C.2.3. Matematika Bangunan - Materi Pertemuan 10-11: Integral Lipat

(1)

38

INTEGRAL LIPAT DUA

Luas daerah yang diarsir (merah) a : y . x

Apabila y  0 ; x  0 maka luas bidang tersebut menjadi integral yang ditulis sebagai berikut :

 

_ _



x s

r x

m y

k y

dx

dy

A

.

Untuk menghitungnya dimulai dari bagian dalam kemudian bagian luar.

 

_ 



x s r x

m y

k

y

dy

dx

A

.

 



_  



x s

r x

m y

k y

dx

y

















 









_xx _rs x s

r x

x

k

m

dx

k

m



m

k

 

s

r

A





.



O r s X Y

m

k

x

(2)

39

KESIMPULAN

Pernyataan



 

 

2 1

,

y

y x

x

f

x

y

dx

dy

A

disebut Integral lipat dua / Double Integral

Langkah penyelesaian :

1) f (x,y) diintegrasikan terhadap x (dengan menganggap y konstan) dengan batas x=x1 dan x=x2.

2) Hasilnya kemudian diintegrasikan terhadap y dengan batas y=y1 dan y=y2.

Contoh soal :

Hitunglah



 







2 1

4

2

x

2

y

dx

dy

I

Jawab :



 







2

1 4

2

x

2

y

dx

dy

I

dy xy x

4

2 2

1

2

1

















 





y y



dy



    2

1 8 8 2 4









2

1 2 2

1 64y dy 6y2y





(3)

40

PENERAPAN

Tentukan luas daerah yang

dibatasi oleh y=

5 4x

sumbu x,

dan ordinat pada x = 5.

PENYELESAIAN

Luas elemen yang diarsir = y . x

Jika y  0 dan x  0, maka :

 



_{0 0}5 y1

dx

dy

A

 





₀5 1

5

0 0

1

dx

y

dx

y

Tetapi

5

4

1

x

y



_{, maka :}

10

5

2

5

4

5

0

5

0 2



















x

dx

x

A

_{satuan luas.}

O Y

5 X x

y1 =

5 4x

(4)

41

Contoh Penerapan 2

Tentukan momen kedua dari

empat persegi panjang 6m x

4m mengelilingi sumbu yang

melalui salah satu titik

sudutnya dan tegak lurus

kepada bidang persegi

panjang tersebut.

Jawab :

a = y . x

Momen kedua p terhadap oz = a (op)2

= y . x (x2_{+ y}2₎

Jika x  0 dan y  0 maka :





 





₀6 ₀4 2 2

dx

dy

y

x

A



































6

0

2 6

0

4

0 3 2

3

64

4

3

dx

x

dx

y

x

4 6

0 3

416

128

288

3

64

3

4

cm

x





















(5)

42

BENTUK PENULISAN LAIN INTEGRAL LIPAT DUA

Kadang-kadang integral lipat dua ditulis dengan cara yang sedikit

berbeda, sebagai berikut :

Hitunglah :



dx



 

x



x dy 1

0

2 3

0

Kunci pengerjaannya : Diselesaikan mulai integral yang paling

kanan, kemudian berurut-urutan kekiri.

Penyelesaian :

 

 





3

0 1 0

2

dy x x dx I





1

0 3

0

2







dx

xy

x

y

 

2 3

0

dx

x



x









 



3 0

2

dx

x

=

3

0 3 2

3

1

2

1









x



x

9

4

,

5

2

9

(6)

43

INTEGRAL LIPAT TIGA

Urutan penyelesaiannya dari paling dalam







f

e d

c b

a

f

x

,

y

,

z

dx

.

dy

.

dz

Contoh :

Hitunglah :

  

_









3

1 1

1 2

0

f

x

2

y

z

dx

.

dy

.

dz

Jawab :



  

_









3 1

1 1

2

0

x

2

y

z

dx

.

dy

.

dz

I



 

_













3

1 1

1

2

0 2

.

2

1

dz

dy

xz

xy

x



 

_











3 1

1 1

1 1 2

2

y

z

dz













 









3

1

2

z

2

z

dz











3

1

4

z

dz





3 1 2

2

4

z



z



(7)

44

Penentuan Volume dengan Integral Lipat

Elemen volume x . y . z

1. Penjumlahan elemen tersebut kearah kolom menghasilkan :

z y x z z z y y y y

V_c



.

0

1 1 2



_ _



2. Jika sekarang jumlahkan kolom-kolom di antara y = y1 dan y = y2, diperoleh volume irisan.

z y x z z z y y y y

V_s   

 . . 0 1 1 2



_ _ 

3. Kemudian, penjumlahan terhadap semua irisan diantara x=x1 dan x=x2 memberikan volume total.

z y x z z z y y y y x x x x

V



.



.



0

2 1 2 1 2



     



Selanjutnya, seperti biasa, jika x  0, y  0, dan z  0,

  



2 1 2 1 1

0

.

(8)

45

Contoh 1.

Sebuah benda dilingkupi oleh bidang z = 0, bidang x = 1, x = 4,

y = 2, y = 5 dan permukaan z = x + y. Tentukanlah volume benda

tersebut.

Jawab :

Pertama-tama seperti apakah bentuk bendanya?

Bidang z = 0 adalah bidang x-y dan bidang x = 1 mempunyai

posisi sebagai berikut :

Dengan cara yang sama, gambarkanlah bidang-bidang sisi

vertikalnya.

(9)

46

Jika sekarang tandai ketinggian, yang dihitung pada

masing-masing perpotongnnya (z = x + y), didapatkan

Ini barulah persiapan untuk menyelesaikan persoalan, agar kita tahu bagaimana menangani integralnya.

(10)

47

1) Volume elemen  x . y . z

2) Volume kolom  x . y



   ) ( 0 y x z z

3) Volume irisan  x



     dy y x z z dy y y 0 2 5

4) Volume total benda 



       dz y x z z dy y y dx x x 0 2 5 1 4

Kemudian, sebagaimana biasanya, jika x  0, y  0, z  0,

hubungan ini menjadi :







dx

dy

x y

z

V

0 5 2 4 1



V dx dy dz dx dy



x y



y x

 









5

2 4 1 0 5 2 4 1 5 2 2 4 1 5 2 4

1

(

)

2











 





(11)

48

dx x

x x

dx 

  

   

  

 _ _ _





2 21 3

2 2 2 25

5 4

1 4

1





4

1 2

4

1 2

21

3

2

1

2

21

2

3

x























 





 

132

24



2

1

21

3

84

48

2

1













= 54 satuan

3

Contoh :

Hitunglah isi benda yang dibatasi oleh silinder x2 + y2 = a2, bidang z = y dan z = 0.

Penyelesaian :

Pada gambar tersebut diberikan ¼ bagian dari benda batas-batasnya :

z1 = 0 ; z2 = y

(12)

49

x1 = 0 ; x2 = a

Jadi,







4

₀a ₀ a2 x2 ₀y

dz

.

dy

.

dx

I





 2 2

0

0 . .

4 a a x y dy dx I

dx

y

I

x a a

2 2

0 2 0

2

1

4















 

y

dx

I

a a x

2 2

0 2 0

2









a

x



dx

I

a 2 2

0

2

















 















3 3

0 3 2

3

1

2

3

1

2

a x x a a

I

a

3

4

(13)

50

KESIMPULAN

Kunci untuk menyelesaikan integral lipat tiga/dua :

1. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :

 

x

y

dx

dy

f

x x y

y

,

.

2 1 2 1



Pengerjaannya mulai dari dalam keluar.

2. Untuk integral yang ditulis dalam bentuk :

 

x

y

dx

f

dy

x

x y

y

,

2 1 2

1

