Diktat Pendidikan Matematika Kelas Tinggi 2011 - UMT

(1)

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI 1

BAB I MODEL PEMBELAJARAN MATEMATIKA 2

PROBLEM SOLVING 2

BAB VII STRATEGI PEMECAHAN PROBLEM SOLVING 77

DISKUSI METODE JIGSAW 78

DISKUSI PEMBELAJARAN Numbered Head Together (NHT) 80

DISKUSI PEMBELAJARAN STAD 82

(2)

BAB I problem. Suatu pertanyaan akan merupakan suatu masalah jika seseorang tidak mempunyai aturan tertentu yang segera dapat dipergunakan untuk menemukan jawaban pertanyaan tersebut.

Munurut Polya (dalam Hudojo, 2003:150), terdapat dua macam masalah : (1) Masalah untuk menemukan, dapat teoritis atau praktis, abstrak atau

konkret, termasuk teka-teki. Kita harus mencari variabel masalah tersebut, kemudian mencoba untuk mendapatkan, menghasilkan atau Bagian utama dari masalah jenis ini adalah hipotesis dan konklusi dari suatu teorema yang harus dibuktikan kebenarannya.

Penyelesaian masalah merupakan proses dari menerima tantangan dan usaha-usaha untuk menyelesaikannya sampai memperoleh penyelesaian. Sedangkan pengajaran penyelesaian masalah merupakan tindakan guru dalam mendorong siswa agar menerima tantangan dari pertanyaan bersifat menantang, dan mengarahkan siswa agar dapat menyelesaikan pertanyaan tersebut (sukoriyanto, 2001:103).

(3)

pertanyaan matematika (Tim PPPG Matematika, 2005:93). Fungsi guru dalam kegiatan itu adalah memotivasi siswa agar mau menerima tantangan dan membimbing siswa dalam proses pemecahannya. Masalah yang diberikan harus masalah yang pemecahannya terjangkau oleh kemampuan siswa. Masalah yang diluar jangkauan kemampuan siswa dapat menurunkan motivasi mereka.

Tujuan Pembelajaran Problem Solving

Berhasil tidaknya suatu pengajaran bergantung kepada suatu tujuan yang hendak dicapai. Tujuan dari pembelajaran problem solving adalah seperti apa yang dikemukakan oleh Hudojo (2003:155), yaitu sebagai berikut.

(1) Siswa menjadi terampil menyeleksi informasi yang relevan kemudian menganalisisnya dan akhirnya meneliti kembali hasilnya.

(2) Kepuasan intelektual akan timbul dari dalam sebagai hadiah intrinsik bagi siswa.

(3) Potensi intelektual siswa meningkat.

(4) Siswa belajar bagaimana melakukan penemuan dengan melalui proses melakukan penemuan.

Langkah-langkah Pembelajaran Problem Solving

Adapun langkah-langkah yang harus diperhatikan oleh guru di dalam memberikan pembelajaran problem solving yaitu sebagai berikut.

(1) Menyajikan masalah dalam bentuk umum.

(2) Menyajikan kembali masalah dalam bentuk operasional. (3) Menentukan strategi penyelesaian.

(4) Menyelesaikan masalah.

Sedangkan menurut Hudojo dan Sutawijaya (dalam Hudojo, 2003:162), menjelaskan bahwa langkah-langkah yang diikuti dalam penyelesaian problem solving yaitu sebagai berikut.

(1) Pemahaman terhadap masalah. (2) Perencanaan penyelesaian masalah. (3) Melaksanakan perencanaan.

(4)

Strategi belajar mengajar penyelesaian masalah adalah bagian dari strategi belajar mengajar inkuiri. Penyelesaian masalah menurut J. Dewey (dalam Hudojo, 2003:163), ada enam tahap:

(1) Merumuskan masalah: mengetahui dan menemukan masalah secara jelas.

(2) Menelaah masalah: menggunakan pengetahuan untuk memperinci, menganalisis masalah dari berbagai sudut.

(3) Merumuskan hipotesis: berimajinasi dan menghayati ruang lingkup, sebab akibat dan alternatif penyelesaian.

(4) Mengumpulkan dan mengelompokkan data sebagai bahan pembuktian hipotesis: kecakapan mencari dan menyusun data, menyajikan data dalam bentuk diagram, gambar.

(5) Pembuktian hipotesis: cakap menelaah dan membahas data, menghitung dan menghubungkan, keterampilan mengambil keputusan dan kesimpulan.

(6) Menentukan pilihan penyelesaian: kecakapan membuat alternatif penyelesaian kecakapan menilai pilihan dengan memperhitungkan akibat yang akan terjadi pada setiap langkah.

Kelebihan dan kelemahan pembelajaran problem solving

Kelebihan pembelajaran problem solving antara lain sebagai berikut. (1) Mendidik siswa untuk berpikir secara sistematis.

(2) Mampu mencari berbagai jalan keluar dari suatu kesulitan yang dihadapi. (3) Belajar menganalisis suatu masalah dari berbagai aspek.

(4) Mendidik siswa percaya diri sendiri.

Kelemahan pembelajaran problem solving antara lain sebagai berikut. (1) Memerlukan waktu yang cukup banyak.

(5)

(6)

c. Konstruktivisme

Alternative pendekatan pembelajaran di Indonesia yang sedang menempatkan reformasi sebagai wacana kehidupan berbangsa dan bernegara, bukan hanya di bidang pendidikan, melainkan juga di segala bidang. Selama ini, wacana kita adalah behavioristik yang berorientasi pada penyeragaman yang pada akhirnya membentuk manusia Indonesia yang sangat sulit menghargai perbedaan. Perilaku yang berbeda lebih dilihat sebagai kesalahan yang harus dihukum. Perilaku manusia Indonesia selama ini sudah terjangkit virus kesamaan, virus keteraturan, dan lebih jauh virus inilah yang mengendalikan perilaku kita dalam berbangsa dan bernegara.

Longworth (1999) meringkas fenomena ini dengan menyatakan: ‘Kita perlu mengubah fokus kita dan apa yang perlu dipelajari menjadi bagaimana caranya untuk mempelajari. Perubahan yang harus terjadi adalah perubahan dari isi menjadi proses. Belajar bagaimana cara belajar untuk mempelajari sesuatu menjadi suatu hal yang lebih penting daripada fakta-fakta dan konsep-konsep yang dipelajari itu sendiri’.

(7)

untuk menghadapi hal-hal baru secara tepat lebih penting daripada kemampuan untuk mengetahui dang mengulangi hal-hal lama.

Kebutuhan akan orientasi baru dalam pendidikan ini terasa begitu kuat dan nyata dalam berbagai bidang studi, baik dalam bidang studi eksakta maupun ilmu-ilmu social. Para pendidik, praktisi pendidikan dan kita semua, mau tidak mau harus merespon perubahan yang terjadi dengan mengubah paradigma pendidikan. Untuk menjawab dan mengatasi perubahan yang terjadi secara terus-menerus, alternative yang dapat digunakan adalah paradigmna konstruktivistik.

a. Hakikat Pembelajaran Behavioristik

Thornike, salah seorang penganut paham behavioristik, menyatakan bahwa belajar merupakan peristiwa terbentuknya asosiasi-asosiasi antara peristiwa-peristiwa yang disebut stimulus (S) dengan respon (R) yang diberikan atas stimulus tersebut. Pernyataan Thorndike ini didasarkan pada hasil eksperimennya di laboratorium yang menggunakan beberapa jenis hewan seperti kucing, anjing, monyet, dan ayam. Menurutnya, dari berbagai situasi yang diberikan seekor hewan akan memberikan sejumlah respon, dan tindakan yang dapat terbentuk bergantung pada kekuatan keneksi atau ikatan-ikatan antara situasi dan respon tertentu. Kemudian ia menyimpulkan bahwa semua tingkah laku manusia baik pikiran maupun tindakan dapat dianalisis dalam bagian-bagian dari dua struktur yang sederhana, yaitu stimulus dan respon. Dengan demikian, menurut pandangan ini dasar terjadinya belajar adalah pembentukan asosiasi antara stimulus dan respon. Oleh karena itu, menurut Hudojo (1990:14) teori Thondike ini disebut teori asosiasi.

(8)

apabila asosiasi antara stimulus dan respon serting terjadi, maka asosiasi itu akan terbentuk semakin kuat. Interpretasi dari hokum ini adalah semakin sering suatu pengetahuan – yang telah terbentuk akibat tejadinya asosiasi antara stimulus dan respon – dilatih (digunakan), maka asosiasi tersebut akan semakin kuat; (2) Hukum akibat (law of effect), yaitu apabila asosiasi yang terbentuk antara stimulus dan respon diikuti oleh suatu kepuasan maka asosiasi akan semakin meningkat. Hal ini berarti (idealnya), jika suatu respon yang diberikan oleh seseorang terhadap suatu stimulus adalah benar dan ia mengetahuinya, maka kepuasan akan tercapai dan asosiasi akan diperkuat.

Penganut paham psikologi behavior yang lain yaitu Skinner, berpendapat hamper senada dengan hokum akibat dari Thorndike. Ia mengemukakan bahwa unsur terpenting dalam belajar adalah penguatan (reinforcement). Maksudnya adalah pengetahuan yang terbentuk melalui ikatan stimulus – respon akan semakin kuat bila diberi penguatan. Skinner membagi penguatan ini menjadi dua, yaitu penguatan positif dan penguatan negative. Penguatan positif sebagai stimulus, apabila representasinya mengiringi suatu tingkah laku yang cenderung dapat meningkatkan terjadinya pengulangan tingkah laku itu. Sedangkan penguatan negative adalah stimulus yang dihilangkan/dihapuskan karena cenderung menguatkan tingkah laku (Bell, 1981:151).

b. Hakikat pembelajaran Konstruktivisme

(9)

Yang terpenting dalam teori konstruktivisme adalah bahwa dalam proses pembelajaran, si belajarlah yang harus mendapatkan penekanan. Merekalah yang harus aktif mengembangkan pengetahuan mereka, bukan pembelajar atau orang lain. Mereka yang harus bertanggung jawab terhadap hasil belajarnya. Penekanan belajar siswa secara aktif ini perlu dikembangkan. Kreativitas dan keaktifan siswa akan membantu mereka untuk berdiri sendiri dalam kehidupan kognitif siswa.

Belajar lebih diarahkan pada experimental learning yaitu merupakan adaptasi kemanusiaan berdasarkan pengalaman konkrit di laboratorium, diskusi dengan teman sekelas, yang kemudian dikontemplasikan dan dijadikan ide dan pengembangan konsep baru. Karenanya aksentuasi dari mendidik dan mengajar tidak terfokus pada si pendidik melainkan pada pebelajar.

Beberapa hal yang mendapat perhatian pembelajaran konstruktivistik, yaitu: (1) mengutamakan pembelajaran yang bersifat nyata dalam kontek yang relevan, (2) mengutamakan proses, (3) menanamkan pembelajaran dalam konteks pengalaman social, (4) pembelajaran dilakukan dalam upaya mengkonstruksi pengalaman (Pranata).

(10)

BAB II TEORI BELAJAR

Pada prinsipnya proses belajar yang dialami manusia berlangsung sepanjang hayat, artinya belajar adalah proses yang terus-menerus, yang tidak pernah berhenti dan terbatas pada dinding kelas. Hal ini didasari pada asumsi bahwa di sepanjang kehidupannya, manusia akan selalu dihadapkan pada masalah-masalah, rintangan-rintangan dalam mencapai tujuan yang ingin dicapai dalam kehidupan ini. Prinsip belajar sepanjang hayat ini sejalan dengan empat pilar pendidikan universal seperti yang dirumuskan UNESCO, yaitu: (1) learning to know, yang berarti juga learning to learn; (2) learning to do; (3) learning to be, dan (4) learning to live together.

Learning to know atau learning to learn mengandung pengertian bahwa belajar itu pada dasarnya tidak hanya berorientasi kepada produk atau hasil belajar, akan tetapi juga harus berorientasi kepada proses belajar. Dengan proses belajar, siswa bukan hanya sadar akan apa yang harus dipelajari, akan tetapi juga memiliki kesadaran dan kemampuan bagaimana cara mempelajari yang harus dipelajari itu.

Learning to do mengandung pengertian bahwa belajar itu bukan hanya sekedar mendengar dan melihat dengan tujuan akumulasi pengetahuan, tetapi belajar untuk berbuat dengan tujuan akhir penguasaan kompetensi yang sangat diperlukan dalam era persaingan global.

(11)

Learning to live together adalah belajar untuk bekerjasama. Hal ini sangat diperlukan sesuai dengan tuntunan kebutuhan dalam masyarakat global dimana manusia baik secara individual maupun secara kelompok tak mungkin bisa hidup sendiri atau mengasingkan diri bersama kelompoknya.

Proses pembelajaran yang akan disiapkan oleh seorang guru hendaknya terlebih dahulu harus memperhatikan teori-teori yang melandasinya. Ada beberapa teori belajar yang mendukung pembelajaran dengan pendekatan inkuiri diantaranya:

a. Bruner

Jerome Brunner menyatakan bahwa belajar matematika akan lebih berhasil jika proses pengajaran anak diarahkan pada konsep-konsep dan struktur-struktur yang termuat dalam pokok bahasan yang diajarkan, disamping hubungan yang terkait antara konsep-konsep dan struktur-struktur tersebut.

Bruner menyarankan keaktif anak dalam proses belajar secara penuh agar anak dapat mengenal konsep dan struktur yang tercakup dalam bahan yang sedang dibicarakan, sehingga anak akan memahami materi yang harus dikuasainya itu.

Dalam proses pembelajaran hendaknya siswa diberi kesempatan untuk memanipulasi benda-benda dengan menggunakan media pembelajaran matematika. Melalui penggunaan media pembelajaran matematika yang ada, siswa akan melihat langsung keteraturan dan pola strukur yang terdapat dalam penggunaan media pembelajaran matematika yang diperhatikannya.

(12)

• Tahapenaktif

Dalam tahap ini penyajian yang dilakukan melalui tindakan anak secara langsung terlibat dalam memanipulasi (mengotak-atik) objek. Pada tahap ini anak belajar sesuatu pengetahuan di mana pengetahuan itu dipelajari secara aktif, dengan menggunakan benda-benda konkret atau menggunakan situasi yang nyata, pada penyajian ini anak tanpa menggunakan imajinasinya atau kata-kata. Ia akan memahami sesuatu dari berbuat atau melakukan sesuatu.

• Tahapikonik

Tahap ikonik, yaitu suatu tahap pembelajaran sesuatu pengetahuan di mana pengetahuan itu direpresentasikan (diwujudkan) dalam bentuk bayangan visual (visual imaginery), gambar, atau diagram, yang menggambarkan kegiatan kongkret atau situasi kongkret yang terdapat pada tahap enaktif tersebut di atas (butir a).

• Tahapsimbolik

Dalam tahap ini bahasa adalah pola dasar simbolik, anak memanipulasi simbul-simbul atau lambang-lambang objek tertentu. Anak tidak lagi terikat dengan objek-objek seperti pada tahap sebelumnya. Anak pada tahap ini sudah mampu menggunakan notasi tanpa ketergantungan terhadap objek riil. Pada tahap simbolik ini, pembelajaran direpresentasikan dalam bentuk simbol-simbol abstrak (abstract symbols), yaitu simbol-simbol arbiter yang dipakai berdasarkan kesepakatan orang-orang dalam bidang yang bersangkutan, baik simbol-simbol verbal (misalnya huruf-huruf, kata-kata, kalimat-kalimat), lambang-lambang matematika, maupun lambang-lambang abstrak yang lain.

(13)

mempelajari hal itu dengan menggunakan benda-benda konkret (misalnya menggabungkan 3 kelereng dengan 2 kelereng, dan kemudian menghitung banyaknya kelereng semuanya ini merupakan tahap enaktif). Kemudian, kegiatan belajar dilanjutkan dengan menggunakan gambar atau diagram yang mewakili 3 kelereng dan 2 kelereng yang digabungkan tersebut (dan kemudian dihitung banyaknya kelereng semuanya, dengan menggunakan gambar atau diagram tersebut/ tahap yang kedua ikonik, siswa bisa melakukan penjumlahan itu dengan menggunakan pembayangan visual (visual imagenary) dari kelereng tersebut. Pada tahap berikutnya yaitu tahap simbolis, siswa melakukan penjumlahan kedua bilangan itu dengan menggunakan lambang-lambang bialngan, yaitu : 3 + 2 = 5.

Dalil-dalil yang didapatkan Bruner setelah mengadakan pengamatan ke sekolah-sekolah:

• Dalil Penyusunan (construction theorem)

Dalil ini menyatakan bahwa jika anak ingin mempunyai kemampuan menguasai konsep, teorema, definisi dan semacamnya, anak harus dilatih untuk melakukan penyusunan representasinya. Ini berarti, jika anak aktif dan terlibat dalam kegiatan mempelajari konsep yang dilakukan dengan jalan memperlihatkan representasi tersebut, maka anak akan lebih memahaminya.

• Dalil Notasi (notation theorem)

(14)

• Dalil Kekontrasan dan Keanekaragaman (contras and variation theorem)

Pengontrasan dan keanekaragaman sangat penting dalam melakukan pengubahan konsep difahami dengan mendalam, diperlukan contoh-contoh yang banyak, sehingga anak mampu mengetahui karakteristik konsep tersebut.

• Dalil Pengaitan (connectivity theorem)

Dalam matematika itu satu konsep dengan konsep lainnya terdapat hubungn erat, bukan saja dari segi isi, namun juga dari segi rumus-rumus yang digunakan. Materi yang satu merupakan prasyarat bagi yang lainnya atau konsep yang satu diperlukan untuk menjelaskan konsep lainya.

b. Dienes

ZoltanP.Dienes adalah seorang matematikawan yang memfokuskan perhatiannya pada cara pengajaran. Dienes menekankan bahwa dalam pembelajaran sebaiknya dikembangkan suatu proses pembelajaran yang menarik sehingga bias meningkatkan minat siswa terhadap pelajaranma tematika.

Dienes mengungkapkan bahwa dalam proses pembelajaran sangatlah penting untuk menyajikan konsep-konsep atau prinsip-prinsip matematika dalam bentuk yang konkrit. Hal ini dilakukan agar konsep dan prinsip tersebut dapat dipahami dengan baik oleh siswa. Ini mengandung arti bahwa benda-benda atau obyek-obyek dalam bentuk permainan akan sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam pengajaran matematika.

Dienes membagi tahap-tahap belajar menjadi tahap, yaitu 1. Permainan Bebas (Free Play)

(15)

tahap belajar konsep yang aktifitasnya tidak berstruktur dan tidak diarahkan. Anak didik diberi kebebasan untuk mengatur benda. Selama permainan pengetahuan anak muncul. Dalam tahap ini anak mulai membentuk struktur mental dan struktur sikap dalam mempersiapkan diri untuk memahami konsep yang sedang dipelajari. Misalnya dengan diberi permainan block logic, anak didik mulai mempelajari konsep-konsep abstrak tentang warna, tebal tipisnya benda yang merupakan ciri/sifat dari benda yang dimanipulasi.

2. Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)

Dalam permainan yang disertai aturan siswa sudah mulai meneliti pola-pola dan keteraturan yang terdapat dalam konsep tertentu. Keteraturan ini mungkin terdapat dalam konsep tertentu tapi tidak terdapat dalam konsep yang lainnya. Menurut Dienes, untuk membuat konsep abstrak, anak didik memerlukan suatu kegiatan untuk mengumpulkan bermacam-macam pengalaman, dan kegiatan untuk yang tidak relevan dengan pengalaman itu. Contoh dengan permainan block logic, anak diberi kegiatan untuk membentuk kelompok bangun yang tipis, atau yang berwarna merah, kemudian membentuk kelompok benda berbentuk segitiga, atau yang tebal, dan sebagainya. Dalam membentuk kelompok bangun yang tipis, atau yang merah, timbul pengalaman terhadap konsep tipis dan merah, serta timbul penolakan terhadap bangun yang tipis (tebal), atau tidak merah (biru, hijau, kuning).

3. Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)

(16)

sifat-sifat abstrak yang ada dalam permainan semula. Contoh kegiatan yang

Representasi adalah tahap pengambilan sifat dari beberapa situasi yang sejenis.Para siswa menentukan representasi dari konsep-konsep tertentu. Setelah mereka berhasil menyimpulkan kesamaan sifat yang terdapat dalam situasi-situasi yang dihadapinya itu. Representasi yang diperoleh ini bersifat abstrak, Dengan demikian telah mengarah pada pengertian struktur matematika yang sifatnya abstrak yang terdapat dalam konsep yang sedang dipelajari. Contoh kegiatan anak untuk menemukan banyaknya diagonal poligon (misal segi dua puluh tiga) dengan pendekatan induktif seperti berikut ini.

5. Permainan dengan Simbolisasi (Symbolization)

Simbolisasi termasuk tahap belajar konsep yang membutuhkan kemampuan merumuskan representasi dari setiap konsep-konsep dengan menggunakan simbol matematika atau melalui perumusan verbal. Sebagai contoh, dari kegiatan mencari banyaknya diagonal dengan pendekatan induktif tersebut, kegiatan berikutnya menentukan rumus banyaknya diagonal suatu poligon yang digeneralisasikan dari pola yang didapat anak.

6. Permainan dengan Formalisasi (Formalization)

(17)

dasar-dasar dalam struktur matematika seperti aksioma, harus mampu merumuskan suatu teorema berdasarkan aksioma, dalam arti membuktikan teorema tersebut Misalnya bilangan bulat dengan operasi penjumlahan peserta sifat-sifat tertutup, komutatif, asosiatif, adanya elemen identitas, an mempunyai elemen invers, membentuk sebuah sistem matematika.

c. Piaget

Jean Piaget menyebutkan bahwa struktur kognitif sebagai Skemata (Schemas), yaitu kumpulan dari skema-skema. Seorang individu dapat mengikat, memahami, dan memberikan respon terhadap stimulus disebabkan karena bekerjanya schemata ini.

Skemata ini berkembang secara kronologis, sebagai hasil interaksi individu dengan lingkungannya, sehingga individu yang lebih dewasa memliki struktur kognitif yang lebih lengkap daripada ketika ia masih kecil.

Perkembangan schemata ini terus-menerus melalui adaptasi dengan lingkungannya. Skemata tersebut membentuk suatu pola penalaran tertentu dalam pikiran anak. Makin baik kualitas skema ini, makin baik pulalah pola penalaran anak tersebut. Untuk memahami proses-proses penataan dan adaptasi terdapat empat konsep dasar, yaitu sebagai berikut :

1. Skema

istilah skema atau skemata yang diberikan oleh Piaget untuk dapat menjelaskan mengapa seseorang memberikan respon terhadap suatu stimulus dan untuk menjelaskan banyak hal yang berhubungan dengan ingatan.

(18)

Adaptasi terdiri atas proses yang saling mengisi antara asimilasi dan akomodasi

2. Asimilasi

asimilasi itu suatu proses kognitif, dengan asimilasi seseorang mengintegrasikan bahan-bahan persepsi atau stimulus ke dalam skema yan ada atau tingkah laku yang ada. Asimilasi berlangsung setiap saat. Seseorang tidak hanya memperoses satu stimulis saja, melainkan memproses banyak stimulus. Secara teoritis, asimilasi tidak menghasilkan perubahan skemata, tetapi asimilasi mempnagruhi pertumbuhan skemata. Dengan demikian asimilasi adalah bagian dari proses kognitif, denga proses itu individu secara kognitif megadaptsi diri terhadap lingkungan dan menata lingkungan itu.

3. Akomodasi

Akomodasi dapat diartikan sebagai penciptaan skemata baru atau pengubahan skemata lama. Asimilasi dan akomodasi terjadi sama-sama saling mengisi pada setiap individu yang menyesuaikan diri dengan lingkungannya. Proses ini perlu untuk pertumbuhan dan perkembangann kognitif. Antara asimilasi dan akomodasi harus ada keserasian dan disebut oleh Piaget adalah keseimbangan.

Tahap perkembangan kognitif:

• Tahap Sensori Motor (Sensory Motoric Stage) (sejak lahir sampai dengan 2 tahun)

Bagi anak yang beradap ada tahap ini, pengalaman diperoleh melalui perbuatan fisik (gerakan anggota tubuh) dan sensori (koordinasi alat indra).

(19)

selanjutnya ia mulai berusaha untuk mencari objek yang asalnya terlihat kemudian menghiang dari pandangannya, asal perpindahanya terlihat. Akhir dari tahap ini ia mulai mencari objek yang hilang bila benda tersebut tidak terlihat perpindahannya. Objek mulai terpisah dari dirinya dan bersamaan dengan itu konsep objek dalam struktur kognitifnya pun mulai dikatakan matang. Ia mulai mampu untuk melambungkan objek fisik ke dalam symbol-simbol, misalnya mulai bisa berbicara meniru suara kendaraan, suara binatang, dll.

Kesimpulan pada tahap ini adalah : Bayi lahir dengan refleks bawaan, skema dimodifikasi dan digabungkan untuk membentuk tingkah laku yang lebih kompleks. Pada masa kanak-kanak ini, anak beum mempunyai konsepsi tentang objek yang tetap. Ia hanya dapat mengetahui hal-hal yang ditangkap dengan indranya.

• Tahap Pra Operasi ( Pre Operational Stage) (2 tahun sampai dengan 7 tahun)

(20)

Kesimpulan pada tahap ini adalah : Anak mulai timbul pertumbuhan kognitifnya, tetapi masih terbatas pada hal-hal yang dapat dijumpai (dilihat) di dalam lingkungannya saja.

• Tahap Operasi Konkrit (Concrete Operational Stage) (7 tahun sampai dengan 11 tahun)

Anak-anak yang berada pada tahap ini umumnya sudah berada di Sekolah Dasar, dan pada umumnya anak-anak pada tahap ini telah memahami operasi logis dengan bantuan benda-benda konkrit. Kemampuan ini terwujud dalam memahami konsep kekekalan, kemampuan untuk mengklasifikasikan dan serasi, mampu memandang suatu objek dari sudut pandang yang berbeda secara objek

Anak pada tahap ini sudah cukup matang untuk menggunakan pemikiran logika, tetapi hanya objek fisik yang ada saat ini (karena itu disebut tahap operasional konkrit). Namun, tanpa objek fisik di hadapan mereka, anak-anak pada tahap ini masih mengalami kesulitan besar dalam menyelesaikan tugas-tugas logika.

Smith (1998) memberikan contoh. Anak-anak diberi tiga boneka dengan warna rambut yang berlainan (Edith, Suzan, dan Lily), tidak mengalami kesulitan untuk mengidentifikasi boneka yang berambut paling gelap. Namun, ketika diberi peranyaan, “Rambut Edith lebih terang daripada rambut Lily. Rambut siapakah yang paling gelap?” , anak-anak pada tahap operasional konkret mengalami kesulitan karena mereka belum mampu berpikir hanya dengan menggunakan lambang-lambang.

(21)

• Tahap Operasi Formal (Formal Operation Stage) (11 tahun dan seterusnya)

Tahap operasi formal ini adalah tahap akhir dari perkembangan konitif secara kualitatif. Anak pada tahap ini sudah mampu melakukan penalaran dengan menggunakan hal-hal yang abtrak dan menggunakan logika. Penggunaan benda-benda konkret tidak diperlukan lagi. Anak mampu bernalar tanpa harus berhadapan dengan dengan objek atau peristiwanya berlangsung. Penalaran terjadi dalam struktur kognitifnya telah mampu hanya dengan menggunakan simbol-simbol, ide-ide, astraksi dan generalisasi. Ia telah memiliki kemampuan-kemampuan untuk melakukan operasi-operasi yang menyatakan hubungan di antara hubungan-hubungan, memahami konsep promosi.

Sebagai contoh eksperimen Piaget berikut ini :

Seorang anak pada tahap ini dihadapkan pada gambar “pak Pendek” dan untaian klip (penjepit kertas) untuk mengukur tinggi “Pak Pendek” itu. Kemudian ditambahkan penjelasan dalam bentuk verbal bahwa “Pak Pendek” itu mempunyai teman “Pak Tinggi”. Lebih lanjut dikatakan bahwa apabila diukur dengan batang korek api tinggi “Pak Pendek”empat batang sedangkan tinggi “Pak Tinggi” enam batang korek api.

Berapakah tinggi “Pak Tinggi” bila diukur dengan klip? Dalam memecahkan masalah diatas, anak harus memerlukan operasi terhadap operasi.

(22)

Kesimpulan pada tahap ini adalah :

Pada tahap operasional formal, anak-anak sudah mampu memahami bentuk argumen dan tidak dibingungkan oleh isi argument (karena itu disebut operasional formal).

Tahap ini mengartikan bahwa anak-anak telah memasuki tahap baru dalam logika orang dewasa, yaitu mampu melakukan penalaran abstrak. Sama halnya dengan penalaran abstrak sistematis, operasi-operasi formal memungkinkan berkembangnya system nilai dan ideal, serta pemahaman untuk masalah-masalah filosofis.

Piaget mengeukakan bahwa ada 4 aspek yang besar yang ada hubungnnya dengan perkembangan kognitif :

a. Pendewasaaan/kematangan, merupakan pengembangan dari susunan syaraf.

b. Pengalaman fisis/kingkungan, anak harus mempunyai pengalaman dengan benda-benda dan stimulus-stimulus dalam lingkungan tempat ia beraksi terhadap benda-benda itu.

c. Interaksi social (transmisi social), adalah pertukaran ide antara individu dengan individu

d. Keseimbangan (equilibrium), adalah suatu system pengaturan sendiri yang bekerja untuk menyelesaikan peranan pendewasaan, penglaman fisis, dan interksi social.

Kaitan antara teori belajar Piaget dengan penggunaan media pembelajaran matematika ini adalah pada tahap operasi konkrit dimana siswa tidak akan bisa memahami konsep tanpa benda-benda konkrit. Selain itu, pada tahap ini Piaget mengidentifikasi adanya enam jenis konsep yang berkembang selama anak berada pada tahap operasi konkrit, yaitu:

(23)

(24)

BAB III

PEMBELAJARAN REALISTIK

(Model Pembelajaran Realistik (RME, Realistic Mathematics Education)) dikembangkan oleh Freud di Belanda pada tahun 1970-an dengan pola guided reinvention dalam mengkontruksi konsep-aturan melalui process of mathematization, yaitu matematika horizontal (tools, fakta, konsep, prinsip, algoritma, aturan untuk digunakan dalam menyelesaikan persoalan, proses dunia empirik) dan vertikal (reoorganisasi matematik melalui proses dalam dunia rasio, pengembangan matematika).

Terdapat lima prinsip dasar dalam RME yang harus diimplementasikan dalam pembelajaran matematika, yaitu:

1. Siswa harus melakukan aktivitas matematika melalui permasalahan yang diberikan

2. Dalam kegiatan belajar siswa mengkonstruksi matematika melalui model, situasi, skema, diagram, atau simbol

3. Siswa mengkonstruksi dan memproduksi sendiri matematika sesuai dengan kemampuan berpikirnya

4. Proses pembelajaran interaktif, dan

5. Terjadi jalinan antarkonsep atau antartopik.

Idealnya kelima prinsip di atas muncul dalam setiap proses pembelajaran matematika realistic. Keunggulan dari pendekatan pembelajaran realistik ini diantaranya dapat menuntun siswa untuk memahami matematika secara mendalam, berawal dari situasi nyata atau dari apa yang terjangkau pikiran siswa melalui proses matematisasi horizontal (matematika informal) menuju matematika formal, melalui permasalahan realistik.

(25)

refleksi, informal ke formal), inter-twinment (keterkaitan-intekoneksi antar konsep), interaksi (pembelajaran sebagai aktivitas sosial, sharing), dan bimbingan (dari guru dalam penemuan).

a. Metode Horizontal (TaKuKaBaPaAk)

 Tambah

Perhitungan Mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan Otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam penelitian didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya konsentrasi pada para praktisinya.

Kunci utama dalam Penambahan secara mental adalah Ingatan (memori) dalam menjumlahkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi penambahan.

Visualisasi Langsung (Direct Visualization)

Di sini konsep Metode Horisontal mulai berperan secara dominan. Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata ‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.

Mula-mula siswa diajarkan menghitung pertambahan dengan metode horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang telah dilakukannya.

Contoh:

a. Cara mengajarkan Penambahan Mental Puluhan (sebagai contoh 84+35)

(26)

bilangan yang terlibat sehingga didapat 84 = 8 | 4 dan 35 = 3 | 5. Selanjutnya didapat

(8 | 4) + (3 | 5) = (8 +3) | (4+5).

Di sini Ingatan harus bertindak dengan menghitung setiap kolom dalam pagar sebagai berikut :

(8 +3) | (4+5) = 11 | 9 sehingga didapatkan hasil 119

Jadi disini terdapat tahap-tahap manipulasi sebagai berikut:

Pertama menambahkan digit satuan (4 + 5 = 9).

Selanjutnya menambahkan digit puluhan (8 + 3 = 11).

Sehingga jawabannya adalah 119

KETERANGAN : Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu jumlahkan semua digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri

b. Cara mengajarkan Penambahan Mental Puluhan (sebagai contoh 94+67) dengan ‘carry digit’

Mula-mula diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap bilangan yang terlibat sehingga didapat 94 = 9 | 4 dan 67 = 6 | 7. Selanjutnya didapat

(9 | 4) + (6 | 7) = (9 +6) | (4+7).

(9 +6) | (4+7) = 15 | 11

Karena Kolom disebelah KANAN Notasi Pagar harus berisi SATU digit bilangan maka sisa digit yaitu Angka 1 harus digeser ke kiri, sehingga:

15 | 11 = 15+1 | 1 = 16 | 1

(27)

Pertama menambahkan digit satuan (4 + 7 = 11).

Selanjutnya menambahkan digit puluhan (9 + 6 = 15).

Menggeser Angka Puluhan yaitu 1 dari Digit satuan (11 - 10 = 1) dan ditambahkan ke Digit Puluhan 15 + 1 = 16)

KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu jumlahkan semua digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri dengan memperhatikan Jumlah Digit di sebelah KANAN Notasi Pagar.

Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas. Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya ratusan, ribuan dan seterusnya.

 Kurang

Kunci utama dalam Pengurangan secara mental adalah Ingatan (memori) dalam mengurangkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi Pengurangan.

(28)

Pengenalan Konsep Asosiasi Posisi dengan menggunakan Notasi Pagar adalah esensial untuk menggunakan visualisasi secara langsung ini. Kata ‘langsung’ di sini artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep abstrak dari Angka tanpa menggunakan peralatan bantuan.

Mula-mula siswa diajarkan menghitung pengurangan dengan metode horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang telah dilakukannya.

Contoh:

a. Cara mengajarkan Pengurangan Mental Puluhan ( sebagai contoh 53 -21)

(5 | 3) - (2 | 1) = (5 - 2) | (3 - 1).

(5 - 2) | (3 - 1) = 3 | 2 sehingga didapatkan hasil 32

Pertama mengurangkan digit satuan (3 - 1 = 2).

Selanjutnya mengurangkan digit puluhan (5 - 2 = 3).

KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu kurangkan semua digit yang sesuai mulai dari Kanan ke Kiri

(29)

(5 | 3) - (2 | 6) = (5 - 2) | (3 - 6).

(5 - 2) | (3 - 6). = 3 | -3

Karena Kolom terakhir bernilai NEGATIF maka Kolom disebelah kirinya dikurangi 1 (Satu) kemudian Kolom yang mempunyai nilai negatif tersebut ditambah dengan 10 (Sepuluh), sehingga:

3 | -3 = 2 | 10 - 3 = 2 | 7

sehingga didapatkan hasil 27

Pertama mengurangkan digit satuan (3 – 6 = -3).

Selanjutnya mengurangkan digit puluhan (5 – 2 = 3)

Membuat Kolom yang bernilai NEGATIF menjadi bernilai positif dengan cara Kolom disebelah kirinya dikurangi 1 (Satu) sehingga menjadi 3 - 1 = 2 kemudian Kolom yang mempunyai nilai negatif tersebut ditambah dengan 10 (Sepuluh) sehingga 10 – 3 = 7.

(30)

Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas. Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya ratusan, ribuan dan seterusnya.

 Kali

Kunci utama dalam Perkalian secara mental adalah Ingatan (memori) dalam menjumlahkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi perkalian.

Mula-mula siswa diajarkan menghitung perkalian dengan metode horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang telah dilakukannya.

Contoh:

a. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan dengan Satuan (sebagai contoh 84*6)

(31)

b*c. Selanjutnya didapat:

(8 | 4) * (6) = (8*6) | (4*6)

(8*6) | (4*6) = 48 | 24

Selanjutnya dilakukan perggeseran agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah Notasi Pagarnya, sebagai berikut:

48 | 24 = 48+2 | 4 = 50 | 4

Sehingga hasilnya adalah 504

1. Mengalikan Bilangan sesuai Pola Horisontal untuk Perkalian

a*b | a*c = 48 | 24

2. Menggeser agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah Notasi Pagarnya

48 | 24 = 50 | 4

3. Sehingga jawabannya adalah 504

KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kanan ke Kiri

b. Cara mengajarkan Perkalian Mental Puluhan (sebagai contoh 84*35)

Mula-mula diajarkan pola horisontal dari operasi perkalian ab*cd = a*c | a*d + b*c | b*d, selanjutnya diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada setiap bilangan yang terlibat sehingga didapat 84 = 8 | 4 dan 35 = 3 | 5. Selanjutnya didapat

(8 | 4) * (3 | 5) = (8*3) | (8*5 + 4*3) | (4*5)

(32)

pagar sebagai berikut :

(8*3) | (8*5 + 4*3) | (4*5) = 24 | 40+12 | 20 = 24 | 52 | 20

Selanjutnya dilakukan perggeseran agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah Notasi Pagarnya, sebagai berikut:

24 | 52 | 20 = 24 | 52+2 | 0 = 24 | 54 | 0

Kemudian,

24 | 54 | 0 = 24+5 | 4 | 0 = 29 | 4 | 0

Sehingga hasilnya adalah 2940

1. Mengalikan Bilangan sesuai Pola Horisontal untuk Perkalian

a*c | a*d + b*c | b*d = (24 | 52 | 20)

2. Menggeser agar jumlah digit pada kolom sesuai dengan jumlah Notasi Pagarnya

(24 | 52 | 20) = (24 | 54 | 0 ) = (29 | 4 | 0)

3. Sehingga jawabannya adalah 2940

KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kanan ke Kiri

Cara ini kemudian di ulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas. Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi misalnya ratusan, ribuan dan seterusnya.

 Bagi

(33)

meningkatkan kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya konsentrasi pada para praktisinya.

Kunci utama dalam Pembagian secara mental adalah Ingatan (memori) dalam melakukan Perkalian Mental yang sudah diluar kepala. Serta Visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi pembagian.

Mula-mula siswa diajarkan menghitung pembagian dengan metode horisontal dengan Notasi Pagarnya secara tertulis, selanjutnya mereka dilatih untuk membayangkan (memvisualisasi) proses manipulasi yang telah dilakukannya. Perlu diperhatikan bahwa Operasi Pembagian merupakan operasi yang paling sukar dibandingkan ketiga operasi dasar aritmatika yang lain (pertambahan, pengurangan dan perkalian). Hal ini dikarenakan dalam proses pembagian terdapat langkah Pendugaan (guessing), sehingga untuk melakukan proses pembagian yang efektif tidak hanya sekedar menguasai prosedur pembagian saja tetapi siswa harus dapat melihat POLA yang dapat memudahkan proses pembagian tersebut. Hal ini dapat diajarkan melalui pelatihan yang intens dan berulang-ulang.

Contoh:

a. Cara mengajarkan Pembagian Mental yang Umum (sebagai contoh 837 ÷ 3)

(34)

hanya merupakan penambahan yang berurutan, jadi jika perhitungan mental telah dikuasai akan cepat dikerjakan]

Selanjutnya diajarkan bagaimana Notasi Pagar bekerja pada bilangan yang Dibagi (837), perhatikanlah bilangan tersebut, mulai dari bilangan paling kiri yaitu 8 sampai dengan bilangan paling kanan yaitu 7. Digit bilangan paling kiri yi 8 dapat didekati dengan 6 (3*2), selanjutnya bilangan 3 dapat dibagi 3 (3*1), dan terakhir 7 dapat didekati dengan 6 (3*2) sehingga notasi pagarnya dapat ditulis sbb:

(8 | 3 | 7) ÷ 3 = (8/3 | 3/3 | 7/3) = (2 | 1 | 2) + 201 / 3 = 212 + 201/3

Selanjutnya perhatikan bilangan residunya (201), dimana bilangan 20 dapat didekati dengan 18 (3*6) dan bilangan 1 tidak bias didekati lagi karena lebih kecil dibandingkan bilangan pembagi, sehingga didapat:

212 + 201/3 = 212 + (20/3 | 1/3) = 212 + (6 | 0) + 21 / 3 = 272 + 21/3

Yang dapat langsung diselesaikan menjadi 272 + 21/3 = 272 +7 = 279

1. Menyisipkan Notasi Pagar ke dalam Bilangan yang Dibagi (837) seoptimal mungkin

(837) = (8 | 3 | 7)

2. Selanjutnya melakukan operasi pembagian di dalam Notasi Pagarsehingga didapat:

(8/3 | 3/3 | 7/3) = 212 + 201/3

3. Ulangi prosedur 1 dan 2 untuk bilangan residu yang dihasilkan sampai menghasilkan residu yang kurang dari bilangan Pembagi

Sehingga didapat jawabannya adalah 279

(35)

Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas. Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi.

b. Cara mengajarkan Pembagian Mental yang Berpola (sebagai contoh 34170 ÷ 17)

Perhatikanlah bilangan yang Dibagi (34170), mulai dari bilangan paling kiri yaitu 3 sampai dengan bilangan paling kanan yaitu 0. Dua digit bilangan paling kiri yi 34 dapat dibagi 17, selanjutnya bilangan 17 dapat pula dibagi 17, sehingga notasi pagarnya dapat ditulis sbb:

(34 ||| 170) ÷ 17 = (34/17 ||| 170/17) = (2 ||| 10)

Sehingga hasilnya adalah (2 ||| 10) = 2010

1. Menyisipkan Notasi Pagar ke dalam Bilangan yang Dibagi (34170) seoptimal mungkin

2. Selanjutnya melakukan operasi pembagian di dalam Notasi Pagar (34/17 ||| 170/17)

Sehingga didapat jawabannya adalah 2010

KETERANGAN: Perhatikan pola perhitungan yang tetap konsisten untuk setiap soal yang ada yaitu mulai dari Kiri ke Kanan

Cara ini kemudian diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada sampai dapat menghitung tanpa harus mencorat-coret pada kertas. Kemudian kita masuk ke dalam digit bilangan yang lebih tinggi.

b. Metode Mathmagic (TaKuKaBaPaAk)

 Tambah

(36)

bilangan yang merupakan jumlah. Salah satu metode yang dilakukan dalam proses pemjumlahan adalah metode Ki-Ka yang memudahkan kita untuk memperkirakan jawaban. Proses metode Ki-Ka adalah dengan melakukan penjumlahan dari digit paling kiri ke paling kanan, ketika kolom angka ditambahkan dan hasilnya lebih dari 9 jumlah kelebihannya ditambahkan ke kolom sebelah kirinya.

Contoh :

Jumlahkan 242 + 163

Langkah 1 242 2(00)

163 1(00) 3(00)

Langkah 2 3(0 0)

242 4(0) 163 6(0) 10 (0) 40(0)

Langkah 3 40(0)

242 2 163 3 405

Penambahan pecahan :

1. 3₇+5₈=3X₇8_x+₈5x7=24₅₆+35=59₅₆=1₅₆3

2. 34₇=3+4₇

3. 6−4₇=57−₇4=53₇

−4+5₉=−39−₉5=−34₉

4.

(37)

 Kurang

Pengurangan merupakan salah satu dari empat operasi dasar aritmatika, dan pada prinsipnya merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan. Operasi pengurangan dinyatakan dengan tanda minus dalam notasi infix, dengan bentuk rumus:

c − b = a

Apa yang dimaksud disini adalah ketika seseorang meminta kita menjawab 72 – 48, jangan berpikir 72 diambil 48, tetapi pikirkan ditambahkan berapa 48 supaya menjadi 72. Hal ini sesungguhnya satu langkah yang akan kita pelajari dalam aljabar.

Bilangan 72 sebenarnya adalah 7(0) dan 2. Bisa juga 72 adalah 6(0) dan 12 atau sama juga dengan 6(0) dan 1(0) dan 2. Sederhananya 72=6(0)+1(0)+2.

Pikirkan 72

48 _ _

Kita perlu berapa puluhan untuk ditambahkan ke 8 supaya menghasilkan 2 ? Ambil satu dari kolom puluhan, hal ini berarti 6(0) dan 12 dikurangi 4(0) dan 8

Pikirkan 6(0)

4(0) _ 2(0)

Bilangan berapa yang harus ditambahkan ke 4(0) supaya menjadi 6(0) ? Jawabannya adalah 2(0)

Pikirkan 12

(38)

4

Bilangan berapa yang harus ditambahkan ke 8 supaya menjadi 12 ? Jawabannya adalah 4

Sekarang pikirkan 20 dan 4 menjadi 24. Jadi 72 – 48 = 24 Pengurangan merupakan salah satu dari empat operasi dasar aritmatika, dan pada prinsipnya merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan. Operasi pengurangan dinyatakan dengan tanda minus dalam notasi infix, dengan bentuk rumus:

c − b = a

Apa yang dimaksud disini adalah ketika seseorang meminta kita menjawab 72 – 48, jangan berpikir 72 diambil 48, tetapi pikirkan ditambahkan berapa 48 supaya menjadi 72. Hal ini sesungguhnya satu langkah yang akan kita pelajari dalam aljabar.

Bilangan 72 sebenarnya adalah 7(0) dan 2. Bisa juga 72 adalah 6(0) dan 12 atau sama juga dengan 6(0) dan 1(0) dan 2. Sederhananya 72=6(0)+1(0)+2.

Pikirkan 72

48 _ _

Kita perlu berapa puluhan untuk ditambahkan ke 8 supaya menghasilkan 2 ? Ambil satu dari kolom puluhan, hal ini berarti 6(0) dan 12 dikurangi 4(0) dan 8

Pikirkan 6(0)

4(0) _ 2(0)

Bilangan berapa yang harus ditambahkan ke 4(0) supaya menjadi 6(0) ? Jawabannya adalah 2(0)

(39)

8 _ 4

Bilangan berapa yang harus ditambahkan ke 8 supaya menjadi 12 ? Jawabannya adalah 4

Sekarang pikirkan 20 dan 4 menjadi 24. Jadi 72 – 48 = 24

 Kali

Ada beberapa cara untuk memecahkan soal perkalian agar menjadi lebih mudah. Strategi ini mengasyikkan, banyak orang berpikir perkalian sangat susah. Namun sebenarnya tidak demikian adanya jika kita mengetahui strategi perkalian. Strategi perkalian ada 3 macam, yaitu :

1. Perkalian silang

 KaSiKaKi (Perkalian Silang dari Kanan ke Kiri)

(40)

Langkah 3 2 x 7 = 14

 KaSiKiKa (Perkalian Silang dari Kiri ke Kanan)

(41)

4(0) x 9(0) = 36(00) + melihat apakah bilangan tersebut dekat ke sesuatu yang mudah.

Perkalian yang dekat ke 100

(42)

 Bagi

Pembagian dengan menggunakan metode digit sangat mudah dilakukan, hanya disarankan mengerti proses penjumlahan dan pengurangan saja. Proses pembagian ini dilakukan dengan membuat 5 kolom yang terdiri dari digit, bilangan pembagi, kolom pemeriksa (check), bilangan yang dibagi, dan jawaban.

Langkah kerja metoe digit ini adalah sbb. :

a. Pada kolom digit tulis bilangan 1 sampai dengan 10 secara berurutan kebawah

b. Sejajar dengan bilangan 1 pada kolom digit tuliskan bilangan pembagi pada kolom bilangan pembagi

c. Jumlahkan digit bilangan pembagi dan hasilnya letakkan pada kolom pemeriksa (check)

d. Ulangi langkah b dan c dengan menuliskan kelipatan bilangan pembagi hingga baris ke-10 pada kolom digit

e. Tulis bilangan yang dibagi pada kolom bilangan yang dibagi

f. Jika hasil pemjumlahan digit pada kolom bilangan pembagi sama dengan 9, maka pada kolom pemeriksa kita tulis 0 (nol)

g. Kolom jawaban diisi berdasarkan pengurangan dari kiri ke kanan kolom bilangan yang dibagi dengan kolom bilangan pembagi.

Contoh : 4537688 : 34

digit Bilangan_pembagi Pemeriks_{a (check)} Bilangan yang_dibagi jawaban

(43)

48 34 140 136 4

 Pangkat

Perpangkatan adalah perkalian secara berulang suatu bilangan sebanyak bilangan pangkatnya.

Contoh 34 _{dibaca tiga pangkat empat}

34_{= 3 x 3 x 3 x 3 ( 3 dikalikan 3 sebanyak 4 kali) = 81}

Khusus untuk bilangan dengan pangkat 2 dinamakan dengan bilangan “kuadrat”

Sifat distributif (penyebaran) sangat membantu didalam melakukan operasi hitung penjumlahan dan pengurangan pada bilangan berpangkat dengan dasar/basis yang sama.

Contoh 34_{– 3}3_{= 3}3_{x3 – 3}3_{x1 = 3}3_{(3-1) = 3}3_{x2 = 3x3x3x2 = 54}

Pada perkalian atau pembagian bilangan berpangkat dengan pangkat sama dapat dilakukan dengan cara mengalikan atau membagi bilangan pokoknya dan hasilnya dipangkatkan dengan bilangan pangkatnya.

Contoh 42_{x 2}2_{= (4 x 2)} 2_{= 8}2_{= 8 x 8 = 64}

42_{: 2}2_{= (4 : 2)} 2_{= 2}2_{= 2 x 2 = 4}

Pada hasil kuadrat bilangan dengan satuan 5 mempunyai ciri-ciri khusus dalam pengerjaannya, yaitu hasil kuadratnya diperoleh dengan mengalikan bilangan yang bukan satuan dengan bilangan yang bukan satuan ditambah satu kemudian hasilnya ditempel dengan angka 25

Contoh1 452

(44)

Contoh2 1052

Penyelesaian 10 x (10+1) = 10 x 11 = 110 Jadi 1052_{= 11025}

Rumus diatas dapat dikembangkan untuk perkalian dua bilangan dengan satuan 5, misalkan p5 x q5, hasilnya diperoleh dengan perkalian sebagai berikut :

1. lakukan perkalian [p x (q+1) + (p+1) x q] : 2

2. jika hasil langkah 1 bulat, hasil perkalian p5 x q5 adalah hasil langkah 1 ditempel 25

3. jika hasil langkah 1 desimal, hasil perkalian p5 x q5 adalah hasil langkah 1 diambil bilangan bulatnya saja ditempel 75

contoh1 25 x 65

penyelesaian 1. [2 x (6+1) + (2+1) x 6] : 2 = [2 x 7 + 3 x 6] : 2

= [14 + 18] : 2 = 16

2. 25 x 65 = 1625

contoh2 35 x 95

penyelesaian 1. [3 x (9+1) + (3+1) x 9] : 2 = [3 x 10 + 4 x 9] : 2 = [30 + 36] : 2 = 33

2. 35 x 95 = 3325

contoh3 45 x 75

penyelesaian 1. [4 x (7+1) + (4+1) x 7] : 2 = [4 x 8 + 5 x 7] : 2

= [32 + 35] : 2 = 33,5

(45)

Bentuk penjumlahan bilangan ganjil yang berurutan sama dengan kuadrat dari penjumlahan bilangan pertama dan bilangan terakhir dibagi 2

Contoh1 1 + 3 + 5 + 7 + 9

Penyelesaian (

1 +

9

2

₎2_{= 5}2_{= 25}

Contoh2 7 + 9 + 11 + 13

Penyelesaian (

1 +

13

2

₎2_{– (}

1 +

5

2

₎2_{= 7}2_{– 3}2_{= (7 + 3) x (7 – 3) = 10}

x 4 = 40

Bentuk khusus 192_{– 18}2_{= (19 + 18) = 37}

Cara cepat dalam menghitung nilai kuadrat adalah bilangan yang dicari nilai kuadratnya dibawa ke puluhan/ratusan/ribuan terdekat, kemudian bilangan tersebut ditambah/dikurangi dengan selisih bilangan ke puluhan/ratusan/ribuan terdekat, hasilnya adalah perkalian bilangan terbesar dengan bilangan terkecil ditambah selisih kuadratnya.

Contoh1 342

Penyelesaian puluhan terdekatnya adalah 30 Selisihnya adalah 34-30 = 4 34 + 4 = 38

34 – 4 = 30

hasil = 30 x 38 + 42

(46)

Contoh2 3262

Penyelesaian ratusan terdekat 300

selisih 326 – 300 = 26

puluhan terdekat 30

selisih 30 – 26 = 4

326 + 26 = 352

326 – 26 = 300

26 + 4 = 30

26 – 4 = 22

hasil = 352 x 300 + 30 x 22 + 42

= 105600 + 660 + 16 = 106276

 Akar

Penarikan akar dapat dilakukan dengan menggunakan 2 metode, yaitu metode interpolasi dan metode fix.

a. Metode interpolasi adalah metode pendekatan yang memberikan gambaran perkiraan nilai suatu bentuk akar.

Contoh : √15 = ……

Dalam bilangan kuadrat nilai 15 terletak antara 32_{dan 4}2_{atau dapat}

ditulis

9 15 16 15 – 9 = 6

16 – 9 = 7

(47)

b. Metode fix adalah metode menghitung nilai akar yang sangat akurat, tetapi membutuhkan ketelitian dalam menghitung

Cara mencari hasil penarikan akar

1. Pisahkan dua bilangan disebelah kanan dengan memberi titik 2. Lihat angka paling kiri, carilah bilangan kuadrat yang mendekati

angka paling kiri, misalkan bilangannya x

3. x_{ditulis dibawah angka paling kiri kemudian dikurangkan, dua}

angka langkah 1 diturunkan letakkan disebelah kanan hasil pengurangan langkah 3

4. x ditambah x hasilnya y menjadi bilangan penentu untuk mendapatkan hasil berikutnya. Bilangan y diletakkan disebelah kiri angka angka yang terbentuk pada langkah 3

5. y … x … = langkah 3. titik-titik diisi dengan bilangan yang sama, sehingga apabila dikalikan menghasilkan bilangan yang terbentuk pada langkah 3 atau mendekati bilangan langkah 3. Jika hasil pengurangannya belum “NOL” maka lakukan penurunan bilangan berikutnya seperti pada langkah 3 dan 4.

6. Lakukan langkah-langkah tersebut sampai memperoleh hasil pengurangan akhir = 0, berarti sudah memperoleh nilai akar bilangan (khusus untuk mencari akar bilangan kuadrat)

7. Apabila hasil pengurangan akhir lebih kecil dari langkah 5, maka hasil pengurangan akhir ditambah “NOL DUA BUAH” dan pada hasil sementara akar kuadrat diberi tanda “KOMA”, lakukan penurunan bilangan berikutnya seperti pada langkah 3, 4, dan 5.

Contoh1

√

529

Penyelesaian

√

529

=

√

5.29

(1)

2x2= 4 (2)

(48)

129 (3) (2+2) 43x3= 129 (4) , (5)

0 (6)

Jadi

√

529

= 23

Contoh2

√

13

Penyelesaian

√

13

=

√

13

(1)

3x3= 9 (2)

4 (3)

(3+3) 6..x.. (4) , (5)

400 (7)

(3+3) 66x6 396

400 (3) , (7) (66+6)720x0 0. (4) , (5)

40000 (3) , (7) (720+0) 7205x5 36025 (4) , (5)

3975 (3) , (7), dst

jadi

√

13

= 3,605

c. Metode Vedic  Kali

A quick way to square numbers that end in 5 using the formula BY ONE MORE THAN THE ONE BEFORE.

(49)

752_{means 75 x 75.}

The answer is in two parts: 56 and 25. The last part is always 25.

The first part is the first number, 7, multiplied by the number "one more", which is 8:

so 7 x 8 = 56

Similarly 852_{= 7225 because 8 x 9 = 72.}

Method for multiplying numbers where the first figures are the same and the last figures add up to 10.

32 x 38 = 1216

Both numbers here start with 3 and the last figures (2 and 8) add up to 10. So we just multiply 3 by 4 (the next number up) to get 12 for the first part of the answer.

And we multiply the last figures: 2 x 8 = 16 to get the last part of the answer.

Diagrammatically:

(50)

21 x 23 = 483

This is normally called long multiplication but actually the answer can be written straight down using the VERTICALLY AND CROSSWISE formula. We first put, or imagine, 23 below 21:

There are 3 steps:

a) Multiply vertically on the left: 2 x 2 = 4. This gives the first figure of the answer.

b) Multiply crosswise and add: 2 x 3 + 1 x 2 = 8 This gives the middle figure.

c) Multiply vertically on the right: 1 x 3 = 3 This gives the last figure of the answer.

And thats all there is to it. Similarly 61 x 31 = 1891

6 x 3 = 18; 6 x 1 + 1 x 3 = 9; 1 x 1 = 1

Multiply any 2-figure numbers together by mere mental arithmetic!

If you want 21 stamps at 26 pence each you can easily find the total price in your head.

There were no carries in the method given above. However, there only involve one small extra step.

(51)

The method is the same as above except that we get a 2-figure number, 14, in the middle step, so the 1 is carried over to the left (4 becomes 5). So 21 stamps cost £5.46.

33 x 44 = 1452

There may be more than one carry in a sum:

Vertically on the left we get 12. Crosswise gives us 24, so we carry 2 to the left and mentally get 144.

Then vertically on the right we get 12 and the 1 here is carried over to the 144 to make 1452.

d. Tulang Napier

 Kali

Kotak perkalian merupakan strategi yang sangat menarik. Inilah alat sederhana tetapi terbukti sangat efektif bagi setiap orang yang membenci perhitungan matematika atau orang-orang yang biasanya sering dikatakan lemah dalam matematika.

Contoh : 24 x 12

2 4

2 4 1

2 4 8 2

8 8

(52)

 Kali

Cara perkalian ini dipergunakan petani Rusia pada beratus abad yang lampau sampai akhir abad “Renaisance”. Cara ini lebih mudah dipakai karena hanya menggunakan pengertian “setengahnya” dan “penduakalian”. Cara ini dipakai untuk mengalikan dua bilangan, yaitu dengan jalan mengalikan bilangan yang pertama dengan dua dan membagi bilangan yang kedua dengan dua, sisa dari pembagian diabaikan. Pengerjaan ini selesai bila bilangan yang dibagi menjadi 1.

Contoh 45 x 64 1. Tulis 45 dan 64 seperti diatas

2. Bagi dua 45 diperoleh 22 (sisanya diabaikan). Kalikan 64 dengan 2 diperoleh 128. tulis 22 dibawah 45 dan 128 dibawah 64. 3. Bagi 22 dengan 2 diperoleh 11, tulis 11 dibawah 22. Lalu

kalikan 128 dengan 2 diperoleh 256, tulis dibawah 128.

(53)

BAB IV

KARAKTERISTIK PROBLEM SOLVING DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Ada kalanya kita kurang memahami karakteristik seorang pemecah masalah (problem solver) yang baik, sehingga seringkali identifikasi kita hanya terfokus pada hasil (apa yang ditemukan siswa, jawaban siswa), atau pada kecocokan proses penyelesaian. Dengan mengenali karakteristik pemecah masalah, maka kita dapat melihat potensi apa yang dimiliki oleh siswa serta apa yang harus kita lakukan untuk meningkatkan kemampuan siswa dalam memecahkan masalah.

Ada banyak literatur dan pendapat mengenai ciri-ciri seorang pemecah masalah (yang baik). Suydam (1980:36) telah menghimpun dan menyaring ciri-ciri pemecah masalah yang baik dengan mengacu pada berbagai sumber (Dodson, Hollander, Krutetskii, Robinson, Talton dan lain-lain) menjadi 10 macam ciri. Berikut ini

Kesepuluh macam ciri pemecah masalah tersebut: 1. Mampu memahami istilah dan konsep matematika. 2. Mampu mengenali keserupaan, perbedaan, dan analogi.

3. Mampu mengindentifikasi bagian yang penting serta mampu memilih prosedur dan data yang tepat.

4. Mampu mengenali detail yang tidak relevan. 5. Mampu memperkirakan dan menganalisis.

6. Mampu memvisualkan dan mengintepretasi fakta dan hubungan yang kuantitatif.

7. Mampu melakukan generalisasi dari beberapa contoh. 8. Mampu mengaitkan metode-metode dengan mudah.

9. Memiliki harga diri dan kepercayaan diri yang tinggi, dengan tetap memiliki hubungan baik dengan rekan-rekannya.

(54)

Kita seyogyanya dapat mengidentifikasi ciri-ciri tersebut pada peserta didiknya, dan selanjutnya dapat dijadikan pertimbangan untuk melakukan perbaikan pada proses pembelajaran secara terus menerus. Untuk menerapkan kesepuluh karakteristik tersebut diambil kasus pemecahan KPK dan FPB.

a. KPK1

Dalam aritmetika dan teori bilangan, kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan adalah bilangan bulat positif terkecil yang dapat dibagi habis oleh kedua bilangan itu.

Dalam bahasa Inggris KPK dikenal dengan Least Common Multiple (LCM), sering djiuga disebut sebagai Lowest Common Multiple (LCM) atau Smallest Common Multiple (SCM),

Contoh

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari KPK dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara sederhana

Mencari KPK dari 12 dan 20:

 Kelipatan dari 12 = 12, 24, 36, 48, 60, 71, 84, ...

 Kelipatan dari 20 = 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, ...

 KPK dari 12 dan 20 adalah kelipatan sekutu (sama) yang terkecil, yaitu

60.

(55)

Cara faktorial

Mencari KPK dari bilangan 147, 189 dan 231:

 Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

147 189 231 /\ /\ /\ 3 49 3 63 3 77 /\ /\ /\ 7 7 7 9 7 11 /\

3 3

 Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:

Faktorial 147 = 31_{x 7}2

Faktorial 231 = 31_{x 7}1_{x 11}1

 Ambil faktor-faktor yang memiliki pangkat terbesar, dalam hal ini 33, 72 dan

111_.

 Kalikan faktor-faktor tesebut: 33 x 72 x 111 = 14553.

 Maka KPK dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 14553. Dengan kata

lain, tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 14553 yang dapat dibagi habis oleh bilangan 147, 189 dan 231.

b. FPB2

(56)

Dalam bahasa Inggris FPB dikenal dengan Greatest Common Divisor (GCD), sering djiuga disebut sebagai Greatest Common Factor (GCF) atau Highest Common Factor (HCF),

Contoh

Cara sederhana dapat digunakan untuk mencari FPB dari 2 atau 3 bilangan yang tidak terlalu besar, namun untuk bilangan yang lebih besar sebaiknya menggunakan cara faktorial.

Cara sederhana

Mencari FPB dari 12 dan 20:

 Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6 dan 12

 Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10 dan 20

 FPB dari 12 dan 20 adalah faktor sekutu (sama) yang terbesar, yaitu 4.

Cara faktorial

Mencari FPB dari bilangan 147, 189 dan 231:

 Buat pohon faktor dari masing-masing bilangan:

147 189 231 /\ /\ /\ 3 49 3 63 3 77 /\ /\ /\ 7 7 7 9 7 11 /\

(57)

 Susun bilangan dari pohon faktor utk mendapatkan faktorialnya:

Faktorial 231 = 31_{x 7}1_{x 11}1

 Ambil faktor-faktor yang sekutu (sama) dari ketiga faktorial tersebut,

dalam hal ini 3 dan 7.

 Kalikan faktor-faktor sekutu yang memiliki pangkat terkecil, dalam hal ini

31_{x 7}1_{= 21.}

 Maka FPB dari bilangan 147, 189 dan 231 adalah 21. Dengan kata lain,

tidak ada bilangan yang lebih besar dari 21 yang dapat membagi habis bilangan 147, 189 dan 231.

Algoritma Euklidean

Cara lain untuk mencari FPB adalah dengan menggunakan algoritma Euklidean. Misalkan a dan b adalah 2 bilangan bulat yang tidak sama, maka algoritma Eucliden adalah sebagai berikut:

 a1 = maximum(a,b)-minimum(a,b)

b1 = minimum(a,b)

 a2 = maximum(a1,b1)-minimum(a1,b1)

b2 = minimum(a1,b1)

. .

 ai = maximum(ai-1,bi-1)-minimum(ai-1,bi-1)

bi = minimum(ai-1,bi-1)

(58)

FPB dari a dan b adalah ai = bi

Atau

• Menurut Algoritma Pembagian, bilangan bulat positip a dan b, a ≥ b selalu dapat ditulis sebagai :

a = bq + (r),

dengan q bulat positif, r bilangan cacah, dan 0 ≤ r < b.

• Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar dengan menggunakan Algoritma Pembagian tersebut dikenal sebagai Algoritma Euclides.

• Jadi, menurut Algoritma Euclides, jika a dan b bilangan-bilangan bulat positip dengan a ≥ b , dan r adalah sisa jika a dibagi oleh b, maka

• FPB (a, b) = FPB (b, r).

Contoh penggunaan algoritma Euclid FPB (98 , 40) = 2

98 40 18

40 18 4

18 4 2

4 2 0

2 0

• Cara cepat memperoleh FPB :

(59)

2

40 98

80 2

18 40

36 4

4 18

16 2

2 4

4

0

• Pembagian bilangan prima

FPB (96 , 40) = 8

96 40

2 48 20

2 24 10

2 12 5

(60)

BAB V

KRITERIA PROBLEM SOLVING

Barangkali secara umum orang memahami masalah (problem) sebagai kesenjangan antara kenyataan dan harapan. Namun dalam matematika, istilah “problem” memiliki makna yang lebih khusus. Kata “Problem” terkait erat dengan suatu pendekatan pembelajaran yaitu pendekatan problem solving. Dalam hal ini tidak setiap soal dapat disebut problem atau masalah. Ciri-ciri suatu soal disebut “problem” dalam perspektif ini paling tidak memuat 2 hal yaitu:

1. soal tersebut menantang pikiran (challenging),

2. soal tersebut tidak otomatis diketahui cara penyelesaiannya (nonroutine).

Kita, para guru mungkin sering tidak menyadari bahwa kita terlalu banyak memberi soal-soal dalam satu jenis saja. Sayangnya, soal-soal yang sering kita beri tidak bernuansa pemecahan masalah.

Departemen Matematika dan Ilmu Komputer di Saint Louis University (dalam Department of Mathematics and Computer Science, 1993) mengemukakan lima tipe soal matematika:

1. Soal-soal yang menguji ingatan (memory).

Tipe ini biasanya meminta kepada siswa untuk mengenali atau menyebutkan fakta-fakta matematika, definisi, atau pernyataan suatu teorema/dalil. Bentuk soal yang dipakai biasanya bentuk soal benar-salah, pilihan ganda, mengisi yang kosong, atau dengan format menjodohkan.

Contohnya meminta siswa menyebut teorema Pythagoras

2. Soal-soal yang menguji keterampilan (skills).

(61)

Contohnya meminta siswa untuk mencari luas bangun datar

3. Soal-soal yang membutuhkan penerapan keterampilan (application) pada situasi yang biasa (familiar).

Soal aplikasi memuat penggunaan algoritma dalam konteks yang sedikit berbeda. Soal-soal cerita tradisional umumnya termasuk kategori soal aplikasi, dimana penyelesaiannya memuat: (a) merumuskan masalah ke dalam model matematika, dan (b) memanipulasi simbol-simbol berdasarkan satu atau beberapa algoritma.

Pada soal tipe ini umumnya siswa mudah mengenal rumus atau teorema yang harus dipergunakan. Satu-satunya keterampilan baru yang harus mereka kuasai adalah bagaimana memahami konteks masalah untuk merumuskannya secara matematis.

Contoh.

Mali, Setya, dan Roni berbelanja pulpen, pensil dan buku tulis. Mereka membeli pulpen, pensil dan buku tulis bermerek sama. Mali membeli sebuah pulpen, dua buah pensil dan tiga buah buku tulis seharga Rp12.300,00, Setya membeli membeli dua buah pulpen, dua buah pensil dan sebuah buah buku tulis seharga Rp8.500,00 dan Roni membeli tiga pulpen dan sebuah buku tulis seharga Rp9.600,00. Berapa harga sebuah pensil yang mereka beli?

4. Soal-soal yang membutuhkan penerapan keterampilan pada situasi yang tidak biasa (unfamiliar)

Berbeda dengan tiga tipe soal sebelumnya, maka pada tipe soal terbuka ini strategi pemecahan masalah tidak tampak pada soal. Soal-soal tipe ini umumnya membutuhkan kemampuan melihat pola dan membuat dugaan. Termasuk pada tipe soal ini adalah soal-soal matematika yang berkaitan dengan teka-teki dan permainan.