Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

(1)

Krisnawan

Fungsi Diferensial Partial

Dif-Par Notasi Contoh 1 Contoh 2 Orde Tinggi Multi

Contoh Latihan

FUNGSI DUA VARIABEL

(TURUNAN PARSIAL)

Kus Prihantoso Krisnawan

January 2, 2012

(2)

Krisnawan

Fungsi 2 Variabel

Contoh fungsi 2 variabel:

(3)

Krisnawan

Fungsi 2 Variabel

Contoh fungsi 2 variabel:

f(x,y) = x2+y2 f(x,y) =cosxsiny f(x,y) = x2y+3y3 f(x,y) =x2sin(xy2)

Sebelumnya telah dibicarakan mengenai fungsi satu variabel dan turunannya.

Ingat bahwa definisi turunan fungsif pada titikx =aadalah

f′

(a) = lim

x→a

f(x)−f(a)

x−a

(1)

jika limitnya ada.

(4)

Krisnawan

Diferensial Partial

Misalkanf adalah sebuah fungsi dua variabelx dany. Jikay dianggap konstan (y =y0) makaf(x,y0)adalah fungsi dalam variabelx. Turunanf terhadapx (turunan parsialf terhadapx) didefinisikan

fx(x0,y0) = lim

x→x0

f(x,y0)−f(x0,y0)

x−x0

(5)

Krisnawan

Diferensial Partial

fx(x0,y0) = lim

x→x0

f(x,y0)−f(x0,y0)

x−x0

(2)

Di lain pihak, jikax dianggap konstan maka turunanf terhadapy (turunan parsialf terhadapy) didefinisikan

fy(x0,y0) = lim

y→y0

f(x0,y)−f(x0,y0)

y−y0

(6)

Krisnawan

Di lain pihak, jikax dianggap konstan maka turunanf terhadapy (turunan parsialf terhadapy) didefinisikan

fy(x0,y0) = lim

y→y0

f(x0,y)−f(x0,y0)

y−y0

(3)

(7)

Krisnawan

Notasi

Berikut ini diberikan notasi alterfnatif untuk turunan parsial, jikaz=f(x,y)

fx(x,y) = zx = ∂z

∂x =

∂f(x,y)

∂x

fy(x,y) = zy = ∂z

∂y =

∂f(x,y)

∂y

(8)

Krisnawan

Contoh 1

(9)

Krisnawan

Contoh 1

Tentukanfx(1,2)danfy(1,2)jikaf(x,y) =x2y+3y3. Jawab:

Untuk menentukanfx(x,y), kita harus memandangy

sebagai konstanta. Dengan demikian, turunan fungsif(x,y)

terhadapx adalah

fx(x,y) =2xy+0

(10)

Krisnawan

Contoh 1

Tentukanfx(1,2)danfy(1,2)jikaf(x,y) =x2y+3y3. Jawab:

Untuk menentukanfx(x,y), kita harus memandangy

sebagai konstanta. Dengan demikian, turunan fungsif(x,y)

terhadapx adalah

fx(x,y) =2xy+0

sehinggafx(1,2) =4.

Sedangkan turunan fungsif(x,y)terhadapy adalah

fy(x,y) =x2+9y2

(11)

Krisnawan

Contoh 2

(12)

Krisnawan

Contoh 2

Jikaz =x2sin(xy2), tentukanzx danzy. Jawab:

Turunan fungsiz =x2sin(xy2)terhadapx adalah

∂z

∂x =

∂x2

∂x sin(xy

2

) +x2∂sin(xy

2₎

∂x

(13)

Krisnawan

Contoh 2

Jikaz =x2sin(xy2), tentukanzx danzy. Jawab:

Turunan fungsiz =x2sin(xy2)terhadapx adalah

∂z

∂x =

∂x2

∂x sin(xy

2

) +x2∂sin(xy

2₎

∂x

= 2xsin(xy2) +x2y2cos(xy2)

Sedangkan turunan fungsiz =x2sin(xy2)terhadapy

adalah

∂z

∂y =2x

3

(14)

Krisnawan

Turunan Parsial Orde Tinggi

Turunan parsial kedua dari fungsif(x,y)adalah

(15)

Krisnawan

Turunan Parsial Orde Tinggi

Turunan parsial kedua dari fungsif(x,y)adalah

fxx =

Sedangkan turunan parsial ketiga dari fungsif(x,y)adalah

fxxx,fxxy,fxyx,fyxx,fxyy,fyxy,fyyx, danfyyy.

Untukfyxx didefinisikan

(16)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

(17)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

Jikaf(x,y,z) =xy +2yz+3zx, tentukanfx,fz,fzy danfxyz Jawab:

(18)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

fx(x,y,z) = y+3z

(19)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

fx(x,y,z) = y+3z

fz(x,y,z) = 2y+3x

(20)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

fx(x,y,z) = y+3z

fz(x,y,z) = 2y+3x

fzy(x,y,z) = (fz)y = (2y+3x)y =2

(21)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

fx(x,y,z) = y+3z

fz(x,y,z) = 2y+3x

fzy(x,y,z) = (fz)y = (2y+3x)y =2

fxyz(x,y,z) = ((fx)y)z = ((y+3z)y)z = (1)z =0

TentukanTzw,Txw, danTyyz jikaT(w,x,y,z) =zew

2₊_x2₊_y2

(22)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

fx(x,y,z) = y+3z

fz(x,y,z) = 2y+3x

fzy(x,y,z) = (fz)y = (2y+3x)y =2

2₊_x2₊_y2

Jawab:

Tzw(w,x,y,z) = (Tz)w = (ew

2+x2+y2

)w =2wew

(23)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

fx(x,y,z) = y+3z

fz(x,y,z) = 2y+3x

fzy(x,y,z) = (fz)y = (2y+3x)y =2

2₊_x2₊_y2

Jawab:

Tzw(w,x,y,z) = (Tz)w = (ew

2+x2+y2

)w =2wew

2+x2+y2

Txw(w,x,y,z) = (2xzew

2₊_x2₊_y2

)w =4wxzew

(24)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

(25)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

(26)

Krisnawan

Fungsi Lebih dari 2 Variabel

(27)

Krisnawan

Latihan

1 Tentukan semua turunan parsial pertama dari fungsi

berikut.

a f(x,y) = (2x −y)4 b f(x,y) = (4x−y2)

3 2

c f(x,y) =ex_cos_y _d _f₍_x_,_y_{) =}p3 _x2

−y2

e f(s,t) =ln(s2

−t2) f f(w,z) =wsin−1 w_z

g f(x,y) =ycos(x2+y2) h f(x,y,z) =zypx2₊_y2

2 Tentukan semua turunan parsial kedua dari soal no 1