Planaritas-1 Hasil Kali Leksikografik Graf

(1)

Jurnal Ilmiah Matematika

Volume 3 No.6 Tahun 2017

ISSN 2301-9115

PLANARITAS-1 HASIL KALI LEKSIKOGRAFIK GRAF Novi Dwi Pratiwi

(S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya) e-mail:novid087@gmail.com

Prof. Drs. I Ketut Budayasa, Ph.D.

(Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya) e-mail : ketutbudayasa@yahoo.com

Abstrak

Graf planar-1 pertama kali diperkenalkan pada tahun 1965 oleh Ringel membahas masalah pewarnaan titik dan muka pada graf bidang. Sebuah graf 𝐺 disebut planar-1 jika 𝐺 dapat digambar pada bidang datar sehingga setiap sisi yang terpotong paling banyak dipotong oleh satu sisi lainnya. Hasil kali leksikografik merupakan salah satu operasi yang digunakan dalam graf planar-1. Hasil kali leksikografik dua graf 𝐺 dan 𝐻, dilambangkan dengan 𝐺 ○ 𝐻 adalah sebuah graf yang himpunan titiknya adalah hasil kali kartesian 𝑉(𝐺) × 𝑉(𝐻) dan dua titik (𝑢, 𝑣) dan (𝑥, 𝑦) berhubungan langsung di 𝐺 ○ 𝐻 jika dan hanya jika 𝑢 berhubungan langsung dengan 𝑥 di 𝐺 atau 𝑢 = 𝑥 dan 𝑣 berhubungan langsung dengan 𝑦 di 𝐻. Diungkap beberapa kelas graf 𝐺 dan 𝐻 sedemikian hingga 𝐺 ○ 𝐻 planar-1 atau 𝐺 ○ 𝐻 bukan planar-1.

Kata Kunci : graf planar-1, hasil kali leksikografik

.

Abstract

1-planar graph introduced in 1965 by Ringel in connection with simultaneous vertex-face colorings of plane graphs. A graph 𝐺 is called 1-planar if 𝐺 can be drawn in the plane so that each edge is crossed by at most one other edge. The lexicographic product is the one of the operations used in 1-planar graph. The lexicographic product of two graphs 𝐺 and 𝐻, denoted by 𝐺 ○ 𝐻 is a graph such that the vertex set of 𝐺 ○ 𝐻 is the cartesian product 𝑉(𝐺) × 𝑉(𝐻) and two vertices (𝑢, 𝑣) and (𝑥, 𝑦) are adjacent in 𝐺 ○ 𝐻 if and only if either 𝑢 is adjacent to 𝑥 in 𝐺 or 𝑢 = 𝑥 and 𝑣 is adjacent to 𝑦 in 𝐻. In this paper we establish some classes of graphs 𝐺 and 𝐻 such that 𝐺 ○ 𝐻 is 1-planar or 𝐺 ○ 𝐻 is non 1-planar graph.

Keywords: 1-planar graph, lexicographic product.

PENDAHULUAN

Graf planar merupakan graf yang dapat digambar dalam bidang tanpa memotong sisi. Graf planar merupakan salah satu bagian dari graf planar-1. Graf planar-1 merupakan graf yang dapat digambar pada bidang datar sehingga setiap sisi yang terpotong paling banyak dipotong oleh satu sisi lainnya. Aplikasi pada graf planar-1 salah satunya dapat diterapkan pada petugas pemadam kebakaran dalam memadamkan api yang terletak pada pembagian posisi manfire dalam memilih titik atau tempat untuk memadamkan api. Manfire

harusmencari titik yang aman dan tidak terjangkau oleh api. Dengan menerapkan konsep graf planar-1, setiap sisi dapat dipadamkan oleh satu atau dua

manfire, sehingga hanya ada maksimal satu cross penyemprotan api. Hal ini membuat proses memadamkan api dapat berlangsung dengan cepat dan efisien tanpa membahayakan manfire.

Graf planar-1 dapat dioperasikan dengan hasil kali leksikografik yang melibatkan dua graf, yaitu

graf 𝐺 dan graf 𝐻. Hasil kali leksikografik merupakan bagian dari perkalian kartesius. Hasil kali leksikografik adalah sebuah graf yang himpunan titiknya adalah hasil kali kartesius 𝑉(𝐺) × 𝑉(𝐻) dan dua titik (𝑢, 𝑣) dan (𝑥, 𝑦) berhubungan langsung di 𝐺 ○ 𝐻 jika dan hanya jika 𝑢 berhubungan langsung dengan 𝑥 di 𝐺 atau 𝑢 = 𝑥 dan 𝑣 berhubungan langsung dengan 𝑦 di 𝐻. Pada skripsi ini akan dibahas hasil kali leksikografik 𝐺 ○ 𝐻 dari dua graf 𝐺 dan 𝐻 dalam planar-1. Sebagai tambahan, akan diperkenalkan beberapa operasi pada graf.

LANDASAN TEORI A. Definisi 2.1 (Graf) :

Sebuah graf 𝐺 berisikan dua himpunan yaitu himpunan berhingga tak kosong 𝑉(𝐺) dari objek-objek yang disebut titik dan himpunan berhingga (mungkin kosong) 𝐸(𝐺) yang elemen-elemennya disebut sisi sedemikian hingga setiap elemen 𝑒 dalam 𝐸(𝐺) merupakan pasangan tak berurutan titik-titik di 𝑉(𝐺).

(2)

B. Definisi 2.2 (Jalan)

Misalkan 𝐺 adalah sebuah graf. Sebuah jalan (walk)

di 𝐺 adalah sebuah barisan berhingga (tak kosong) 𝑊 = (𝑣0, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣2… , 𝑒𝑘𝑣𝑘) suku-sukunya bergantian titik dan sisi, sedemikian hingga 𝑣_𝑖−1dan 𝑣𝑖 adalah titik-titik akhir sisi 𝑒𝑖, untuk 1 ≤ 𝑖  k . Kita katakan 𝑊 adalah sebuah jalan dari 𝑣₀ ke titik 𝑣𝑘, atau jalan-(𝑣0, 𝑣𝑘).

(Budayasa, 2007) C. Definisi 2.3 (Lintasan)

Misalkan𝑊 = (𝑣₀, 𝑒₁, 𝑣₁, 𝑒₂, 𝑣₂, … , 𝑒_𝑘, 𝑣_𝑘) sebuah jalan di 𝑊. Jika semua sisi dan semua titik dalam jalan 𝑊 berbeda maka 𝑊 disebut lintasan (path). Lintasan dengan panjang 𝑛 dinotasika dengan 𝑃_𝑛, untuk 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑘.

(Budayasa, 2007) D. Definisi 2.4 (Sikel)

Misalkan 𝑊 = (𝑣₀, 𝑒₁, 𝑣₁, 𝑒₂, 𝑣₂, … , 𝑒_𝑘−1, 𝑣_𝑘−1, …, 𝑒𝑘, 𝑣𝑘) adalah sebuah jejak tertutup (closed trail) di 𝐺, maka 𝑊 disebut sikel jika titik awal dan semua titik internalnya berbeda.

(Budayasa, 2007) E. Definisi 2.5 (Graf Komplet (𝑲_𝒏))

Sebuah Graf Komplet dengan 𝑛 titik, dilambangkan dengan 𝐾_𝑛 adalah graf sederhana dengan 𝑛 titik dan setiap dua titik berbeda dihubungkan dengan sebuah sisi.

(Budayasa, 2007) F. Definisi 2.6 (Graf Bipartit dan Graf Bipartit

Komplet (𝑲_𝒎,𝒏))

Sebuah graf 𝐺 disebut graf bipartit jika himpunan titik 𝐺 dapat dipartisi menjadi dua himpunan bagian A dan B sedemikian hingga setiap sisi dari 𝐺 menghubungkan sebuah titik di A dan sebuah titik di B, dilambangkan dengan 𝐺(𝐴, 𝐵) . (A,B) bipartit dari 𝐺.

(Budayasa, 2007) G. Definisi 2.7 (Graf Bidang )

Sebuah graf 𝐺(𝑉, 𝐸) disebut graf bidang jika 𝑉 himpunan titik dan 𝐸 himpunan sisi pada bidang. Setiap sisi paling banyak terdiri dari dua titik dan titik itu adalah titik akhir sisi tersebut. Tidak ada sisi-sisi yang saling berpotongan kecuali mungkin pada titik-titik akhir sisi-sisi tersebut.

(Budayasa, 2007) H. Definisi 2.8 (Graf Planar)

Graf 𝐺 disebut graf planar jika 𝐺 isomorfik dengan graf bidang. Graf bidang yang disisipkan pada graf planar 𝐺 disebut pajangan.

(Budayasa, 2007) I. Definisi 2.9 (Graf Planar-1)

Sebuah graf 𝐺 disebut planar-1 jika 𝐺 dapat digambar pada bidang datar sehingga setiap sisi terpotong oleh paling banyak satu sisi lainnya.

Jika 𝐻 subgraf dari 𝐺 dan 𝐻 tidak planar-1, maka 𝐺 tidak planar-1.

(Jozef dan Czap, 2015) J. Definisi 2.10 Bilangan penyilang ( crossing number)

Sebuah Graf

Misalkan 𝐺 sebuah graf. Bilangan penyilang (crossing number) graf 𝐺 dilambangkan dengan 𝐶𝑟(𝐺), adalah minimum banyak titik silang antara dua sisi 𝐺 yang digambarkan pada bidang datar

.

Jika 𝐺 graf planar-1 maka maksimum banyaknya titik silang dalam pajangan planar-1 𝐺 dalam bidang datar dilambangkan dengan 𝐶_𝑟₁(𝐺).

(Czap dan Hudak, 2011) Lemma 2.1 :

Jika 𝐺 graf dengan |𝑉(𝐺)| = 4, maka 𝐺 + 𝐺 graf planar-1 jika dan hanya jika 𝐺 ⊆ 𝐶₄. ∎

(Czap, Hudak, Madaras. 2014) Teorema 2.2 :

𝑪𝒓(𝑲𝒎,𝒏) = ⌊𝟏_𝟐𝒎⌋ ⌊𝟏_𝟐(𝒎 − 𝟏)⌋ ⌊𝟏_𝟐𝒏⌋ ⌊𝟏_𝟐(𝒏 − 𝟏)⌋ ∎ (zarankiewicz, dalam D.J Kleitman) 1. Definisi 2.1 (Join Graf)

Misalkan 𝐺 dan 𝐻 dua graf yang lepas titik. Join graf dari 𝐺 dan 𝐻 dilambangkan dengan 𝐺 + 𝐻 adalah graf yang himpunan titiknya 𝑉(𝐺) ∪ 𝑉(𝐻) dan himpunan sisinya adalah 𝐸(𝐺) ∪ 𝐸(𝐻) dan digabung dengan himpunan sisi yang menghubungkan titik-titik di 𝑉(𝐺) dan titik-titik di 𝑉(𝐻).

(Jozef and Czap, 2015) 2. Definisi 2.2 (Gabungan Terpisah)

Misal ada dua graf 𝐺 dan 𝐻 dimana himpunan V(G) dan V(H) saling asing begitu juga himpunan E(G) dan E(H) maka gabungan graf dinotasikan 𝐺 ∪ 𝐻 adalah graf yang mempunyai himpunan titik V(𝐺 ∪ 𝐻) = V(𝐺) ∪ 𝑉(𝐻) dan himpunan sisi E(𝐺 ∪ 𝐻) = E(𝐺) ∪ 𝐸(𝐻).

(Jozef and Czap, 2015) 1. Teorema 2.3 Teorema Jabat Tangan

Jika 𝐺 sebuah graf, maka ∑_{𝑣𝜖𝑉(𝐺)}𝑑(𝑣) = 2|𝐸(𝐺)|∎ 2. Teorema 2.4 Formula Euler

Jika 𝐺 graf bidang terhubung, maka |𝑉(𝐺)| − |𝐸(𝐺)| + |𝐹(𝐺)| = 2 ∎

Catatan: Formula Euler tidak berlaku untuk graf bidang tak terhubung

Teorema 2.5 (Akibat Formula Euler)

Jika 𝐺 graf planar sederhana dengan |𝐸(𝐺)| > 1, maka |𝐸(𝐺)| ≤ 3|𝑉(𝐺)| − 6∎

(Budayasa, 2007) PEMBAHASAN

A. Definidi 3.1 (Hasil Kali Leksikografik Graf) Hasil kali leksikografik dua graf 𝐺 dan 𝐻, dilambangkan dengan 𝐺 ○ 𝐻 adalah sebuah graf yang himpunan titiknya adalah hasil kali kartesian 𝑉(𝐺) ×

(3)

𝑉(𝐻) dan dua titik (𝑢, 𝑣) dan (𝑥, 𝑦) berhubungan langsung di 𝐺 ○ 𝐻 jika dan hanya jika 𝑢 berhubungan langsung dengan 𝑥 di 𝐺 atau 𝑢 = 𝑥 dan 𝑣 berhubungan langsung dengan 𝑦 di 𝐻.

(Jozef dan Czap, 2015)

Definisi 3.2 :

Misalkan 𝐺 sebuah graf planar-1 dan 𝐺₁ adalah pajangan planar-1 𝐺. Misalkan (𝑢, 𝑣), (𝑥, 𝑦) sisi 𝐺 yang saling lepas. Perpotongan antara sisi (𝑢, 𝑣) dan (𝑥, 𝑦) adalah titik persekutuan sisi (𝑢, 𝑣) dan (𝑥, 𝑦) pada 𝐺₁. Misalkan himpunan semua titik silang (perpotongan) pada graf pajangan 𝐺₁dilambangkan dengan 𝐶 = 𝐶(𝐺₁) dan 𝐸₀ adalah himpunan sisi-sisi 𝐺1 yang tidak berpotongan. Bentuk (kontruksi) graf 𝐺1∗ sedemikian hingga 𝑉(𝐺1∗) = 𝑉(𝐺) ∪ 𝐶 dan himpunan sisi dari 𝐺₁∗ adalah 𝐸(𝐺₁∗) = 𝐸₀∪ {𝑢𝑡, 𝑣𝑡|𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺1− 𝐸0), 𝑡 ∈ 𝐶, 𝑡 ∈ 𝑢𝑣}.

Jelas bahwa 𝐺₁∗ adalah graf bidang dan setiap titik di 𝐶 berderajat empat di 𝐺₁∗. Selanjutnya kita sebut titik ini sebagai titik “semu” dan semua titik di 𝐺1∗ yang lain adalah titik-titik yang sesungguhnya di 𝐺1, begitu juga sisi-sisi dan muka-muka di 𝐺1∗ dinamakan sisi dan muka semu jika sisi-sisi dan muka-muka tersebut terkait dengan sebuah titik semu, sedangkan sisi dan muka yang lainnya dinamakan sisi-sisi dan muka-muka sesungguhnya.

(Czap dan Hudak, 2012) Definisi 3.3

Sebuah graf bidang yang setiap muka berderajat tiga disebut graf bidang-triangulasi.

(Czap dan Hudak, 2013) Teorema 3.4 :

Untuk setiap graf dengan 𝑚 sisi, 𝐶_𝑟₁(𝐺) ≤ ⌊𝑚 2⌋ dengan 𝑚=banyak sisi.

(Czap dan Hudak, 2011) Lemma 3.5

Misalkan 𝐺 graf planar-1. Maka 𝐶𝑟(𝐺) ≤ 𝑚𝑎𝑥𝐶𝑟1(𝐺)

Jika 𝐺 graf bidang triangulasi dengan 𝑛 titik, maka |𝐹(𝐺)| = 2𝑛 − 4

Misalkan 𝐺 graf planar-1. Jika 𝐺₁ adalah pajangan planar-1 dari 𝐺 dan 𝐶 adalah himpunan silang pada 𝐺1, maka

𝑐 ≤ 𝑛 − 2

Jika 𝐺 sebuah graf planar-1 maka |𝐸(𝐺)| ≤ 4|𝑉(𝐺)| − 8.

(Fabrici dan Madaras , 2007) Akibat 3.9 :

Jika 𝐺 graf planar-1, maka 𝛿(𝐺) ≤ 7. Akibat 3.10 :

Jika 𝑛 ≥ 7 maka graf komplet 𝐾_𝑛 bukan graf planar-1.

Akibat 3.11 :

Jika 𝑛, 𝑚 ≥ 5 maka graf bipartit komplet 𝐾_𝑚,𝑛 bukan graf planar-1.

Jika 𝐺₁, 𝐺₂ dan 𝐺₃ graf, maka (𝐺₁∪ 𝐺₂) ○ 𝐺₃=

(𝐺1○ 𝐺3) ∪ (𝐺2○ 𝐺3). ∎

Lemma 3.13 :

Graf 𝐺 ∪ 𝐻 planar-1 jika dan hanya jika 𝐺 dan 𝐻 planar-1.

Akibat 3.14 :

Jika 𝐺₁, 𝐺₂ dan 𝐺₃ graf, maka (𝐺₁∪ 𝐺₂) ○ 𝐺₃ planar-1 jika dan hanya jika graf 𝐺₁○ 𝐺₃ planar-1 dan graf 𝐺₂○ 𝐺₃ planar-1.

Bukti:

Karena 𝐺₁○ 𝐺₃ dan 𝐺₂○ 𝐺₃ graf planar-1, maka berdasarkan definisi gabungan dua graf (Definisi 2.5),

(𝐺1○ 𝐺3) ∪ (𝐺2○ 𝐺3) adalah graf planar-1 Berdasarkan Lemma 3.12,

(𝐺1∪ 𝐺2) ○ 𝐺3= (𝐺1○ 𝐺3) ∪ (𝐺2○ 𝐺3) Akibatnya,

(𝐺1∪ 𝐺2) ○ 𝐺3 graf planar-1

Andaikan 𝐺₁○ 𝐺₃ bukan planar-1 atau 𝐺₂○ 𝐺3 bukan planar-1 maka berdasarkan definisi gabungan dua graf (Definisi 2.5)

(𝐺1○ 𝐺3) ∪ (𝐺2○ 𝐺3) bukan planar-1. Berdasarkan Lemma 3.12, (𝐺1○ 𝐺3) ∪ (𝐺2○ 𝐺3) = (𝐺1∪ 𝐺2) ○ 𝐺3 Akibatnya (𝐺1∪ 𝐺2) ○ 𝐺3 bukan planar-1 ∎ Lemma 3.15 :

Misalkan 𝐻 sebuah graf. Graf 𝑃₁○ 𝐻 adalah graf planar-1 jika dan hanya jika 𝐻 planar-1.

Bukti:

Misalkan 𝐻 graph planar-1 maka berdasarkan Definisi 3.1, 𝑃₁○ 𝐻 isomorfik dengan 𝐻.

Akibatnya, 𝑃₁○ 𝐻 planar-1.

Misalkan 𝐻 bukan graph planar-1, karena 𝑃₁○ 𝐻 isomorfik dengan 𝐻, maka 𝑃₁○ 𝐻 bukan planar-1. ∎ Lemma 3.16 :

Jika 𝐺 sebuah graf dengan paling sedikit lima titik, maka 𝑃₂○ 𝐺 tidak planar-1. Bukti:

Karena |𝑉(𝐺)| ≥ 5 maka 𝐺 memuat 5𝑃₁ sebagai graf bagiannya. Akibatnya 𝑃₂○ 5𝑃₁ subgraf dari 𝑃₂○ 𝐺. Berdasarkan Definisi 3.1, 𝑃₂○ 5𝑃₁= 𝐾_5,5

Berdasarkan Akibat 3.11, 𝐾_5,5 bukan planar-1. Akibatnya graf 𝑃₂○ 𝐺 bukan planar-1. ∎ Lemma 3.17 :

(4)

Misalkan 𝐺 graf dengan |𝑉(𝐺)| ≤ 4. Graf 𝑃₂○ 𝐺 planar-1 jika dan hanya jika 𝐺 subgraf dari 𝐶₄ atau 𝐺 subgraf dari 𝐶₃.

Bukti :

Berdasarkan Definisi 2.3 dan 3.1, jelas bahwa 𝑃₂○ 𝐺 = 𝐺 + 𝐺. Jika 𝐺 ⊆ 𝐶₄, berdasarkan Lemma 2.1, graf 𝐺 + 𝐺 planar-1. Jika 𝐺 ⊆ 𝐶₃, maka graf 𝑃₂○ 𝐺 ⊆ 𝐾6. Berdasarkan Akibat 3.10, 𝐾6 graf planar-1, sehingga 𝑃₂○ 𝐺 planar-1.

Misal 𝐺 ⊈ 𝐶₄ dan 𝐺 ⊈ 𝐶₃, maka |𝑉(𝐺)| ≥ 4. Jika |𝑉(𝐺)| = 4, berdasarkan Lemma 2.1, 𝑃₂○ 𝐺 bukan planar-1. Jika |𝑉(𝐺)| ≥ 5, maka

|𝐸(𝑃2○ 𝐺)| = |𝐸(𝑃2)| × |𝑉(𝐺)|2+ |𝑉(𝑃2)| × |𝐸(𝐺)|

= |𝑉(𝐺)|2_{+ 2. |𝐸(𝐺)|} > 8|𝑉(𝐺)| − 8

= 4(|𝑉(𝑃2)| × |𝑉(𝐺)|) − 8 Sehingga berdasarkan Teorema 3.8, graf 𝑃₂○

𝐺 bukan planar-1. ∎

Lemma 3.18 :

Jika 𝑛 ≥ 5, maka graf 𝐾_𝑛,4 bukan graf planar-1. Lemma 3.19 :

Graf 𝑃₃○ 4𝑃₁ adalah bukan graf planar-1. Bukti :

Berdasarkan Definisi 3.1, 𝑃₃○ 4𝑃₁= 𝐾_4,8.

Berdasarkan Lemma 3.18, graf 𝐾_4,8 bukan planar-1. Akibatnya 𝑃₃○ 4𝑃₁ adalah bukan planar-1. ∎ Akibat 3.20 :

Jika 𝐺 adalah graf terhubung dengan paling sedikit tiga titik dan 𝐻 adalah graf dengan paling sedikit empat titik, maka 𝐺 ○ 𝐻 bukan graf planar-1.

Bukti :

Karena |𝑉(𝐺)| ≥ 3, maka 𝐺 memuat 𝑃₃ sebagai subgrafnya.

|𝑉(𝐻)| ≥ 4, maka 𝐻 memuat 4𝑃₁ sebagai subgrafnya.

Akibatnya 𝑃₃○ 4𝑃₁ subgraf 𝐺 ○ 𝐻. Berdasarkan Lemma 3.19 𝑃₃○ 4𝑃₁ bukan planar-1, maka 𝐺 ○ 𝐻

bukan planar-1. ∎

Lemma 3.21 :

Jika 𝑛 ≥ 7, maka graf bipartit komplet 𝐾_𝑛,3 bukan graf planar-1.

Misal 𝐺 graf terhubung dengan paling sedikit tiga titik dan misal 𝐻 adalah sebuah graf dengan tiga titik. Jika derajat maksimum 𝐺 paling sedikit tiga, maka 𝐺 ○ 𝐻 bukan graf planar-1.

Bukti :

Karena |𝑉(𝐺)| ≥ 3 dan ∆(𝐺) ≥ 3, maka 𝐺 memuat 𝐾1,3 sebagai subgrafnya. |𝑉(𝐻)| = 3, maka 𝐻 memuat 3𝑃₁ sebagai subgrafnya. Akibatnya 𝐾_1,3○ 3𝑃1= 𝐾3,9, berdasarkan Lemma 3.21, graf 𝐾3,9

bukan planar-1. Karena 𝐾_3,9 subgraf dari 𝐺 ○ 𝐻 maka 𝐺 ○ 𝐻 bukan graf planar-1. ∎ Akibat 3.23 :

Jika 𝐺 adalah graf terhubung dengan paling sedikit tiga titik, 𝐻 adalah sebuah graf dengan tiga titik dan 𝐺 ○ 𝐻 adalah planar-1, maka 𝐺 adalah sebuah sikel

atau lintasan.

Bukti :

Karena 𝐺 ○ 𝐻 planar-1, maka berdasarkan Lemma 3.22 ∆(𝐺) ≤ 2. Akibatnya karena 𝐺 terhubung maka 𝐺 berupa sikel atau lintasan.

Teorema 3.24 :

Setiap graf planar-1 dengan 𝑛 titik diperoleh dari sebuah graf planar dengan menambahkan paling banyak 𝑛 − 2 sisi.

Jika 𝐺 graf bipartit planar-1, maka |𝐸(𝐺)| ≤ 3|𝑉(𝐺)| − 6.

Misalkan 𝐶_𝑛 adalah sebuah sikel dengan 𝑛 titik dan 𝐺 sebuah graf dengan tiga titik, maka 𝐶_𝑛○ 𝐺 bukan graf planar-1.

Bukti :

Cukup dibuktikan bahwa graf 𝐶_𝑛○ 3𝑃₁ bukan planar-1. Ditinjau dengan dua kasus, 𝑛 genap dan 𝑛 ganjil. Kasus 1 : 𝑛 genap

Berdasarkan Definisi 3.1 𝐶_𝑛○ 3𝑃₁ graf bipartisi dan setiap titik berderajat enam.

Karena graf 𝐶_𝑛○ 3𝑃₁ graf bipartisi dan planar-1, berdasarkan Teorema 3.25

Misalkan 𝑣_𝑖,𝑗, 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 − 1, 𝑗 = 0, 1, 2 adalah titik-titik dari graf 𝐶_𝑛○ 3𝑃₁ sedemikian hingga 𝑣_𝑖,𝑗 berhubungan langsung ke titik-titik 𝑣𝑖+1,𝑗,𝑣𝑖+1,𝑗+1, 𝑣𝑖+1,𝑗+2, 𝑣𝑖−1,𝑗, 𝑣𝑖−1,𝑗+1 dan 𝑣𝑖−1,𝑗+2 dimana indeks 𝑖 diambil modulo 𝑛 dan indeks 𝑗 diambil modulo tiga.

Andaikan 𝐶_𝑛○ 3𝑃₁ planar-1. Pertama kita tunjukkan bahwa setiap subgraf 𝐺_𝑖 dari graf 𝐶_𝑛○ 3𝑃₁ yang dibangun oleh sembilan titik-titik 𝑣𝑖−1,0, 𝑣𝑖−1,1, 𝑣𝑖−1,2, 𝑣𝑖,0, 𝑣𝑖,1, 𝑣𝑖,2, 𝑣𝑖+1,0, 𝑣𝑖+1,1, 𝑣𝑖+1,2 memiliki tepat enam silang dalam setiap pajangan planar-1 dari 𝐶_𝑛○ 3𝑃₁, ∀𝑖 = 0, … , 𝑛 − 1. Perhatikan bahwa 𝐺_𝑖 memuat 𝐾_3,6 sebagai subgraf ∀𝑖 = 0, … , 𝑛 − 1. Berdasarkan Teorema 3.6 𝐺_𝑖 memuat

(5)

paling sedikit enam silang. Tanpa menghilangkan keumuman misalkan 𝐺_𝑖 pajangan planar-1 dari 𝐶_𝑛○ 3𝑃1 yang memiliki paling sedikit tujuh silang, karena graf-graf 𝐺_𝑖 untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 2 adalah pisah sisi maka secara keseluruhannya graf-graf tersebut memuat paling sedikit 7 + 6.𝑛−3

2 = 3𝑛 − 2 silang. Lebih lanjut enam buah titik yaitu 𝑣0,0, 𝑣0,1, 𝑣0,2, 𝑣𝑛−1,0, 𝑣𝑛−1,1, 𝑣𝑛−1,2 membangun subgraf yang berupa 𝐾_3,3, karena 𝐾_3,3 bukan planar maka pajangannya pasti memuat sebuah silang. Akibatnya jika 𝐺₁ memiliki paling sedikit tujuh silang, maka pajangan planar-1 dari 𝐺 ○ 3𝑃₁ memiliki paling sedikit 3𝑛 − 2 + 1 = |𝑉(𝐺 ○ 3𝑃₁) − 1 silang. Berdasarkan Teorema 3.4 pajangan 𝐺 ○ 3𝑃₁ memiliki paling banyak |𝑉(𝐺 ○ 3𝑃₁)| − 2 (kontradiksi). Ini berarti 𝐺₁ tidak boleh memiliki lebih dari enam silang.

Akibatnya jika subgraf dari 𝐺 ○ 3𝑃₁ yang dibangun oleh enam titik 𝑣𝑖,0, 𝑣𝑖,1,𝑣𝑖,2 , 𝑣𝑖+1,0,𝑣𝑖+1,1,𝑣𝑖+1,2 memiliki 𝑘 buah silang, maka subgraf yang dibangun oleh titik-titik 𝑣𝑖+1,0,𝑣𝑖+1,1,𝑣𝑖+1,2𝑣𝑖+2,0,𝑣𝑖+2,1,𝑣𝑖+2,2 memiliki 6 − 𝑘 silang. Jika subgraf yang dibangun oleh 𝑣0,0, 𝑣0,1,𝑣0,2 , 𝑣1,0, 𝑣1,1,𝑣1,2 memiliki 𝑘 silang. Akibatnya 𝐺₀ memiliki 𝑘 + 𝑘 = 6 silang, sehingga 𝑘 = 3. Dari sini diperoleh bahwa setiap subgraf dari

𝐺 ○ 3𝑃1 yang dibangun oleh

𝑣𝑖,0, 𝑣𝑖,1,𝑣𝑖,2 , 𝑣𝑖+1,0,𝑣𝑖+1,1,𝑣𝑖+1,2 memiliki tiga silang untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1, akibatnya setiap pajangan planar-1 dari 𝐶_𝑛○ 3𝑃₁ mempunyai 3𝑛 = |𝑉(𝐶𝑛○ 3𝑃1)| > |𝑉(𝐶𝑛○ 3𝑃1)| − 2 silang. Hal ini kontradiksi karena berdasarkan Teorema 3.21 banyak silang pada pajangan 𝐶𝑛○ 3𝑃1≤ |𝑉(𝐶𝑛○ 3𝑃1)| − 2. ∎ Lemma 3.27 :

Misal 𝑃_𝑛 sebuah lintasan dengan 𝑛 titik, 𝑛 ≥ 1 dan 𝐺 sebuah graf dengan paling banyak tiga titik, maka graf 𝑃_𝑛○ 𝐺 adalah planar-1.

Bukti :

Graf sederhana 𝐺 dengan tiga titik ada empat graf yang non isomorfik yang mempunyai tiga titik yaitu seperti tampak pada gambar berikut

Sehingga dalam hal ini cukup ditunjukkan bahwa 𝑃𝑛○ 𝐶3 adalah graf planar-1.

Pada pajangan 𝑃_𝑛○ 𝐶₃ tampak bahwa ada 𝑛 segitiga atau 𝐶₃ (yang berkorespondensi) dengan 𝑛 titik pada 𝑃_𝑛) yang dibentuk oleh titik-titik 𝑉_𝑖,0, 𝑉_𝑖,1, dan 𝑉_𝑖,2 untuk 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 − 1. ∎ Lemma 3.28 :

Jika 𝑆_𝑛 sebuah bintang dengan 𝑛 titik dan 𝑃₂ adalah sebuah lintasan dengan dua titik, maka 𝑆_𝑛○ 𝑃₂ adalah graf planar.

Bukti :

Misalkan 𝑢 titik pusat dari bintang 𝑆_𝑛 dan misalkan 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑛−1 adalah titik-titik yang lain dari 𝑆𝑛. Berdasarkan pajangan dari 𝑆_𝑛○ 𝑃₂ tampak tidak ada

sisi yang saling silang, sehingga 𝑆_𝑛○ 𝑃₂ graf

planar-1. ∎

Teorema 3.29 :

Jika 𝑇_𝑛 sebuah pohon dengan 𝑛 titik dan 𝑃₂ adalah lintasan dengan dua titik, maka 𝑇_𝑛 ○ 𝑃₂ adalah planar.

Bukti : (induksi pada 𝑛)

Untuk 1 < 𝑛 ≤ 3 maka 𝑇_𝑛 adalah 𝑆_𝑛. Sehingga berdasarkan Lemma 3.27 𝑇_𝑛 ○ 𝑃₂= 𝑆_𝑛 ○ 𝑃₂ adalah graf planar.

Asumsikan pernyataan benar untuk 3 < 𝑛 ≤ 𝑘, pikirkan pohon dengan 𝑘 + 1 titik yaitu 𝑇_𝑘+1. Maka 𝑇_𝑘+1 memuat paling sedikit dua titik berderajat satu. Misalkan 𝑣 sebuah titik yang berderajat satu di 𝑇𝑘+1. Maka graf 𝑇𝑘+1− {𝑣} adalah berupa pohon dengan 𝑘 titik, namakan 𝑇₁. Berdasarkan asumsi 𝑇1 ○ 𝑃2 adalah graf planar. Pikirkan pajangan dari 𝑇1 ○ 𝑃2, akan dicari pajangan 𝑇𝑘+1 ○ 𝑃2 dengan cara sebagai berikut. Misalkan 𝑢 titik yang berhubungan langsung dengan 𝑣 di pohon 𝑇_𝑘+1 tambahkan sebuah sisi 𝑒_𝑣 (yang berkorespondensi dengan titik 𝑣) pada sebuah muka dari pajangan 𝑇₁ ○ 𝑃₂ yang terkait dengan sisi 𝑒_𝑢 yang berkorespondensi dengan 𝑢 di 𝑇𝑘+1 atau di 𝑇1. Selanjutnya kita hubungkan titik-titik akhir dari sisi 𝑒_𝑣 dengan titik-titik akhir dari 𝑒_𝑢.

Maka pajangan dari 𝑇_𝑘+1 ○ 𝑃₂ tidak ada sisi-sisi yang saling silang sehingga 𝑇_𝑘+1 ○ 𝑃₂ graf

planar. ∎

Lemma 3.30 :

Jika 𝐶_𝑛 adalah sikel dngan 𝑛 titik, maka 𝐶_𝑛○ 𝑃₂ memiliki sebuah pajangan planar-1 sedemikian hingga sisi-sisi 𝐶_𝑛○ 𝑃₂ yang berkorespondensi dengan titik-titik 𝐶_𝑛 tidak saling berpotongan. Bukti :

Dengan mengkontruksi sebuah pajangan planar-1 dari 𝐶_𝑛○ 𝑃₂ untuk 𝑛 genap dan 𝑛 ganjil terlihat bahwa sisi-sisi dari 𝐶_𝑛○ 𝑃₂ yang berkorespondensi dengan sisi-sisi di 𝐶_𝑛 (yang digambar tebal) tidak ada yang saling silang dan setiap sisi dipotong oleh satu

sisi yang lain. ∎

Definisi 3.31 (Kaktus) :

Jika 𝐺 graf terhubung dan setiap sisi termuat dalam paling banyak satu sikel maka 𝐺 dikatakan sebuah kaktus.

(Jozef dan Czap, 2015) Teorema 3.32

Jika 𝐺 adalah kaktus, maka 𝐺 ○ 𝑃₂ memiliki pajangan planar-1 sedemikian hingga sisi-sisi 𝐺 ○ 𝑃₂ yang berkorespondensi dengan titik-titik 𝐺 tidak saling berpotongan.

Bukti : (induksi pada |𝑉(𝐺)| = 𝑛)

Jika 𝐺 sebuah pohon, berdasarkan Teorema 3.29, 𝐺 ○ 𝑃2 merupakan graf planar. Sehingga 𝐺 ○ 𝑃2 memiliki pajangan yang merupakan graf bidang. Jika 𝐺 adalah sebuah sikel, berdasarkan Lemma 3.30, 𝐺 ○ 𝑃2 memiliki pajangan planar-1 sedemikian hingga

𝑒

𝑢

𝑒

𝑢

(6)

sisi-sisi 𝐺 ○ 𝑃₂ yang berkorespondensi dengan titik di 𝐺 tidak berpotongan.

andaikan 𝐺 memuat titik pedal (titik berderajat satu) namakan 𝑣 dan 𝑣 berhubungan langsung dengan 𝑥 di 𝐺. Jelas bahwa 𝐺 − {𝑣} graf kaktus. Sehingga berdasarkan asumsi (𝐺 − {𝑣}) ○ 𝑃₂ memiliki pajangan planar-1 sedemikian hingga sisi-sisi (𝐺 − {𝑣}) ○ 𝑃₂ yang berkorespondensi dengan titik 𝐺 − {𝑣} tidak saling berpotongan. Pajangan planar-1 dari (𝐺 − {𝑣}) ○ 𝑃₂ dapat diperluas ke pajangan planar-1 𝐺 ○ 𝑃₂ dengan cara sebagai berikut. Dalam salah satu daerah pada pajangan planar-1 (𝐺 − {𝑣}) ○ 𝑃₂ yang memuat sisi 𝑒_𝑢 yaitu sisi yang berkorespondensi dengan titik 𝑢 di 𝐺 − {𝑣}. Gambarkan sisi 𝑒_𝑣

dari 𝐺 ○ 𝑃₂ yang berkorespondensi dengan titik 𝑣 di 𝐺. Kemudian hubungkan titik-titik akhir 𝑒_𝑣 dengan titik-titik akhir 𝑒_𝑢. Seperti tampak pada ilustrasi berikut:

Dengan cara seperti itu diperoleh pajangan planar-1 dari 𝐺 ○ 𝑃₂ sedemikian hingga tidak ada sisi-sisi dari 𝐺 ○ 𝑃2 yang berkorespondensi dengan titik 𝐺 saling berpotongan. Jika 𝐺 tidak memuat titik pedal dan 𝐺 bukan sikel, maka 𝐺 memuat sebuah sikel 𝐶 sedemikian hingga 𝐶 memuat tepat satu titik pemutus, namakan 𝑢 di 𝐺. Misalkan 𝐻 subgraf 𝐺 yang diperoleh dengan menghapus semua titik-titik pada 𝐶 kecuali titik 𝑢. Karena banyak titik 𝐻 ○ 𝑃₂ lebih sedikit dari banyak titik 𝐺 ○ 𝑃₂ dan 𝐻 berupa kaktus, berdasarkan asumsi 𝐻 ○ 𝑃₂ memiliki pajangan planar-1 sedemikian hingga sisi-sisi dari 𝐻 ○ 𝑃2 yang berkorespondensi dengan titik-titik di 𝐻 tidak saling berpotongan. Misalkan pajangan planar-1 dari (𝐻 ○ 𝑃₂) dilambangkan dengan (𝐻 ○ 𝑃₂)₁ dan pajangan planar-1 dari 𝐶 ○ 𝑃₂ sedemikian hingga sisi-sisi dari 𝐶 ○ 𝑃₂ yang berkorespondensi dengan titik 𝐶 tidak berpotongan dilambangkan dengan (𝐶 ○ 𝑃2)1. Selanjutnya pajangan planar-1 dari 𝐺 ○ 𝑃2 dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut, himpitkan sisi 𝑒_𝑢 yang ada pada (𝐻 ○ 𝑃₂)₁ dengan sisi 𝑒_𝑢 yang ada pada (𝐶 ○ 𝑃₂)₁ sedemikian hingga semua titik-titik dan sisi-sisi dari (𝐶 ○ 𝑃₂)₁ yang lain terletak pada daerah (𝐻 ○ 𝑃₂)₁ yang sama. Dengan demikian akan diperoleh pajangan planar-1 dari 𝐺 ○ 𝑃2 sedemikian hingga sisi-sisi dari 𝐺 ○ 𝑃2 yang bersesuaian dengan titik-titik di 𝐺 tidak saling

bepotongan. ∎

Teorema 3.33

Jika 𝐺 memuat sebuah segitiga sedemikian hingga paling sedikit satu sisinya merupakan sisi dari lebih dari satu sikel, maka graf 𝐺 ○ 𝑃₂ bukan graf planar-1.

Bukti :

Misalkan 𝑣₁𝑣₂𝑣₃𝑣₁ adalah sebuah segitiga dalam 𝐺. Misalkan 𝑃 sebuah

lintasan dengan panjang paling sedikit tiga di 𝐺 yang titik-titik akhirnya adalah 𝑣₁ dan 𝑣₂ dan 𝑃 tidak memuat titik 𝑣₃. Andaikan graf 𝐺 ○ 𝑃₂ planar-1. Perhatikan bahwa 𝑣₁𝑣₂𝑣₃𝑣₁○ 𝑃₂= 𝐾₆ adalah subgraf dari 𝐺 ○ 𝑃₂. Sementara 𝐾₆ memiliki pajangan planar-1 tunggal. Perhatikan bahwa sisi-sisi yang terpotong di 𝐾₆ membagi pajangan planar-1nya menjadi lima bagian seperti yang tampak pada bagian tersebut (yang tidak diarsir).

Perhatikan bahwa setiap bagian yang tidak diarsir memuat paling banyak tiga titik dari 𝐾₆= 𝑣1𝑣2𝑣3𝑣1○ 𝑃2. Lintasan 𝑃 − {𝑣1𝑣2} ○ 𝑃2 adalah subgraf 𝐺 ○ 𝑃₂. Karena 𝐺 ○ 𝑃₂ planar-1 berarti pajangan 𝑃 − {𝑣₁𝑣₂} ○ 𝑃₂ harus berada dalam satu bagian 𝐾₆. Titik pertama dan titik terakhir dari 𝑃 − {𝑣1𝑣2} berhubungan langsung dengan paling sedikit empat titk dari 𝐾₆. Berarti ada titik diluar bagian tadi yang harus berhubungan langsung dengan titik didalam bagian tersebut. Akibatnya sisi yang menghubungkan dua titik ini akan memotong sisi 𝐾₆. Akibatnya ada sisi yang dipotong oleh lebih dari satu sisi yang lain. Sehingga 𝐺 ○ 𝑃₂ bukan planar-1

(kontradiksi). ∎

PENUTUP A. Simpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah dibahas pada skripsi yang berjudul Planaritas-1 Hasil Kali Leksikografik Graf maka diperoleh simpulan sebagai berikut:

∆(𝐺) merupakan derajat maksimum 𝐺.

𝐺 𝐻 Apakah 𝐺 ○ 𝐻

planar-1? 𝑃1 Apa saja Jika dan hanya jika

𝐻 planar-1 𝑃2 |𝑉(𝐻)| ≥ 4 Jika dan hanya jika

𝐻 ⊆ 𝐶4

𝑃3 |𝑉(𝐻)| ≥ 4 Bukan

𝑃𝑛, 𝑛 ≥ 1 |𝑉(𝐻)| ≤ 3 Ya

𝐶𝑛, 𝑛 ≥ 3 |𝑉(𝐻)| ≤ 3 Bukan

∆(𝐺) ≥ 3 |𝑉(𝐻)| ≥ 3 Bukan

∆(𝐺) ≥ 3 𝑃1 Jika dan hanya jika

𝐺 planar-1

∆(𝐺) ≥ 3 2𝑃₁ Belum tentu

Kaktus 𝑃₂ Ya

Bukan kaktus 𝑃₂ Belum tentu

𝑇𝑛, 𝑛 > 1 𝑃2 Ya

B. Saran

Dalam skripsi ini telah dibahas mengenai planaritas-1 hasil kali leksikografik graf. Penulis

𝑒

𝑣

𝑒

𝑢

𝑒

𝑣

𝑒

𝑢

𝑒

𝑢

(7)

menyarankan kepada pembaca yang memiliki minat akademis yang sama dapat lebih mendalami dan mengembangkan teori-teori yang berkaitan dengan planar-1 dan hasil kali leksikografik yang belum dibahas dalam skripsi ini. Apabila ada kritik atau saran untuk skripsi ini bisa disampaikan melalui email penulis novid087@gmail.com.

DAFTAR PUSTAKA

Bucko, Jozef., dan Czap, Julius. 2015. “1-Planar Lexicographic Products of Graphs”, Applied Mathematical Science, Vol. 9, no. 109, 5441-5449.

Budayasa, I Ketut. 2007. Teori Graph dan Aplikasinya. Surabaya: Unipress.

Czap, Julius., dan Hudak, David. 2012, “1-Planarity of complete multipartite graphs”. Discrete Applied Mathematics, 160, 505-512.

Czap, Julius., dan Hudak, David. 2013 .”On drawings and decompositions of 1-planar graphs”.

Mathematics Subject Classifications, 05C10, 05C62, 05C70.

D. J. Kleitman, 1971. “The Silanging Number of 𝐾5,𝑛”, Journal of Combinatorial Theory, 9, 315-323.

Fabrici, Igor., dan Madaras, Tomas. 2007. “The Structure of 1-planar graphs”, Discrete Mathematics, 307, 854-865.

J. Czap, D.Hudak, T. Madaras, “Joins of 1-planar graphs”. Acta Math, 30, 21867-1976

Korzhik, Vladimir. 2007. “Minimal non-1-planar graphs”. Discrete Mathematics, 308 (2008) 1319-1327.

Lipschutz, Seymour., dan Marc Lars Lipson. 2002.

Matematika Diskrit 2. Jakarta : Salemba Teknika.c

Pach, Janos., dan Toth, Geza. 1997. “Graphs Drawn With Few Crossings Per Edge. Combinatorica, 17 (3), 427-439.

Seputro, Theresia. 1992. “Teori Graf”. Surabaya: Unipress.