Pencacahan
“Learning is not child's play, we cannot learn without pain.” –Aristotle
Berapakah jumlah bilangan bulat dari 5 sampai 12? Jawaban: 8 5 6 7 8 9 10 11 12 m m+1 m+2 m+3 m+4 m+5 m+6 m+7 1 2 3 4 5 6 7 8 (n-‐m)+1 Teorema:
Jika m dan n adalah bilangan bulat dengan m < n, maka ada sejumlah n – m + 1 buah bilangan bulat dari m
Ada berapa bilangan bulat yang terdiri dari Pga angka (100 – 999)?
Dari semua itu berapa yang:
Habis dibagi 5?
Merupakan bilangan genap?
Merupakan bilangan ganjil?
Pohon Kemungkinan
Sebuah pertandingan antara Pm A dan Pm B, pemenang adalah Pm yang menang 2 kali
berturut – turut atau menang total 3 pertandingan.
• Berapakah jumlah skenario pertandingan yang
Aturan Perkalian
Suatu PIN terdiri dari urutan 4
karakter yang dapat berupa alfabet maupun numerik, tentukan:
• Berapa jumlah PIN berbeda yang
dapat dihasilkan?
• Berapa jumlah PIN berbeda yang
dapat dihasilkan apabila Pdak boleh ada pengulangan karakter yang sama pada masing – masing PIN?
Aturan Perkalian
Pada pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari: ketua kelas, wakil ketua kelas, dan bendahara terdapat 4 calon, yaitu: Abi, Bida, Dani, Nia. Nia Pdak bisa menjadi ketua kelas, bendahara hanya dapat diisi oleh Bida dan Dani. Berapa banyak
jenis komposisi pengurus kelas yang dapat terbentuk?
Permutasi
Contoh:
Suatu himpunan dengan elemen a, b, dan c memiliki permutasi:
abc acb cba bac bca cab
Teorema:
Untuk bilangan bulat n dimana n > 1, jumlah permutasi suatu himpunan dengan n buah elemen adalah n!
Permutasi Dengan Objek Melingkar
Dalam suatu pertemuan, terdapat 6 peserta
yang duduk melingkari meja bundar. Ada berapa cara pengaturan tempat duduk? (posisi yang
diperhitungkan adalah posisi relaPf antar peserta, sedangkan posisi kursi Pdak
diperhitungkan)
Permutasi-‐r
Ada berapa cara berbeda menyusun dua huruf yang terurut dari kata UBI?
UB UI BI IB IU BU = 6 cara
Teorema:
Jumlah permutasi-‐r dari suatu
himpunan dengan n elemen adalah:
P(n, r) = n!
Dengan huruf yang Pdak boleh berulang:
• Berapa banyak jumlah cara untuk menyusun
kata yang terdiri dari 3 huruf yang terurut dari kata UNIBRAW?
• Berapa banyak jumlah cara penyusunan
Aturan Penjumlahan
Menghitung elemen dari himpunan saling lepas.
Contoh:
Password suatu email berupa karakter alfabet dan numerik dengan ketentuan terdiri dari minimal satu karakter dan maksimal Pga karakter dan boleh
menggunakan karakter yang sama (berulang),
berapa jumlah kemungkinan password yang dapat dibuat?
Aturan Selisih
Dari contoh pada slide sebelumnya, berapakan jumlah password yang terdapat karakter sama (berulang)?
Petunjuk:
1. Cari jumlah kemungkinan password dengan
memperbolehkan pengulangan karakter (contoh sebelumnya)
2. Cari jumlah kemungkinan password tanpa
pengulangan karakter.
3. Hitung selisih keduanya (password yang
Aturan Inklusi/Eksklusi
Untuk 2 himpunan:
N(A∪B) = N(A) + N(B) – N(A∩B)
Untuk 3 himpunan:
N(A∪B∪C) = N(A) + N(B) + N(C) – N(A∩B) – N
(A∩C) – N(B∩C) + N(A∩B∩C)
Keterangan:
Contoh
Ada berapa bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 3 atau 5?
Petunjuk:
1. Misal A adalah himpunan bilangan bulat dari 1
sampai 1000 yang habis dibagi 3 dan B adalah himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 1000 yang habis dibagi 5.
Prinsip Sarang Merpa(
Misal suatu kelas berisi 40 mahasiswa.
Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di bulan yang sama?
Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di tanggal yang sama?
Apakah di kelas tersebut pasP ada dua atau lebih mahasiswa yang lahir di tanggal dan bulan yang sama?
Sumber: Susanna S.Epp – Discrete MathemaPcs with ApplicaPons 4th EdiPon
“Fungsi dari satu himpunan berhingga ke himpunan berhingga yang lebih kecil (dak dapat berupa fungsi satu-‐ke-‐satu. Pas(
minimal ada dua atau lebih elemen domain yang memiliki image sama di kodomain.”
Perluasan Prinsip Sarang MerpaP
“Untuk suatu fungsi f dari himpunan berhingga X dengan n buah elemen ke himpunan Y dengan m buah elemen dan untuk bilangan bulat posi(f k, jika:
k < n/m, maka ada y ∈ Y dimana y adalah
Contoh Aplikasi
Tunjukkan dengan perluasan prinsip sarang
merpaP bahwa pada sebuah kelompok dengan 200 orang anggota, terdapat minimal 8 orang yang berinisial awal sama.
Agi Putra Kharisma, ST., MT.
Kombinasi
Kombinasi menjawab pertanyaan:
“Ditentukan suatu himpunan S dengan n buah elemen,
ada berapa banyak
himpunan bagian dengan ukuran r yang dapat dibuat dari S?” Notasi kombinasi-‐r: 18 Matema(ka Komputasi -‐ Pencacahan
n r ! " # $ % &
Sebuah kelompok beranggotakan 3 orang, ada 4 orang calon anggota yaitu Gimin, Peno, Midi, Mo. Berapa banyak komposisi kelompok yang dapat dibentuk?
Jawab:
Misal M = {Gimin, Peno, Midi, Mo}
Kelompok yang dapat dibentuk adalah kombinasi-‐3 dari M, yaitu:
{Gimin, Peno, Midi} {Gimin, Peno, Mo} {Gimin, Midi, Mo} {Peno, Midi, Mo}
Jadi kelompok yang dapat dibentuk adalah 4
3 ! " # $ % & = 4 Enumerasi lengkap
Misalkan jumlah mahasiswa PTIIK angkatan 2013 adalah
1200 orang, akan dipilih 5 orang mahasiswa sebagai perwakilan. Berapa banyak komposisi
perwakilan yang dapat dibentuk?
Hubungan Permutasi dan Kombinasi?
Untuk mencari hubungan permutasi dan kombinasi, kita bisa
menggunakan metode Pdak langsung melalui contoh kasus sebagai berikut:
Tulis permutasi-‐2 dari himpunan {a, b, c, d}
Petunjuk:
Dalam menentukan permutasi, pecah langkah penyelesaian menjadi dua, yaitu:
1. Menentukan semua himpunan bagian yang terdiri dari 2 elemen
dari {a, b, c, d}
2. Menentukan semua pasangan berurutan dari himpunan bagian
tersebut.
Dari 2 langkah tersebut, kita dapat menyelidiki hubungan antara permutasi dan kombinasi
Hubungan Permutasi & Kombinasi
n r ! " # $ % & = P(n, r) r! n r ! " # $ % & = n! r!(n ' r)!Kombinasi Dengan Pengulangan
Tulis semua lis untuk mengetahui jumlah kombinasi-‐3 dengan
Ringkasan
Pakai formula yang mana?
Dengan Urutan Tanpa Urutan
Boleh Pengulangan Tanpa Pengulangan nk k +kn !1 " # $ % & ' P(n, k) !# n $&
Referensi
Susanna S .Epp. Discrete Mathema<cs with Applica<ons 4th Ed.
Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema<cs and Its Applica<ons 7th Ed.
Rinaldi Munir. Matema<ka Diskrit edisi ke<ga.
