Bab 5
Migrasi Planet
Planet-planet raksasa diduga memiliki inti padat yang dibentuk oleh material yang tidak dapat terkondensasi jika terletak sangat dekat dengan bintang utamanya. Karenanya sangatlah mungkin jika planet-planet tersebut terbentuk pada daerah yang cukup jauh dari bintang utamanya dalam nebula dan kemudian bermigrasi selama dan/atau setelah pembentukannya.
Hingga sekarang terdapat tiga mekanisme yang diusulkan untuk menjelaskan keber-adaan planet-planet raksasa yang mengorbit sangat dekat dengan bintang utamanya. Yang pertama memerlukan interaksi gravitasi setidaknya dari dua planet raksasa dengan orbit yang saling memotong. Interaksi ini mengakibatkan salah satu planet lepas dan planet yang lain mendekat ke bintang utamanya. Mekanisme yang kedua sering disebut dengan ’ketidakstabilan migrasi’. Mekanisme ini berdasarkan pada interaksi resonan an-tara suatu planet dan sejumlah planetesimal yang berada di interior orbit planet. Interaksi ini akan mengakibatkan sejumlah planetesimal terlepas dan pada waktu yang bersamaan planet akan bermigrasi ke orbit yang lebih dekat. Mekanisme yang ketiga berbasiskan pada interaksi gravitasi antara planet dan gas dalam cakram di mana planet ’terendam’ di dalamnya.
Terdapat tiga tipe migrasi yang terkait dengan mekanisme ketiga:
1. Migrasi tipe I: Berlaku untuk planet dengan massa kecil, planet-planet di bawah 10 M⊕, di mana cakram memberikan respon linier (Goldreich & Tremaine 1979; Ward
1997).
2. Migrasi tipe II: Berlaku untuk planet dengan massa yang cukup besar, lebih besar dari sekitar massa Jupiter (Lin & Papaloizou 1986). Planet-planet dengan ukuran ini akan cukup besar untuk menghasilkan celah (gap).
5.1. Persamaan Dasar dan Keadaan Kesetimbangan 28
3. Migrasi tipe III: Disebut juga sebagairunaway migration. Migrasi ini berlaku untuk planet-planet dengan massa sekitar massa Saturnus sampai ∼1Mjup, dan berada dalam cakram yang masif (Masset & Papaloizou 2003; Artymowicz 2004).
Dalam semua kasus, migrasi disebabkan oleh pertukaran momentum sudut antara gerak rotasi gas dalam cakram dan gerak orbital planet akibat torsi gravitasi yang diberikan oleh planet pada cakram. Migrasi tipe I terjadi akibat transport momentum sudut oleh gelombang kerapatan yang dieksitasi oleh planet menuju eksterior cakram. Sedangkan mi-grasi tipe II terjadi akibat disipasi dari gelombang kerapatan pada suatu kejutan (shock) akibat dari ketidaklinearan di sekitar planet. Migrasi tipe III dihasilkan dari pertukaran langsung momentum sudut dengan gas yang memotong orbit planet.
5.1
Persamaan Dasar dan Keadaan Kesetimbangan
Jika cakram cukup tipis, yaitu tebal H(r) pada jarak r dari bintang pusat adalah sa-ngat kecil dibandingkan dengan r, maka berbagai variabel yang menguraikan cakram dapat dirata-ratakan terhadap tebal cakram. Dalam kondisi ini, persamaan gerak (atau persamaan momentum) dan persamaan kekekalan massa (persamaan kontinuitas) masing-masing dapat dituliskan:
Σ ∂v ∂t + (v·∇)v =−∇P −Σ∇Ψ (5.1) ∂Σ ∂t +∇·(Σv) = 0 (5.2)
denganvadalah kecepatan aliran,P tekanan rata-rata terhadap tebal cakram, Σ kerapa-tan massa permukaan dan Ψ potensial gravitasi, di mana kebergantungan pada koordinat vertikal z diabaikan. Untuk menutup persamaan (5.1) dan (5.2), kita mengambil suatu persamaan keadaan barotropik:
P =P(Σ) (5.3)
dan kecepatan suara diberikan oleh:
c2 = dP
dΣ (5.4)
Dalam kesetimbangan, cakram memiliki simetri silindrik dan berotasi mengitari bin-tang pusat dengan kecepatan v= (0, rΩ(r)), di mana Ω adalah kecepatan sudut.
5.2. Linierisasi Persamaan Dasar 29
Keadaan kesetimbangan diganggu oleh suatu planet dengan massaMpM yang me-ngelilingi bintang dalam orbit lingkaran dengan radius rp, dan dengan kecepatan sudut:
Ωp GM rp3 (5.5)
Pada titik (r, ϕ) pada cakram, planet memberikan potensial gravitasi:
Ψp(r, ϕ, t) = Ψp(r, φ) =− GMp
r20+rp2+r2−2rrpcosφ
(5.6) di manaφ=ϕ−Ωptdanr0 adalah panjangsoftening, yang diperlukan untuk menghindari
singularitas padar=rp danφ = 0 yang digunakan dalam aproksimasi yang mengabaikan tebalnya cakram.
Dengan kata lain, karena cakram dalam kesetimbangan bersifat stasioner dan memiliki simetri silinder, maka kita dapat menguraikan Ψpke dalam deret Fourier terhadap variabel φ, yaitu: Ψp(r, φ) = ∞ m=0 Ψm(r)cosmφ (5.7) dengan Ψ0(r) = 1 π π 0 Ψ p(r, φ)dφ (5.8) Ψm=0(r) = 2 π π 0 Ψ p(r, φ)cosmφdφ (5.9) yang menyatakan komponen radial dari gangguan planet kepada cakram.
5.2
Linierisasi Persamaan Dasar
Apabila planet penggangu mempunyai massa yang cukup kecil, gangguan yang diberikan terhadap cakram adalah linier. Semua fungsi yang menguraikan cakram dapat dinyatakan dalam bentuk:
X(r, ϕ, t) +X(r, ϕ, t)
5.3. Resonansi Lindblad dan Resonansi Korotasi 30
Karena cakram dalam kesetimbangan bersifat simetri silindrik dan stasioner, gang-guan dalam deret Fourier terhadap variabel φ dan persamaan-persamaan tersebut dapat dipecahkan secara independen untuk setiap nilai m.
Kita dapat menuliskan gangguan Eulerian kompleks dalam bentuk:
X(r, ϕ, t) =
∞
m=0
Xm (r)ei(mϕ−ωt) (5.10) Karena itu, gangguan fisis terkait dengan bagian real dari kuantitas kompleks tersebut.
Dengan mensubtitusikan semua variabel gangguan tersebut, maka linierisasi persamaan (5.1) dan (5.2) memberikan: imσvmr −2Ωvmϕ =− d dr(Ψ m+Wm ) (5.11) imσvmϕ + κ2 2Ωv mr =− im r (Ψ m+Wm ) (5.12) − 1 rΣ d dr(rΣv mr)− imvmϕ r = imσ c2 W m (5.13)
di mana σ ≡ Ω−Ωp, W = Σc2/Σ adalah gangguan linear dari entalpi dan κ adalah frekuensi episiklik yang didefinisikan oleh:
κ2 = 2Ω r
d(r2Ω)
dr (5.14)
Dalam cakram Keplerian, κ=±Ω. Sistem persamaan (5.11) – (5.13) dapat dipecah-kan secara numerik dengan syarat batas yang sesuai untuk perhitungan vmr , vmϕ , dan Wm .
5.3
Resonansi Lindblad dan Resonansi Korotasi
Persamaan yang mengandung gangguan linier semacam (5.11) – (5.13) pada mulanya digunakan untuk memodelkan struktur spiral dalam galaksi. Lynden-Bell dan Kalnajs (1972) menyelidiki mekanisme yang membangkitkan struktur spiral tersebut di mana ter-jadi transfer momentum sudut keluar dari galaksi. Torsi gravitasi membawa momentum sudut keluar hanya dalam bentuk struktur spiral. Mereka mendapati bahwa kehadiran gelombang kerapatan akan mengurangi momentum sudut di bagian dalam, namun mo-mentum sudut meningkat di bagian luar.
5.3. Resonansi Lindblad dan Resonansi Korotasi 31
Eksitasi gelombang kerapatan ini kemudian dipelajari secara lebih terperinci oleh Gol-dreich dan Tremaine (1979) untuk suatu galaksi dengan gangguan gravitasi dari sumber eksternal. Menurut Goldreich dan Tremaine (1979), persamaan momentum yang dilinieri-sasi memberikan komponen kecepatan gangguan dalam arah radial (menggunakan notasi mereka):
u1 =−Di
(mΩ−ω)drd + 2mrΩ(ϕ1+ϕD1 +η1)
dan dalam arah azimutal: v1 = 1 D 2B d dr + m r (mΩ−ω) (ϕ1+ϕD1 +η1) (5.15) di mana D=κ2−(mΩ−ω)2 (5.16) Substitusikan komponen persamaan ini ke dalam persamaan kontinuitas, maka akan didapati persamaan diferensial orde kedua berbentuk:
d2 dr2 + d dr ln σr D d dr + 2mΩ r(mΩ−ω) d drln σr D − m2 r2 (ϕ1+ϕD1 +η1) = Dη1 c2 (5.17) Persamaan ini jelas mengandung singularitas untukmω−Ω = 0 (yaitu padar=rp, atau disebut resonansi korotasi) dan untukD= 0 (atau disebut resonansi Lindblad).
Seperti juga resonansi korotasi, resonansi Lindblad terjadi saatDdi persamaan (5.17) memiliki nilai nol. Solusi menghilang dengan cepat di sekitar resonansi korotasi dan menjadi beriak dari orbit planet di luar posisi yang disebut dengan resonansi Lindblad efektif yang merupakan titik balik (berbeda dengan resonansi korotasi yang merupakan singularitas). Resonansi ini diberikan oleh radius ref f yang diberikan oleh:
κ2 −m2σ2+m
2c2
r2 = 0 (5.18)
KarenacΩH, suku ketiga di ruas kiri dapat diabaikan terhadap kedua suku pertama apabilam≤r/H, dan titik-titik balik berhimpit dengan resonansi Lindblad biasa, di sini disebut nominal, untuk membedakan dengan resonansi efektif.
Resonansi Lindblad adalah radiusrLR di manaκ2−m2σ2 = 0, yaitu di mana frekuensi gangguan dalam acuan yang berotasi dengan fluida, −mσ, sama dengan frekuensi ±κ dari osilasi bebas (epicycle) dari gas dalam cakram. Untuk setiap nilai m, resonansi Lindblad internal adalah radius yang lebih kecil darirp, jika terdapat di manamσ =−κ.
5.4. Torsi 32
Untuk m > r/H terdapat penyimpangan antara resonansi Lindblad efektif dan nominal. Hal ini akan memberikan konsekuensi penting bagi torsi gravitasi yang diberikan oleh planet kepada cakram. Gangguan pada resonansi menjalar menuju limit (internal dan eksternal) dari cakram dalam bentuk gelombang kerapatan, yaitu gelombang akustik yang dimodifikasi oleh rotasi.
5.4
Torsi
Torsi yang diberikan planet pada cakram antara radius r1 dan r2 adalah:
T(r1, r2) =
∞
m=0
Tm(r1, r2) (5.19)
dengan, dalam rezim Linier
Tm(r1, r2) =− r2 r1 2π 0 Re[Σ + Σ meim (ϕ−Ωpt)]r×Re[∇(Ψ meim (ϕ−Ωpt))]rdϕdr (5.20) Dari periodisitas dalam ϕ, suku orde pertama adalah nol, dan torsi hanya memiliki kom-ponen vertikal yang dituliskan:
Tm(r1, r2) = 2π r2 r1 m 2Im(Σ ∗ mΨm)rdr (5.21) Pada interior resonansi Lindblad efektif dan pada r=rp, tanggapan cakram menghi-lang dan sefase dengan gangguan, dalam hal Σ∗mΨm adalah real. Di luar resonansi Lind-blad efektif, panjang gelombang gangguan kecil dibandingkan skala terhadap potensial pengganggu bervariasi, sehingga integral dari rΣ∗mΨm terhadap radius kecil.
Torsi yang diberikan pada resonansi Lindblad efektif adalah positif pada r > rp dan negatif pada r < rp. Pada kenyataannya, partikel yang terletak pada r > rp memiliki kecepatan sudut lebih kecil dari kecepatan planet. Akibatnya, mereka mendapatkan mo-mentum sudut selama interaksi dengan planet. Sebaliknya, partikel yang terletak pada r < rp dan memiliki kecepatan sudut lebih besar, akan kehilangan momentum sudut.
Potensial pengganggu Ψmsemakin dilokalisasi di sekitarrp perlahan-lahan sehinggam meningkat, dan resonansi Lindblad efektif tetap dilokalisasi pada suatu jarak berhingga rp. Torsi antara potensial dan gangguan menjadi hilang. Ini yang disebut dengan torsi cutoff.
5.4. Torsi 33
Tidak ada akumulasi momentum sudut di sekitar resonansi Lindblad: gelombang kerapatan memindahkan semua momentum sudut menuju eksterior cakram. Torsi yang diberikan oleh planet kepada cakram ditumpuk dalam cakram pada resonansi tersebut.
