UKURAN DISPERSI
A. PENGERTIAN DISPERSI
Ukuran dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai data dari nilai-nilai pusatnya atau ukuran yang menyatakan seberapa banyak nilai-nilai-nilai-nilai data yang berbeda dengan nilai-nilai pusatnya.
B. JENIS-JENIS UKURAN DISPERSI 1. Jangkauan (Range, R)
Jangkauan atau ukuran jarak adalah selisih nilai terbesar data dengan nilai terkecil data. Cara mencari jangkauan dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.
a. Jangkauan Data Tunggal
Bila ada sekumpulan data tunggal, X1, X2, ..., Xn maka jangkauannya adalah :
Contoh:
Tentukan jangkauan data : 12, 14, 10, 8, 6, 4, 2 Penyelesaian :
Data diurutkan : 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 X7 = 14 dan X1 = 2
Jangkauan = X7 – X1 = 12 – 2 = 12
b. Jangkauan Data Berkelompok Dapat ditentukan dengan dua cara :
- Jangkauan adalah selisih titik tengah kelas tertinggi dengan titik tengah kelas terendah.
- Jangkauan adalah selisih tepi atas kelas tertinggi dengan tepi kelas terendah.
Contoh :
Tentukan jangkauan dari distribusi frekuensi berikut! Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X)
31 - 40 1 35.5 41 - 50 2 45.5 51 - 60 5 55.5 61 - 70 15 65.5 71 - 80 25 75.5 81 - 90 20 85.5 91 - 100 12 95.5 80 Penyelesaian:
Titik tengah kelas terendah = 35,5 Titik tengah kelas tertinggi = 95,5 Tepi bawah kelas terendah = 30,5 Tepi atas kelas tertinggi = 100,5 1. Jangkauan = 95,5 – 35,5 = 60
2. Jangkauan = 100,5 – 30,5 = 70
2. Jangkauan Antarkuartil dan Jangkauan Semi Interkuartil
Jangkauan antarkuartil adalah selisih antar kuartil atas (Q3) dan kuatil bawah (Q1). Dirumuskan :
1 3 Q Q JK
Jangkauan semi interkuartil adalah setengah dari selisih kuartil atas (Q3) dan kuatil bawah (Q1). Dirumuskan :
3 1
2
1 Q Q
Qd
Rumus-rumus di atas berlaku untuk data tunggal dan data berkelompok. Contoh :
a. Untuk Data Tunggal
Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuartil dari : 2,6,8,5,4,9,12 Penyelesaian: Q1 = 4 dan Q3 = 9 5 4 9 1 3 Q Q JK
12 9 4
2,5 1 3 2 1 Q Q Qdb. Untuk data Kelompok
Tentukan jangkauan antarkuartil dan jangkauan semi interkuatil distribusi frekuensi dari Tabel Nilai Ujian Statistik dari 80 mahasiswa universitas Borobudur Tahun 1997
Nilai Ujian Frekuensi (f) Titik Tengah (X)
31 - 40 1 35.5 41 - 50 2 45.5 51 - 60 5 55.5 61 - 70 15 65.5 71 - 80 25 75.5 81 - 90 20 85.5 91 - 100 12 95.5 80
5 , 68 15 8 4 80 1 10 5 , 60 1 Q
5 , 86 20 48 4 80 3 10 5 , 80 3 Q 15 5 , 68 5 , 86 1 3 Q Q JK
21 86,5 68,5
7,5 1 3 2 1 Q Q QdJangkauan antarkuartil (JK) dapat digunakan untuk menemukan data pencilan, yaitu data yang dianggap salah atau salah ukur atau berasal dari kasus yang menyimpang, karena itu perlu diteliti ulang. Data pencilan adalah data yang kurang dari pagar luar.
L = 1,5 x JK PD = Q1 – L PL = Q3 + L Keterangan: L = satu langkah PD = pagar dalam PL = pagar luar Contoh soal:
Selidikilah apakah terdapat data pencilan dari data dibawah ini! 15, 33, 42, 50, 51, 51, 53, 55, 62, 64, 65, 68, 79, 85, 97. Penyelesaian: Q1 = 50 dan Q3 = 68 JK = 68 – 50 = 18 Sehingga : L = 1,5 x 18 = 27 PD = 50 – 27 = 23 PL = 68 + 27 = 95
Pada data di atas terdapat nilai 15 dan 97 yang berarti kurang dari pagar dalam (23) atau lebih dari pagar luar (95). Dengan demikian, nilai 15 dan 97 termasuk data pencilan, karena itu perlu diteliti ulang. Adanya nilai 15 dan 97 mungkin disebabkan salah dalam mencatat, salah dalam mengukur, atau data dari kasus menyimpang.
3. Deviasi Rata-Rata (Simpangan Rata-Rata)
Deviasi rata-rata adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak simpangan-simpangannya.
a. Deviasi rata-rata data tunggal
n X X X X n DR
1Contoh soal : Tentukan deviasi rata-rata data 7,6,3,4,8,8 Penyelesaian:
ΣX = 7 + 6 + 3 + 4 + 8 + 8 = 36
Sehingga mean (rata-rata hitung) adalah : 6 6 36 X 10 6 8 6 8 6 4 6 3 6 6 6 7
Xi X 67 , 1 6 10
n X X DR ib. Deviasi rata-rata untuk data berkelompok
n X X f X X f n DR
1 Contoh :Tentukan deviasi rata-rata distribusi frekuensi berikut :
Nilai Ujian Frekuensi (f) X X X f X X
31 - 40 1 35.5 41.125 41.125 41 - 50 2 45.5 31.125 62.25 51 - 60 5 55.5 21.125 105.625 61 - 70 15 65.5 11.125 166.875 71 - 80 25 75.5 1.125 28.125 81 - 90 20 85.5 8.875 177.5 91 - 100 12 95.5 18.875 226.5 JUMLAH 80 808 Penyelesaian :
Dari contoh sebelumnya didapatkan bahwa X 76,625 1 , 10 80 808
n X X f DR4. Varians
Varians adalah nilai tengah kuadrat simpangan dari nilai simpangan rata-rata kuadrat. Varians sampel disimbolkan dengan s2. Varians populasi disimbolkan dengan σ2(sigma).
a. Varians data tunggal
Dapat digunakan dengan dua metode, yaitu metode biasa dan metode angka kasar.
1. Metode Biasa
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n 30):
2. Metode Angka Kasar
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n 30):
Contoh :
Tentukan varians dari data 2, 3, 6, 8, 11 ? Penyelesaian: n = 5
n 2 s2
1 2 s2 n 2 2 s2 n X n X
) 1 ( 2 1 2 s2 n n n X 6 5 11 8 6 3 2 XX X X
X X
2 X2 2 3 6 8 11 -4 -3 0 2 5 16 9 0 4 25 4 9 36 64 121 30 54 234 1. Metode Biasa2. Metode Angka Kasar
b. Varians data berkelompok
Untuk data berkelompok, dapat digunakan dengan tiga metode, yaitu : 1) Metode biasa,
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
b. Untuk sampel kecil (n 30):
2) Metode angka kasar
b. Untuk sampel besar (n > 30) :
c. Untuk sampel kecil (n 30):
n f 2 s2
1 2 s2 n f 2 2 2 s n fX n fX
1
2 2 2 s n n fX n fX
5 , 13 1 5 54 1 2 s2 n
13,5 1 5 5 2 30 1 5 234 ) 1 ( 2 1 2 s2 n n n3) Metode coding
a. Untuk sampel besar (n > 30) :
2 2 2 2
n fu n fu C sb. Untuk sampel kecil (n 30):
1
1 2 2 2 2
n n fu n fu C s Keterangan:C = panjang interval kelas
u = C M X C d
M = rata-rata hitung sementara
Contoh :
Tentukan Varians dari distribusi frekuensi berikut : Nilai Ujian Frekuensi (f)
31 - 40 1 41 - 50 2 51 - 60 5 61 - 70 15 71 - 80 25 81 - 90 20 91 - 100 12 JUMLAH 80 Penyelesaian :
1. Dengan Metode Biasa 625 , 76 X
Nilai Ujian Frekuensi
(f) X Χ Χ
Χ Χ
2 f
ΧΧ
2 31 - 40 1 35.5 -41.125 1691.266 1691.266 41 - 50 2 45.5 -31.125 968.766 1937.531 51 - 60 5 55.5 -21.125 446.266 2231.328 61 - 70 15 65.5 -11.125 123.766 1856.484 71 - 80 25 75.5 -1.125 1.266 31.641 81 - 90 20 85.5 8.875 78.766 1575.313 91 - 100 12 95.5 18.875 356.266 4275.188 JUMLAH 80 13598.7502. Dengan Metode Angka Kasar
Nilai Ujian Frekuensi (f) X X2 fX fX2
31 - 40 1 35.5 1260.25 35.50 1260.25 41 - 50 2 45.5 2070.25 91.00 4140.50 51 - 60 5 55.5 3080.25 277.50 15401.25 61 - 70 15 65.5 4290.25 982.50 64353.75 71 - 80 25 75.5 5700.25 1887.50 142506.25 81 - 90 20 85.5 7310.25 1710.00 146205.00 91 - 100 12 95.5 9120.25 1146.00 109443.00 JUMLAH 80 6130.00 483310.00 3. Metode coding
Nilai Ujian Frekuensi (f) X u u2 fu fu2
31 - 40 1 35.5 -4 16 -4 16 41 - 50 2 45.5 -3 9 -6 18 51 - 60 5 55.5 -2 4 -10 20 61 - 70 15 65.5 -1 1 -15 15 71 - 80 25 75.5 0 0 0 0 81 - 90 20 85.5 1 1 20 20 91 - 100 12 95.5 2 4 24 48 JUMLAH 80 35 9 137
984 , 168 80 750 , 13598 2 s2 n Χ Χ f 984 , 168 2 2 2 s n fX n fX
1
168,984 1 2 2 2 2
n n fu n fu C s5. Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Simpangan baku adalah akar dari tengah kuadrat. Simpangan Baku sampel disimbolkan dengan s. Simpangan Baku populasi disimbolkan dengan σ.
Menentukan simpangan baku : s varians
Rumus diatas berlaku untuk data tunggal dan data kelompok.
Contoh
a. Untuk data Tunggal
Tentukan simpangan baku (standar deviasi) dari data 2, 3, 6, 8, 11 ? Penyelesaian:
Dari perhitungan sebelumnya, diperoleh s2 = 13,5 Simpangan bakunya adalah:
67 , 3 5 , 13 var ians s
b. Untuk data Kelompok Contoh :
Tentukan simpangan baku dari distribusi frekuensi berikut : Nilai Ujian Frekuensi (f)
31 - 40 1 41 - 50 2 51 - 60 5 61 - 70 15 71 - 80 25 81 - 90 20 91 - 100 12 JUMLAH 80
Penyelesaian :
Dari contoh soal diatas diperoleh varian = 168,984 Sehingga simpangan baku adalah :
99 , 12 984 , 168 varians s C. KOEFISIEN VARIASI
Koefisien dispersi atau variasi yang telah dibahas sebelumnya merupakan dispersi absolut, seperti jangkauan, simpangan rata-rata, simpangan kuartil dan simpangan baku. Untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data, digunakan istilah dispersi relatif, yaitu perbandingan antara dispersi absolut dan rata-ratanya.
Dispersi relatif digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai-nilai-nilai observasi data lainnya. Koefisien variasi adalah contoh dispersi relatif.
Ada empat macam dispersi relatif, yaitu : 1. Koefisien Variasi (KV)
Jika dispersi absolut digantikan dengan simpangan bakunya maka dispersi relatifnya disebut koefisien variasi (KV).
% 100 X s KV Keterangan: KV = koefisien variasi s = simpangan baku X = rata-rata Contoh Soal:
Dari hasil penelitian 2 Sekolah Dasar Kelas 1, diketahui jumlah siswa yang menyukai matematika adalah :
Sekolah Dasar X = XA 800anak, sA 8 Sekolah Dasar Y = XB 550anak, sB 3
Penyelesaian: % 1 % 100 800 8 % 100 A A A X s KV % 55 , 0 % 100 550 3 % 100 B B B X s KV 2. Variasi Jangkauan (VR)
Variasi jangkauan adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan jangkauan.
% 100 X R VR
3. Variasi Simpangan Rata-Rata (VSR)
Variasi Simpangan Rata-Rata adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan simpangan rata-rata.
% 100 X SR VR 4. Variasi Kuartil (VQ)
Variasi Kuartil adalah dispersi relatif yang dispersi absolutnya digantikan dengan kuartil. % 100 % 100 1 3 1 3 Q Q Q Q VQ Me Qd VQ
DISPERSI ABSOLUT digunakan untuk mengetahui tingkat variabilitas nilai-nilai observasi pada suatu data, sedangkan DISPERSI RELATIF digunakan untuk membandingkan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi suatu data dengan tingkat variabilitas nilai-nilai observasi data lainnya
