PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Hingga saat ini, pembahasan tentang masalah program taklinier integer campuran (Mixed Integer Non-Linear Programming (MINLP)) masih menarik untuk diteliti dengan tujuan agar pemecahannya dapat memberikan hasil yang
lebih baik dan waktu relatif singkat. Hal itu disebabkan beberapa alasan, antara lain banyak masalah dalam kehidupan nyata dapat dimodelkan sebagai MINLP. Beberapa aplikasi yang sudah dilakukan diberbagai sektor dapat dilihat
seper-ti dalam bidang proses sistem sintesis (Duran dan Grossmann, 1986; Kocis dan Grossmann, 1988; Floudas, et al,1989; Ryoo dan Sahinidis, 1995). Dalam bidang proses kimia (Grossmann dan Sargent, 1979; Grossmann dan Floudas, 1987).
Per-masalahan alur kerja (Luyben dan Floudas, 1994), kawasan industri (Harjunkoski, Westerlund, dan Porn, 1999; Kallrath, 2005), perencanaan penumpang pesawat terbang (Briel, at al, 2005). Jaringan transmisi, seperti jaringan air (Cai, et al.
2001; Bragalli, at al, 2006), jaringan gas (Martin, Mller dan Moritz, 2006), dan jaringan energi (Murray dan Shanbhag, 2006). dalam bidang teknik (Grossmann dan Sahinidis, 2002), teknik kimia (Floudas, 2009), rancangan bangunan
(Kravan-ja dan Zula, 2010), bidang transportasi (Fugenschuh, et al, 2010), perencanaan produksi (Mawengkang, 2010), perencanaan struktur beton (Guerra, Newman
dan Leyffe, 2011), dan dalam vehicle routing problem (VRP) (Tambunan dan Mawengkang, 2015).
Pada hakekatnya masalah MINLP mengacu pada pemrograman (program) matematika dengan adanya variabel diskrit dan kontinu, ketaklinieran di dalam fungsi tujuan dan kendala.
Masalah MINLP dapat dinyatakan dengan model berikut;
Min Z =cT y biasanya fungsi menggambarkan dimensi-n himpunancompact polyhedral convex,
X = {x : x ∈ Rn, A1x 6 a1}, U = {y : y ∈ Y, integer A2y 6 a2} adalah him-punan bilangan diskrit, yaitu titik-titik bilangan bulat tak negatif pada bebera-pa convex polytope, A1, A2, dan B adalah matriks, dan c, a1, a2, adalah vektor kolom.
Terdapat beberapa bentuk karakteristik dalam MINLP, diantaranya jika fungsi objektif dan beberapa atau semua kendala adalah fungsi taklinier dan dae-rah layak konveks, maka masalah adalah MINLP konveks. Jika fungsi objektif
Salah satu tujuan pemecahan masalah MINLP adalah untuk menemukan solusi integer layak terhadap variabel diskrit, sehingga diperoleh solusi optimum.
Secara teori, masalah MINLP adalah masalah sulit atau NP-hard (Murtagh dan Saunders, 1976; Mawengkang dan Murtagh, 1986; Murti, 1987; DAmbrosio, 2010). Kesulitan ini disebabkan ketidaklinieran fungsi tujuan dan kendala, sehingga
ter-dapat banyak titik optimal yang tidak diharapkan menjadi solusi global.
Pemecahan masalah MINLP termasuk pendekatan inovatif dan berkaitan dengan teknik yang dikembangkan dalam program integer campuran (Mixed
Inte-ger Programming(MIP)) dan program tak linier (Nonlinear Programming(NLP)). Pendekatan untuk pemecahan masalah MINLP dengan fungsi konveks maupun tak konveks dapat dilakukan melalui pendekatan linier dengan mengganti fungsi
non-linier berdasarkan hasil linierisasi ke arah pendekatan yang dapat dipecahkan dengan MILP (Belotti, et al, 2012).
Pendekatan yang sudah dilakukan dengan linierisasi fungsi objektif dan
kendala tak linier untuk mencari master MILP yang dapat memperkirakan dan mewakili pemecahan masalah awal MINLP adalah Outer Approximation (OA) (Duran dan Grosmann,1986; Fletcher dan Leyffer, 1994; Grossmann dan
Sahini-dis, 2002; Kesavan, et al, 2004). Generalized Benders Decomposition (GBD) (Geoffirion, 1972). Cutting Plane (Westerlund dan Peterson, 1995). LP/NLP berdasarkanBranch-and-Bound(B&B) (Gupta dan Ravidran, 1985; Borchers dan
dan Sahinidis, 2004; Liberti, 2006; Belotti, et al, 2009).
Pendekatan inovatif untuk pemecahan masalah MINLP juga dapat
dili-hat, seperti; AlgoritmaImprove Branchand-Branch(Marcovecchio, Bergamini dan Aguirre, 2006), Algoritma Branch-and-Cut(Nowak dan Vigerske, 2007; Karuppi-ah dan Grossmann, 2008), Branch-and-Refine (Leyffer, Sartenaer dan Wanufelle,
2008),Deterministic Lagrangian (Khajavirad dan Michalek, 2009), metode deter-ministik stokhastik, yaitu kombinasi Branch-and-Bound dengan
Outer-Approxi-mations(Fernandes, et al,2010), pendekatanHybrid, yaitu kombinasi Branch-and-Bounddengan Genetic Algoritm (BBGA) (Fernandes, et al 2011).
Pembahasan dalam Disertasi ini adalah pemecahan masalah MINLP tak konveks dengan struktur subset variabel terbatas, dan diasumsikan variabel diskrit
terpisah dari variabel-variabel kontinu. Fungsi tujuan dan kendala adalah fungsi tidak konveks dan umumnya daerah layak juga tidak konveks. Hal ini beraki-bat pemecahan semakin sulit, karena menghasilkan banyak minimum lokal yang
tidak diharapkan menjadi solusi basis. Pemecahan masalah MINLP tak konveks adalah sulit karena generalisasi masalah MILP dalam mana termasuk pada
NP-hard (Garey dan Johnson, 1979).
Umumnya untuk mengatasi kesulitan pemecahan dilakukan dengan bebera-pa kemungkinan pendekatan, antara lain; mengatasi ketidakkonveksan dengan cara merumuskan masalah kembali (bila mungkin). Akan tetapi merumuskan
da-pat diperoleh suatu formulasi MILP atau MINLP konveks yang ekivalen dengan MINLP tak konveks. Pendekatan tersebut umumnya dilakukan berturut-turut
yang berhubungan erat dengan masalah non linear programming (NLP). Seperti
Branch and Bound dimulai dari suatu bentuk kontinu murni dalam masalah NLP dengan mengabaikan syarat umum pada variabel diskrit dan sering disebut
re-laksasi MINLP (Relaxed MINLP atau rMINLP). Selain itu, tiap-tiap node yang muncul pada pohonBranch and Bound menunjukkan solusi dari rMINLP dengan batas biasa pada variabel diskrit. Dengan demikian pencarian solusi setiap node
pada pohon Branch and Bound harus dilakukan. Akan tetapi, bila variabel kon-tinu jumlahnya sangat banyak akan memerlukan waktu yang sangat banyak pula, dengan demikian secara komputasi kurang efisien.
Pendekatan yang sudah dilakukan, khususnya mengatasi konveksitas adalah metode convexcification dikombinasikan dengan metoda Branch-and-Bound (Li, Sun dan McKinnon, 2000), algoritmaImprove-and-Branch(Marcovecchio,
Berga-mini, dan Aguirre, 2006), teknik pengetatan dengan Branching and Bounds (Be-lotti, et. al, 2008), metode Dynamic Convexizzed (Zhu dan Lin, 2011), dan
Dis-junctive Cut (Belotti, 2012). Kemungkinan lain adalah menentukan suatu subset dari MINLP tak konveks berdasarkan daerah layak konveks yang dapat menaksir daerah layak tak konveks. Hal itu dilakukan dengan relaksasi masalah awal de-ngan batas bawah MINLP konveks dan dikombinasikan dede-ngan optimisasi global
1999; Belotti, et al, 2009), Branch and Reduce (Sahidis dan Tawarmalani, 2004),
Branch and Cut (Nowak dan Vigerske, 2008). Perbedaan diantara metode ini adalah bentuk relaksasi yang dibuat dan melakukan percabangan dari variabel diskrit dan kontinu.
Pendekatan heuristik untuk pemecahan masalah MINLP dapat dilihat,
seper-ti;Local Branching,Feasibility Neighbourhood Search(Mawengkang dan Murtagh, 1986; Nannicini dan Belotti, 2009), Octane Heuristic, Pivot-and-Shift (Balas, et al, 2001, 2004); Primal heuristic (Bonami dan Goncalves, 2008), Feasibility
Pump (Fishetti, Glover dan Lodi, 2005; Bonami, et al, 2009, DAmbrosio, et al, 2010; Nannicini dan Belotti, 2012),Undercover Heuristic (Berthold dan Glei- xer, (2010), pendekatan Hybrid dengan penggunaan algoritma genetik (Fernades, et
al, 2011). Heuristic dengan beberapa skema algoritma (Nannicini dan Belotti, 2011), Heuristik berdasarkanVariable Neighborhood Search,Local Branching, dan
Branch-and-Bound yang disebut Relaxed-Exact-Continuous-Integer Problem Ex-ploration (RECIPE) (Liberti, Mladenovic dan Nannicini, 2011), dan Heuristik berdasarkan Iterative Rounding (Nannicini dan Belotti, 2012).
Dalam pendekatan heuristik, satu algoritma utama terkait dengan berbagai
ke-sulitan untuk menemukan solusi layak dalam masalah MINLP. Dari kasus terbu-ruk, kerumitan titik yang muncul dalam menemukan solusi layak masalah MINLP adalah sesulit me- nemukan solusi layak pada Nonlinear programming, NP-hard
disele-saikan bila kendala linier jumlahnya sedikit.
Pemecahan masalah MINLP yang berfokus pada kendala dapat dilihat
seper-ti mengidenseper-tifikasi kendala akseper-tif, yaitu; Parseper-tial Smootness and Prox-regularity (Lewis, 2004), teknik identifikasi Active set (Hare, Oberlin dan Wright, 2006). Mencari kendala minimum lokal denganPenalty Methods (Wah dan Chen, 2006),
External active set strategy(Chung, Polak dan Sastry, 2010), algoritma Lagragean (Yu, et al, 2010). Mencari daerah layak dari daerah tak layak pada batas kendala dengan modifikasi Genetic algorithm (Wasanapradit, et al, 2011); Local Search
(Bertsimas, Nohadani, dan Teo, 2011), memisahkan variabelnonbasic dari batas-batasnya dengan kendala aktif (Mawengkang dan Murtagh,1986).
Pembahasan dalam disertasi ini adalah pemecahan masalah MINLP tak
konveks berdasarkan masalah kendala yang disebut dengan strategi kendala aktif (Active constrained strategy). Strategi ini dilakukan untuk pencarian titik opti-mal global sehingga solusi layak basis berada dekat dengan batasnya dan
dikom-binasikan dengan konsep variabel superbasic yang dikembangkan oleh Murtagh dan Shaunders (1976; 1978), yaitu variabel yang tidak berada di batasnya. Mengatasi ketidaklinieran fungsi tujuan dan kendala, dilakukan partisi variabel
linier dan taklinier dengan asumsi bahwa fungsi tak linier dapat dideferensialkan secara kontinu dalam daerah layak, dan dapat diperoleh suatu titik layak pada variabel tak linier. Ekspansi deret Taylor dan konsep variabel superbasic
op-timal berada disekitar kendala aktif dan solusi basis akan dekat dengan batasnya. Selanjutnya, untuk menemukan solusi integer layak dari solusi kontinu diperoleh
melalu proses integerisasi dengan neigbourhood search (Scraf, 1986). Akhirnya dapat diperoleh nilai-nilai variabel kontinu dan integer solusi layak yang dapat mengoptimalkan fungsi objektif.
1.2 Perumusan Masalah
Masalah dalam penelitian ini adalah sulit menemukan solusi integer layak dari masalah MINLP tak konveks. Kesulitan diakibatkan ketidaklinieran dan
ketidakkonveksan fungsi objektif dan beberapa atau semua kendala. Pembahasan adalah masalah MINLP tak konveks dengan struktur subset variabel terbatas dan diasumsikan variabel diskrit terpisah dari variabel-variabel kontinu. Pemecahan
dilakukan dengan strategi kendala aktif, yaitu suatu strategi untuk pencarian solusi optimal global dengan cara mengeluarkan variabel nonbasic dari batas-batasnya sehingga solusi layak basis berada dekat dengan batas-batasnya dan
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan suatu pendekatan baru
un-tuk memecahkan masalah MINLP tak konveks dalam rangka menemukan solusi integer layak dari solusi kontinu yang dapat mengoptimalkan fungsi objektif
1.4 Manfaat Penelitian
