BAHAN BELAJAR:
SEJARAH DAN FILSAFAT MATEMATIKA
JENJANG SMPDIKLAT PASCA UKG BERBASIS MGMP DENGAN POLA IN ON IN
Penulis: Marfuah Sumardyono
Layouter: Choirul Listiani
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN
PUSAT PENGEMBANGAN DAN PEMBERDAYAAN PENDIDIK DAN TENAGA KEPENDIDIKAN (PPPPTK) MATEMATIKA
iii
PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN BELAJAR
1. Bahan belajar ini berisi pembelajaran mengenai: sejarah matematika dan pemanfaatannya dalam pembelajaran matematika; beberapa aliran filsafat matematika dan implikasinya dalam pembelajaran matematika. Setelah mempelajari bahan belajar ini, peserta diklat diharapkan secara individu mampu:
a. menjelaskan peran sejarah matematika dalam perkembangan matematika serta pemanfaatannya dalam pembelajaran.
b. menjelaskan beberapa peristiwa sejarah untuk konsep-konsep penting matematika sekolah.
c. menjelaskan pengertian filsafat matematika secara intuitif dan beberapa aliran filsafat matematika.
d. menerapkan pendekatan aliran filsafat matematika dalam pembelajaran matematika.
2. Terdapat empat bagian di dalam bahan belajar yaitu: Pendahuluan; Aktivitas; Bahan Bacaan dan Umpan Balik/Tindak Lanjut.
3. Bahan belajar ini dipergunakan dalam ketiga tahap kegiatan (In-1, OJL, dan In-2). Pada tahap awal, peserta membaca petunjuk kegiatan selanjutnya mengerjakan dan membahas LK/LT yaitu:
a. LK yang dikerjakan pada saat Kegiatan In-1:
LK 1. Manfaat Menyertakan Sejarah Matematika dalam Pembelajaran LK 2. Café Sejarah Matematika
LK 3. Ide Penggunaan Sejarah Matematika dalam Pembelajaran b. LK yang dikerjakan pada saat On the Job Learning (OJL)
LK 4. Menggunakan Sejarah dan Filsafat Matematika dalam Pembelajaran
iv
DAFTAR ISI
PETUNJUK PENGGUNAAN BAHAN BELAJAR ... iii
DAFTAR ISI ... iv
BAGIAN 1 PENDAHULUAN ... 1
A. Pengantar Isi ... 1
B. Target Kompetensi ... 1
C. Pokok-pokok Materi ... 1
D. Strategi Pembelajaran dan Penilaian ... 2
BAGIAN 2 AKTIVITAS ... 3
A. Pengantar ... 3
B. Aktivitas IN-1 ... 4
C. Kegiatan OJL ... 9
BAHAN BACAAN I SEJARAH MATEMATIKA UNTUK PEMBELAJARAN ... 12
A. Sejarah Matematika dalam Pembelajaran... 12
B. Beberapa Tokoh Matematika... 13
C. Sejarah Matematika Konsep Matematika Jenjang SMP... 27
BAHAN BACAAN II FILSAFAT MATEMATIKA ... 38
A. Pengertian Filsafat dan Alirannya ... 38
B. Implikasi Filsafat Matematika dalam Pembelajaran ... 40
BAGIAN 4 UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT ... 43
A. Evaluasi Diri ... 43
B. Tindak lanjut ... 48
1
BAGIAN 1
PENDAHULUAN
A. Pengantar Isi
Sejarah dan filsafat matematika merupakan wawasan yang dapat dimanfaatkan guru dalam pembelajaran matematika. Wawasan ini meliputi bagaimana perkembangan ilmu pengetahuan matematika, berbagai prosedur, pendekatan, dan penggunaan matematika dalam penyelesaian masalah di abad yang telah lalu. Pengetahuan mengenai sejarah dan filsafat matematika dapat meningkatkan apresiasi siswa terhadap pelajaran matematika (Van Mannen, 1997).
Melalui bahan belajar ini, diharapkan guru memahami salah satu kompetensi guru, yaitu memahami sejarah dan filsafat matematika. Aspek sejarah apalagi filsafat matematika walau dalam bentuk yang sempit, sering kali teralienasi dalam proses peningkatan kompetensi guru matematika, apalagi dalam proses pembelajaran matematika di kelas. Namun demikian, aspek sejarah dan filsafat matematika sesungguhnya merupakan bagian penting yang “melahirkan” matematika dan yang menjadi “pisau” dalam membedah matematika untuk kemudian dibelajarkan kepada peserta didik. Pemahaman mengenai sejarah matematika akan sangat membantu guru memahami aspek kultural dari matematika sehingga pemahaman menjadi lebih komprehensif, termasuk memahami kelahiran konsep matematika dan mengapa mengambil bentuk yang ada sekarang. Sementara filsafat matematika akan membantu guru mengembangkan kurikulum dan mendesain proses pembelajaran matematika secara lebih bermakna.
B. Target Kompetensi
Memahami sejarah dan filsafat matematika, khususnya yang terkait dengan pembelajaran matematika SMP.
C. Pokok-pokok Materi
Pokok-pokok materi pada bahan belajar ini antara lain: Garis Besar Sejarah Matematika
Sejarah Matematika: Beberapa Konsep dan Tokoh Penting Terkait Topik Matematika di Sekolah
2
Pengaruh Filsafat Matematika pada Pembelajaran
D. Strategi Pembelajaran dan Penilaian
Untuk memanfaatkan bahan belajar ini, peserta diklat perlu membaca petunjuk belajar beserta dengan evaluasinya.
1. Untuk keperluan diklat
Jika bahan belajar ini digunakan dalam kegiatan diklat, maka sebaiknya fasilitator menyusun poin-poin bahan belajar ini untuk dijadikan sebagai bahan tayang. Selanjutnya peserta melakukan kegiatan atau mengerjakan tugas sesuai dengan langkah-langkah yang sudah dirancang dalam bahan belajar ini. Langkah-langkah yang dimaksud sebagai berikut. - Fasilitator menyampaikan poin-poin kegiatan akan dilakukan.
- Peserta diklat mengerjakan tugas atau latihan dengan didampingi fasilitator (bila perlu) pada bagian Kegiatan In-1. Upayakan permasalahan tuntas dibahas dalam kegiatan ini. Untuk membantu penyelesaian tugas, peserta dapat merujuk bahan bacaan yang ada di bagian akhir bahan belajar ini. Sangat dimungkinkan juga peserta mencari referensi dari bahan bacaan lain atau sumber lain.
- Untuk bagian On The Job Learning (OJL) dikerjakan pada saat OJL.
- Setelah itu peserta mengerjakan bagian evaluasi setelah kegiatan OJL dan mengerjakan postes pada akhir In-2
- Selanjutnya, periksalah hasil pengerjaan evaluasi dengan kunci jawaban yang disediakan. Untuk melihat ketercapaian kompetensi dan langkah apa yang mesti dilakukan silahkan lihat bagian tindak lanjut.
2. Untuk keperluan referensi sendiri
3
BAGIAN 2
AKTIVITAS
A. Pengantar
4
B. Aktivitas IN-1
Jelaskanlah manfaat dimasukkannya sejarah matematika dalam pembelajaran matematika! Diskusikan pendapat Anda bersama guru lain.
LK 1
5 Alat: spidol warna, kertas flipchart
1. Bagi kelas diklat menjadi 5 kelompok untuk mendirikan café.
2. Beri nama café kelompok Anda dengan nama yang menarik pengunjung.
3. Setiap café (seluruh anggota kelompok) agar menghidangkan menu spesial sebagai berikut. Menu dapat berupa topik, konsep, atau tokoh yang dianggap penting dan menarik. (Manfaatkan spidol warna dan kertas flipchart untuk memvisualisasikan menu semenarik mungkin sehingga pengunjung tertarik untuk bertanya)
Kelompok 1. Tokoh Matematika Kelompok 2. Sejarah Bilangan Kelompok 3. Sejarah Geometri Kelompok 4. Sejarah Aljabar
Kelompok 5. Sejarah Peluang dan Statistika
Kelompok 6. Filsafat Matematika dan Implikasi pada Pembelajaran
4. Tetapkan satu orang anggota kelompok sebagai host / tuan rumah / pemilik café, dan anggota kelompok yang lain sebagai pengunjung.
5. Seluruh anggota kelompok, kecuali host, silahkan berkunjung ke café lain untuk menikmati menu yang disajikan oleh hostcafé yang dikunjungi.
Host bertugas:
menjelaskan sajian menu dan memimpin diskusi/konsultasi/tanya jawab terkait menu yang disajikannya.
mengarahkan catatan yang diberikan setiap pengunjung agar tanggapannya fokus, singkat, dan relevan dengan menu sajian.
mencatat atau memberi memvisualisasikan tambahan pada pendapat atau tanggapan peserta di kertas flipchart.
6. Seluruh peserta wajib mengunjungi semua café (lainnya). Setiap pengunjung dapat memberikan tanggapan dengan cara menulis pada bagian kosong pada menu yang telah disajikan dan diakhiri dengan no.presensi dan/atau nama.
7. Masing-masing host dapat melakukan penilaian terhadap pengunjung sebagai berikut.
6
Kriteria Nilai
Menambahkan lebih dari 3 ide yang relevan dengan menu dan belum ditambahkan pengunjung lain.
3 Menambahkan 2 ide yang relevan dengan menu dan belum
ditambahkan kelompok lain
2 Menambahkan 1 ide yang relevan dengan menu dan belum
ditambahkan kelompok lain
1
Tidak memberi kontribusi 0
8. Setiap pengunjung juga dapat memberikan penilaian terhadap host sebagai berikut.
Kriteria Nilai
Penjelasan dan performance yang sangat baik. 3
Penjelasan dan performance yang cukup baik. 2
Penjelasan dan performance yang kurang baik. 1
Penjelasan dan performance yang tidak baik. 0
7
Pilihlah salah satu topik matematika di SMP, kemudian tuliskan ide Anda secara lengkap tentang bagaimana menggunakan sejarah untuk pembelajaran topik tersebut.
Anda dapat merujuk pada John Fauvel (Garner, 1996) tentang beberapa cara yang dapat ditempuh dalam menggunakan sejarah dalam pembelajaran matematika di kelas.
LK3
9
C. Kegiatan OJL
Praktikkan ide Anda tentang bagaimana menggunakan sejarah dalam pembelajaran matematika di kelas. Kemudian tuliskan pengalaman Anda terkait hal-hal berikut. LK4
1. Topik matematika yang dipilih
2. Bentuk penggunaan sejarah dalam pembelajaran
3. Bukti fisik penggunaan sejarah (dapat berupa RPP/ppt/lembar kerja/lainnya)
10
5. Respon/ minat siswa terkait penggunaan sejarah matematika dalam pembelajaran
11 BAGIAN 3
BAHAN BACAAN
SEJARAH DAN FILSAFAT
12
BAHAN BACAAN I
SEJARAH MATEMATIKA UNTUK PEMBELAJARAN
A. Sejarah Matematika dalam Pembelajaran
Salah satu kompetensi guru adalah memahami sejarah matematika. Pentingnya sejarah matematika bagi guru, tidak semata-mata karena sejarah matematika sebagai salah satu cabang matematika, tetapi lebih dari itu, karena peran sejarah matematika yang secara langsung maupun tak langsung mempengaruhi pembelajaran matematika.
Fauvel (2000) menyatakan bahwa terdapat tiga dimensi besar pengaruh positif sejarah matematika dalam pembelajaran:
1. understanding (pemahaman): perspektif sejarah dan perspektif matematika (struktur modern) saling melengkapi untuk memberikan gambaran yang jelas dan menyeluruh tentang konsep dan teorema, serta bagaimana konsep-konsep saling berkaitan,
2. enthusiasm (antusiasme): sejarah matematika memberikan sisi aktivitas sehingga menimbulkan antusiasme dan motivasi, dan
3. skills (keterampilan): memacu keterampilan menata informasi, menafsirkan secara kritis berbagai anggapan dan hipotesis, menulis secara koheren, mempresentasikan kerja, dan menempatkan suatu konsep pada level yang berbeda.
Bagaimanakah cara menggunakan sejarah matematika tersebut? Sesungguhnya sangat banyak cara yang dapat ditempuh sesuai dengan tujuan apa yang diinginkan. Berikut ini secara lebih rinci, John Fauvel (Garner, 1996) menyarankan beberapa cara yang dapat ditempuh dalam menggunakan sejarah dalam pembelajaran matematika di kelas, yaitu:
1. menyebutkan atau menceritakan tentang matematikawan pada zaman dahulu secara menyenangkan.
2. menyediakan pengantar sejarah untuk konsep-konsep yang baru bagi siswa.
3. memacu siswa untuk memahami masalah-masalah sejarah untuk mana konsep-konsep yang telah mereka pelajari merupakan jawabannya.
4. memberi tugas-tugas tentang sejarah matematika.
5. melengkapi latihan-latihan di kelas atau di rumah dengan menggunakan tulisan-tulisan matematika dari zaman dahulu.
13
9. menggunakan contoh-contoh penting dalam sejarah matematika untuk menggambarkan teknik-teknik atau metode-metode matematika.
10.mengeksplorasi miskonsepsi, kesalahan, atau pandangan lain pada zaman dahulu untuk membantu pemahaman dan penyelesaian kembali akan kesulitan-kesulitan yang dijumpai oleh siswa pada masa sekarang.
11.merencanakan suatu pendekatan pedagogik untuk suatu topik tertentu dengan menggunakan perkembangan sejarahnya.
12.merencanakan urutan dan struktur topik dalam silabus pembelajaran dengan landasan sejarah.
Pada bagian selanjutnya, dibahas mengenai sejarah matematika. Ada banyak cara menyajikan sejarah matematika, mulai dari sejarah matematika tiap peradaban, tiap tokoh, tiap topik matematika, hingga dari sudut pandang tertentu misalnya filsafat. Di bawah ini disajikan sejarah matematika berdasarkan tokoh matematika dan topik matematika sekolah.
B. Beberapa Tokoh Matematika
Tokoh-tokoh matematika telah banyak dirangkum para sejarawan hingga ribuan jumlahnya. Di bagian ini hanya disajikan sebagian kecil saja dari tokoh-tokoh matematika itu, namun memiliki konstribusi yang penting di dalam matematika, terutama matematika sekolah.
1. Pythagoras (580-501 SM)
Pythagoras yang lahir di pulau Samos (di Turki) mendirikan perguruan yang disebut Perguruan Pythagoras. Dasar perguruan tersebut adalah bilangan, yang mengatur segala sesuatu. Karya perguruan Pythagoras kita ketahui hanya dari tulisan Aristoteles, Euclid, Proclus, Diogenes Laertisus, dan lain-lain.
14
Sumbangan matematika yang penting dari perguruan Pythagoras, antara lain bukti Teorema Pythagoras dan konversinya. Bukti teorema Pythagoras dari perguruan Pythagoras berdasarkan pada gambar geometris di atas. Ada yang mengatakan rumus Tripel Pythagoras: –
,
(berasal dari perguruan Pythagoras, tetapi sesungguhnya
telah dikenal di Babilonia.
Perguruan ini membahas apa yang disebut dengan bilangan segitiga, bilangan persegi, bilangan segilima, bilangan sempurna dan bilangan bersahabat. Bilangan sempurna adalah bilangan bulat positif yang sama dengan jumlah dari pembagi-pembagi murninya. Contohnya 6 = 1 + 2 + 3. Bilangan-bilangan bersahabat adalah dua bilangan bulat positif, masing-masing merupakan jumlah dari pembagi-pembagi murni dari bilangan pasangannya. Contohnya, pasangan 220 dan 284. Selain itu, juga mengenai rata-rata hitung, geometris, harmonik, dan hubungan ketiganya. Teorema yang menyatakan bahwa jumlah sudut-sudut sebarang segitiga sama dengan dua kali sudut siku-siku, pertama kali berasal dari perguruan Pythagoras.
Pythagoras mengajarkan bahwa semua bilangan adalah rasional.Namun, muridnya yang bernama Theodorus membuktikan bahwa akar dari 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, dan 17 adalah irasional. Sementara bukti bahwa akar suatu bilangan asli adalah irasional jika dan hanya jika bilangan asli tersebut bukan bentuk kuadrat, diberikan oleh Theaetetus.
Berdasarkan beberapa literatur, Pythagoras meninggal sekitar 507 SM saat kompleks perguruannya dibakar oleh penguasa setempat karena dianggap mengajarkan aliran yang sesat.
2. Euclid (325-265 SM)
Euclid dari Alexandria sangat terkenal dalam matematika. Tetapi sedikit yang dapat diketahui dari kehidupan Euclid. Data yang dapat dipercaya berasal dari Procus sekitar
15
tahun 420 M. Euclid dipastikan pernah belajar di Akademi Plato di Athena. Tidak ada karya Euclid yang memiliki kata pengantar, sehingga kita tidak dapat mengetahui “siapa” pengarangnya.
Euclid
Karya terkenal dari Euclid adalah Element, yang merupakan kompilasi pengetahuan dan menjadi sumber belajar selama 2000 tahun. Buku tersebut dimulai dengan definisi dan lima postulat, serta aksioma. Yang terkenal adalah postulat kelima atau postulat paralel. Dengan mengganti postulat ini, kita mengenal geometri non-euclidean. Geometri euclidean adalah geometri yang dipelajari di sekolah. Buku Element yang terdiri dari 13 buah buku terpisah, amat menakjubkan dalam hal kecermatan dan urutan teori yang dinyatakan dan dibuktikan. Buku ini menjadi cikal bakal sistem aksiomatis dalam matematika. Telah ada ribuan edisi diterbitkan sejak pertama kali dicetak tahun 1482.
Euclid juga menulis banyak buku lain, tetapi yang dapat bertahan hingga kini terkait matematika antara lain Data yang berisi 94 proposisi dan On Divisions yang membahas mengenai cara membagi sebuah bangun menurut perbandingan yang diberikan.
3. Archimedes (287-212 SM)
Archimedes berasal dari Syracuse, pulau Sicilia yang menjadi koloni Yunani. Barangkali ia belajar di Universitas Alexandria sebab ia bersahabat dengan Erasthothenes, murid Euclid. Ia sering disebut sebagai matematikawan terbesar sebelum Isaac Newton.
16
Archimedes mampu memusatkan perhatiannya pada suatu persoalan hingga terkadang melupakan dirinya sendiri. Cerita tentang penemuan hukum hidrostatis merupakan salah satu contohnya, ketika ia mendapatkan tugas dari raja Hieron, untuk menguji kemurnian mahkota emas. Di saat mandi, ia menemukan sifat hidrostatis, dan karena kegembiraannya ia berlari ke luar dalam keadaan tanpa pakaian sambil berteriak “Eureka-Eureka” (aku menemukan, aku menemukan). Pada saat Syracuse diserang oleh Romawi, Archimedes membantu dengan membuatkan beberapa mesin untuk mempertahankan kotanya. Pada saat Syracuse akhirnya jatuh pada 212 tahun SM, Archimedes pun terbunuh oleh tentara Romawi karena begitu asyiknya melukis kurva di pasir.
Archimedes menulis banyak subjek, dan seringkali menggunakan cara apa yang sekarang dalam bentuk modern kita sebut dengan kalkulus. Karena itu ia sering disebut sebagai Bapak Integral. Beberapa karyanya sebagai berikut: The Method (Metode) yang banyak menjelaskan tentang metode menemukan teorema-teoremanya, Qudrature of the Parabola (Membujursangkarkan parabola) yang berisi 24 dalil, Measurement of a Circle (Pengukuran lingkaran) di mana dengan “metode klasik” (metode poligon beraturan) ia mendapatkan perbandingan berada di antara
dan
dengan menghitung keliling
poligon segi 96 beraturan, On Spirals (Tentang spiral) yang berisi 28 dalil mengenai sifat-sifat spiral yang kini disebut spiral Archimedes, dengan persamaan polar r = a., juga buku tentang Conoida dan Sferoida yang memuat 40 dalil mengenai isi benda putaran yang terbentuk oleh kurva derajat dua dan soal-soal mengenai membagi bola sehingga volum segmen-segmen bola mengikuti suatu perbandingan yang ditentukan.
4. Brahmagupta (598-670 M)
17 Brahmagupta
Pemahaman Brahmagupta tentang sistem bilangan jauh melebihi orang-orang sejamannya. Dalam Brahmasphutasiddhanta, ia mendefinisikan nol sebagai hasil pengurangan sebuah bilangan dengan dirinya sendiri. Brahmagupta juga memberikan aturan aritmetika dalam istilah untung (bilangan positif) dan istilah rugi/hutang (bilangan negatif). Brahmagupta juga memberikan metode perkalian yang menggunakan nilai tempat, yang menjadi cikal bakal cara perkalian kita. Terdapat tiga metode yang dinyatakannya dalam Brahmasphutasiddhanta. Sumbangan lain adalah algoritma untuk menghitung akar kuadrat suatu bilangan. Algoritma ini kini dikenal dengan rumus iterasi Newton-Raphson. Brahmagupta juga mengembangkan notasi aljabar dan metode menyelesaikan persamaan kuadrat, serta metode menyelesaikan persamaan tak tentu berbentuk ax + c = by. Dalam Brahmasphutasiddhanta, ia juga memberikan rumus untuk luas segiempat tali busur dan diagonal segiempat talibusur dengan menggunakan sisi-sisi segiempat. Dalam buku Khandakhadyaka, ia membahas rumus interpolasi untuk menghitung nilai sinus yang sekarang dikenal dengan nama rumus interpolasi Newton-Stirling.
5. Al-Khwarizmi (780-850 M)
18 Al-Khwarizmi
Abu Musa al-Khwarizmi menyusun karya aljabar Hisab al-Jabr wal-Muqabala yang selama berabad-abad digunakan di Timur maupun Barat, di mana kitab asli berbahasa Arabnya telah lama hilang. Terjemahan yang termasyur oleh Gerard de Cremona yaitu De Jebra et Almucabala. Di dalam terjemahan karya al-Khwarizmi tersebut terdapat 6 bab yang berisi 6 bentuk persamaan linear dan kuadrat. Selain secara aljabar, al-Khwarizmi juga memberikan penyelesaian secara geometri dengan membuat diagram geometris. Salah satu contohnya untuk persamaan kuadrat x2 + 10x = 39.
Lewat sebuah karya aritmetikanya, yaitu Liber Argoritum atau Algorismi de Numero Indorum (arabnya : Al-Jami’ wa at-Tafriq bil Hisab al-Hind) diperkenalkan angka-angka Hindu-Arab untuk pertama kali ke Eropa beserta sistem desimal. Ia berjasa dalam merintis dan memelopori perhitungan dengan angka nol (bahasa Inggris: chiper, yang berasal dari bahasa arab sifr) dan sistem desimal. Karena pengkajiannya yang analitis dalam karya-karyanya, namanya menjadi suatu istilah “algoritma”.
Selain karya yang telah disebutkan, terdapat pula karya lain yang terkenal yaitu Trattati
d’Arithmetica, terjemahan Prince Boncompagni. Tokoh ini sering dikaitkan dengan teorema The Casting Out 9`s. Sebagai astronom, al-Khwarizmi juga menyusun Zij (daftar astronomi) yang sangat populer pada saat itu dan berisi nilai-nilai sinus dan tangens. Dia pun mempersiapkan sebuah peta bumi bersama-sama ilmuwan lain.
6. Fibonacci (1170-1250 M)
19 Fibonacci
Fibonacci menulis karya yang terkenal yaitu Liber Abaci tahun 1202. Buku tersebut berisi aritmetika dan aljabar yang ia himpun selama perjalanannya di Afrika Utara. Buku ini memperkenalkan sistem nilai tempat dan angka Hindu-Arab. Pada bagian berikutnya, banyak dibahas mengenai soal-soal yang berkaitan dengan perdagangan, sedang pada bagian ketiga memperkenalkan bilangan Fibonacci dan barisan Fibonacci, yaitu 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 , 55, ... (tetapi Fibonacci tidak menulis suku pertama dalam bukunya) dari suatu masalah yang dikenal sebagai masalah kelinci. Barisan ini sangat terkenal dan diketahui banyak ditemukan dalam gejala alam.
Buku lainnya, Practica geometriae ditulis tahun 1220. Buku ini berisi koleksi soal geometri yang dibagi ke dalam 8 bab. Dalam Flosi (1225), Fibonacci memberikan pendekatan yang akurat terhadap akar dari 10x + 2x2 + x3 = 20. Buku Liber quadratorum yang ditulis tahun 1225 berisi kajian teori bilangan. Salah satunya sebagai berikut: Tak ada bilangan bulat x dan y yang memenuhi x2 + y2 dan x2y2 kedua-duanya bilangan kuadrat. 7. Descartes (1596-1650 M)
20 Descartes
Karena dorongan kolega-koleganya, ia lalu menerbitkan Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences, sebuah karya sain. Karya ini dilengkapi dengan tiga apendiks, yaitu La Dioptrique tentang optika, Les Meteores tentang meteorologi, serta La Geometrie. Karya terpenting, terletak pada La Geometrie yang membahas mengenai matematika. Dalam karya ini terdapat ide geometri analitik yaitu masalah yang memuat gagasan mengaitkan geometri dan aljabar. Sebagai penghormatan, kini koordinat silang (tegak lurus) kita namakan koordinat kartesian/kartesius. Karya yang penting lainnya adalah Principia Philosophiae yang dipublikasi di Amsterdam tahun 1644. Karya ini terbagi dalam 4 bagian yang membawa masalah alam ke dalam matematika. Tahun 1649, ratu Christina dari Swedia mengundang Descartes untuk datang dan mengajar di Stockholm.Karena suatu tugas dari ratu, di sana ia mengubah pola bangun tidur siangnya. Setelah beberapa bulan dari musim dingin yang ekstrim, ia meninggal tahun 1650 karena pneumonia.
8. Fermat (1601-1665 M)
Pierre Fermat mula-mula belajar di universitas Toulouse lalu tahun 1620 di Bordeaux. Dari Bordeaux, ia pindah ke Orleans dan menyelesaikan studi hukum di sana. Ia lalu bekerja sebagai pengacara sekaligus terpilih dan masyur di parlemen.
21
Tahun 1636 dimulai kontak antara Mersenne dengan Fermat. Fermat lalu menceritakan penemuannya mengenai kesalahan yang dibuat Galileo mengenai jatuh bebas, juga penemuannya tentang spiral, dan perbaikan tulisan Apollonius mengenai titik pada bidang. Fermat lalu menulis Method for determining Maxima and Minima and Tangents to Curved Lines.
Selama tahun 1643 hingga 1654, ia tidak lagi mengajar di Paris namun banyak mengenai Teori Bilangan walaupun kurang disenangi pada saat itu. Teorema Terakhir Fermat, yang menyatakan bahwa xn + yn = zn tidak memiliki penyelesaian bulat x, y dan z untuk n 2
menjadi terkenal. Ia menulis dalam bagian tepi terjemahan Bachet terhadap karya Diophantus, Arithmetica: ”Aku telah menemukan bukti yang benar namun tepi halaman ini terlalu kecil untuk memuat bukti itu”. Sekarang, matematikawan menunjukkan bahwa bukti Fermat salah. Bukti lengkap ditunjukkan oleh Andrew Wiles pada Nopember 1994. Fermat mulai berkorespondensi dengan Blaise Pascal tahun 1654. Dari sini terungkap idenya mengenai teori probabilitas. Kini, Fermat dan Pascal dihormati sebagai pendiri teori probabilitas.
Dalam buku New Account of Discoveries in the Sciences of Numbers tahun 1659, banyak memuat metode antara lain untuk menunjukkan bahwa setiap bilangan prima berbentuk 4k+1 dapat ditulis sebagai jumlah dua bilangan kuadrat, namun tidak detail. Di kemudian hari, Euler membuat bukti yang lebih rinci.
9. Pascal (1623-1662 M)
22 Pascal
Tahun 1651, ayahnya Étienne Pascal meninggal. Peristiwa ini mendorongnya menulis tentang filsafat, yang terkenal, Pensées, sebuah koleksi pemikirannya antara tahun 1656 hingga 1658. Tahun 1653, Pascal menulis Treatise on the Equilibrium of Liquids, di mana ia menjelaskan tentang Hukum Pascal mengenai tekanan.
Setelah sempat dimulai tahun 1648, tahun 1654 ia menyelesaikan bukunya tentang irisan kerucut, The Generation of Conic Sections. Pascal menganggap irisan kerucut sebagai hasil dari proyeksi titik terhadap lingkaran. Walaupun Pascal bukan orang pertama yang membahas mengenai “Segitiga Pascal”, tetapi tulisannya dalam Treatise on the Arithmetical Triangle amat penting. Melalui surat-menyurat dengan Fermat tahun 1654, Pascal membangun dasar-dasar Teori Probabilitas. Dalam lima buah suratnya, ia membahas dua masalah terkenal, the dice problem dan the problem of points. Karya terakhir tentang kurva cycloid, sebelum ia meninggal pada usia 39 tahun karena sakit. 10.Newton (1643-1727 M)
Isaac Newton dilahirkan di Lincolnshire, Inggris. Masa kecil Newton kurang mendapat perhatian. Menurut de Moivre, ketertarikan Newton pada matematika dimulai tahun 1663 saat ia dibelikan buku astrologi di Cambridge tetapi ia tidak memahami matematika di dalamnya. Ia lalu memutuskan untuk mempelajari beberapa buku matematika lainnya.
23
Talenta Newton mulai berkembang pesat setelah kedatangan seorang matematikawan Barrow di Cambridge tahun 1663. Barrow melihat bakat jenius pada Newton. Tahun 1671, Newton menulis dasar-dasar kalkulus differensial dan integral, dengan Metode Fluxion-nya lewat buku De Methodis Serierum et Fluxionum (diterbitkan 1736).
Tahun 1669, saat Newton baru berusia 27 tahun, ia telah dipromosikan Barrow untuk menduduki profesor Lucasian. Karya Newton pertama sebagai profesor Lucasian adalah mengenai optik di mana ia meneliti bahwa cahaya putih adalah gabungan berbagai tipe-tipe sinar lewat aberasi kromatik. Tahun 1672, Newton terpilih sebagai anggota Royal Society setelah mempersembahkan teleskop reflektif. Tahun itu juga, ia menerbitkan makalah tentang cahaya dan warna di the Philosophical Transactions of the Royal Society. Tahun 1666, Newton telah membuat versi awal dari tiga hukum geraknya. Ia juga menjelaskan tentang gerak sentrifugal. Atas saran dari Halley, Newton lalu menyusun buku yang terkenal, Philosophiae naturalis principia mathematica (disingkat dengan nama Principia). Ia menganalisa gerak benda, gerak sentrifugal dan sentripetal, dan bahwa setiap benda sesungguhnya saling mempengaruhi melalui apa yang disebut Hukum Gravitasi Umum, “semua benda mempengaruhi benda lain dengan suatu gaya sebanding dengan hasil kali massanya dan berbanding terbalik dengan kuadrat jaraknya”.
Walau mulai tahun 1703, ia terpilih sebagai presiden the Royal Society hingga Ia meninggal dan menerima penghargaan kehormatan sebagai ilmuwan dari Ratu Anne (1705), namun di akhir hidupnya ia berkonfrontasi dengan Leibniz mengenai siapa yang menemukan Kalkulus.
11.Euler (1707-1803 M)
24 Euler
Selama 21 tahun, ia telah menulis sekitar 380 makalah. Tahun 1771, ia menderita kebutaan total. Namun Euler terus menulis bahkan jumlahnya hampir setengah dari total tulisan sebelum kebutaan. Bahkan St Petersburg Academy masih menerbitkan karya Euler yang belum diterbitkan selama hampir 50 tahun setelah kematiannya.Selain di bidang fisika, ia membuat lompatan besar pada geometri analitik dan trigonometri, kalkulus, dan teori bilangan. Ia memperkenalkan fungsi Beta dan fungsi Gamma (1729), serta faktor integrasi untuk persamaan differensial. Euler juga yang memperkenalkan lambang f(x) tahun 1734, e (1727), i (1777), , (1755), dan masih banyak lagi. Euler menunjukkan bahwa untuk k = 24 maka 2k + 1 habis dibagi 641, mendapatkan ln (1) = i (tahun 1727),
memperkenalkan fungsi (n), tahun 1735 menyelesaikan the Basel problem dengan menunjukkan (1/n2) = 2/6, tahun 1737 memberi relasi yang terkenal yaitu: (1/ns) = (1
– p-s)-1, tahun 1735 memperkenalkan konstanta Euler, sebagai limit dari tahun 1744 sebagai orang pertama yang menyajikan fungsi aljabar sebagai deret lewat: , menulis apa yang kini disebut Rumus Jumlah Euler-Maclaurin, dan bukti Teorema Terakhir Fermat untuk pangkat 3.
Dalam buku Introductio in analysin infinitorum (1748) Euler mendasarkan kalkulus pada teori dasar fungsi bukan pada kurva-kurva geometris seperti yang dilakukan sebelum Euler. Dalam karya ini, juga memuat persamaan terkenal: e. Selain menerbitkan Institutiones calculi differentialis (1755) danInstitutiones calculi integralis (1768-1770), Euler juga menulisMethodus inveniendi lineas curvas ... (1740) yang memuat studi murni tentang kalkulus variasi.
25
Konigsberg), mekanika (terbit Mechanika-1736), astronomi (lunar theory), matematika musik (buku Tentamen novae theoriae musicae-1739), dan kartografi.
12.Gauss (1777-1855 M)
Carl Friedrich Gauss mulai masuk sekolah dasar saat berusia tujuh tahun. Gurunya, Büttner, terkejut saat Gauss dengan seketika dapat menjawab jumlah bilangan asli 1 hingga 100. Ia masuk akademi Brunswick dan di sana secara mandiri berhasil menemukan hukum Bode, teorema binomial, rata-rata aritmetik dan geometrik, hukum kebalikan kuadratik, dan teorema bilangan prima.
Gauss
Tahun 1795, ia melanjutkan ke Universitas Göttingen. Tahun 1798 ia meninggalkan Göttingen tanpa gelar, namun dengan prestasi yang gemilang tentang konstruksi segi-17 beraturan dengan penggaris dan jangka. Temuan ini diterbitkan dalam Disquisitiones Arithmeticae, bagian VII pada tahun 1801. Gauss kembali ke Brunswick, dan menyelesaikan studi sarjana di Universitas Helmstedt dengan disertasi mengenai Teorema Fundamental Aljabar.
26
Tahun 1832, Gauss dan Weber menyelidiki teori magnetisme terestrial. Hingga tahun 1840, ia telah menerbitkan tiga buku mengenai subjek ini. Gauss dan Weber juga menemukan banyak hukum fisika dan diterbitkan dalam kurun 1836-1841.
Gauss terkenal karena kesabarannya. Ia seringkali telah mengetahui suatu metode atau masalah tetapi tidak merasa perlu mempublikasikannya, bahkan amat menghargai matematikawanlain yang menemukannya kembali. Dalam masa akhir hidupnya, Gauss banyak berkecimpung pada masalah praktis.Ia meninggal pada 23 Februari 1855 saat tidur paginya.
13.Cantor (1854-1918 M)
George Cantor terkenal sebagai penemu teori himpunan. Kontribusinya ini mengubah wacana matematika.Pada 1870, Cantor berhasil menyelesaikan soal ketunggalan representasi fungsi atas deret trigonometri yang tak dapat dipecahkan sebelumnya. Cantor menerbitkan makalah yang mendefinisikan bilangan irasional sebagai barisan bilangan rasional yang konvergen tahun 1870. Dedekind menulis definisi bilangan real lewat potongan Dedekind (Dedekind cuts) setelah membaca makalah Cantor di atas.
Cantor
27
Makalah pentingnya yang terakhir tentang teori himpunan terbit tahun 1895 dan 1897 di Mathematische Annalen tentang aritmetika transfinit. Di makalah kedua terdapat teorinya tentang well-ordered set dan bilangan ordinal. Tahun 1897 ia menemukan sebuah paradoks dalam teori himpunannya.
Cantor mengalami depresi tahun 1884 karena kekhawatirannya dalam matematika dan hubungan yang kurang serasi dengan Kronecker, hingga mulai tahun 1899 ia berhenti mengajar karena kesehatan mentalnya yang memburuk. Di tahun-tahun berikutnya aktivitas matematikanya menurun, namun tetap menulis mengenai filsafat, sastra, dan religi. Tahun 1917 ia masuk ruang perawatan dan akhirnya meninggal tahun 1918 karena serangan jantung.
C. Sejarah Matematika Konsep Matematika Jenjang SMP
Pada bagian ini, dikemukakan sejarah beberapa topik atau konsep penting dalam matematika sekolah. Sebagian besar bersumber dari modul Sejarah dan Filsafat Matematika (2012).
1. Teori Himpunan
Teori himpunan bermula dari diterbitkannya makalah berjudul On a Characteristic Property of All Real Algebraic Numbers karya George Cantor tahun 1874. Topik yang menjadi cikal bakal lahirnya Teori Himpunan, salah satunya konsep ketakhinggaan. Bertrand Russell dan Ernst Zermelo secara independen menemukan paradoks yang kemudian dikenal sebagai “Paradoks Russell”. Pada tahun 1899, Cantor sendiri juga menyuguhkan sebuah paradoks terkait bilangan kardinal. Walaupun menimbulkan beberapa paradoks, Teori Himpunan terus menemukan peranannya dalam membangun struktur matematika modern. Misalnya, Henri Lebesgue yang menggunakan Teori Himpunan untuk membangun teori ukuran. Kini Teori Himpunan dianggap sebagai salah satu landasan matematika modern.
2. Konsep dan Sistem Bilangan
a. Angka Hindu-Arab
28
sistem desimalnya masuk ke Eropa, yang terpenting oleh Fibonacci (k.1170-1240) dengan buku Liber Abaci tahun 1202.
b. Bilangan Pecahan dan Desimal
Menurut catatan sejarah, perkembangan bilangan pecahan tertua mungkin dimulai di Mesir Kuno. Brahmagupta dalam Brahmasphutasiddhanta menjelaskan tentang penulisan dan perhitungan bilangan pecahan. Sementara itu, al-Qalasadi (1412-1486) orang pertama yang menulis tanda garis horizontal di antara pembilang dan penyebut, namun Jeff Miller menyebut nama al-Hassar (abad ke-12).
Al-Kashi
Sedangkan pemakaian pecahan desimal berikut cara perhitungannya yang signifikan terdapat pada karya al-Kashi (k.1380-1429), Miftah al-Hisab. Ini dilanjutkan oleh Simon Stevin (1548-1620) dengan menulis La Disme tahun 1585.
c. Bilangan Negatif
Diduga Bangsa Mesir Kuno telah mengenal bilangan negatif. Bilangan positif dengan lambang kaki melangkah ke kiri, sedang bilangan negatif ditandai dengan kaki melangkah ke kanan. Matematikawan Cina kuno belum menerima bilangan negatif sebagai penyelesaian suatu persamaan bahkan matematikawan Yunani Kuno hampir dalam setiap bukunya tidak memberikan penyelesaian bilangan negatif. Penerimaan bilangan negatif lebih maju di India. Brahmagupta telah mempergunakan bilangan negatif hampir serupa dengan konsep modern.
d. Bilangan Bentuk Akar
29
Yunani Kuno, matematikawan India Kuno memperlakukan akar bilangan bukan kuadrat sebagai bilangan juga.
e. Bilangan Prima
Konsep bilangan prima mula-mula berkembang dari perguruan Pythagoras. Euclid dalam bukunya Elements (k. 300 SM) membuktikan bahwa bilangan prima ada sebanyak tak hingga, serta juga membuktikan Teorema Dasar Aritmetika. Eratosthenes menemukan cara mendapatkan semua bilangan prima di bawah bilangan tertentu. Kontribusi berikutnya yang penting adalah pembuktian Euler bahwa jumlah semua kebalikan bilangan prima adalah divergen. Jadi 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + .... menuju tak hingga.
f. Bilangan Pi ()
Sejarah bilangan pi, amatlah panjang dan penting. Sejarahdimulai antara lain oleh bangsa Babilonia sekitar 4000 SM dan Mesir (Papirus Ahmes atau Rhind, 1650 SM).
Salah satu bagian Papirus Ahmes
Perhitungan teoritik pertama berasal dari Archimedes (287-212 SM), dengan menggunakan
keliling poligon luar dan poligon dalam suatu lingkaran, ia menemukan . Pada 1596 M, Viéte menemukan bentuk deret bilangan untuk . Willebord Snell (1580-1626) menemukan nilai dengan cara menggunakan trigonometri. John Wallis pada 1650
30
(1707-1788) pada 1760 untuk pertama kali menggunakan metode peluang untuk menentukan nilai . Irasionalitas bilangan dibuktikan pertama kali oleh Johann Lambert (1728-1777) tahun 1761. Lambang sendiri pertama kali digunakan oleh William Jones (1675-1749) tahun 1706, dan populer lewat tangan Euler. Perhitungan dengan komputer dimulai tahun 1949 M oleh ENIAC, komputer generasi awal, di mana dalam tempo 70 jam berhasil menghitung hingga 2037 desimal. Dengan menggunakan superkomputer dan pemilihan rumus yang tepat, kini kita dapat menghitung secara lebih cepat.
g. Barisan dan Deret
Sejarah barisan dan deret sebenarnya cukup panjang. Naskah kuno tertua yang berhubungan dengan barisan dan deret adalah Papirus Rhind atau Papirus Ahmes (sekitar 1650 SM), di mana soal no.79 dalam papirus berhubungan dengan masalah deret. Selanjutnya, salah satu paradoks dari Zeno berhubungan dengan deret geometri. Archimedes telah bekerja dengan deret tak hingga. Secara eksplisit mungkin inilah deret pertama dalam matematika. Fibonacci menulis buku Liber Abaci (1202) di mana terdapat sebuah soal tentang kelinci yang terkait dengan sebuah jenis barisan yang dinamakan Barisan Fibonacci. Selanjutnya deret bilangan asli bentuk kuadrat, kubik, dan seterusnya antara lain dibahas oleh Yang Hui dalam buku Detailed analysis, Ibnu banna al-Marrakhusi (1256-1321) dalam bukunya Raf al-Hisab juga Ibrahim Al-Umawi (1400-1489). Akhirnya, di tangan Euler, deret-deret yang tak hingga dibahas tuntas seperti dalam bukunya, Introductio in analysin infinitorum. Setelah jaman Euler, konsep deret telah begitu pesat dan termasuk dalam studi analisis.
h. Segitiga Pascal
31
Deskripsi Segitiga Pascal oleh Yang Hui (1238–1298)
(di Cina, disebut Segitiga Yang Hui)
Mungkin deskripsi tentang segitiga Pascal, yang paling tua berasal dari India, dengan apa yang disebut Meru Prastara (berasal dari abad ke-3 atau 4). Segitiga binomial tersebut menjadi terkenal lewat karya Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique pada tahun 1654. Pascal menulis banyak sifat yang berkenaan dengan segitiga binomial tersebut. 3. Konsep Aljabar
a. Teorema Pythagoras
32
itu sendiri hanya berlaku untuk m bilangan ganjil. Belakangan, Plato memberikan rumus yang lebih baik: m2–1, 2m, m2 +1.
b. Persamaan Kuadrat
Bangsa Babilonia telah menggunakan suatu algoritma ‘melengkapkan kuadrat’ untuk menentukan penyelesaian suatu persamaan kuadrat, misalnya dalam Papirus Berlin (suatu naskah Mesir Kuno) dari tahun 2160-1700 SM. Sekitar 300 SM, Euclid dalam buku Data membahas 3 soal mengenai persamaan kuadrat, namun menggunakan kuantitas geometri. Dalam buku Arithmetica, Diophantus (antara 210-290) juga menyelesaikan persamaan kuadrat. Matematikawan India telah menggunakan cara yang ekuivalen dengan rumus akar persamaan kuadrat.
Aryabhata I memberikan aturan untuk jumlah suatu deret geometri yang menunjukkan pengetahuannya tentang persamaan kuadrat dengan kedua akarnya. Brahmagupta menggunakan cara mirip Babilonia tetapi dengan variasi yang lebih baik, termasuk dengan kuantitas negatif. Perkembangan penting berikutnya oleh Al-Khwarizmi yang menulis tipe-tipe persamaan kuadrat dengan mengabaikan akar nol maupun negatif. Al-Khwarizmi menyusun 6 macam persamaan kuadrat. Setiap tipe persamaan kuadrat di atas, diselesaikannya dengan menggunakan diagram geometris dan prinsip melengkapkan kuadrat. Menurut sejarawan, Abraham bar Hiyya Ha-Nasi atau lebih dikenal di Eropa sebagai Savasorda (k.1125) menulis buku Liber embadorum yang diterbitkan di Eropa tahun 1145 dan merupakan buku pertama yang memberikan penyelesaian lengkap persamaan kuadrat.
c. Sistem Persamaan Linear
33
Jianzhang Suan Shu
Dalam teks kuno Jianzhang Suan Shu,yang terjemahan Inggrisnya Nine Chapters of the Matematical Arts, telah menyuguhkan berbagai soal sistem persamaan linier, termasuk metode untuk menyelesaikannya yang dasarnya merupakan metode matriks, yaitu metode fang cheng, yang kini disebut Metode Eliminasi Gauss.
4. Konsep Geometri
Sejarah peradaban paling kuno yang tercatat dalam sejarah adalah peradaban Babilonia. Pengetahuan Babilonia mengenai geometri khususnya keliling, luas, dan volum cukup teliti. Dalam Batu Susa yang ditemukan tahun 1936, terdapat perhitungan yang lebih teliti. Batu ini antara lain berisi perhitungan perbandingan keliling lingkaran luar dan keliling segienam beraturan, dan memberikan nilai sebesar 8
1
3 . Pada tablet Susa terdapat rumus
yang tepat menghitung volume frustum, yaitu
Pada peradaban Mesir Kuno, terdapat Papirus Rhind berisi masalah matematika dan pemecahannya, terkait dengan aritmetika dan geometri. Masalah geometri terdapat pada soal 41 hingga 46, lalu 48 hingga 60. Lalu tujuh dari 25 soal pada Papirus Moskow merupakan soal geometri, yang membahas perhitungan luas segitiga hingga menemukan luas permukaan setengah bola dan volum frustum. Soal nomor 14 berisi perhitungan volum frustum (piramida terpancung) dengan rumus yang tepat, yaitu V 31h(a2abb2)
34
Frustum dengan ukurannya yang dihitung volumnya pada Papirus Moskow
Pada peradaban India kuno, pengetahuan geometri pada sulbasutra adalah mengenai transformasi bentuk bangun datar ke bentuk bangun datar yang lain, dengan luas yang sama. Terdapat cara transformasi persegi menjadi persegipanjang, trapesium samakaki, segitiga samasisi, belahketupat, dan lingkaran. Terdapat soal transformasi antara persegi dan lingkaran, dengan penggunaan nilai sebesar 3,088 dan 3,004.
Pada peradaban Cina kuno, dikenal naskah kuno Jiǔzhāng Suànshù dan berisi persoalan aritmetika hingga geometri. Naskah bab 5 (shang kung, pekerjaan teknik sipil) dan bab 9
(Kou ku, sudut siku-siku) berisi masalah geometri. Liu Hui sudah berusaha menghitung
volum bola, namun mengaku belum berhasil. Zu Keng (450 - 520) berhasil menghitung
diameter bola jika diketahui volum bola. Ia menyelesaikannya menggunakan prinsip yang
lalu disebut prinsip Cavalieri.
Dari warisan sejarah geometri pada peradaban kuno, yang paling lestari pemanfaatannya hingga jaman modern adalah geometri dari Yunani kuno. Sumber dan warisan utama geometri Yunani kuno berasal dari Euclid dengan bukunya berjudul Elements yang terdiri dari 13 buah buku. Masalah keliling, luas dan volum bangun geometri dibahas pada buku Elements tersebut dan menjadi acuan pokok dalam pengajaran geometri di sekolah dan universitas selama berabad-abad. Selain Element, buku On the Sphere and Cylinder misalnya, dibahas volum berbagai bangun ruang, salah satunya penurunan rumus volum bola dengan cara membandingkannya dengan volum kerucut dan tabung. Pada buku Measurement of a Circle dibahas penurunan luas lingkaran, dan yang terpenting penemuan nilai pi dengan menggunakan metode pendekatan hingga segi 96 beraturan. Archimedes menemukan nilai pi berada di antara 7110
3 dan 317. Dari sinilah kemudian penggunaan nilai 7
35
Selanjutnya perkembangan terpenting bidang geometri, terjadi pada masa peradaban Islam (Arab dan Persia) yaitu rintisan geometri non-euclidean. Mengenai tema keliling, luas, dan volum, dapat disebutkan salah satunya mengenai persamaan al-Mahani. Persamaan ini merupakan solusi bagaimana membagi sebuah bola menjadi dua segmen bola dengan perbandingan volum yang diberikan. Pada abad-abad selanjutnya, studi keliling, luas, dan volum bangun geometri telah sepenuhnya dipelajari dengan bantuan analisis atau kalkulus. Salah satu penemuan terpentingnya adalah penemuan integral kalkulus yang dapat menghitung luas dan volum berbagai bangun ruang.
5. Fungsi
Penggunaan nama fungsi pada awalnya memang tidak persis sama dengan konsep modern yang kini ada. Sebagai istilah matematika, kata “fungsi” pertama kali digunakan oleh Gottfried Leibniz tahun 1673, namun untuk menunjukkan nilai kemiringan kurva pada titik tertentu. Fungsi yang demikian, kini dikenal sebagai fungsi turunan. Leibniz juga memperkenalkan istilah “variable”, “constant” dan “parameter”. Tahun 1718, Johann Bernoulli memperkenalkan fungsi sebagai sebarang ekspresi yang menggunakan variabel dan beberapa konstanta. Demikian juga yang dianut oleh Euler. Jadi, ekspresi semisal x2 2x 1 juga disebut fungsi. Clairaut dan Euler kemudian memperkenalkan lambang f(x).
Lobachevsky
36 6. Konsep Kombinatorika
Cabang kombinatorika di dalam matematika berkaitan dengan menentukan banyak pilihan atau variasi secara diskrit dan menentukan pilihan yang paling tepat. Buku pertama yang membahas mengenai kombinatorika secara jelas berasal dari peradaban Jain di India, salah satunya buku Bhagati Sutra (k.300 SM). Mahavira (sekitar 850 M) secara menakjubkan menulis rumus umum untuk banyak permutasi dan juga kombinasi. Pada buku Lilavati, Bhaskara menulis tentang permutasi dan kombinasi di bawah judul Anka Pasha. Berikutnya buku kuno I Ching, yang memuat soal mengenai berapa jenis ‘heksagram’ yang dapat dibuat. Di Cina juga telah dikenal masalah mengenai teori graph, bujursangkar ajaib (magic square), sekitar 200 M. Nama Lo Shu adalah nama untuk bujursangkar ajaib 33. Abraham bin Ezra (sekitar 1140 M) telah menemukan bukti sifat simetri koefisien binomial. Blaise Pascal, Leibniz, Bernoulli, dan Euler termasuk peletak dasar-dasar kombinatorika modern. Jacob Bernoulli menulis Ars Conjectandi sekitar 1713, dan dapat dianggap sebagai buku pertama yang ditulis tentang kombinatorika. Pada abad ke-18, Euler mengembangkan masalah-masalah yang terkait kombinatorika.
7. Teori Peluang
37 8. Statistika
38
BAHAN BACAAN II
FILSAFAT MATEMATIKA
A. Pengertian Filsafat dan Alirannya
Filsafat matematika telah lahir dalam bentuk awal sejak ribuan tahun yang lalu. Perkembangan yang penting diwakili oleh Pythagoras dan para pengikutnya, yang berkeyakinan bahwa bilangan adalah yang paling bertanggung jawab dalam mengatur alam semesta, “Numbers rules the universe” (bilangan memerintah/mengatur alam semesta). Filsafat matematika (philosophy of mathematics) merupakan bidang kajian filsafati yang sasarannya adalah matematika. Matematika dipikirkan dengan cermat dengan pemikiran refleksif. Filsafat matematika berbeda dengan landasan matematika (foundation of mathematics) yang merupakan bidang kajian yang lebih sempit dari filsafat matematika, karena hanya membahas konsep-konsep dan azas-azas fundamental yang dipergunakan dalam matematika.
Secara umum terdapat empat aliran besar yang mempengaruhi jalan perkembangan matematika termasuk perkembangan pendidikan matematika.
1. Platonisme
Pandangan Plato terhadap matematika bahwa objek matematika bersifat abstrak dan tidak memiliki hubungan realitas atau asal usul sehingga bersifat abadi dan tak berubah. Penggunaan nama Plato karena pandangan ini mirip dengan pandangan Plato dalam bukunya Theory of Form.
Masalah dari aliran ini antara lain tidak dapat menjawab pertanyaan: tepatnya, di mana dan bagaimana objek matematika itu ada, dan bagaimana cara kita mengetahui keberadaannya?
2. Formalisme
39 David Hilbert
Pemikiran ini mempengaruhi buku-buku pelajaran dan kurikulum matematika selama pertengahan abad ke-20.Walaupun semua sistem matematika masih menggunakan aksioma tetapi menganggap bahwa formalisme menjadi landasan matematika tidak diterima oleh beberapa ahli.Keberatan bermula ketika Godel membuktikan bahwa kita tidak mungkin dapat membuat suatu sistem lengkap yang konsisten dalam dirinya sendiri. Pernyataan ini terkenal dengan sebutan Teorema Ketidaklengkapan Godel (Godel`s Incompleteness Theorem).
3. Logisisme
Dua ahli matematika sekaligus ahli filsafat dari Inggris menjadi pioner aliran atau landasan matematika ini yaitu Bertrand Russell (1872-1970) dan Alfred North Whitehead (1861-1947) lewat buku mereka Principia Mathematica (1903).Menurut mereka semua matematika dapat diturunkan dari prinsip-prinsip logika.Kebanyakan ide-ide logika juga diterima oleh kaum formalis namun mereka tidak percaya bahwa matematika dapat diturunkan dari logika saja. Sementara menurut kaum logisisme, matematika itu tidak lain adalah logika. Menurut istilah mereka, matematika itu masa dewasa dari logika.Keberatan utama terhadap aliran ini muncul dari adanya paradoks-paradoks logika (seperti paradoks teori himpunan pada aliran formalisme) yang tidak dapat diselesaikan oleh kaum pendukung logisisme.
4. Intuisionisme
40 Brouwer
Intuisionis mengklaim bahwa matematika berasal dan berkembang di dalam pikiran manusia, jadi matematika lahir karena dikonstruksi secara mental.Ketepatan dalil-dalil matematika tidak terletak pada simbol-simbol di atas kertas, tetapi terletak dalam akal pikiran manusia.Hukum-hukum matematika tidak ditemukan melalui pengamatan terhadap alam, tetapi mereka ditemukan dalam pikiran manusia.Keberatan terhadap aliran ini terutama adalah bahwa pandangan kaum intuisionis tidak memberikan gambaran yang jelas tentang bagaimana matematika bekerja dalam pikiran.
B. Implikasi Filsafat Matematika dalam Pembelajaran
41
benar maka tidak menjadi masalah. Seharusnya guru juga harus berperan sebagai fasilitator, yaitu mengarahkan siswa pada penalaran dan juga penulisan lambang formal. Mengikuti pendapat dari Lakatos (dalam Herman, 1990) terdapat dua kelompok besar filsafat matematika: the absolutist philosophy of mathematics (filsafat matematika yang absolut) dan the fallibilist philosophy of mathematics (filsafat matematika yang boleh salah - tidak absolut). Menurut Lakatos, yang termasuk ke dalam the absolutist philosophy of mathematics adalah aliran Platonisme, Logisisme, Intuisionisme, dan Formalisme.
Berikut ini implikasi kedua filsafat matematika itu dalam kurikulum pendidikan matematika.
1. Filsafat matematika absolut dan kurikulumnya.
Bagi filsafat matematika absolut, pengetahuan matematika atau objek matematika “terlepas” dari dunia nyata, dan memiliki kedudukan yangbebas dari masyarakat.
Mengutip Paul Ernest dari berbagai pendapat ahli, berikut ini beberapa karakteristik kurikulum matematika yang menganut filsafat matematika absolut.
a. Kurikulum diorganisasi berdasarkan konten matematika (content-centered).
b. Guru berperan sebagai “penceramah” untuk membantu siswa memahami, menghubungkan ide, dan konsep. Guru sebagai sumber utama dan pengetahuannya tak terbantahkan.
c. Terdapat kurikulum pokok (standar) yang menjadi model dalam pengembangan kurikulum. Bagi filsafat ini, objek matematika “ditemukan” dan statis berdasarkan kurikulum.
d. Belajar melalui abstraksi, menghubungkan ide-ide dan konsep-konsep matematika tanpa ada bagian yang real.
e. Matematika dilihat sebagai disiplin ilmu yang terisolasi dan diskrit dan dalam hubungannya dengan kurikulum matematika diperlakukan secara terpisah dan tidak ada integrasi materi.
Jadi, secara umum, filsafat matematika absolut fokus pada konten matematika, bukan pada “proses” atau “bagaimana berpikir matematis”.
42
Berdasarkan pendapat Popper dalam Ernest (1991), filsafat matematika non-absolut (fallibilist) memandang pengetahuan matematika atau objek matematika sebagai hasil dari aktivitas manusia (hasil sosial dan budaya). Filsafat ini memandang sejarah matematika sebagai bagian dari matematika. Lebih lanjut, filsafat matematika non-absolut fokus pada pembelajaran bukan pada konten matematika. Pandangan filsafat matematika non-absolut bersifat pragmatis dan fokus pada aspek proses matematis di mana realitas selalu berubah, pengetahuan matematis tidak statis.
Mengutip Paul Ernest dari berbagai pendapat ahli, berikut ini beberapa karakteristik kurikulum matematika yang menganut filsafat matematika non-absolut.
a. Peserta didik dibebaskan dari pembelajaran tradisional yang menekankan pada belajar menghafal, pengulangan latihan (drill), dan bergantung pada buku teks (text book authority).
b. Belajar dilakukan dengan cara aktivitas yang melibatkan pemecahan masalah di mana kompetensi yang diperoleh memungkinkan diterapkan pada situasi dan objek yang lain.
c. Peran guru adalah membantu peserta didik mengidentifikasi masalah mereka dan mencari solusi masalah.
d. Pembelajaran bersifat student-centered berbeda dengan filsafat tradisional.
e. Belajar merupakan bagian integral dari kehidupan dan bukan rencana untuk kehidupan masa depan.
43
BAGIAN 4
UMPAN BALIK DAN TINDAK LANJUT
A. Evaluasi Diri
Untuk mengukur ketercapaian peserta diklat dalam mempelajari bahan belajar ini lakukan evaluasi diri sebagai berikut secara jujur.
Petunjuk:
Evaluasi terdiri dari dua bagian, sejarah dan filsafat matematika. Bagian pertama terdiri dari 20 soal. Pada masing-masing soal, pengerjaan yang benar mendapatkan skor 1. Jadi skor total 20. Capaian kompetensi bagian 1 yaitu dirumuskan sebagai berikut.
Bagian kedua terdiri dari 12 soal. Pada masing-masing soal, pengerjaan yang benar mendapatkan skor 1. Jadi skor total 12. Capaian kompetensi bagian 2 yaitu dirumuskan sebagai berikut.
Setelah mengerjakan semua soal evaluasi periksalah jawaban Anda dengan jawaban evaluasi pada lampiran untuk mengukur capaian kompetensi .
44 Bagian I
1. Buku Algoritmi de numero Indorum merupakan buku yang membahas mengenai penggunaan angka atau sistem bilangan Hindu-Arab. Penulisnya adalah:
A. Fibonacci B. al-Khwarizmi C. Archimedes D. Cramer 2. Perintis penulisan bilangan desimal antara lain , kecuali:
A. al-Kasyi B. Simon Stevin C. Al-Qalasadi D. Newton 3. Berikut ini beberapa naskah atau catatan kuno yang menjadi sumber pengetahuan matematika
dari jaman sebelum masehi, kecuali:
A. Jianzhang Suanshu B. Papirus Ahmes C. Plimton 322 D. Principia
4. Kepercayaan berikut dianut oleh Pythagoras dan pengikutnya:
A. Bilangan mengatur alam B. Hanya ada bilangan positif
C. Tuhan menciptakan bilangan D. Bilangan prima adalah bilangan terindah
5. Tokoh matematika yang pertama kali membuktikan bahwa banyak bilangan prima ada tak hingga adalah:
A. Pythagoras B. Euclid C. Archimedes D. Eratothenes
6. Apa yang dibuktikan Lambert terkait bilangan ?
A. irasional B. transendental C. di antara 2 dan 3 D. = 3,14 7. Generasi Komputer pertama yang menghitung nilai adalah:
A. IBM B. Compaq C. ENIAC D. Pegasus
8. Metode yang banyak dipakai matematikawanYunani kuno dalam menghitung luas dan volum dikenal dengan nama:
A. metode Newton B. Metode partisi C. Exhaustion D. Commensurable 9. Tokoh matematika yang mampu menyelesaikan soal deret dalam sekejab saat di bangku SD
adalah ... .
A. Galileo B. Gauss C. Pascal D. Newton
10. Walaupun Teorema Pythagoras telah dipakai jauh sebelum Pythagoras namun namanya digunakan untuk teorema tersebut, karena ... .
A. Pythagoras adalah yang pertama memberi bukti matematisnya B. Dipergunakan secara massal pada jaman Pythagoras
C. Ada penulis lain yang menyebut bahwa Pythagoras-lah yang menemukannya D. Buku tertua yang memuat teorema tsb adalah karangan Pythagoras
45
A. Yunani kuno B. Arab kuno C. India kuno D. Cina kuno 12. Perhitungan volum limas terpancung (frustum) dengan rumus yang tepat dari jaman Mesir
kuno terdapat pada ... .
A. Papirus Rhind B. Papirus Moscow C. Papirus Ahmes D. Papirus Berlin 13. Tokoh yang membagi jenis persamaan kuadrat ke dalam 6 bentuk dan memecahkannya dengan
diagram geometris adalah ....
A. Euclid B. Aryabhata I C. al-Khwarizmi D. Savasorda 14. Metode Eliminasi Gauss (yang didasarkan pada teknik eliminasi) untuk memecahkan sistem
persamaan linear telah dikenal dan digunakan secara intensif pada jaman ...
A. Mesir Kuno B. India kuno C. Arab kuno D. Cina kuno 15. Penemu dan pengembang Teori Himpunan adalah ...
A. Gauss B. Cantor C. Pascal D. Newton 16. Tokoh awal yang telah banyak menulis rumus untuk permutasi dan kombinasi adalah ...
A. Aryabhata I B. Mahavira C. Lu Hui D. I-Ching 17. Tokoh yang merintis dan mengembangkan Teori Peluang untuk pertama kali adalah ...
A. Blaise Pascal B. Chevalier de Méré C. Huygens D. Jakob Bernoulli
18. Kajian secara deduktif-aksiomatis terhadap Teori Peluang pertama kali diberikan oleh: A. Fermat B. Johann Bernoulli C. DeMoivre D. Kolmogorov 19. Salah satu kontribusi penting Gauss dalam statistika adalah ....
A. Memperkenalkan distribusi normal B. Menulis banyak lambang statistik C. Menemukan bulan Ceres secara statistik D. Memperkenalkan istilah “median”.
20. Pengertian atau definisi fungsi seperti yang digunakan sekarang ini pertama kali diperkenalkan oleh ...
46 Bagian II
1. Berikut ini pertanyaan-pertanyaan yang merupakan kajian pada filsafat matematika, kecuali ... A. Mengapa matematika perlu dipelajari?
B. Apa yang dikatakan “benar” di dalam matematika?
C. Konsep dasar apa yang membangun matematika secara keseluruhan?
D. Bilangan itu ada karena memang ada (ditemukan), atau ada karena dikonstruksi pikiran? 2. Salah satu teori yang sering dianggap sebagai landasan matematika adalah ...
A. Teori Bilangan B. Logika Matematika C. Kalkulus D. Aljabar 3. Masalah pada jaman Yunani kuno yang terkait kajian filsafat matematika adalah ...
A. Paradoks Zeno
B. Menghitung luas bangun di bawah kurva C. Terapan matematika pada musik
D. Masalah menghitung nilai pi
4. Ciri-ciri berikut ini merupakan ciri filsafat matematika yang bersifat absolut dalam pembelajaran, kecuali ...
A. Belajar dimulai dari buku teks
B. Tujuan belajar untuk mendapatkan nilai yang tertinggi C. Lebih mementingkan hubungan antar konsep
D. Solusi masalah matematika diverifikasi berdasarkan aturan atau norma.
5. Berikut beberapa kecenderungan dalam perkembangan pendidikan matematika yang terkait atau sinkron dengan filsafat matematika non-absolut, kecuali ...
A. Menggunakan konteks dalam mengawali belajar matematika B. Penggunaan alat peraga dalam pembelajaran matematika
C. Menyuguhkan masalahyang bersifat “pemecahan masalah” dengan banyak cara D. Penilaian bersifat eksak dan deterministik
6. Berikut peran guru yang menganut filsafat matematika non-absolut .. A. Guru sebagai wasit
B. Guru sebagai sumber ilmu C. Guru sebagai dokter/penyembuh D. Guru sebagai fasilitator
7. Berikut ini ciri kurikulum yang berlandaskan pada filsafat matematika absolut A. Berorientasi konten atau materi
B. Mengutamakan belajar dari konteks tidak dari buku teks
47
D. Siswa diberi kesempatan mengembang diri dalam belajar. 8. Aliran formalisme dirintis oleh ...
A. Aristoteles B. Plato C. Hilbert D. Newton 9. Aliran logisisme dirintis oleh ...
A. Leibniz B. Russell C. Whitehead D. Brouwer 10. Russell & Whitehead menulis buku tahun 1905 yang terkenal sebagai sumber pengetahuan
tentang aliran logisisme, yaitu
A. Principia Mathematica B. Theory of Form
C. Prior Analytic D. Organon
11. Menurut aliran Intuisionistik, entitas atau objek matematika itu .... A. Ada dan hanya perlu ditemukan manusia
B. Ada tetapi perlu diformulasikan manusia
C. Tidak ada sebelum dikonstruksi pikiran manusia D. Tidak ada sebelumdisepakati semua matematikawan 12. Tokoh utama aliran Intuisionisme adalah ...
48
B. Tindak lanjut
Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya bahwa evaluasi yang dilakukan oleh diri sendiri secara jujur adalah kunci keberhasilan mengukur capaian kompetensi ( ). Berkaitan dengan itu, pertimbangkan hal berikut.
Perolehan (dalam %)
Deskripsi dan tindak lanjut
Sangat Baik, berarti Anda benar-benar memahami sejarah
dan filsafat matematika. Selanjutnya kembangkan pengetahuan dan tuangkan dalam pembelajaran
Baik, berarti Anda cukup memahami sejarah dan filsafat matematika walaupun ada beberapa bagian yang perlu dipelajari lagi. Selanjutnya pelajari lagi beberapa bagian yang dirasakan belum begitu dipahami.
Cukup, berarti Anda belum cukup memahami sejarah dan
filsafat matematika. Oleh karena itu Anda perlu mempelajari lagi bagian yang belum dikuasai dan menambah referensi dari sumber lain
Kurang, berarti Anda belum dapat memahami sejarah dan
50
DAFTAR PUSTAKA
Anglin, W. S. 1994. Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
Bell, Eric Temple. 1987. Mathematics, Queen & Servant of Science. Washington: Tempus Books of Microsoft Press.
Boyer, Carl B. 1968. A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons, Inc. Cooke, R. 1997. The History of Mathematics. A Brief Cource. New York: John Wiley &
Sons, Inc.
Courant, Richart & Robbins, Herbert. 1981. What is Mathematics, An Elementary Approach To Ideas and Methods. New York: Oxford University Press.
Dali S. Naga. 1980. Berhitung, Sejarah dan Perkembangannya. Jakarta: Gramedia
Eves, Howard. 1964. An Introduction to The History of Mathematics. New York: Holt, Rinehart, & Winston, Inc.
Fauvel, John. 2000. The Role of History of Mahematics Within a University Mathematics Curriculum for the 21st century. dalam http://www.bham.ac.uk/ctimath/talum/ newsletter/. London: The Mathematical Association.
Freudenthal, Hans. 1981. Should a Mathematics Teacher Know Something about The History of Mathematics?. dalam http://www.dcs.warwick.ac.uk/bshm/education/ ineduc.html. London: British Society for The History of Mathematics.
Garner, Mary. 1996. The Importance of History in Mathematics Teaching and Learning. dalam http://www.aug.edu/dvskel/Garner1SU97.htm
O`Connor, J. J. & Robertson, E. F. 1999. kumpulan esai dalam andrew.ac.uk/history/HistTopic/ & dalam http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Mathematics/
Sitorus, J. 1990. Pengantar Sejarah Matematika dan Pembaharuan Pengajaran Matematika di Sekolah. Bandung: Tarsito.
51
Sumardyono. 2003. Sejarah Topik Matematika Sekolah. Seri Paket Pembinaan Penataran. Yogyakarta: Pusat Pengembangan Penataran Guru Matematika (PPPG Matematika) Sumardyono. 2004. Karakteristik Matematika dan Implikasinya terhadap Pembelajaran Matematika. Seri Paket Pembinaan Penataran. Yogyakarta: Pusat Pengembangan Penataran Guru Matematika (PPPG Matematika)
Sumardyono. 2012. Sejarah dan Filsafat Matematika. Modul Diklat Pasca UKA. Yogyakarta: Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan Matematika (PPPPTK Matematika)
The Liang Gie. 1984. Filsafat Ilmu. Yogyakarta: Supersukses.
The Liang Gie. 1985. Filsafat Matematika. Yogyakarta: Supersukses.
