MATEMATIKA BISNIS. Model Perkembangan Usaha (Kaidah-Kaidah Deret Hitung) Sitti Rakhman, SP., MM. Modul ke: Fakultas FEB. Program Studi Manajemen

Modul ke:

Fakultas

Program Studi

MATEMATIKA BISNIS

Model Perkembangan Usaha (Kaidah-Kaidah Deret Hitung)

Sitti Rakhman, SP., MM. FEB

Manajemen www.mercubuana.ac.id

PENDAHULUAN

Matematika salah satu ilmu dasar, yang semakin dirasakan interaksinya dengan bidang-bidang ilmu lainnya seperti Ekonomi dan Teknologi. Dibidang Bisnis dan Ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret seringkali diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori baris dan deret.

Pengertian Deret Hitung

•

Deret merupakan rangkaian bilangan yang

tersusun secara teratur dan memenuhi

kaida-kaidah tertentu. Bilangan-bilangan yang

merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret

dinamakan suku.

•

Deret Hitung adalah deret yang perubahan

suku-sukunya berdasarkan penjumlahan

terhadap sebuah bilangan tertentu.

•

Deret Ukur adalah Deret yang suku-sukunya

dibedakan dengan perbandingan suku per

urutan yang memiliki nilai tetap yang sering

dinamakan dengan pembanding atau rasio

Jenis-Jenis Deret Hitung

– Berdasarkan Suku Pembentuknya deret hitung dibagi menjadi deret berhingga dan deret tak terhingga.

9 Deret hitung berhingga adalah deret hitung dengan jumlah suku tertentu

9 Deret hitung tak berhingga adalah jumlah suku deret mempunyai jumlah yang tak berhingga.

– Berdasarkan beda (b)

9 Deret hitung naik adalah dengan deret hitung dengan b positif

9 Deret hitung turun adalah deret hitung dengan b negatif

Bentuk Umum Deret Hitung

•

_{Suku pertama : S1= a}

•

_{Suku kedua}

_{: S2= a+b}

•

Suku ketiga

: S3= a+2b

BARISAN

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,

maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:

a. 2, 5, 8, 11, 14, ………. ditambah 3 dari suku di depannya b. 100, 95, 90, 85, 80, …….. dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut

barisan geometri. Misal:

a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ………. dikalikan 2 dari suku di depannya X \b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ………… dikalikan ½ dari suku di depannya

DERET

X Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu

barisan. Misal:

X Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 +

10 = 30

X Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 +

32 = 62

SUKU

Suku adalah Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan

pembentuk sebuah deret

DERET Deret ukur Deret hitung

Deret harmoni DERET

Deret berhingga

Deret tak terhingga

Deret dilihat dari jumlah suku Deret dilihat dari segi

Definisi Deret Terhingga & Tidak

Terhingga

•

_{DERET TERHINGGA adalah jumlah}

yang suku-sukunya tertentu

•

_{DERET TAK HINGGA adalah deret}

yang jumlah suku-sukunya tidak

terbatas.

DERET HITUNG

X Deret hitung (DH)

X Deret hitung ialah deret yang perubahan suku-sukunya

berdasarkan penjumlahan terhadap sebuah bilangan tertentu. X Bilangan yang membedakan suku-suku dari deret hitung ini

dinamakan pembeda, yaitu selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan.

X Contoh:

X1) 7, 12, 17, 22, 27, 32

(pembeda = 5)

X2) 93, 83, 73, 63, 53, 43

(pembeda = - 10)

X3) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

(pembeda = 2)

DERET

X Suku ke-n dari deret hitung

X Besarnya nilai suku tertentu (ke-n) dari sebuah deret hitung dapat dihitung melalui sebuah rumus.

Xa : suku pertama atau S₁ Xb : pembeda

Xn : indeks suku

X Sebagai contoh, nilai suku ke-10 (S₁₀) dari

deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah XS₁₀ = a + (n - 1)b

XS₁₀ = 7 + (10 - 1)5 XS₁₀ = 7 + 45

XS₁₀ = 52.

X Suku ke-10 dari deret hitung 7, 12, 17, 22, 27, 32 adalah 52.

Menghitung dan menentukan

Deret Hitung

• Beda : b = Sn – S (n-1)

• Jumlah bilangan sampai suku ke – n : Dn = n/2 (2+Sn) = n/2 {a+a+(n-1)b} = n/2 {2a+(n-1)b} • Suku ke – n : Sn = a + (n-1) b Sn = Dn – D (n-1) Ket : a = suku pertama

b = beda (selisih suku tertentu dengan suku sebelumnya)

Contoh Perhitungan Deret Hitung

• Diketahui : Deret Hitung 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 • Ditanya : S1, S2, b, Sn, Dn ? • Jawab : 9 S1 = a = 1 9 S2 = a + b = 3 9 b = S2 – S1 = 3 – 1 = 2 9 Sn = 15 9 Dn = n/2 (a + Sn) = 8/2 (1 + 15) = 4 (16) = 64

Penerapan Deret Hitung dalam

Perkembangan Usaha

Berkaitan dengan Produksi, biaya Pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal menggunakan deret hitung, karena variable yang bersangkutan bertambah secara konstan dari suatu periode ke periode lain.

Deret dalam Penerapan Ekonomi

X Model Perkembangan Usaha

XJika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha

(produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal) bertambah secara konstan dari satu periode ke periode berikutnya.

X Model Bunga Majemuk

XModel bunga majemuk merupakan penerapan deret ukur dalam kasus simpan-pinjam dan kasus investasi.

XDengan model ini dapat dihitung; misalnya, besarnya pengembalian kredit di masa datang berdasarkan tingkat bunganya. Atau sebaliknya, untuk

mengukur nilai sekarang dari suatu jumlah hasil investasi yang akan diterima di masa datang.

X Model Pertumbuhan Penduduk

XPenerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur.

Deret dalam Penerapan Ekonomi

X Model Perkembangan Usaha

X Contoh

X Sebuah perusahaan jamu “roso" menghasilkan 3.000 bungkus jamu pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktivitas, perusahaan mampu meningkatkan produksinya sebanyak 500 bungkus setiap bulan. Jika

perkembangan produksinya tetap, berapa bungkus jamu yang dihasilkannya pada bulan kelima? Berapa bungkus yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut?

X Diketahui:

Xa = 3.000 S₅ = 3.000 + (5 - 1)500 = 5.000 Xb = 500

Xn = 5

XJumlah produksi pada bulan kelima adalah 5.000 bungkus,

sedangkan jumlah seluruh jamu yang dihasilkan sampai dengan bulan tersebut 20.000 bungkus.

(

3.000

5.000

)

20.000

2

5

J

₅

=

+

=

S

_n

= a +(n-1)b

_n

{

_{a Sn}

}

2 n J = +

Kasus 1

Perusahaan Matrial “ABC” menghasilkan 3000 buah

pavingblock pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan produktivitasnya, “ ABC “ memperoleh peningkatan produksi 500 buah bata merah per bulan. Jika perkembangan produksi ini konstan, berapa bata merah

yang diproduksi pada bulan

ketujuh, berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut? – Diketahui : a = 3000 b = 500 n = 7 – Ditanya : Sn ? Dn ? – Jawab : Sn = a + (n-1) b = 3000 + ( 7-1 ) 500 = 3000 + 3000 = 6000 Jn = n/2 (a + Sn) = 7/2 (3000 + 6000) = 3,5 (9000) = 31.500

Kasus 2

• Besarnya penerimaan PT Cemerlang dari hasil penjualan barangnya Rp 720 juta pada tahun kelima dan Rp 980 juta pada tahun ketujuh. Apabila perkembangan penerimaan penjualan tersebut berpola

seperti deret hitung. Berapa perkembangan penerimaannya

pertahun? Berapa besar penerimaan pada tahun pertama dan pada tahun keberapa penerimaan sebesar Rp 460 juta?

Pembahasan Kasus 2

– Penerimaan Tahun ke 5 : S5 = 720 S5 = a + (5 – 1) b 720 = a + 4b – Penerimaan tahun ke 7 : U7 = 980 S7 = a + (7 – 1) b 980 = a + 6b – a + 4b = 720 a + 6b = 980 - 2b = - 260 b = 130 – Penerimaan tahun Ke – n = 460 Sn = a + (n-1) b 460 = 200 + (n-1) b 260 = 130n – 130 390 = 130n n = 3 a + 4b = 720 a + 4.130 = 720 a = 720 – 520 a = 200

Jadi penerimaan pada tahun pertama adalah Rp 200 juta

Jadi Jumlah penerimaan sebesar Rp 460 juta terjadi pada tahun ketiga

Kasus 3

•

Perusahaan Keramik menghasilkan 5000 buah keramik pada

bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan

tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga

ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu

menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya.

Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa

jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12? Berepa

buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun

Pembahasan Kasus 3

• Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12

S12 = a + (n-1)b

= 5000 + (12-1) 300 = 5000 + (11) 300 = 5000 + 3300 = 8300

• Jumlah keramik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama

J12 = n/2 (a + S12)

= 12/2 (5000 + 8300) = 6 (13300)

Kasus 4

•Penerimaan Perusahaan Bagus dari hasil

Penjualannya sebesar Rp 1,2 Miliar pada tahun kelima dan

sebesar Rp 1,8 miliar pada tahun ketujuh. Apabila

perkembangan penerimaan

perusahaan tersebut

konstan dari tahun ke

tahun, berapakah

perkembangan penerimaannya

per tahun, berapakah

penerimaannya pada tahun

pertama dan pada tahun ke berapa penerimaannya

mencapai Rp 2,7 miliar?

Pembahasan Kasus 4

– S7 = 1.8 miliar 1,8 = a + (7-1)b – S5 = 1,2 miliar 1,2 = a + (5-1)b – 1,8 = a + 6b 1,2 = a + 4b 0,6 = 2b b = 0,3 miliar

Sehingga perkembangan penerimaan perusahaan tersebut per tahun Rp 300 jt adapun penerimaan pada tahun pertama adalah :

a + 4b = 1,2 a + 4(0,3) = 1,2 a + 1,2 = 1,2

a = 0

Pada tahun pertama perusahaan tersebut belum memperoleh penerimaan. Adapun penerimaan sebesar 2,7 miliar diterimanya pada tahun :

Sn = a + (n-1)b 2,7 = 0 + (n-1) 0,3 2,7 = 0 + 0,3n – 0,3 2,7 + 0,3 = 0,3n n = 3/0,3 n = 10

KESIMPULAN

‰ Deret merupakan rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur dan memenuhi kaidah-kaidah tertentu.

‰ Deret terdiri dari deret hitung dan deret ukur.

‰ Terdapat 3 rumus untuk menentukan Deret Hitung 9 beda (b)

9 mencari suku ke – n

9 Jumlah bilangan sampai suku ke - n

‰ Deret hitung dalam perkembangan usaha dapat diterapkan dalam produksi, biaya pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau

penanaman modal, karena variabel yang bersangkutan bertambah secara konstan dari suatu periode ke periode lain.

Terima Kasih