2010, Том 12, Выпуск 4, С. 3–11
УДК517.519
ОПЕРАТОРЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПЕРЕМЕННОГО ПОРЯДКА
В ПРОСТРАНСТВАХ Г ¨ЕЛЬДЕРАHω(t,x)
Б. Г. Вакулов, Е. С. Кочуров
В работе рассматриваются пространства обобщенной переменной г¨ельдеровости функций, задан-ных на отрезке действительной оси, локальный обобщенный модуль непрерывности которых имеет мажоранту, изменяющуюся от точки к точке. Доказываются теоремы о действии операторов дроб-ного интегрирования перемендроб-ного порядка из пространств обобщенной переменной г¨ельдеровости в пространства с «лучшей» мажорантой и операторов дробного дифференцирования из таких же про-странств в пропро-странства с «худшей» мажорантой. Переменный порядок принимает действительные значения между нулем и единицей.
Ключевые слова:операторы дробного интегрирования, операторы дробного дифференцирования, обобщенный модуль непрерывности, обобщенные пространства Г¨ельдера с переменными характери-стиками.
1. Введение
В последнее время сильно возрос интерес к изучению пространств переменного поряд-ка, когда параметры, определяющие пространство, обычно постоянные, могут изменять-ся от точки к точке. Типичным примером такого пространства являетизменять-ся обобщенное про-странство Лебега с переменным показателем, определяемое модуляром RΩ|f(x)|p(x)dx.
Другим примером является обобщенное пространство Г¨ельдера Hλ(·) переменного порядка, определяемое условием ω(f, t, x) 6 ctλ(x), x ∈ Rn, где локальный модуль непрерывности ω(f, t, x) функции f равен sup|h|<t|f(x +h) − f(x)|. Известны и бо-лее общие пространства, а именно, пространства функций, удовлетворяющих условию ω(f, t, x)6cω(t, x), где мажорантаω(t, x)— функция типа модуля непрерывности (см. [8, с. 50]) по переменнойt(для каждогоx∈[a, b]). Такие пространства носят название обоб-щенных пространств Г¨ельдера с переменной характеристикой. В случае, когда харак-теристикаω(t, x) =tλ(x), получаем пространствоHλ(·).
Мы рассматриваем оператор дробного интегрирования
Iaα+(·)f(x) = 1 Γ[α(x)]
x Z
a
f(t)dt
(x−t)1−α(x) (1.1)
и оператор дробного дифференцирования
Daα+(·)f(x) = f(x)
Γ[1−α(x)](x−a)α(x) +
α(x) Γ[1−α(x)]
x Z
a
f(x)−f(t)
(x−t)1+α(x)dt (1.2)
c
на обобщенных пространствах Г¨ельдера Hω(·)([a, b]) с характеристикой ω = ω(t, x),
0 < t < b−a, зависящей от точки x ∈[a, b]⊂R. Основная цель — исследовать зависи-мость отображений, осуществляемых операторами Iaα+(·) и Dαa+(·), от локальных значений α(x) и ω(t, x). Мы рассматриваем функции ω(t, x), принадлежащие классу Зигмунда — Бари — Стечкина по t равномерно по x. Центральным результатом здесь является по-лучение теорем о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования, определенных на том или ином пространстве Г¨ельдера, в пространство подобной приро-ды. Для этого мы используем метод оценок типа Зигмунда. В нашем случае эти оценки носят локальный характер и зависят от точекx∈[a, b].
Дробные интегралы и дробные производные постоянного порядка α(x) = α = const
в пространствах переменной г¨ельдеровости рассматривались ранее в работах Н. К. Ка-рапетянца и А. И. Гинзбург [7, 9]. Там же был получен изоморфизм этих пространств, осуществляемый дробным интегралом.
Дробные интегралы переменного порядка в пространствах переменной г¨ельдеровости рассматривались в работах Б. Росса и С. Г. Самко [11], С. Г. Самко [12].
Многомерные потенциалы и гиперсингулярные интегралы в пространствах перемен-ной и обобщенперемен-ной переменперемен-ной г¨ельдеровости рассматривались в работах Б. Г. Вакуло-ва [2–5, 14], Н. Г. Самко и Б. Г. ВакулоВакуло-ва [6].
Наиболее общие результаты о действии операторов типа потенциала и соответству-ющих гиперсингулярных операторов в рамках обобщенных пространств с переменными характеристиками были получены в работе Н. Г. Самко, С. Г. Самко и Б. Г. Вакуло-ва [6], где рассматриВакуло-вались пространстВакуло-ва функций, определенных на однородных про-странствах.
Рассматриваемые в настоящей работе объекты — операторы дробного интегрирова-ния и дифференцироваинтегрирова-ния — имеют, в сравнении с операторами типа потенциала и ги-персингулярными интегралами, одностороннюю природу (переменный предел интегри-рования), что приводит к некоторой специфике исследования и получаемых результатов.
2. Вспомогательные утверждения
Всюду ниже предполагается, что ω(t, x) — функция типа модуля непрерывности по переменнойt для каждогоx∈[a, b]. Тогда, как известно,
ω(t, x)
t 62
ω(h, x)
h , t > h. (2.1)
В наших основных результатах мы предполагаем также, чтоω(t, x)равномерно поx, не зануляется вне начала координат:
inf x∈[a,b], t∈(δ,b−a)
ω(t, x)>0, δ >0. (2.2)
Определение 2.1. ЧерезHω(·)([a, b])обозначим пространство функцийf ∈C([a, b])
таких, что ω(f, t, x) 6 cω(t, x) для всех x ∈ [a, b], где c > 0 не зависит от x и t. Это пространство банахово относительно нормы
kfkHω(·)([a,b]) =kfkC([a,b])+ sup
x∈[a,b]
t>0
ω(f, t, x)
Дробное интегриродифференцирование переменного порядка в пространствахH 5 ЧерезH0ω(·)([a, b])обозначим подпространство функций из Hω(·)([a, b]), обращающихся в нуль в точкеa.
Лемма 2.1. Пусть ω(t, x) — функция типа модуля непрерывности по переменной t для каждогоx∈[a, b]иω0 := infx∈[a,b]ω(b−a, x)>0. Оператор умножения на функцию
g∈Lip([a, b])ограничен в Hω(·)([a, b]) иH0ω(·)([a, b]).
⊳ Достаточно проверить, что существует постоянная c >0 такая, что h 6cω(h, x). Это вытекает из (2.1) при выбореt=b−a, так что c= 2(b−aω )
0 .⊲
Определение 2.2 [10].Говорят, что ω(t, x) принадлежит по переменнойt обобщен-ному классу Зигмунда — Бари — Стечкина Φδβ((··)),где06δ(x)< β(x),x∈[a, b], если:
1) ω(t, x) непрерывна и почти возрастает по t на [0, b−a] равномерно поx ∈[a, b]и
lim
t→+0ω(t, x) = 0для каждого x∈[a, b];
2) h R
0
¡h t
¢δ(x)ω(t,x)
t dt6c ω(h, x); 3)
b−aR
h ¡h
t
¢β(x)ω(t,x)
t dt6c ω(h, x),
где 0 < h < b−a, постоянная c не зависит от h и x ∈ [a, b]. Через Φδ(·) мы также
обозначаем соответствующий класс, для которого выполняется только условия 1 и 2, а черезΦβ(·) — класс с условиями 1 и 3, так чтоΦβδ((··)) = Φ
δ(·)∩Φ
β(·).
Подобные классы Φδ
β в случае функций ω = ω(t) и показателей β, δ, не зависящих от параметраx, были представлены в статье Бари — Стечкина [1] сδ = 0,β = 1,2,3, . . . Классы Φδ
β с постоянными06δ < β были рассмотрены в [13], а их подробное исследо-вание можно найти в [10].
Всюду в дальнейшем предполагаем, что зависящие от x параметрыβ иδ, определя-ющие классΦδβ((··)), удовлетворяют условиям
β, δ∈C([a, b]), min
x∈[a,b][β(x)−δ(x)]>0. (2.3)
Заметим, что последнее условие гарантирует непустоту классаΦδβ((··)). Нам понадобятся следующие очевидные факты.
Лемма 2.2. Пусть supx∈[a,b]α(x)<1и функция ω(t, x) неотрицательна. Еслиω(t, x)
почти возрастает по tравномерно по x, то
hα(x)ω(h, x)6ch b−a Z
h
ω(t, x)dt
t2−α(x) , 0< h <
b−a
2 , (2.4)
а если ω(t,xt ) почти убывает по tравномерно по x, то
h−α(x)ω(h, x)6c h Z
0
ω(t, x)dt
t1+α(x) , 0< h < b−a, (2.5)
для всех x∈[a, b], гдеc не зависит от hи x.
Заметим, что в случае, когда ω(t, x) = tλ(x), 0 < inf
x∈[a,b]α(x) 6 α(x) 6 supx∈[a,b]α(x) < infx∈[a,b]λ(x) 6 λ(x) 6 1 для всех x ∈ [a, b], интеграл в правой
Лемма 2.3. Пусть ω(t, x) — функция типа модуля непрерывности по переменной t для каждогоx∈[a, b]. Тогда для всехλ >0,x∈[a, b]справедливо неравенство
ω(λt, x)6(λ+ 1)ω(t, x). (2.6) ⊳ Утверждение леммы доказывается аналогично соответствующему результату для случая, когда функцияω =ω(t) не зависит отx (см., например, [8, с. 51]). ⊲
Мы воспользуемся ниже числовыми неравенствами
|xµ−yµ|6|µ||x−y| ·[min{x, y}]µ−1, x >0, y >0, µ61; (2.7) |xµ−yµ|6|µ||x−y| ·[max{x, y}]µ−1, x >0, y >0, µ>0. (2.8) Неравенства (2.7) и (2.8) общеизвестны, мы сошлемся на [6], где такие неравенства были доказаны для случая, когдаµможет принимать комплексные значения (с заменой µна Reµв показателях степеней в правых частях), см. [6, (2.24)].
Далее все получаемые константы будем обозначать одним и тем же символом c.
3. Основные результаты
В теоремах 3.1 и 3.2 мы даем оценки типа Зигмунда для разностей функций, являю-щихся дробными интегралами или дробными производными соответственно.
Всюду ниже мы предполагаем, что α∈Lip([a, b]), 0< inf
x∈[a,b]α(x)6x∈sup[a,b]α(x)<1. (3.1)
В силу леммы 2.1 и условий (3.1), при рассмотрении оператора (1.1) оценку типа Зигмунда достаточно получить для интеграла
ϕ(x) :=
x Z
a
f(t)dt
(x−t)1−α(x) =
x−a Z
0
f(x−t)dt
t1−α(x) . (3.2)
Мы используем обозначения
ωα(t, x) :=tα(x)ω(t, x), ω−α(t, x) :=t−α(x)ω(t, x).
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия (3.1). Если f ∈ H0ω(·)([a, b]), то для функ-цииϕ справедлива следующая оценка типа Зигмунда
|ϕ(x+h)−ϕ(x)|6ch b−a Z
h
ω(t, x)dt
t2−α(x) kfkHω, h >0, (3.3)
гдеc не зависит от x,h иf.
⊳ В силу (2.2), оценку (3.3) достаточно доказать при малых h. Будем считать, что
0< h <min¡12,b−a2 ¢. Имеем|ϕ(x+h)−ϕ(x)|6|I1|+|I2|+|I3|, где
I1 =
x−a Z
0
[f(x−t)−f(x)]·[(t+h)α(x+h)−1−tα(x)−1]dt,
I2 = 0
Z
−h
f(x−t)−f(x)
(t+h)1−α(x+h) dt, I3 =f(x)
·
(x+h−a)α(x+h)
α(x+h) −
(x−a)α(x)
α(x)
Дробное интегриродифференцирование переменного порядка в пространствахH 9
Теорема 3.2.Пусть выполнены условия (3.1). Еслиf ∈H0ω(·)([a, b]), то для функций g(x) иθ(x) справедливы следующие оценки
|g(x+h)−g(x)|6c h Z
0
ω(t, x)
t1+α(x)dtkfkHω, (3.6)
|θ(x+h)−θ(x)|6c h Z
0
· ω(t, x)
t1+α(x) +
ω(t, x+h)
t1+α(x+h)
¸
dtkfkHω, (3.7)
гдеc не зависит отx,h иf.
⊳ Проводится аналогично доказательству теоремы 3.1. Мы также считаем, что 0 < h <min¡12,b−a2 ¢. Тогда при оценкеg(x) получаем|g(x+h)−g(x)|6|A1|+|A2|, где
A1=£f(x+h)−f(x)¤¡x+h−a¢−α(x+h),
A2=£f(x)−f(a)¤·£(x+h−a)−α(x+h)−(x−a)−α(x)¤.
А для функцииθ(x) имеем |θ(x+h)−θ(x)|6|A3|+|A4|+|A5|, где
A3 =
x−a Z
0
[f(x)−f(x−t)]·[(t+h)−1−α(x+h)−t−1−α(x)]dt,
A4 = 0
Z
−h
[f(x+h)−f(x−t)]
(t+h)1+α(x+h) dt, A5=
x−a Z
0
[f(x+h)−f(x)] (t+h)1+α(x+h) dt.
СлагаемыеA1−A5оцениваются согласно схеме доказательства теоремы 3.1. Мы опускаем
детали доказательства. ⊲
Оценки (3.3), (3.6) и (3.7) позволяют нам получить следующие теоремы о действии операторов дробного интегрирования и дифференцирования в пространствах обобщен-ной переменобобщен-ной гельдеровости.
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия(3.1), функция ω(t, x) является функцией типа модуля непрерывности по tдля каждого x∈[a, b]и ω(t, x) ∈Φ1−α(x). Тогда
опера-торIaα+(·)ограниченно действует из пространстваH0ω(·)([a, b])в пространствоHωα(·) 0 ([a, b]).
⊳Пустьf ∈Hωα(·)
0 ([a, b]). В обозначениях (3.2) имеемI
α(·)
a+ f(x) =
ϕ(x)
Γ[α(x)].Из леммы 2.1
следует, что оценку достаточно получить для функцииϕ(x). В силу оценки (3.3), имеем
|ϕ(x+h)−ϕ(x)|6ch b−a Z
h
ω(t, x)dt
t2−α(x) kfkHω.
Тогда по определению классаΦ1−α(x) :
|ϕ(x+h)−ϕ(x)|6chα(x)ω(h, x)kfkHω.
Равенство же ϕ(a) = 0 сразу следует из оценки
Теорема 3.4. Пусть выполнены условия (3.1), функция ωt(α(x)t,x) является функцией
типа модуля непрерывности поtдля каждого x∈[a, b],ω(t, x)∈Φα(x) и
ω(h, x+h)6cω(h, x), h >0, (3.8)
где c не зависит отx и h. Тогда оператор Daα+(·) ограниченно действует из пространства H0ω(·)([a, b]) в пространствоHω−α(·)
0 ([a, b]).
⊳Доказательство теоремы 3.4 получается также, как и для теоремы 3.3, при помощи оценок (3.6), (3.7) из теоремы 3.2 и неравенства (3.8).⊲
Замечание. Теорема 3.4 доказывается при дополнительном условии (3.8), которое позволяет говорить о действии оператора дробного дифференцирования из пространства с характеристикойω(t, x)в пространство с естественным образом записываемой характе-ристикой ωt(α(x)t,x). Можно опустить условие (3.8), но тогда нужно будет говорить о действии в пространство с модифицированной характеристикой eω−α(t, x) = supy:|y−x|<tω−α(t, y), как это сделано в [6] в случае пространственных гиперсингулярных интегралов (неод-носторонней природы). Заметим, что характеристикиωe−α(t, x)иω−α(t, x)эквивалентны при условии (3.8): ω−α(t, x)6ωe−α(t, x)62cω−α(t, x),гдеc — постоянная из (3.8).
Литература
1. Бари Н. К., Стечкин С. Б.Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопря-женных функций // Тр. Моск. мат. общества.—1956.—Т. 5.—С. 483–522.
2. Вакулов Б. Г.Сферические потенциалы в весовых пространствах Г¨ельдера переменного порядка // Докл. АН.—2005.—Т. 400, № 1.—С. 7–10.
3. Вакулов Б. Г.Сферические операторы типа потенциала в весовых пространствах Г¨ельдера пере-менного порядка // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, № 2.—С. 26–40.
4. Вакулов Б. Г.Операторы сферической свертки со степенно-логарифмическим ядром в простран-ствах обобщенной переменной г¨ельдеровости // Изв. вузов Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки.—2006.— № 1.—С. 7–10.
5. Вакулов Б. Г.Операторы сферической свертки в пространствах переменной г¨ельдеровости // Мат. заметки.—2006.—Т. 80, № 5.—С. 683–695.
6. Вакулов Б. Г., Самко Н. Г., Самко С. Г. Операторы типа потенциала и гиперсингулярные ин-тегралы в пространствах Г¨ельдера переменного порядка на однородных пространствах // Изв. вузов. Сев.-Кавк. рег. Естеств. науки. Актуальные проблемы мат. гидродинамики. Спецвыпуск.— 2009.—С. 40–45.
7. Гинзбург А. И., Карапетянц Н. К.Дробное интегродифференцирование в г¨ельдеровских классах переменного порядка // Докл. АН.—1994.—Т. 339, № 4.—С.439–441.
8. Гусейнов А. И., Мухтаров Х. Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных уравнений.—М.: Наука, 1980.—416 c.
9. Karapetyants N. K., Ginzburg A. I. Fractional integrodifferentiation in Holder classes of arbitrary order // Georg. Math. J.—1995.—Vol. 2, № 2.—P. 141–150.
10. Karapetyants N. K., Samko N. G.Weighted theorems on fractional integrals in the generalized Holder spacesH0w(̺)via the indicesmwandMw// Fract. Calc. Appl. Anal.—2004.—Vol. 7, № 4.—P. 437–458. 11. Ross B., Samko S. G.Fractional integration operator of variable order in the Holder spacesHλ(x) //
Intern. J. Math. and Math. Sci.—1995.—Vol. 18, № 4.—P. 777–788.
12. Samko S. G.Differentiation and integration of variable order and the SpacesLp(x) // Contemporary Math.—1998.—Vol. 212.—P. 203–219.
13. Samko S. G., Murdaev Kh. M.Weighted Zygmund estimates for fractional differentiation and integra-tion, and their applications // Proceedings of the Steklov Institute of Math.—1989.—№ 3.—P. 233–235. 14. Vakulov B. G.Sрherical potentials of сomplex order in the variable Holder spaces // Integral Trans.
Дробное интегриродифференцирование переменного порядка в пространствахH 11 Статья поступила 11 августа 2009 г.
Вакулов Борис Григорьевич
Южный федеральный университет,
доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, старший научный сотрудник лаб. вещественного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22
E-mail:[email protected]
Кочуров Евгений Сергеевич
Южный федеральный университет,
аспирант кафедры дифференц. и интегр. уравнений РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 a E-mail:[email protected]
FRACTIONAL INTEGRALS AND DIFFERENTIALS OF VARIABLE ORDER IN H ¨OLDER SPACES Hω(t,x)
Vakulov B. G., Kochurov E. S.
We consider generalized H¨older spaces of functions on the segment of real axis, whose local continuity modulus has a dominant which may vary from a point to point. We establish theorems on the mapping properties of fractional integrals of variable order, from such a variable generalized H¨older space to another one with a «better» dominant, and similar mapping properties of fractional differentials of variable order from such a space into the space with «worse» dominant. Variable order can take values between zero and unity.
