1. Diketahui persamaan hiperbola 4x2 – 9y2 = 36. Tentukanlah : a. Panjang sumbu mayor b. Panjang sumbu minor c. Panjang latus rectum Jawab :
Persamaan hiperbola
4x2 – 9y2 = 36 ↔ x2
9
−¿ y
2
4 ¿ 1
a2 = 9 ↔ a = 3 b2 = 4 ↔ b = 2, maka
a. Panjang sumbu mayor 2a = 2 (3) = 6
b. Panjang sumbu minor 2b = 2 (2) = 4
c. Panjang latus rectum
2b2
a =
2(2)2
3
↔2(4)
3 =
8 3
2. Tentukan titik fokus dari persamaan elips x2
9 –
y2
16 = 1 .
Jawab :
Karena tidak diketahui, maka titik pusat adalah O(0,0)
Persamaan elips
x2
9 –
y2
16 = 1
a2 = 16 ↔ a = 4 b2 = 9 ↔ b = 3, maka titik fokus (a di bawah y) yaitu :
(q,p – 3) ↔ (0,0 – 3) = (0,-3)
(q,p – 3) ↔ (0,0 + 3) = (0,3)
3. Diketahui persamaan hiperbola sebagai berikut.
(x−2)2
25 –
(y+3)2
9 = 1
Tentukan :
a) Nilai eksentrisitas b) Persamaan direktriks c) Titik fokus
Jawab :
Karena tidak diketahui, maka titik pusat adalah O(0,0)
Persamaan hiperbola
(x−2)2
25 –
(y+3)2
9 = 1
a2 = 25 ↔ a = 5 b2 = 9 ↔ b = 3
c2 = a2 – b2 ↔ c2 =25 – 9 = √ 16
c = 4 a) Nilai eksentrisitas
e = c
a ↔ e = c a ↔ e = 4
6 =
2 3
b) Persamaan direktriks x = ±a2
c2 = ±
25
16 , jadi
x = 25
16 dan x = −25
16
c) Titik fokus
Karena a di bawah sumbu x, maka titik fokusnya adalah
(p – 3,q) ↔ (0 – 3,0) = (-3,0)
(p + 3,q) ↔ (0 + 3,0) = (3,0)
4. Tentukanlah persamaan parabola dengan puncak (0,0)
dan titik fokus (0, 1
2 ) .
Jawab :
Titik fokus = (0, 1
2 ) ↔
p = 1
2
Sumbu simetrinya sumbu y
sehingga persamaan
parabola x2= 4( 1
2 )y =
2y.
Jadi, persamaan parabola adalah x2 = 2y.
5. Tentukan persamaan elips dengan titik pusat O(0,0) dan titik fokus ( ± 4,0) dengan panjang mayor 8.
Jawab :
Titik pusat = O(0,0)
Titik fokus = ( ± 5,0) ↔ p + c = 5
c = 5 Sumbu mayor ↔ 2a = 32
a = 8
2 = 4 c2 = a2 – b2
b2 = a2 – c2 ↔ b2 = 52 – 42
b2 = 25 – 16 b2 = 9
Disubst. ke persamaan elips
(x−p)2
a2 –
(y−q)2
b2 = 1 , maka
(x−0)2
25 –
(y−0)2
9 = 1
x2
25 –
y2
9 = 1
Jadi, persamaan elips yaitu x2
25 –
y2
9 = 1 .
6. Tentukan persamaan parabola dengan puncak O(0,0) dan sumbu x sebagai sumbu
simetri yang melalui titik (4,-8).
Jawab :
Persamaan parabola dengan puncak O(0,0) dan sumbu x sebagai sumbu simetri adalah y2 = 4px .
Titik (4,-8) ↔ x = 4 dan y = -8 , maka
y2 = 4px
(-8)2 = 4p.4
64 = 16p p = 64
16
p = 4
Jadi, persamaan parabola tersebut adalah y2 = 4px → y2 = 16x.
7. Tentukan persamaan hiperbola dengan titik fokus ( ± 12) dan titik puncak ( ± 10).
Jawab :
Titik pusat = (0,0)
Titik fokus = ( ± 12) → a = 12
Titik puncak = ( ± 10) → c = 10
b2 = a2 – c2 ↔ b2 = 122 – 102
b2 = 144 – 100
b2 = 44 Jadi, persamaan hiperbola
(x−p)2
a2 –
(y−q)2
b2 = 1
(x−0)2
144 –
(y−0)2
44 = 1
x2
144 –
y2
44 = 1 .
– 4x – 8y – 92=0 yang bersudut 135o dengan sumbu x positif.
Jawab :
x2+4y2 – 4x – 8y – 92=0
≫ x2+4y2 – 4x – 8y – 92=0
x2 – 4x+4y2 – 8y ¿ 92 (x – 2)2+4(y – 1)2=92+4 +4
(x – 2)2+4(y – 1)2=100
(x−2)2
1 00 –
(y−1)2
25 = 1
Persamaan garis singgung elips dengan gradien m → tan θ = tan 135o = -1, yaitu
(y−p)=m(x−q)±
√
a2. m2+b2
(y −¿ 1) = −¿¿ x −¿ 2) ±
√
100.(−1)2+25(y −¿ 1) = −¿¿ x −¿ 2) ±
√
125(y −¿ 1) = −¿¿ x −¿ 2) ± 5
√
5(y −¿ 1) = −¿ x +¿ 2 ± 5
√
5Jadi, persamaan garis singgung elips yaitu (y −¿ 1) = −¿ x
+¿ 2 +¿ 5
√
5 dan (y −¿ 1) = −¿ x +¿ 2 −¿ 5√
5 .9. Tentukan persamaan garis singgung hiperbola (x−2)2
25
– (y+3)2
9 = 1 yang
bergradien 2. Jawab :
Persamaan hiperbola
(x−2)2
25 –
(y+3)2
9 = 1
, maka
y = mx ±
√
a2.m2−b2 y = 2x ±
√
25.22−9y = 2x ±
√
25.4−9y = 2x ±
√
100−9y = 2x ±
√
91y – 2x = ±
√
91Jadi, persamaan garis singgung hiperbola adalah y – 2x =
√
91 dan y – 2x = −√
91 .10. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 = 16x yang melalui titik (6,-2).
Jawab :
Persamaan parabola
y2 = 16x , titik (-1,-4) = (x,y)
4p = 16 P = 164 P = 4
≫ y = mx + p m -4 = -m + m4
-4m = -m2 + 4 m2 −¿ 4m+4 = 0 (m −¿ 2) (m −¿ 2) = 0 Maka, m = 2
y = mx + 4 m y = 2x + 4
2
y = 2x + 2
