MATEMATIKA DASAR. 1. Jika x 1 dan x 2 adalah penyelesaian. persamaan Diketahui x 1 dan x 2 akar-akar persamaan 6x 2 5x + 2m 5 = 0.

MATEMATIKA DASAR

1. Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian

persamaan 2 3 27 8 9 4 x2 3 1 x ₌             − − maka (x1 – x2)2 _{= … .} A. 4 9 B. 4 25 C. 4 41 D. 2 25 E. 25 Jawaban : B Bahasan : 2 3 27 8 9 4 x2 3 1 x =             − − 1 x 3 3 6 x 2 3 2 3 2 3 2 2− − −       =             2x2 _{– 6 + 3 – 3x = -1} 2x2 _{– 3x – 2 = 0} (2x + 1) (x – 2) = 0 2 1 1 x =− . x2 =2

(

)

(

)

2 2 1 2 2 1 x 2 x − = − − 4 25 =

2. Jika 2x _{= a dan 2}y _{= b dengan x, y >} 0, maka = + + y 2 x y 3 x 2 … . A. 5 3 B. 3 5 C. 1 + ab_{log ab}2 D. 1 + ab_{log a}2_b E. 1₊ab2logab Jawaban : E Bahasan : a log x=2 dan y=2logb 2 2 2 3 2 2 2 b log a log b log a log y 2 x y 3 x 2 + + = + + 2 2 3 2 2 ab log b a log = 3 2 ab2_{loga b} = ab log ab log 2 2 _{2 ab} ab ₊ = ab log 1+ab2 =

3. Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan 6x2 _{– 5x + 2m – 5 = 0.} Jika 5 x 1 x 1 2 1 =

+ maka nilai m adalah … . A. –1 B. 0 C. 1 D. 2 E. 3 Jawaban: E Bahasan : 6x2 _{– 5x + 2m – 5 = 0.} 5 x 1 x 1 2 1 + =

⇒

2

m

5₆

5

6 5

=

−

2m – 5 = 1 m = 3

4. Jika persamaan x2 _{– 2ax – 3a}2 _{– 4a –} 1 = 0 mempunyai akar kembar, maka akar tersebut adalah … . A. –1 B. 2 1 − C. 2 1 D. 1 E. 2

Jawaban: B Bahasan : x2 _{– 2ax – 3a}2 _{– 4a – 1 = 0} D = 0

⇒

4a2 _{– 4 (-3a}2 _{– 40 – 1) = 0} a2 _{+ 3a}2 _{+ 4a + 1 = 0} 4a2 _{+ 4a + 1 = 0} (2a + 1)2 _{= 0} 2a + 1 = 0 a = 2 1 −

5. Dua kg jeruk dan tiga kg apel harganya Rp 45.000,-. Lima kg jeruk dan dua kg apel harganya Rp 52.000,-. Harga satu kg jeruk dan satu kg apel sama dengan … .

A. Rp 6.000,-B. Rp 9.000,-C. Rp 11.000,-D. Rp 17.000,-E. Rp 20.000,-Jawaban: D Bahasan : 3 . 2 . 52000 y 2 x 5 45000 y 3 x 2 = + = + 17000 y x 11000 y 6000 x 66000 x 11 156000 y 6 x 15 90000 y 6 x 4 = + = = = = + = +

6. Jika garis (a + b)x + 2by = 2 dan garis ax – (b – 3a)y = –4 berpotongan di (1, –1), maka a + b = … . A. –2 B. –1 C. 0 D. 1 E. 2 Jawaban : E Bahasan : (1) a + b – 2b = 2

⇒

a – b = 2 (2) a + b – 3a = –4

⇒

2a – b = 4 a = 2. b = 0 a + b = 2 7. Pertaksamaan x 1 3 x x 4 2₊ ≤ mempunyai penyelesaian … . A. 1

≤

x

≤

3 B. 1

≤

x

≤

3 atau x

≥

3 C. x

≤

1 atau x

≥

3 D. 0

≤

x

≤

1 atau x

≥

3 E. 0

≤

x

≤

1 atau x

≥

3 Jawaban : D Bahasan : x 1 3 x x 4 2₊ ≤

⇒

x2+3≥4x, x>0 0 3 4 x2− + ≥

(

x−1

)(

x−3

)

≥0 0 1 3

-+ + 0 < x < 1 atau x > 3

8. Nilai maksimum untuk z = 6x + 3y – 2 yang memenuhi sistem pertaksamaan … . x + 2y

≤

4 x – y

≤

2 x + y

≥

1 x

≥

0, y

≥

0 adalah … . A. 4 B. 10 C. 13 D. 16 E. 19 Jawaban : D Bahasan : 3 2

y

2

y

3

2

y

x

4

y

2

x

=

⇒

=

=

−

=

+

x=22₃ z = 6x + 3y – 2 = 6 .

( )

22₃ +3.

( )

₃2 −2 = 16

9. Dalam suatu deret aritmetika, jika U3 + U7 = 56 dan U6 + U10 = 86, maka suku ke-2 deret tersebut adalah … . A. 8 B. 10 C. 12 D. 13 E. 15 Jawaban : D Bahasan :

56 U U₃ + ₇ = 86 U U₆+ ₁₀= 2a + 8b = 56 2a + 14b = 86 6b = 30 b = 5 a = 8 U2 = a + b = 13

10. Jika barisan geometri y + 1, 2y – 2, 7y – 1, … mempunyai rasio positif, maka suku ke-4 barisan tersebut adalah … . A. 108 B. 3 4 C. 3 4 − D. –108 E. –324 Jawaban : D Bahasan : (2y – 2)2 _{= (y + 1) (7y – 1)} 4y2 _{– 8y + 4 = 7y}2 _{+ 6y – 1} 3y2 _{+ 14y – 5 = 0} (3y – 1) (y + 5) = 0 y = -5

Barisan itu adalah : -4, -12, -36, … . a = -4, r = 3 U4 = ar3

⇒

_{U4 = -4(3)}3 = -108 11. Jika     + − =     − − − 1 b 2 a 1 a 1 0 b b a 1 _, maka ab = … . A. 2 B. 1 C. 2 1 − D. –1 E. –2 Jawaban : B Bahasan :

(

)

(

)(

)

   − − + − − − =     − a 2b a b a b b a b a a b a 0 b 1 a – b = b

⇒

a = 2b 1 = a(a – b)

⇒

1 = 2b . b b2 ₌ 2 1 b = ₂1 a = ₂ 1₂ a . b = 2 . ₂1 _. 2 1 = 1

12. Jika A matriks berordo 2 x 2 sehingga A    − =     − 5 1 1 1 dan A     =     7 4 1 2 , maka A2 _{= … .} A.     −1 4 2 1 B.     9 0 0 9 C.     7 0 0 9 D.     9 0 0 7 E.     7 0 0 7 Jawaban : B Bahasan : A     −1 1 2 1 =    − 7 5 4 1 A =    − 7 5 4 1 . 3 1     − 1 1 2 1 A = _ _ −1 4 2 1 A2 ₌     −1 4 2 1     −1 4 2 1 =     9 0 0 9

13. Jika sin A = 2pq dan tan A =

q p pq 2 − , maka p 2 _{+ q}2 _{= … .} A. –1 B. 0 C. 4 1 D. 2 1 E. 1 Jawaban : E Bahasan : sin A = 2pq; tan A = q p pq 2 − cos A = p – q cos2 _{A + sin}2 _{A = 1} p2 _{– 2pq + q}2 _{+ 2pq = 1} p2 _{+ q}2 _{= 1}

14. Nilai x yang memenuhi sin x – cos x > 0, 0

≤

x

≤

2 adalah … .π A. 0

≤

x

≤

2 π B. 2 π

_≤

_x

_≤

2 3π C. 4 π

_≤

_x

_≤

4 5π D.

π

≤

x

≤

2π E. 4 3π

_≤

_x

_≤

2 3π Jawaban : C Bahasan : 0 4 π π 4 2π 5π y = sin x y = cos x x 1 y -1 sin x – cos x > 0

sin x > cos x bila : ₄π < x< 5₄π

15. Jika sebuah dadu dilempar dua kali, maka peluang untuk mendapatkan jumlah angka kurang dari lima adalah … . A. 3 2 B. 9 4 C. 18 5 D. 6 1 E. 12 1 Jawaban : D Bahasan : 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 X X X X X X

Jumlah angka kurang dari 5 =

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1)}

P (jumlah angka kurang dari 5) =

36 6 ₌

6 1 _.

16. Nilai rata-rata tes matematika suatu kelas yang terdiri dari 42 siswa adalah 6,3 dengan jangkauan 4. Jika satu nilai terendah dan satu nilai tertinggi tidak diikutsertakan, maka rata-ratanya menjadi 6,25. Nilai terendah untuk tes tersebut adalah … . A. 5 B. 5,03 C. 5,3 D. 5,05 E. 5,5 Jawaban : C Bahasan : n = 42 x = 6,3 max x = x_min + 4

25

,

6

40

x

...

x

x

_{2 3 41}

=

+

+

x2 + x3 + … + x41 = 250

3

,

6

42

)

4

x

(

250

x

_{min min}

=

+

+

+

min x = 264,6 – 254 min x = 10₂,6 =5,3 17. Diketahui f(x) = 2x – 1 dan g(x) = 1 x x 5

+ . Jika h adalah fungsi sehingga (g



h)(x) = x – 2, maka (h



f)(x) = … . A. 8 x 2 3 x 2 + − B. 6 x 2 3 x 2 + − − C. 8 x 2 3 x 2 − − D. 8 x 2 3 x 2 + − − E. 8 x 2 3 x 2 − − − Jawaban : D Bahasan :

(

g o(goh)

)

(x) h_(x) = −1 7 x 2 x 5 ) 2 x ( ) 2 x ( − + − = − − − − =

(

hof

) ( )

x 7 ) 1 x 2 ( 2 ) 1 x 2 ( − − + − − = 8 x 2 3 x 2 − + − = 8 x 2 3 x 2 + − − =

18. Jika f(x) = x 1−x maka nilai a yang memenuhi f ’(a) = 1 adalah … . A. 0 B. 9 8 C. 0 dan 9 8 D. 0 dan – 9 8 E. – 9 8 _dan 9 8 Jawaban : C Bahasan : f ’(x) = x 1 x x. . 1 x 1 2 1 ₋ + − − f ’(a) = 1 1 a 1 a 1 2 a ₌ − − −

(

1 a

)

a 2 1 a 2 − 2 − = − (2 – 3a)2 _{= 4(1 – a)} 9a2 _{– 8a = 0} a(9a – 8) = 0 a = 0 atau a= ₉8

19. Jika grafik di bawah merupakan grafik fungsi y = f ‘(x), maka … .

-3

-1 1 2 X

Y

y = f’(x)

A. f mencapai maksimum relatif di x = –1

B. f mencapai minimum relatif di x = 1

C. f mencapai maksimum relatif di x = –3 dan x = 1

D. f mencapai maksimum relatif di x = –3 dan x = 2

E. f mencapai minimum relatif di x = –3 dan x = 2

Jawaban : E Bahasan :

f '(x)

-3 1 2

f(x) mencapai minimum relative di x = –3 dan x = 2.

20. Jika x1 dan x2 memenuhi persamaan

6 4 3 1 2 x x 3 3 x 2 = − − , maka x1 x2 = … . A. –12 B. –6 C. 0 D. 6 E. 12 Jawaban : D Bahasan : 6 4 3 1 2 x 3 x 3 x 2 = − − (2x – 3) (x – 2) – (x) (3) = (6) – (12) 2x2 _{– 7x + 6 – 3x = –6} 2x2 _{– 10x + 12 = 0} x2 _{– 5x + 6 = 0} x1 . x2 = 6

MATEMATIKA IPA

1. Lingkaran dengan titik pusat (a, b) menyinggung sumbu x dan garis y = x, jika jari-jari |b| dan … .

A. a−

(

2+1

)

b=0 B. a−

(

2−1

)

b=0 C. a−

(

2+1

)

a−b=0 D. a−

(

2−1

)

a−b=0 E. a− 2b=0 Jawaban: A Bahasan : (a, b) y = x y x a

Jarak titik pusat lingkaran (a, b) ke y = x sama dengan jari-jari lingkaran = |b|.

b 2 b a− ₌ 2 b b a− =

(

2 1

)

b 0 a− + =

2. Vektor _W merupakan vektor proyeksi tegak lurus vektor (a, 1-a, a) pada vektor (-1, -1, 1). Jika panjang _W adalah ₃2 3, maka di antara nilai a berikut ini yang memenuhi adalah … . A. -3 B. -2 C. 3 D. 2 E. 1 Jawaban: C Bahasan : W (a, 1 - a, a) (-1, -1, 1)

(

1, 1,1

)

W _{2 2 2} ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) a )( 1 ( ) a 1 )( 1 ( ) a )( 1 ( _{− −} = + − + − + − − + −

( )

(

1, 1,1

)

W= a₃−1 − −

( ) ( )

(

a31, a31, a31

)

W= − − − − − ( ) _{.3 3} 3 W =2₃ ⇔ a−₉12 =₃2 2 1 a 3 2 31 a− _{= ⇔ − =} a = 3

3. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan panjang rusuk AB adalah a. Jika

α

adalah sudut antara bidang TAB dan ABCD dengan sin

α

=

5

3_{, maka panjang rusuk TA adalah … .}

A. ₈a 44 B. ₈a 42 C. ₁₀a 41 D. ₉a 41 E. ₈a 41 Jawaban: E Bahasan : D T A M B C a T1 α

5 3 sinα= 5 4 cosα= 5 4 TM a 2 1 = a TM=₈5

( ) ( )

2 8 5 2 8 4_{a a} TA= + 8 a 25 a 16 2+ 2 = 41 8 a = 4. Pertaksamaan ₂x_x 2_3<1 + − _{dapat ditulis}

sebagai |4x + a| > b, dengan nilai a dan b berturut turut adalah … .

A. 7 dan 13 B. 13 dan 7 C. 6 dan 13 D. 13 dan -6 E. -13 dan 7 Jawaban: E Bahasan : 1 3 x 2x−+2 < 0 3 x 22 2x 3 x _< + − − − 0 3 x 2x++5 > b a x 4 + > 4x < -b-a atau 4x > b-a ………….. (2) x < -5 atau x > −₃2 ………….... (1) Dari (1) dan (2) : 4x < -20 atau 4x > -6 4x < -b-a atau 4x > b-a -b-a = -20 b-a = -6

7

b

14

b

2

6

a

b

20

a

b

=

⇒

=

+

−

=

−

=

+

b – a = -6 7 – a = -6 a = 13

5. Jumlah kuadrat semua nilai y yang memenuhi system persamaan :

2x2 _{– 6y}2 _{+ 3x + y – 1 = 0} x – 2y – 1 = 0 adalah … . A. 215₄ B. 213₄ C. 211₄ D. 209₄ E. 207₄ Jawaban: D Bahasan : 2x2 _{– 6y}2 _{+ 3x + y – 1 = 0} x – 2y – 1 = 0

⇔

x = 2y + 1 2(2y+1)2 _{– 6y}2 _{+ 3(2y+1) + y – 1 = 0} 2y2 _{+ 15y + 4 = 0}

y12 _{+ y2}2 _{= (y1 + y2)}2 _{– 2y1y2} =

( )

( )

2 4 2 2 15 ₋₂ − = 225₄ −16₄ = 209₄ 6. Grafik fungsi f(x) = (3–m) x2 _{+ (1–m) x –} 2m memotong sumbu y di titik A dan memunyai sumbu simetri garis x = –1. Gradien garis melalui titik puncak kurva dan titik A adalah …

A. -3 B. -2 C. 0 D. 1 E. 2 Jawaban: B Bahasan : f(x) = (3-m)x2 _{+ (1-m) x – 2m} 1 x₌₂−_ab₌₋

_⇒

₁ m 2 6m−−1 =− 1 – m = 6 – 2m m = 5 f(x) = -2x2 _{– 4x – 10}

⇒

_{A (0, -10)} Puncak P (-1, -8) Gradien = −8₋−₁(₋−₀10) = -2 7. Diketahui p c b log a _{= dan} a_logbc2 _=q , maka a_{log b = … .} A. 3 p q− B. 3 p 2 q− C. 3 p q+ D. 3 p 2 q+

E. 3 q 2 p− Jawaban: D Bahasan : 3 q p 2 a a a a a a a a a a b log q p 2 b log 3 q c log 2 b log q c log 2 b log p 2 c log 2 b log 2 p c log b log + = + = = + ⇒ = + = − ⇒ = −

8. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan 17 2 1 2x 1_{+ x 3 =} − + _{, maka x1}2 _{+ x2}2 _{= … .} A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 E. 13 Jawaban: D Bahasan : 17 2 2x+1+ 3−x = 17 2 . 2 _x 2 8 x_{+ =} _________________ x 2x =a 2a2 _{– 17a + 8 = 0} (2a – 1) (a – 8) = 0 a1 = 2x _{= 2}-1 x1 = –1 a2 = 2x _{= 8 = 2}3 x2 = 3 9 1 x x₁2+ 21₂ = + = 10

9. Sebuah deret dengan suku ke-n adalah an mempunyai jumlah n suku pertama 5n2 _{+ 3n. Nilai a2 + a5 + a8 + … + a20} = … . A. 726 B. 736 C. 746 D. 756 E. 766 Jawaban: D Bahasan : Sn = 5 n2 _{+ 3n}

⇒

_{an = 10n – 2} a2 + a5 + a8 + … a20 = 18 + 48 + 78 + … 198 = 198 = 18 + (n – 1) . 30

⇒

n = 7 jadi 18 + 48 + … + 198 =

[

18 198

]

7.108 2 7 _{+ =} = 756 10. Fungsi f(x) = x3 _{+ 3kx}2 _{– 9k}2_{x – 4 turun} dalam selang –2 < x < 6 jika k = … . A. –1 B. –2 C. 1 D. 2 E. 3 Jawaban: B Bahasan : f(x) = x3 _{+ 3kx}2 _{– 9k}2 _{x – 4} f’(x) = 3x2 _{+ 6kx – 9k}2 _{…………. (1)} y = f(x) turun pada interval -2 < x < 6 f’(x) = 3(x + 2) (x – 6) = 3x2 _{– 12x – 36 ……….. (2)} Dari (1) dan (2) : 6k = -12 k = -2 11.

(

)

(

)

π − − + − π π π → 4x x 2 cos 2 1 x 2 sin 2 1 lim 4 4 4 x = … . A. ₄1 B. 1₂ C. 0 D.

−

₄1 E.

−

1₂ Jawaban: C Bahasan :

(

)

(

)

π − − + − → π π π 4x x 2 cos x 2 sin x 4 2 1 4 2 1 4 lim =

(

)

(

)

4 2 . x 2 sin 2 . x 2 cos x 4 2 1 4 2 1 4 lim − − + − − − → π π π =

( )

4 2 . sin 2 . cos ₂ 2 1 45 2 1 − _{− + −} π ₋ =

( )

( )

(

)

( ) 4 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 _{− −}      + −      

=₄0 ₌0 12. Jika

dx

a

1

x

1

2 1

∫

+

=

, maka a 3 4 dx 1 x k x 4 2 1∫ + = − + _{untuk k = … .} A. –3 B. –2 C. –1 D. 1 E. 2 Jawaban: D Bahasan :

∫

₊+ 2 1 x 1 k x 4 _{dx = 4 – 3}

∫

₊ 2 1 x 1 1 _dx

∫

+₊+ 2 1 x 1 3 k x 4 _{dx = 4}

(

)

∫

+ − + + 2 1 x 1 1 k 1 x 4 dx = 4

∫

+

∫

= + − 2 1 2 1 x 1 1 k _{dx 4} dx 4 0 dx 2 1 x 1 1 k ₌

∫

−+ k = 1

13. Jika x1, x2 akar-akar persamaan kuadrat x2 _{– (3k + 5)x + 2k + 3 = 0} dan x1, k, x2 merupakan suku pertama, kedua dan ketiga suatu barisan geometri dengan rasio r

≠

1, dan r

≠

– 1, maka x1 + k + x2 = …. A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20 Jawaban: B Bahasan : x2 _{– (3k + 5) + 2k + 3 = 0} x1, k, x2

→

DG

⇒

k2 _{= x1 . x2} k2 _{= 2x + 3} k2 _{– 2x – 3 = 0}

⇒

_{(k – 3) (k + 1)} = 0 k = 3, k = -1

∴

x2 _{– 14x + 9 = 0} x1 + k + x2 ₌ x1 + x2 + k = 14 + 3 = 17

14. Dari angka-angka 2, 3, 5, 7 dan 9 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka tanpa pengulangan. Banyak bilangan yang dapat terbentuk dengan nilai kurang dari 4000 adalah … .

A. 30 B. 48 C. 112 D. 120 E. 132 Jawaban: B Bahasan : 2 4 3 2

Banyaknya bilangan dengan nilai kurang dari 4000 adalah 2 x 4 x 3 x 2 = 48 15. Jika determinan,

₍

(

)

₎

2 y 7 x 1 y 4 x 2 + − − − = –2 merupakan persamaan garis singgung kurva y = f(x) = x2 _{+ x + k, maka nilai} k = … . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5 Jawaban: C Bahasan :

(

)

(

x 7y

)

2 1 y 4 x 2 + − − − = –2 4x – 8y – x + 7y = -2 3x – y + 2 = 0

⇒

m = 3 f(x) = x2 _{+ x + k}

⇒

_{f’(x) = 2x + 1 = 3} x = 1 3x – y + 2 = 0 3 – y + 2 = 0 y = 5 Jadi : 5 = (1)2 _{+ (1) + k} k = 3