PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK RL DAN RC SERI Oleh: 1 Ir. SIGIT KUSMARYANTO, M.Eng.

PENYELESAIAN MODEL RANGKAIAN LISTRIK RL DAN RC SERI

Oleh: 1Ir. SIGIT KUSMARYANTO, M.Eng.

1

Teknik Elektro, http://sigitkus@ub.ac.id

Pengantar:

Modul ini menjelaskan pemodelan rangkaian listrik RL dan RC seri dengan persamaan diferensial biasa orde satu. Beberapa jenis respon (stabil , transien, lengkap) ditunjukkan dengan penggambaran solusi PD dengan program MATLAB. Respon rangkaian pada beberapa jenis sumber tegangan (konstanta , eksponensial dan sinusoida) juga dipaparkan dalam modul ini.

Tujuan Instruksional Khusus:

• Mahasiswa dapat memahami pemodelan Rangkaian Listrik RL dan RC seri

• Mahasiswa dapat menentukan penyelesaian pemodelan Rangkaian Listrik RL dan RC seri dengan PDB Orde Satu

• Mahasiswa dapat membuat program Matlab untuk menggambar kurva tanggapan lengkap rangkaian RL dan RC seri

Rangkaian listrik sederhana adalah rangkaian seri. Rangkaian ini terdiri atas:

1. suatu baterai atau generator yang menghasilkan tenaga gerak listrik (electromotive force atau

e.m.f / tegangan atau potensial) sebesar E volt

2. suatu penghambat (resistor) dengan pembatas sebesar R ohm 3. suatu induktor dengan induktansi sebesar L henry.

4. suatu kapasitor dengan kapasitansi sebesar C farad

Arus I yang diukur dalam Ampere adalah laju perubahan sesaat muatan Q pada kapasitor yang diukur dalam coulomb terhadap waktu, yaitu I=dQ/dt.

Rangkaian RLC seri

Dari prinsip dasar kelistrikan, kita memperoleh:

(a)Potensial yang dihasilkan pada resistor adalah, ER= I.R (b)Potensial yang dihasilkan pada induktor adalah, EL = L. dI/dt (c)Potensial yang dihasilkan pada kapasitor adalah, EC = Q/C, karena: ( ) = maka = ( ) Hukum Kirchoff

b. Jumlah aljabar potensial yang dihasilkan sepanjang suatu loop tertutup adalah nol.

1.1 RANGKAIAN RL

Rangkaian RL seri

Untuk rangkaian RL seperti Gambar di atas dan berdasarkan hukum tegangan Kirchoff serta (a) dan (b), diperoleh model persamaan:

+ . = ( ) ( )

Kasus A. Jika E(t) = E0 (konstanta), maka dari (d) diperoleh model persamaan: + . =

PD di atas PD Linier berbentuk + = (lihat subbab 2.4), penyelesaian PD Linier tersebut yaitu dengan mengalikan faktor integrasi µ = pada persamaan + = menjadi:

+ ! = "

↔ + ! = " ↔ ( . )= . "

↔ ( . ) = . " jika diintegrasikan maka

. = $ . " + % = 1 $ . " + %! sehingga dari contoh kasus ( ) dapat dinyatakan:

( ) = ' () *$ () + +, = ' () * . () + +, = + + ' ()

Jika t = tak hingga maka + '-. = nol, sehingga I(t) sama dengan nilai batas E0 /R. Penyelesaian khusus untuk syarat awal I(0) = 0 adalah

( ) = *1 − '() ,

Kasus B. Jika E(t) = E0 sinωt , maka dari (d) diperoleh model persamaan:

+ . = sin 3 penyelesaian PD dengan faktor integral yaitu:

= 1 $ . " + %! µ = -. , y(x) = I(t), Q= 45 ) 678 3 , maka: ( ) = ' () *$ sin 3 () + +, ( ) = ' ( ) *$ sin 3 () + +, = 9' : ;<*=> ; $ ?@A B< 9 : ;< < + C, sin 3 -. diselesaikan dengan integral parsial.

Rumus baku integral parsial: D E = D. E − E D jika D = sin 3 dan E = -. ; E =)

(

-. , maka: $ sin 3 () _{= sin 3 .} () _{− $} () _{3 cos 3}

= ⋯ −3 $ () _{cos 3 ; J7+K D = cos 3 K8 E =} () _{; E =} () = ⋯ −3 () . cos 3 +3 $ sin 3 () _!

untuk penyederhanaan misalkan L = sin 3 -. , maka: L = () sin 3 −3 () . cos 3 +3 L! = () _{sin 3 −}3_MM () _{. cos 3 +}3M M_{M L} L N1 −3M M_M O = () sin 3 −3_MM () . cos 3 L = _{M− 3}M_{M M}P () sin 3 −3_MM () . cos 3 Q = _{M− 3M M} () sin 3 − _M3 M − 3M M ( ) . cos 3 = ( ) M_{− 3}M MR sin 3 − 3 M%S6 3 T sehingga:

( ) = ' ( ) * $ sin 3 () + +, = ' ( ) _U ( ) M_{− 3}M MR sin 3 − 3 M%S6 3 T V + + ' ( ) = => :W_'BW_;WX: ?@A B< − B; YZ[ B< \ + C 9' : ;<

Suatu sistem listrik (atau dinamis) dikatakan berada dalam keadaan stabil (steady state) jika peubah yang menjelaskan perilakunya merupakan fungsi periodik dari waktu atau konstan, sedangkan sistem dikatakan dalam keadaan peralihan (transient state) atau keadaan tidak stabil jika sistem tidak dalam keadaan stabil. Peubah yang menggambarkan keadaan itu masing-masing disebut fungsi keadaan stabil dan fungsi peralihan.

Pada Kasus A, fungsi R/E0 merupakan fungsi atau penyelesaian keadaan stabil sedangkan dalam Kasus B penyelesaian keadaan stabilnya adalah suku pertama.

Contoh:

Rangkaian RL seri diketahui R=10 ohm, L=2 henry, dengan sumber tegangan E, dihubungkan seperti pada Gambar. Pada t=0 saklar ditutup dan arusnya I(t=0)=0. Tentukan I untuk t>0 jika (a) E=40 (b) E= 20 e-3t, (c) E=50 sin5t!

Contoh Soal Rangkaian RL Seri

Penyelesaian:

Berdasarkan Hukum Kirchoff, jumlah tegangan pada loop tertutup sama dengan nol sehingga VR+VL-E=0

10 + 2 − = 0 + 5 = 2 penyelesaian PD di atas adalah:

(a) Jika E=40, PD menjadi ` + 5 = 20 , I(t=0)=0 faktor integrasi = = a

mengalikan a dengan PD, maka: a _b ` _{+ 5 c =} a _{. 20}

a _{. =} a _{. 20} = 4 a _{+ %} = 4 + % 'a _{, ( = 0) = 0 → 0 = 4 + % → % = −4} maka = 4 − 4 'a 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 sumbu waktu (t) A ru s I (t )

Arus pada Rangkaian RL Seri,R=10Ω, L=2H, E=40V

Program MATLAB sebagai berikut: %Arus pada Rangk RL seri

clear all;

clc;

t=(0:0.01:1); I=4-4*exp(-t*5);

plot(t,I,'r','linewidth',3)

xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',12)

ylabel('Arus I(t)','fontsize',12)

(b) Jika E = 20 e-3t , PD menjadi ` + 5 = 10 e'hi, , I(t=0)=0 faktor integrasi = = a

mengalikan a dengan PD, maka: a _{+ 5 ! = 10 e}Mi R a _{. T = 10 e}Mi a _{. = 10 e}Mi = 5 M _{+ %} = 5 'h _{+ %} 'a _{, ( = 0) = 0 → 0 = 5 + % → % = −5} = 5 'h _{− 5} 'a _{= 5(} 'h ₋ 'a ₎

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 sumbu waktu (t) A ru s I (t )

Arus pada Rangkaian RL Seri,R=10Ω, L=2H, E=20e(-3t)V

Program MATLAB sebagai berikut:

%Arus pada Rangk RL seri E=20 exp(-3t)

clear all;

clc;

t=(0:0.01:3);

I=5*(exp(-t*3)-exp(-t*5));

plot(t,I,'r','linewidth',3)

xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14)

ylabel('Arus I(t)','fontsize',14)

(c) Jika E = 200 sin 5t, PD menjadi ` + 5 = 100 678 5 , I(t=0)=0 faktor integrasi = = a

mengalikan a dengan PD, maka: a _{+ 5 ! = 100} a _{678 5}

R a _{. T = 100} a _{678 5}

a _{. = 100 $} a _{678 5 + +} a _{678 5 diselesaikan dengn integral parsial} rumus baku integral parsial: D E = D. E − E D jika D = a dan E = 678 5 ; E = − a%S6 5 , maka: $ a _{. sin 5 = −}1 5 a %S6 5 + $ a %S6 5 = ⋯ + $ a _{%S6 5 ; jika D =} a _{dan E = %S6 5 , E =}1 5 678 5 = ⋯ +1₅ a _{678 5 − $} a _{678 5}

untuk penyederhanaan misalkan L = a 678 5 , maka: L = −1₅ a _{%S6 5 +}1

5 a 678 5 − L L = −₁₀1 a _{%S6 5 +} 1

sehingga: a _{. = 100 $} a _{678 5 + +} = −10 a _{%S6 5 + 10} a _{678 5 + +} = −10%S6 5 + 10678 5 + + 'a _{, ( = 0) = 0, nK+K + = 10} = −10%S6 5 + 10678 5 + 10 'a 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 sumbu waktu (t) A ru s I (t )

Arus pada Rangkaian RL Seri, R=10Ω, L=2H, E=200 sin 5t V

Program MATLAB sebagai berikut:

%Arus pada Rangk RL seri E=200 sin 5t

clear all; close all; clc; t=(0:0.01:2); I=10*(sin(5*t)-cos(5*t)); plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=10*(exp(-5*t)); plot(t,I,'r','linewidth',2) hold on I=10*(sin(5*t)-cos(5*t))+10*(exp(-5*t)); plot(t,I,'k','linewidth',2)

xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14)

1.2 Rangkaian RC

Rangkaian RC Seri

Dengan menerapkan hukum Kirchoff maka model persamaan rangkaian adalah: "

+1_{o " = ↔} "+ 1_{o " =} atau

+1_{o $} = ↔ +_{o =}1 diperoleh PD linier orde satu:

+ 1_{o =} 1 Penyelesaian umum:

faktor integral PD Linier :

= = (

perkalian PD dengan faktor integral menghasilkan:

( + 1 o ! = 1 ( ( . ! = 1 ( ( . = $1 ( + + = ' ( $1 ( + + ' ( = ' ( $1 ( + +! Kasus A. Jika E= Konstanta, maka dE/dt=0, sehingga

= +. ' ( RC disebut konstanta waktu kapasitif Kasus B. Jika E(t) = E0 sinωt , maka:

= 3 %S6 3 sehingga jika disubstitusikan ke persamaan menjadi:

= ' ( $1 ( . 3 %S6 3 + +! = ' ( 3 $ ( _{. %S6 3 + +!}

p

-q . %S6 3 . dengan integral parsial dapat diselesaikan menjadi:

rumus baku integral parsial: D E = D. E − E D jika D = -qp dan E = %S6 3 ; E =_r678 3 , maka: $ ( . cos 3 = 1 3 ( 678 3 −3 o $1 ( 678 3 = ⋯ −_{3 o $}1 ( 678 3 ; jika D = ( dan E = 678 3 , E = −1 3 %S6 3 = ⋯ −_{3 o −} 1 ₃1 ( _{%S6 3 +} 1 3 o $ ( %S6 3 !

untuk penyederhanaan misalkan L = -qp . %S6 3 , maka: L ==₃1 ( 678 3 + 1 3M _o ( %S6 3 −₃M ML _oM L =_{1 + 3}3M M_{M M}oM_{oM 3}1 ( 678 3 + 1 3M _o ( %S6 3 ! sehingga: = ' ( 13 $ ( . 6783 . + +! = ' ( s13 s_{1 + 3}3M M_{M M}oM_{oM 3}1 ( 678 3 + 1 3M _o ( %S6 3 !t + +t = ' ( uv_{1 + 3}3h _{M M}o_oM_{M 3}1 ( _{678 3 +} 1 3M _o ( %S6 3 !w + +x = ' ( sP_{1 + 3}3M _{M M}o_oM_{M (} 678 3 +_{1 + 3}3 o_{M MoM (} %S6 3 Q + +t =_{1 + 3}3M _{M M}o_oM_M678 3 +_{1 + 3}3 o_{M MoM}%S6 3 + + ' (

Contoh:

Suatu rangkaian listrik terdiri dari Resistor 20 ohm yang dihubungkan seri dengan kapasitor 0,05 farad dan baterai E volt. Pada saat t=0 tidak ada muatan pada kapasitor. Tentukan besar muatan dan arus untuk t>0, jika E= 60, E=100t e-2t dan E= 100 cos 2t!

(a) jika E=60, model persamaan rangkaian RC adalah: "₊ 1

o " = "

+ " = 3 faktor integrasi = et

perkalian PD dg faktor integrasi didapatkan: " + "! = 3 R "T = 3 " = $ 3 + + " = 3 + + " = 3 + + ' _{, "( = 0) = 0 → + = −3} " = 3 − 3 ' _, karena = "/ , maka = R3 − 3 ' T = 3 '

Arus Pada Rangkaian RC Seri, E=60 V

Program MATLAB :

%Arus pada Rangk RC seri E=60

clear all; close all; clc; t=(0:0.01:5); I=3*exp(-t) plot(t,I,'b','linewidth',2)

xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14)

ylabel('Arus I(t)','fontsize',14)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 sumbu waktu (t) A ru s I (t )

(b) jika E=100 t e-2t, model persamaan rangkaian RC adalah: " + 1_{o " =} " + " = 5 'M faktor integrasi = et

perkalian PD dg faktor integrasi didapatkan: "

+ "! = 5 ' R . "T = 5 . '

. " = 5 $ . ' _{+ +}

. ' _{diselesaikan dengan integral parsial} rumus baku integral parsial: D E = D. E − E D jika D = dan E = ' ; E = − ' , maka:

$ . ' _{= − .} ' _{+ $} ' = − . ' ₋ ' maka: . " = 5 R− . ' ₋ ' _{T + +} " = 5 R− . 'M ₋ 'M _{T + +} ' _{, "( = 0) = 0 → + = 5} jadi: = { X−<. 9'W<_{− 9}'W<_{\ + {9}'< = "= R5 R− . 'M ₋ 'M _{T + 5} ' _T = R−5. 'M _{+ 10} 'M _{+ 10} 'M _{T − 5} ' = |><9'W<_{+ {9}'W<_{− {9}'< 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 sumbu waktu (t) A ru s I (t )

Arus Pada Rangkaian RC Seri, E=100te-2t V

Program MATLAB sebagai berikut:

clear all; close all; clc; t=(0:0.01:5); I=10*t.*exp(-t*2) plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=5*exp(-t*2) plot(t,I,'r','linewidth',2) hold on I=-5*exp(-t) plot(t,I,'g','linewidth',2) hold on I=10*t.*exp(-t*2)+5*exp(-t*2)-5*exp(-t) plot(t,I,'k','linewidth',2)

xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14)

ylabel('Arus I(t)','fontsize',14)

(c) jika E=100cos2t volt, R=20 ohm, C=0,05 farad, model persamaan rangkaian RC adalah: "₊ 1

o " = "

+ " = 5 %S6 2 faktor integrasi = et

perkalian PD dg faktor integrasi didapatkan: "

+ "! = 5 %S6 2 R . "T = 5 %S6 2

. " = 5 $ %S6 2 + +

%S6 2 diselesaikan dengan integral parsial rumus baku integral parsial: D E = D. E − E D jika D = dan E = %S6 2 ; E =_M678 2 , maka: $ . %S6 2 =1_{2 678 2 −}1_{2 $ 678 2}

= ⋯ −1_{2 $ 678 2} ; jika D = dan E = 678 2 E = −1_{2 %S6 2}

= ⋯ −1_{2 −}1_{2 %S6 2 +}1_{2 $ %S6 2} ! untuk penyederhanaan misalkan L = %S6 2 , maka:

L =1_{2 678 2 −}1_{2 −}1_{2 %S6 2 +}1_{2 L! =}1_{2 678 2 +}1_{4 %S6 2 −}1_{4 L} L =2_{5 678 2 +}1_{5 %S6 2}

. " = 5 $ %S6 2 + + = 5 2_{5 678 2 +}1_{5 %S6 2 ! + +} " = 2678 2 + %S6 2 + + ' _{, ( = 0) = 0, nK+K + = −1} = W[}~ W< + YZ[ W< − 9'< • = < = €YZ[ W< − W[}~ W<+ 9'< 0 1 2 3 4 5 6 7 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 sumbu waktu (t) A ru s I (t )

Arus pada Rangkaian RC Seri, E=100 cos 2t V

Program MATLAB untuk Gambar 18 sebagai berikut: %Arus pada Rangk RC seri E=100cos2t

clear all; close all; clc; t=(0:0.01:7); I=4*cos(2*t)-2*sin(2*t) plot(t,I,'r','linewidth',2) hold on I=exp(-t) plot(t,I,'b','linewidth',2) hold on I=4*cos(2*t)-2*sin(2*t)+exp(-t) plot(t,I,'k','linewidth',2)

xlabel('sumbu waktu (t)','fontsize',14)

ylabel('Arus I(t)','fontsize',14)

Latihan Soal:

1. Tentukan respon lengkap I(t) pada rangkaian RL seri, jika E=100volt, R= 100 ohm dan L=20 henry dengan I(t=0)=0! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB komponen respon lengkap I(t)!

2. Tentukan arus steady state pada rangkaian RL seri, jika E=10 sin 2t volt, R= 2 ohm dan L=2 henry! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB arus steady state I(t)!

3. Rangkaian RL seri R=8 ohm dan L=0,5 henry dihubungkan dengan sumber baterai E volt. Jika I(t=0)=0, tentukan I(t) pada:

a. E= 64 b. E= 8te-16t c. E= 32 e-8t

Gambarkan dengan bantuan program MATLAB komponen respon lengkap I(t)!

4. Tentukan I(t) pada soal nomor 3, jika E= 64 sin 8t! Tentukan mana arus keadaan steady state dan arus transiennya! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB komponen respon lengkap I(t)! 5. Tentukan arus transien pada rangkaian RL seri, jika E=10 sin 2t volt, R= 2 ohm dan L=2 henry

dengan I(t=0)=0! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB arus transien I(t)!

1.3 Rangkuman

• Untuk rangkaian RL seri, jika E(t) = E0 (konstanta), maka diperoleh model persamaan: ` +

( ). =

45

) , Penyelesaian khusus untuk syarat awal I(0) = 0 adalah ( ) = 45

(*1 − '

-. ,

• Untuk rangkaian RL seri, jika E(t) = E0 sinωt , maka dari (d) diperoleh model persamaan:

` ₊ ( ). =

45

) sin 3 , diperoleh penyelesaian/tanggapan lengkap ( ) = =>

:W_'BW_;WX: ?@A B< − B; YZ[ B< \ + C 9' : ;< • Untuk rangkaian RC seri model PD Orde Satu adalah:

"

+1_{o " = ↔} "+ 1_{o " =} atau

+1_{o $} = ↔ +_{o =}1 + 1_{o =} 1

• Untuk rangkaian RC seri, jika E= Konstanta, maka dE/dt=0, sehingga = ' ( $1 ( . 0. + +!

= +. ' -qp RC disebut konstanta waktu kapasitif

• Untuk rangkaian RC seri, jika E(t) = E0 sinωt , maka: 4= 3 %S6 3 , sehingga =_{1 + 3}3M _{M M}o_oM_M678 3 +_{1 + 3}3 o_{M MoM}%S6 3 + + ' (

1.4 Test Formatif

1. Tentukan respon lengkap I(t) pada rangkaian RL seri, jika E=10volt, R= 100 ohm dan L=200 henry dengan I(t=0)=1! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB komponen respon lengkap I(t)!

2. Tentukan arus steady state pada rangkaian RL seri, jika E=10 cos 2t volt, R= 2 ohm dan L=2 henry! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB arus steady state I(t)!

3. Rangkaian RL seri R=8 ohm dan L=0,5 henry dihubungkan dengan sumber baterai E volt. Jika I(t=0)=0, tentukan I(t) pada:

a. E= 64sin t b. E= 2e-16t c. E= t e-8t

Gambarkan dengan bantuan program MATLAB komponen respon lengkap I(t)!

4. Tentukan I(t) pada soal nomor 3, jika E= 64 sin 8t! Tentukan mana arus keadaan steady state dan arus transiennya! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB komponen respon lengkap I(t)! 5. Tentukan arus transien pada rangkaian RL seri, jika E=10 sin 2t volt, R= 2 ohm dan L=2 henry

dengan I(t=0)=0! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB arus transien I(t)!

6. Tentukan Q(t) dan I(t) pada rangkaian RC seri jika E=100volt, R= 5 ohm dan C=0,02 farad dengan Q(t=0)=5 coulomb! Gambarkan dengan bantuan program MATLAB komponen arus I(t)!

7. Jika pada RL seri, R= 50 ohm, H= 5 H E= 125 sin(t) volt Tentukan I(t) keadaan stabil! 8. Jika E= 110 cos(314t), tentukan muatan Q keadaan stabil soal nomor 9!

9 . Tentukan tegangan kapasitor pada RC seri, jika resistor R=200 ohm, kapasitor C= 0,1 farad dengan sumber baterai E= 12 volt dan kapasitor tidak bermuatan pada saat t=0 atau Q(t=0)=0!

1.5 Daftar Pustaka

[1] Sigit Kusmaryanto, Buku Ajar Matematika Teknik I,2012

[2] Kreyszig, Erwin, Matematika Teknik lanjutan. Jakarta: Gramedia, 1988. [3] Stroud, K.A., Matematika untuk Teknik. Jakarta: Penerbit Erlangga, 1987.

[4] Farlow, Stanley J., An Introduction to Diffrenential Equations and Their Applications, McGraw-Hill, Singapore, 1994

[5] Howard, P., Solving ODE in MATLAB, Fall, 2007

[6] Thompson, S., Gladwell, I., Shampine, L.F., Solving ODEs with MATLAB, Cambridge University Press, 2003