.

Deret Pangkat

Secara umum, deret pangkat dapat dituliskan sebagai ...

3 3 2 2 1 0 0





^ 



x a x a x a a x a ⁿ

n

n (1.14a)

atau

∑^∞_𝑛=0𝑎_𝑛(𝑥 − 𝑎)^𝑛 = 𝑎₀+ 𝑎₁(𝑥 − 𝑎) + 𝑎₂(𝑥 − 𝑎)²+ ⋯, (1.14b)

dengan x adalah variabel, a adalah tetapan yang (boleh) bernilai nol dan 𝑎_𝑛 disebut koefisien deret pangkat. Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja memilih indeks nol untuk menyatakan suku pertama deret, a0 , yang selanjutnya disebut suku ke-nol. Hal ini dilakukan untuk memudahkan penulisan, terutama ketika membahas pernyataan suatu fungsi dalam deret pangkat.

Berikut beberapa contoh deret pangkat :Sebagai contoh,

(a) ...

2 ) .... ( 8 4 1 2

3

2     



 n

x n

x x x

(b) ( 1) ....

4 ...

8 4

1 4

3

2      

 ^

n x x

x x x

n n

(c) ...

)!

1 2 (

) 1 .... (

! 7

! 5

! 3

1 2 1 7

5

3 



 







 ^ ^

n x x

x x x

n n

(2)

(d) ...

1 ) 2 .... (

3 ) 2 ( 2

) 2 1 (

2 



 



n x x

x ⁿ

Deret pada contoh (a)

...

2 ) .... ( 8 4 1 2

3

2     



 x x x x_n ⁿ

Selang konvergensi deret pangkat dapat ditentukan dengan menggunakan konsep uji rasio (uji nisbah) sebagai berikut :

n n n

n n

x x

2 ) :( 2

) (

1

1 

  _^



= ² x

2

 x



Menurut syarat uji nisbah suatu deret akan konvergen jika ρ<1. Sehingga

2

 x

 <1 atau

2

x atau dapat dituliskan : -2<x<2. Jadi, konvergensinya adalah untuk nilai x antara -2 dan 2. Untuk lebih jelasnya, berikut beberapa contoh soal mengenai interval konvergen.

Contoh Soal:

Tentukan interval konvergensi dari deret



^

0 3 ) 2 (

n n

x n

Penyelesaian :

Untuk mencari interval nya maka harus ditentukan terlebih dahulu ρn dan ρ nya.

n n n

n n

x x

3 ) 2 :( 3

) 2 (

1 1



 



(3)

3

 2x

 karena deret tersebut merupakan deret konvergen, maka

3

 2x

 <1 . Sehingga untuk

menentukan intervalnya, maka harus ditentukan nilai x nya terlebih dahulu. Dari nilai ρ diatas, maka

2

 3

x dan

2

3



x atau dapat dituliskan :

2 3 2

3  

 x .

Beberapa Teknik untuk Menyatakan Ekpansi Deret Pangkat

Beberapa deret Maclaurin dari fungsi dasar yang sering digunakan dalam fisika adalah 1) sin 𝑥 = 𝑥 −^𝑥³

3! +^𝑥⁵

5! −^𝑥⁷

7! + ⋯ 2) cos 𝑥 = 1 −^𝑥²

2! +^𝑥⁴

4! −^𝑥⁶

6! + ⋯ 3) 𝑒^𝑥 = 1 + 𝑥 +^𝑥²

2! +^𝑥³

3! +^𝑥⁴

4! + ⋯ (1.15)

4) ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −^𝑥

2+^𝑥³

3 −^𝑥⁴

4 + ⋯ 5) (1 + 𝑥)^𝑝= 1 + 𝑝𝑥 +^{𝑝(𝑝−1)}

2! 𝑥²+𝑝(𝑝−1)(𝑝−2)

3! 𝑥³+ ⋯ (deret binomial Newton)

A. Perkalian Suatu Deret Polinomial, atau dengan Deret Lain.

Contoh:

Untuk menentukan deret

,

kita dapat mengalikan



x1



dengan deret sinx

.



 



   





 ...

! 5

! ) 3 1 ( sin ) 1 (

5

3 x

x x x x x

! ....

3

! 3

4 3

2   



 x x

x x

B. Pembagian Suatu Deret atau dengan Deret Polinomial.

Contoh:

Untuk menentukan deret dari 1ln(1 )

x x , kita dapat membagi deret ln(1x)dengan x



 



    



 ...

4 3 2 ) 1

1

1ln( x² x³ x⁴

x x x x

(4)

...

4 3 1 2

3

2  





 x x x

C. Deret Binomial Contoh:

Kita dapat menyelesaikan deret

x 1

1 dengan menggunakan deret binomial

! ....

3 ) 3 )(

2 )(

1 (

! 2

) 2 )(

1 1 (

) 1 1 (

1   ₁      ₂    ₃



 x x x

x x

...

1  ² ³

 x x x

D. Substitusi Polinomial atau Suatu Deret dengan Variabel Deret Lain Contoh:

Tentukan deret dari 𝑒^−𝑥².

Untuk menentukannya yaitu melihat pola yang mirip yaitu pada deret (13.3) untuk 𝑒^𝑥, maka dengan mudah menggantikan x dengan −𝑥².

Pada soal 𝑒^−𝑥², pada tabel yang berpola mirip yaitu untuk 𝑒^𝑥 𝑒^𝑥= 1 + 𝑥 +𝑥²

2!+𝑥³ 3! +𝑥⁴

4! + ⋯ Maka,

...

! 3

) (

! 2

) 1 (

3 2 2

2 2

2 ²  

 





  x x

x e ^x

...

! 3

! 1 2

6 2

2   



 x x

x

E. Metode Kombinasi Contoh:

Tentukan deret dari 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 untuk, x arc t

t arc

dt x

x tan tan

1 ⁰

0 2  





(5)

Pertama, tuliskan seperti deret binomial yaitu (1 + 𝑡²)⁻¹lalu mengintegralkannya dengan batas yang telah ditentukan

Maka berdasarkan deret (1 + 𝑥)^𝑝 = 1 + 𝑝𝑥 +^{𝑝(𝑝−1)}

2! 𝑥²+𝑝(𝑝−1)(𝑝−2)

3! 𝑥³ + ⋯ Sehingga diperoleh

𝑎𝑟𝑐 𝑎𝑛 𝑥 = 𝑥 −𝑥³ 3 +𝑥⁵

5 −𝑥⁷ 7 + ⋯

F. Deret Taylor dengan Menggunakan Dasar Deret Maclaurin Contoh:

Tentukan bentuk dari deret taylor dari ln 𝑥 dengan 𝑥 = 1

Yang berarti pangkat dari deret (𝑥 − 1) lebih baik dari pangkat x yaitu:

ln 𝑥 = 𝑥[1 + (𝑥 − 1) Berdasarkan

ln(1 + 𝑥) = 𝑥 −^𝑥

2+^𝑥³

3 −^𝑥⁴

4 + ⋯ dengan 𝑥 diganti dengan (𝑥 − 1) , maka

ln 𝑥 = 𝑥 ln[1 + (𝑥 − 1)] = (𝑥 − 1) −1

2(𝑥 − 1)²+1

3(𝑥 − 1)³+1

4(𝑥 − 1)⁴…

Contoh Penerapan Deret Pangkat dalam Fisika 1. Hampiran Numerik

Menggunakan deret taylor kita dapat mencari hampiran dari suatu fungsi f(x) dengan melakukan pemangkasan orde dari uraian tersebut sesuai dengan yang kita kehendaki. Misalnya

(1 + 𝑡²)⁻¹= 1 − 𝑡²− 𝑡⁴− 𝑡⁶+ ⋯ ; 𝑑𝑡

1 + 𝑡² = 𝑡 −𝑡² 3 +𝑡⁵

5 +𝑡⁷ 7 + ⋯

𝑥

0

𝑥

0

(6)

kita melakukan pemangkasan hingga orde ke-n, maka derajat ketelitian yang kita peroleh dapat didekati melalui formula :



 



  







 

n

m

m c

m x m

n x c

dx f d c m

f x f x R

1

)

! ( ) 1

( ) ( ) (

1 1

1

) )! (

1 (

1 _





 

  ⁿ

d x n n

c dx x

d

n (1.16)

Dengan d adalah titik diantara c dengan nilai x yang ingin dihampiri. Fungsi semacam f(x)= ¹

𝑥 kerap kali ditemukan penerapannya dalam problem fisika terkait dengan potensial listrik coulomb. Uraian fungsi tersebut pada persamaan di atas dapat kita artikan bahwa nilai fungsi tersebut disekitar titik x=1 dengan rentang 0<x<2 dapat dihampiri dengan keakurasian yang cukup baik akibat ke konvergensian nya pada rentang tersebut. Untuk memperkirakan harga fungsi tersebut disekitar x=1,01 misalnya, kita dapat melakukan pemangkasan deret pada persamaan diatas hingga pangkat pangkat yang rendah saja misalnya, sampai dengan orde 2,

1

1,01=1-(1,01-1)+(1,01-1)²=0,9901

Berdasarkan pendekatan diatas deajat ketelitiannya dapat dihitung melalui hubungan berikut:

3 3

3

) ) (

/ 1 (

! 3 ) 1

( x c

dx x x d

R

d x

n  



1₄ ( 1)³



 x

d

Ambil misalnya d=1,005 maka ketelitian yang diperolehber-orde sebesar ~10^-6.

Dalam fisika relativistic diketahui bahwa energy kinetic yang dimiliki oleh suatu benda yang bergerak dengan kelajuan v dilihat oleh seorang pengamat adalah sebesar :

2 2 0

/ 1

c m c v

c

E_k m 

  (1.17)

Tinjau fungsi f(x)=

1 2

1

x dengan x=v/c.Untuk kasus non-relativistik, dimana x<<1, uraian taylor fungsi tersebut hingga orde pertama disekitar x=0 adalah :

(7)

2

2 2

1 1 1

1 x

x



 

Sehingga dengan demikian dari persamaan diatas diperoleh :

2 2 0

2 2

0 2

1 1 m c

c c v

m

E_k 



 



 

 = ₀ ²

2 1m v

Yang tidak lain adalah ungkapan energy kinetik untuk kasus non-relativistik yang kita kenal.

2.Penurunan Persamaan Diferensial dan Integral

Selain dari penerapannya dalam memperoleh hampiran seperti yang dicontohkan pada bagian 1, uraian taylor juga lazim digunakan antara lain misalnya dalam merumuskan persamaan diferensial atau persamaan integral yang menggambarkan dinamika suatu sistem yang relative kompleks.

Penerapanuraian taylor untuk persamaan integral terkait dengan problem mencari potensial listrik akibat distribusi muatan di suatu titik, secara matematik, integrasi potensial yang dijumpai biasanya sangat rumit:



_ _ _



vol r r rr r r

r d r r

V

' , cos ' 2 '

' ) ' ) (

(

2 2

3

 

 (1.18)

Untuk mengatasinya,tinjau fungsi :

' , cos ' 2 ' ) 1

(

2

2  

r r rr

r r r

f    

=





 2 cos 1

1

2 

 r

Dengan  r /' rdan . ' r

r

 . Jika diasumsikan bahwa  1, maka fungsi didalam tanda akar pada bagian kanan persamaan di atas dapat diuraikan dalam uraian taylor sebagai berikut :

(8)

  

² ^cos



^....

8 cos 3 2 2

1 1 cos 2 1

1 2 2 2

2      



      





= _



 



 



  ² cos² 2 3 2 cos 1

1 +….

Uraian ini dapat dengan dengan mudah diperoleh melalui uraian Taylor fungsi f(x)=

x 1

1 di sekitar x = 0,dengan x = ² 2cos. Berdasarkan hasil diatas, maka integral pada

persamaan V (r) dapat diselesaikan dalam bentuk :

(1.19)

Teknik memperoleh potensial dengan cara ini dikenl sebagai cara Metode Ekspansi Multipol.

Contoh lain adalah penerapan dalam menurunkan persamaan diferensial yang menggambarkan dinamika suatu sistem.Misalnya ketika memodelkan persamaan untuk gelombang pada tali dengan memakai asumsi bahwa simpangan yang dialami oleh suatu titik pada tali relative sangat kecil.

Seperti yang disinggung pada bagian pendahuluan, penerapan uraian taylor ini dimaksudkan untuk menyederhanakan persoalan terkait yang sering membutuhkan teknik matematika yang rumit ,tetapi pemodelan semacam ini tidak memberikan suatu gambaran yang sifatnya menyeluruh mengenai sistem yang ditinjau sehingga akan fenomena yang terbuang ketika dilakukan penyederhaan tersebut.

Sebuah fungsi 𝑓(𝑥) dapat dikembangkan ke dalam deret Taylor dengan menggunakan rumus 𝑓(𝑥) = ∑ ^𝑓^(𝑛)^(𝑎)

𝑛! (𝑥 − 𝑎)^𝑛

∞𝑛=0 . (1.20)

Jika a = 0, uraian deret Taylor berubah menjadi deret Maclaurin:

𝑓(𝑥) = ∑ ^𝑓^(𝑛)⁽⁰⁾

𝑛! 𝑥^𝑛

∞𝑛=0 . (1.21)



 ^ ^



vol vol

r d r r r

r d r r

r

V 1 ' cos ( ' ) ' ....

' ) ' 1 (

)

( 

³ ₂



³

(9)

Dengan menggunakan beberapa deret fungsi dasar di atas, kita dapat memperoleh deret dengan mudah. Perhatikan beberapa contoh berikut:

1) 𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥cos 𝑥 = (1 + 𝑥 +^𝑥²

2! +^𝑥³

3! +^𝑥⁴

4! + ⋯ ) (1 −^𝑥²

2! +^𝑥⁴

4! −^𝑥⁶

6! + ⋯ ) = 1 + 𝑥 −^𝑥³

3 … 2) 𝑓(𝑥) = tan 𝑥 =^{sin 𝑥}

cos 𝑥 =^𝑥−

𝑥3

3!+^𝑥5_5!−^𝑥7_7!+⋯

1−^𝑥2_2!+^𝑥4_4!−^𝑥6_6!+⋯= 𝑥 +^𝑥³

3 +^2𝑥⁵

15 + ⋯.

Soal:

1. Tentukan apakah deret berikut deret konvergen atau divergen!

a.



^

1 ! 2

n n

n b.

 



^

  



2

2 1

1 1

n n

n

2. Tentukan interval konvergensi dari a.



^

 

₁ln 1

n n

n

x b.



^

 

 



1 3

2

n n

n

n x

3. Tentukan deret Maclaurin dari fungsi berikut

a. _



 



 x

x

ln sin b. ^arc ^x^



0^x _^du_u2

tan 1

4. Gunakan deret Maclaurin untuk ,mengevaluasi



 



  

 x x

x

lx sin

1

lim

1

0

Deret Bolak-balik (Alternating Series) Deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda. Sebagai contoh,





Beberapa Teknik untuk Menyatakan Ekpansi Deret Pangkat

,





.







  





  



r d r r r

r d r r

r

V 1 ' cos ( ' ) ' ....

' ) ' 1 (

)

( 





 





 



 



lim

 ^ ^