Penyelesaian Persa. amaan Non Linier. Metode Iterasi Sederhana Metode Newton Raphson. Metode Secant. Metode Numerik. Iterasi/NewtonRaphson/Secant

Penyelesaian Persa

1

Penyelesaian Persa

• Metode Iterasi Sederhan

• Metode Newton Raphso

• Permasalahan Titik Kritis

• Permasalahan Titik Kritis

• Metode Secant

Iterasi/NewtonRaphson/Secant

amaan Non Linier

1

amaan Non Linier

na

n

s pada Newton Raphson

s pada Newton Raphson

- Metode Iter

Metode Iter

Metode iterasi sederhana adalah m b i l i hi di sebagian x yang lain sehingga dipe Contoh : y=x-ex diubah menjadi : g g(x) inilah yang menjadi dasar itera g(x) inilah yang menjadi dasar itera Metode iterasi sederhana secara g

Y

x₀ x₁ x₃ x₂

G fik M t d It i S Grafik Metode Iterasi Se

rasi

Sederhana-rasi Sederhana

metode yang memisahkan x dengan l h ( )

eroleh : x = g(x). g(x)=ex

asi pada metode iterasi sederhana asi pada metode iterasi sederhana grafis dijelaskan sebagai berikut :

y=x y=g(x) X d h x 2 ederhana y=x,g=ex

Contoh Penyelesaian Meto

y

3

Selesaikan x +ex _{= 0}

Selesaikan x +e 0

Jawab :

Persamaan diubah menjadi g(x) = -ex

Ambil titik awal di x0 = -1 , maka Iterasi 1 : x = -e-1_{= -0.3679} F(x) = 0,3243 => x + e_{( ) ,} x Iterasi 2 : x = -e-0,3679 _{= -0,6922} F(x) = -0,19173 Iterasi 3 : x = e-0 6922 _{= 0 50047} Iterasi 3 : x = -e-0,6922 _{= -0,50047} F(x) = 0,10577 Iterasi 4 : x = -e-0,50047 _{= -0,60624} F(x) = -0,06085 Iterasi 5 = x = -e-0,60624 _{= -0,5454} F(x) = 0 034217 F(x) 0,034217

de Iterasi Sederhana

3

Pada iterasi ke 10 diperoleh

x = -0,56843 dan F(x) = 0,034217.

Algoritma Meto

4

1. Definisikan F(x) dan g(x)

2. Tentukan toleransi error (e

3 Tentukan pendekatan awa 3. Tentukan pendekatan awa

4. Untuk iterasi = 1 s/d n atau X ( )

X_i = g(x_i-1) Hitung F(x_i)

5. Akar adalah x terakhir yang

de Iterasi Sederhana

4

) dan iterasi maksimum (n)

l x l x

u F(x) > e

Metode Newt

5

Metode Newton Raphson adalah m Metode Newton Raphson adalah m menggunakan satu titik awal dan m memperhatikan slope atau gradien

Titik pendekatan ke n+1 dituliskan

x₂

x₀ x₁

x₂

X

Gambar Metode Newto

ton Raphson

p

5

metode pendekatan yang metode pendekatan yang mendekatinya dengan

n pada titik tersebut.

( )

x

F

n sebagai berikut :

( )

( )

n_n n n

x

F

x

F

x

x

₊₁

=

−

₁ on Raphson

Contoh Penyelesaian M

y

Selesaikan persamaan x - e-x = 0 d f(x) = x - e-x Æ f’(x)=1+e-x f(x0) = 0 - e-0 = -1 f’_{(x0) = 1 + e}-0 _{= 2} f(x1) = 0 106631 dan f’(x1) = 1 60653

( )

( )

2 0,5 1 0 0 1 0 1 0 = − − = − = x f x f x x f(x1) = -0,106631 dan f’(x1) = 1,60653

( )

( )

160653 0,566 106531 , 0 5 , 0 1 1 1 2 = − − = − = f x f x x f(x2) = -0,00130451 dan f1(x2) = 1,56762

( )

₁ 1,60653 1 1 2 x f

f(x3) = -1,96.10-7_{. Suatu bilangan yang sa}

( )

( )

1,56762 001304 , 0 566311 , 0 2 1 2 2 3 − − = − = x f x f x x

f(x3) 1,96.10 . Suatu bilangan yang sa Sehingga akar persamaan x = 0,567143.

Metode Newton Raphson

p

dengan titik pendekatan awal x0 =0

Toleransi error : 0 000001 6311 Toleransi error : 0.000001 angat kecil. 567143 , 0 451 = angat kecil.

Algoritma Metode

Algoritma Metode

7

1. Definisikan fungsi F(x) dan 2 Tentukan toleransi error (e 2. Tentukan toleransi error (e 3. Tentukan nilai pendekatan 4 Hit F( ) d F1_{( )}

4. Hitung F(x0) dan F1(x0)

5. Untuk iterasi i = 1 s/d n ata

(

F Hitung f(x_i+1) d

(

(

i i F F x x ₊₁ = − ₁

6. Akar persamaan adalah n

e Newton Raphson

e Newton Raphson

7

n F1_(x)

e) dan iterasi maksimum (n) e) dan iterasi maksimum (n) n awal x0 au |f(x_i)| > e

( )

x dan f1_(x i+1)

( )

( )

xn_n x

Permasalahan Meto

8

Metode ini tidak dapat digunakan kp g pada titik ekstrim atau titik puncak, sehingga nilai penyebut dari sebagai berikut :

( )

( )

x F x F 1 sebagai berikut : F

( )

x akar persamaan titik puncak p

ode NewtonRaphson

8

ketika titik pendekatannya berada p y karena pada titik ini nilai F1(x) = 0 = nol, secara grafis dapat dilihat

Bila titik pendekatan berada pada titik puncak, maka titik

l j t k b d di selanjutnya akan berada di tak berhingga.

Grafik Pendekatan Newton Raphson, dg. Titik Pendekatan ada di Titik Puncak

Permasalahan Meto

9

Metode ini menjadi sulit atau lama j ketika titik pendekatannya berada

Titik Titik pendekatan akar titik puncak persamaan Gra Titik Titik

de NewtonRaphson

p

9 mendapatkan penyelesaian p p y di antara dua titik stasioner.

Bila titik pendekatan berada diantara dua titik puncak akan dapat mengakibatkan hilangnya penyelesaian (divergensi)

penyelesaian (divergensi). Hal ini disebabkan titik

selanjutnya berada pada salah i ik k h

satu titik puncak atau arah pendekatannya berbeda.

afik Pendekatan Newton Raphson, dg.

k pendekatan berada diantara 2 titik puncak k pendekatan berada diantara 2 titik puncak

Penyelesaian Permasalahan M

Penyelesaian Permasalahan M

Untuk dapat menyelesaikan kedua p Untuk dapat menyelesaikan kedua p newton raphson ini, maka metode ne dengan :

= _i

i x

x

1. Bila titik pendekatan berada pad tersebut harus di geser sedikit, yang ditentukan dengan demikian F yang ditentukan dengan demikian raphson tetap dapat berjalan.

2 U t k hi d i titik titik d

F

2. Untuk menghindari titik-titik pend pemakaian metode newton raphson sehingga dapat di jamin konvergensgg p j g

Metode Newton Raphson

Metode Newton Raphson

permasalahan pada metode permasalahan pada metode

ewton raphson perlu dimodifikasi

δ

±

a titik puncak maka titik pendekatan dimana adalah konstanta

dan metode newton

δ

( )

0

1 ≠

i

x

F dan metode newton

k t b d j h b ik

( )

x_i ≠ 0

F

ekatan yang berada jauh, sebaiknya ini didahului oleh metode tabel,

i dari metode newton raphson.p

Contoh Penyelesaian Per

d

h

Metode Newton Raphson

1

Selesaikan persamaan : x . e-x + co

Jawab :

Bila menggunakan titik pendekatan awal x f(x) = x . e-x _{+ cos(2x)}

f1_{(x) = (1-x) e}-x _{– 2 sin (2x)}

Sehingga f(x0) = 1,086282 dan f1(x0) = -0,0

Grafik y=x.e-x_+cos(2x)

rmasalahan

1 os(2x) = 0 x0 = 0,176281 000015 x₀₀ akar persamaan

Iterasi menggunakan metode Newton Raphson : iterasi x f(x) f'(x) 0 0,17628 1,086282 -1,52216E-05 1 71364 89 0 594134 1 608732696 1 71364,89 0,594134 -1,608732696 2 71365,26 -0,10227 -1,989513691 3 71365,2 0,00036 -1,99999987 4 71365,2 -2,9E-11 -2 4 71365,2 2,9E 11 2 5 71365,2 3,13E-13 -2 6 71365,2 3,13E-13 -2

Akar yang ditemukan x=71365

1

Pendekatan awal x0=0.5

iterasi dari metode Newton Raphson:

Iterasi x f(x) f'(x) 0 0,5 0,843568 -1,37967664 1 1,111424, -0,24106, -1,626349133, 2 0,963203 0,019463 -1,86082504 3 0,973662 5,61E-05 -1,849946271 4 0,973692 4,98E-10 -1,849913417 5 0,973692 0 -1,849913417 6 0,973692 0 -1,849913417

Akar yang ditemukan adalah x=0.973692

Algoritma Metode

d

M d

dengan Mod

1

1. Definisikan fungsi F(x)

2. Ambil range nilai x = denga 3. Masukkan torelansi error (e) dan 4 G k l it t b l di l

[ ]

a,b ( )

(

)

[

abs F x

]

e F 1 <

4. Gunakan algoritma tabel diperole F(xk) . F(xk+1)<0 maka x0 = xk 5. Hitung F(x0) dan F1_(x0)

6 Bila F

[

abs

(

F ( )x₀

)

]

< e maka pen 6. Bila maka pen

(dimasukkan)

x0 = x0 + dx

hitung F(x0) dan F hitung F(x0) dan F 7. Untuk iterasi i= 1 s/d n atau |F(xi

( ) ( )₁ 1 1 1 − − − = i i i i x F x F x x

hitung F(xi) dan F1_(xi)

bila |F1_{(xi)| < e maka}

xi = xi + dx

( )x_i−1 F

hitung F(xi) dan F1_(xi)

8.Akar persamaan adalah x terakhir y

e Newton Raphson

difik i T b l

difikasi Tabel

3 an jumlah pembagi n n masukkan iterasi n h titik d k t l 0 d i

eh titik pendekatan awal x0 dari : k

ndekatan awal x0 digeser sebesar dx ndekatan awal x0 digeser sebesar dx

1_(x0)(x0)

i)| ≥ e

)

Metode Seca

Metode Secant merupakan perbai dan Newton Raphson, dimana kem secara diskrit, dengan mengambil satu titik. satu titik. Di di l h d i

)

0

(

0

m

x

x

y

y

−

=

−

Dimana m diperoleh dari

Jika y=F(x), n_y dan x_n diketahui, m

=

n

m

y ( ), _{y n} ,

Bila titik x dianggap sebagai aka

(

_{n n}

n n

n

y

m

x

x

y

₊₁

−

=

₊₁

−

Bila titik x_n+1 dianggap sebagai aka

sehingga

(

1 +

=

n

−

n n n

y

x

y

x

x

1 n

y

ant

ikan dari metode regula-falsi miringan dua titik dinyatakan

bentuk garis lurus yang melalui

(

f

(

x

)

−

f

(

x

₁

)

)

maka titik ke n+1 adalah :

(

)

(

)

(

₁

)

1

)

(

− −

−

_n n n n

x

x

x

f

x

f

ar persamaan maka y = 0

)

n ar persamaan maka y_n+1 = 0

)

1 +

−

_n n

y

x

4 1 +

−

_n n

y

Contoh Penyelesaian Meto

Selesaikan persamaan

_x

2

₍

_x

+1

Selesaikan persamaan

_x

−

₍

_x

+

₁

Jawab :

Berdasarkan gambar grafik didapatkan a x0 = 0.8 dan x1 = 0.9, sehingga :

y0 = F(x0) = -0.16879 y1 = F(x1) = 0.037518

Iterasi Metode Secant adalah sbb : Iterasi 1 : It i 2 88181 . 0 0 1 0 1 1 1 2 − = − − = y y x x y x x Iterasi 2 : Iterasi 3 88252 . 0 1 2 1 2 2 2 3 − = − − = y y x x y x x Iterasi 3 : 882534 . 0 2 3 2 3 3 3 4 − = − − = y y x x y x x 1 Diperoleh akar x = 0.882534

ode Secant

x

e

−

)

1 e

).

1

akar terletak pada range [0.8, 0.9], maka

15 y2 = 0.00153 8 y₃ =1.3x10−5 4 4 4.91 10 9 − = x y 5

Grafik fungsi y = x2 −(x +1)

1

untuk range [-1,1]e−x

).

Algoritma Metode

g

1 Definisikan fungsi F(x)

1. Definisikan fungsi F(x)

2. Tentukan toleransi error (e) d 3. Masukkan dua nilai pendeka

terdapat akar (x0 dan x1), g untuk mendapatkan titik pen 4. Hitung F(x0) dan F(x1) seba 5 Untuk iterasi i = 1 s/d n atau 5. Untuk iterasi i = 1 s/d n atau

1 +

−

−

−

=

i i i i i

y

x

y

x

x

Hitung y_i+1=f(x_i+1 6. Akar persamaan adalah nila

i

y

1

p

Secant

dan iterasi maksimum (n)

atan awal, dimana diantaranya unakan metode tabel atau grafis ndekatan agai y0 dan y1 |f(x )| > e |f(x_i)| > e 1 1 − i i

y

x

1)

i x yang terakhir diperoleh.

1 − i

y

7 y g p