BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang
Persamaan diferensial berperang penting di alam , sebab kebanyakan fenomena alam dirumuskan dalam bentuk diferensial. Persamaan diferensial sering digunakan sebagai model matematika dalam bidang sains maupun dalam bidang rekayasa.
Persamaan differensial adalah pesamaan yang memuat turunan satu (atau beberapa ) fungsi yang tidak diketahui. Suatu persamaan diferensial yang terdiri dari satu variabel bebas saja dinamakan perasamaan diferensial biasa (Ordinary Differential Equation-ODE). Sedangkan persamaan diferensial yang terdiri dari dua atau lebih variabel bebas dinamakan persamaan diferensial parsial (partial Differential Equation-PDE). Pada pembahasan makalah kami akan membahas persamaan diferensial biasa (ODE) dengan metode Euler dan metode heun. Penyelesaian persamaan diferensial biasa (ODE) mempunyai bentuk umum yaitu:
,dy f x y dx
Penyelesaian PDB secara umerik berarti menghitung nilai fungsi di xr+1 = xr + h, dengan h adalah ukuran langkah (step )setiap lelaran. Pada metode analitik, nilai awal berfungsi untuk memperoleh solusi yang unik, sedangkan pada metode numeric nilai awal (initial value ) pada ersamaan di atas berfungsi untuk memulai lelaran .
B. Tujuan
Adapun tujuan dari praktikum ini adalah
1. Memberikan gambaran penggunaan metode penyelesaian syarat awal yaitu permasalahan diferensial gerak osilasi dengan metode Euler.
2. Mengetahui pengaruh posisi awal terhadap periode osilasi baik secara analitik meupun numerik dengan metode Euler.
3. Mengetahui pengaruh kecepatan awal terhadap periode osilasi baik secara analitik meupun numerik dengan metode Euler.
BAB II DASAR TEORI A. Gerak Osilasi
Setiap gerak yang berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik atau gerak harmonik. Jika suatu partikel dalam gerak periodik bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama geraknya disebut gerak osilasi. Jika sebuah sistem fisis berosilasi dibawah pengaruh gaya F = -kx , dimana F adalah gayapemulih, k konstanta-gaya dan x simpangan, maka gerak benda ini adalah gerak harmonik sederhana.
Salah satu sistem fisis yang mengikuti gerak harmonik sederhana adalah Pegas-Benda. Sistem ini dapat dipergunakan untuk menentukan besar percepatan gravitasi bumi disuatu tempat.
1. Gerak Harmonik
Gerak Harmonik Sederhana (GHS) adalah gerak periodik dengan lintasan yang ditempuh selalu sama (tetap). Gerak Harmonik Sederhana mempunyai persamaan gerak dalam bentuk sinusoidal dan digunakan untuk menganalisis suatu gerak periodik tertentu. Gerak Harmonik Sederhana dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu :
a. Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Linier, misalnya penghisap dalam silinder gas, gerak osilasi air raksa / air dalam pipa U, gerak horizontal / vertikal dari pegas, dan sebagainya.
b. Gerak Harmonik Sederhana (GHS) Angular, misalnya gerak bandul/ bandul fisis, osilasi ayunan torsi, dan sebagainya.
Gerak harmonis sederhana yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah getaran benda pada pegas dan getaran benda pada ayunan sederhana.
Gambar 1. Gerak Harmonis Sederhana pada Ayunan
2. Besaran fisika pada Gerak Harmonik a. Periode (T)
Benda yang bergerak harmonis sederhana pada ayunan sederhana memiliki periode alias waktu yang dibutuhkan benda untuk melakukan satu getaran secara lengkap. Benda melakukan getaran secara lengkap apabila benda mulai bergerak dari titik di mana benda tersebut dilepaskan dan kembali lagi ke titik tersebut.
Jadi periode ayunan (T) adalah waktu yang diperlukan benda untuk melakukan satu getaran (disebut satu getaran jika benda bergerak dari titik di mana benda tersebut mulai bergerak dan kembali lagi ke titik tersebut ). Satuan periode adalah sekon atau detik.
Untuk pegas yang memiliki konstanta gaya k yg bergetar karena adanya beban bermassa m, periode getarnya adalah :
𝑇 = 2𝜋√𝑚
𝑘 (1) Sedangkan pada ayunan bandul sederhana, jika panjang tali adalah l, maka periodenya adalah :
𝑇 = 2𝜋√𝑙
𝑔 (2) b. Frekuensi (f)
Selain periode, terdapat juga frekuensi alias banyaknya getaran yang dilakukan oleh benda selama satu detik. Yang dimaksudkan dengan getaran di sini adalah getaran lengkap. Satuan frekuensi adalah 1/sekon atau s-1. 1/sekon atau s-1 disebut juga hertz, menghargai seorang fisikawan. Hertz adalah nama seorang fisikawan tempo dulu.secara matematis hubungan antara periode dan frekuensi adalah sebagai berikut :
𝑇 =1
𝑓 (3) c. Amplitudo (A)
Pada ayunan sederhana, selain periode dan frekuensi, terdapat juga amplitudo. Amplitudo adalah perpindahan maksimum dari titik kesetimbangan. Pada contoh ayunan sederhana sesuai dengan gambar di atas, amplitudo getaran adalah jarak AB atau BC.
3. Gerak Harmonis Sederhana pada Pegas
Semua pegas memiliki panjang alami sebagaimana tampak pada Gambar 2. Ketika sebuah benda dihubungkan ke ujung sebuah pegas, maka pegas akan meregang (bertambah panjang) sejauh y. Pegas akan mencapai titik kesetimbangan jika tidak diberikan gaya luar (ditarik atau digoyang), sebagaimana tampak pada gambar B. Jika beban ditarik ke bawah sejauh y1 dan dilepaskan (Gambar 4), benda akan akan bergerak ke B, ke D lalu kembali ke B dan C. Gerakannya terjadi secara berulang dan periodik
Gambar 2. Gerak osilasi pada pegas
Kita tinjau pegas yang dipasang horisontal, di mana pada ujung pegas tersebut dikaitkan sebuah benda bermassa m. Massa benda kita abaikan, demikian juga dengan gaya gesekan, sehingga benda meluncur pada permukaan horisontal tanpa hambatan. Terlebih dahulu kita tetapkan arah positif ke kanan dan arah negatif ke kiri. Setiap pegas memiliki panjang alami, jika pada pegas tersebut tidak diberikan gaya. Pada kedaan ini, benda yang dikaitkan pada ujung pegas berada dalam posisi setimbang (lihat gambar 2).
Gambar 3
Apabila benda ditarik ke kanan sejauh +x (pegas diregangkan), pegas akan memberikan gaya pemulih pada benda tersebut yang arahnya ke kiri sehingga benda kembali ke posisi setimbangnya (Gambar 3). Sebaliknya, jika benda ditarik ke kiri sejauh -x, pegas juga memberikan gaya pemulih untuk mengembalikan benda tersebut ke kanan sehingga benda kembali ke posisi setimbang (gambar 4).
Gambar 4
Besar gaya pemulih F ternyata berbanding lurus dengan simpangan x dari pegas yang direntangkan atau ditekan dari posisi setimbang (posisi setimbang ketika x = 0). Secara matematis di tulis :
𝐹 = 𝑘𝑥 (4)
Persamaan ini sering dikenal sebagai hukum hooke dan dicetuskan oleh paman Robert Hooke. k adalah konstanta dan x adalah simpangan. Hukum Hooke akurat jika pegas tidak di tekan sampai kumparan pegas bersentuhan atau diregangkan sampai batas elastisitas. Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya pemulih alias F mempunyai arah berlawanan dengan simpangan x. Konstanta pegas berkaitan dengan kaku atau lembut sebuah pegas. Semakin besar konstanta pegas (semakin kaku sebuah pegas), semakin besar gaya yang diperlukan untuk menekan atau meregangkan pegas. Sebaliknya semakin lembut sebuah pegas (semakin kecil konstanta pegas), semakin kecil gaya yang diperlukan untuk meregangkan pegas. Untuk meregangkan pegas sejauh x, kita akan memberikan gaya luar pada pegas, yang besarnya sama dengan F = +kx. Pegas dapat bergerak jika terlebih dahulu diberikan gaya luar.
Besaran fisika pada Gerak Harmonik Sederhana pada pegas pada dasarnya sama dengan ayunan sederhana, yakni terdapat periode, frekuensi dan amplitudo. Jarak x dari posisi setimbang disebut simpangan. Simpangan maksimum alias jarak terbesar dari titik setimbang disebut amplitudo (A). Satu getaran Gerak Harmonik Sederhana pada pegas adalah gerak bolak balik lengkap dari titik awal dan kembali ke titik yang sama.
4. Simpangan, Kecepatan, Percepatan a. Simpangan Gerak Harmonik Sederhana
Jika pada saat awal benda pada posisi θ0, maka :
𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛𝜔𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛2𝜋𝑓𝑡 + 90𝑜 ; 𝜔 =2𝜋
𝑇 (5)
Besar sudut (ωt+θ0) disebut sudut fase (θ), sehingga:
𝜃 = 𝜔𝑡 + 𝜃0 = 2𝜋𝑡
𝑇+ 𝜃0 (6) 𝜃 = 2𝜋 (𝑡
𝑇+ 𝜃0
2𝜋) = 2𝜋𝜑 (7) 𝜑 = 𝑡
𝑇+ 𝜃0
2𝜋 (8)
∆𝜑 = 𝜑2− 𝜑1 = 𝑡2− 𝑡1
𝑇 (9) Keterangan:
y : simpangan (m) A : amplitudo (m)
Ω : kecepatan sudut (rad/s) f : frekuensi (Hz)
t : waktu tempuh (s) φ : fase getaran Δφ : beda fase
b. Kecepatan Gerak Harmonik Sederhana
Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka kecepatannya adalah : 𝑣 =𝑑𝑦
𝑑𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡(𝐴 sin 𝜔𝑡) = 𝜔𝐴 cos 𝜔𝑡 (10) Nilai kecepatan v akan maksimum pada saat cos ωt = 1, sehingga kecepatan maksimumnya adalah :
𝑣𝑚 = 𝜔𝐴 (11) Kecepatan benda di sembarang posisi y adalah :
𝑣𝑦 = 𝜔√𝐴2− 𝑦2 (12)
c. Percepatan Gerak Harmonik Sederhana
Untuk benda yg pada saat awal θ0 = 0, maka percepatannya adalah : 𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑑
𝑑𝑡(𝐴 cos 𝜔𝑡) = −𝜔2𝐴 sin 𝜔𝑡 = −𝜔2𝑦 (13)
Nilai percepatan a akan maksimum pada saat sin ωt = 1, sehingga percepatan maksimumnya adalah:
𝑎𝑚= 𝜔2𝐴 (14) Arah percepatan a selalu sama dengan arah gaya pemulihnya.
5. Energi pada Gerak Harmonik Sederhana
Energi kinetik benda yg melakukan gerak harmonik sederhana, misalnya pegas, adalah 𝐸𝑘 =1
2𝑚𝑣2 = 1
2𝑚𝜔2𝐴2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡 (14) Karena 𝑘 = 𝑚𝜔2, diperoleh
𝐸𝑘 =1
2𝑘𝐴2𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡 (15) Energi potensial elastis yg tersimpan di dalam pegas untuk setiap perpanjangan y adalah
𝐸𝑘 =1
2𝑘𝑦2 =1
2𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡 =1
2𝑚𝜔2𝐴2𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡 (16) Jika gesekan diabaikan, energi total atau energi mekanik pada getaran pegas adalah
𝐸𝑀 = 𝐸𝑝+ 𝐸𝑘 =1
2𝑘𝐴2(𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡 + 𝑐𝑜𝑠2 = 1
2𝑘𝐴2𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡) (17) 𝐸𝑀 = 𝐸𝑝+ 𝐸𝑘 = 1
2𝑘𝑦2+1
2𝑚𝑣2 = 1
2𝑘𝐴2 (18) Semua benda yang bergetar di mana gaya pemulih F berbanding lurus dengan negatif simpangan (F
= -kx), maka benda tersebut dikatakan melakukan gerak harmonik sederhana (GHS) alias Osilator Harmonik Sederhana (OH).
B. Metode Euler
Ditinjau suatu masalah fisika yang diwakili oleh persamaan diferensial berbentuk 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥, 𝑦) (20) dengan 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah fungsi yang diberikan oleh masalah yang bersangkutan dan oleh karenanya diketahui bentuk eksplisitnya sedang 𝑦(𝑥) adalah fungsi yang akan dicari pada sebarang 𝑥 ≥ 𝑥0. Di dalam berbagai kasus fisika, masalah untuk menemukan 𝑦(𝑥)tersebut dipengaruhi oleh adanya persyaratan bahwa pada saat
awal 𝑥 = 𝑥0maka nilai fungsi pada keadaan tersebut adalah 𝑦(𝑥0) = 𝑦0dengan 𝑦0 berupa satu nilai yang diberikan sejak awal. Arti dari istilah masalah syarat awal merupakan pencerminan dari sifat masalah seperti yang baru saja disinggung tersebut.
Salah satu metode numerik untuk menyelesaikan masalah syarat awal tersebut adalah dengan menggunakan metode Euler yang memiliki ungkapan
𝑦𝑖+1= 𝑦𝑖+ ℎ𝑓𝑖, 𝑖 = 0,1,2, … (21) dengan 𝑦𝑖 ≡ 𝑦(𝑥𝑖), 𝑓𝑖 ≡ 𝑓(𝑥𝑖, 𝑦𝑖) dan ukuran langkah ℎ = 𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖. Dengan ungkapan tersebut maka saat 𝑦0 diketahui dari syarat awal maka 𝑦1 akan dapat dihitung. Kemudian ketika 𝑦1 sudah diperoleh maka 𝑦2 dapat dihitung dan apabila diteruskan maka 𝑦3, 𝑦4, … , 𝑦𝑁 akan dapat diperoleh. Ini berarti nilai 𝑦(𝑥) sudah berhasil diperoleh untuk sebarang nilai x yang ditentukan.
Jarak antar point dirumuskan sebagai
ℎ =𝑏 − 𝑎
𝑁 (22) ini disebut step size.
Menurut Supriyanto (2006), metode Euler diturunkan dari deret Taylor. Misalnya, fungsi 𝑦(𝑡) adalah fungsi yang kontinyu dan memiliki turunan dalam interval [𝑎, 𝑏]. Maka dalam deret Taylor
𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + (𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖)𝑦′(𝑡𝑖) +(𝑡𝑖+1− 𝑡𝑖)2
2 𝑦′′(𝜉𝑖) (23) Dan, karena 𝑦(𝑡) memenuhi persamaan diferensial (20),
𝑦(𝑡𝑖+1) = 𝑦(𝑡𝑖) + ℎ𝑓(𝑡𝑖, 𝑦(𝑡𝑖))𝑦′(𝑡𝑖) +(ℎ)2
2 𝑦′′(𝜉𝑖) (24) 1. Analisis Galat Metode Euler
Meskipun metode Euler sederhana, tetapi ia mengandung dua macam galat, yaitu galat pemotong (truncation error) dan galat longgakan (cumulative error). Galat pemotong dapat langsung ditentukan dari persamaan berikut:
𝐺𝑝= 1
2(ℎ)2𝑦′′(𝑡) = (ℎ)2 (25)
Galat pemotongan ini sebanding dengan kuadrat ukuran langkah ℎ sehingga disebut juga galat per langkah (error per step) atau galat local. Semakin kecil nilai ℎ (yang berarti semakin banyak langkah perhitungan). Nilai pada setiap langkah 𝑦𝑖 dipakai lagi pada langkah berikutnya. Galat solusi pada langkah ke-i adalah tumpukan galat dari langkah-langkah sebelumnya. Galat yang terkumpul pada akhit langkah disebut galat longgakan (cumulative error). Jika langkah dimulai dari 𝑥0 = 𝑎 dan berakhir di 𝑥𝑛 = 𝑏 maka total galat yang terkumpul pada solusi akhir adalah
𝐺𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∑ (1
2) ℎ2𝑦′′(𝑡) = 𝑛ℎ2
2 𝑦′′(𝑡) =(𝑏 − 𝑎)
2 𝑦′′(𝑡)ℎ
𝑛
𝑖=1
(26)
Galat longgokan total ini sebenarnya adalah
𝐺𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑦(𝑏)𝑠𝑒𝑗𝑎𝑡𝑖− 𝑦(𝑥𝑛)𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟 (27)
Gambar 5. Metode Euler 2. Contoh masalah fisika : gerak osilasi
Tinjau sebuah pegas dengan tetapan gaya k yang pada ujungnya terdapat partikel bermassa m. Ketika pegas diregangkan dan dilepaskan lagi maka partikel akan menjalani gerak osilasi yang diberikan oleh persamaan gaya
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑎 = 𝐹
𝑚 =−𝑘𝑥
𝑚 (28)
Dengan v adalah kecepatan sebagai fungsi waktu t, a adalah percepatan, F adalah gaya dan x adalah posisi partikel. Dari definisi kecepatan diperoleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑣 (29) Jika dibandingkan maka bentuk persamaan (3) maupun (4) terlihat sama dengan persamaan (1). Ini berarti metode Euler dapat diterapkan ke persamaan (3) utuk mendapatkan v(t). Dari perolehan v(t) tersebut maka ruas kanan persamaan (4) dapat diketahui. Kemudian jika metode Euler diterapkan pada persamaan (4) maka x(t) akan dapat diperoleh juga. Secara ringkas untuk mendapatkan v(t) dan x(t) untuk gerak osilasi partikel pada pegas maka langkah numerik yang ditempuh adalah
a. Gunakan metode Euler ke persamaan (3) dalam bentuk 𝑣𝑖+1= 𝑣𝑖 + ℎ−𝑘𝑥𝑖
𝑚 (30) b. Gunakan metode Euler ke persamaan (4) dalam bentuk
𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 + ℎ𝑣𝑖 (31)
dengan nilai 𝑥0 dan 𝑣0 adalah nilai 𝑥(𝑡) dan 𝑣(𝑡) saat 𝑡 = 𝑡0 yang diberikan oleh syarat awal serta 𝑖 = 0,1,2, … , 𝑁 dengan 𝑡 = 𝑡0+ ℎ𝑖.
3. Ketelitian komputasi
Kenyataan bahwa partikel dalam sistem pegas memiliki tenaga total E yang ajeg dapat dimanfaatkan sebagai indicator ketelitian penyelesaian komputasi dengan metode Euler di atas.
Untuk melihat keajegan tersebut maka ada baiknya dihitung E melalui kaitan 𝐸 =1
2𝑚𝑣2+1
2𝑘𝑥2 (32)
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada praktikum ini dicari penyelesaian syarat awal yaitu masalah untuk memecahkan persamaan diferensial secara numerik ketika fungsi pada keadaan awal diketahui dengan metode Euler dengan perincian sebagai berikut:
A. Script Komputasi
--- PROGRAM syarat_awal
IMPLICIT NONE
REAL :: h,k,m,t0,x0,v0,fv,fx,ti,xi,vi,tenaga INTEGER i,n
k=2.0 m=1.5 t0=0.0 h=0.05 n=150
x0=2.0 v0=2.0
fv=-k*x0/m fx=v0
DO i=1,n ti=i*h vi=v0+h*fv xi=x0+h*fx
tenaga=m*vi**2/2.0+k*xi**2/2.0
PRINT 10,ti,xi,vi,tenaga v0=vi
x0=xi
fv=-k*x0/m fx=v0
END DO
10 FORMAT (1x,4f20.6) END PROGRAM syarat_awal
---
B. Tugas
1. Menyelesaikan permasalahan fisika berupa gerak osilasi
Tinjau sebuah pegas dengan tetapan gaya k yang pada ujungnya terdapat partikel bermassa m. Ketika pegas diregangkan dan dilepaskan lagi maka partikel akan menjalani gerak osilasi yang diberikan oleh persamaan gaya
𝑑𝑣
𝑑𝑡 = 𝑎 = 𝐹
𝑚 =−𝑘𝑥
𝑚 (28) Dengan v adalah kecepatan sebagai fungsi waktu t, a adalah percepatan, F adalah gaya dan x adalah posisi partikel. Dari definisi kecepatan diperoleh
𝑑𝑥
𝑑𝑡 = 𝑣 (29) metode Euler persamaan (28) adalah
𝑣𝑖+1= 𝑣𝑖 + ℎ−𝑘𝑥𝑖
𝑚 (30) metode Euler ke persamaan (29) adalah
𝑥𝑖+1= 𝑥𝑖 + ℎ𝑣𝑖 (31)
dengan nilai 𝑥0 = 0.0 , 𝑣0 = 2.0 , 𝑘 = 1.0 , 𝑚 = 1.0 , 𝑡0 = 0.0 ℎ = 0.1 𝑛 = 50
2. Memperbaiki hasil tugas 1 dengan mengubah nilai ℎ sehingga selain diperoleh gerak osilasi yang benar juga diperoleh ketelitian yang tinggi yaitu dengan dibuktikan oleh perolehan nilai 𝐸 yang ajeg.
a. ℎ = 0.5 , 𝑛 = 100 b. ℎ = 0.05 , 𝑛 = 150
3. Menganalisis perubahan nilai masukan 𝑚, 𝑘, 𝑣0, 𝑥0 serta ℎ terhadap hasil akhir a. 𝑚 = 2.0 , 𝑘 = 0.5 , 𝑣0 = 4.0 , 𝑥0 = 0.0 , ℎ = 0.001 , 𝑛 = 150 b. 𝑚 = 2.0 , 𝑘 = 0.5 , 𝑣0 = 4.0 , 𝑥0 = 3.0 , ℎ = 0.001 , 𝑛 = 150 c. 𝑚 = 1.5 , 𝑘 = 2.0 , 𝑣0 = 4.0 , 𝑥0 = 0.0 , ℎ = 0.05 , 𝑛 = 150 d. 𝑚 = 1.5 , 𝑘 = 2.0 , 𝑣0 = 4.0 , 𝑥0 = 2.0 , ℎ = 0.05 , 𝑛 = 150
4. Menunjukkan dari hasil data atau grafik yang diperoleh bahwa periode gerak osilasi cocok dengan rumus yang diperoleh secara analitik seperti pada persamaan (1).
BAB IV HASIL A. Gerak Osilasi Awal
m=1.0, k=1.0, v0=2.0, x0=0.0, h=0.1, n=50
0.100000 0.200000 2.000000 2.02000 0.200000 0.400000 1.980000 2.04020
. . .
4.900000 -2.514750 0.435235 3.25669 5.000000 -2.471226 0.686710 3.28926
…
>MASUKKAN GRAFIK
Gambar 6. Grafik 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) dan 𝐸 hasil metode Euler saat ℎ = 0.1
B. Perbaikan Hasil Gerak Osilasi I dengan Mengubah Nilai 𝒉 dan 𝒏
1. m=1.0, k=1.0, v0=2.0, x0=0.0, h=0.5, n=100
0.500000 1.000000 2.000000 2.50000 1.000000 2.000000 1.500000 3.12500
. . .
49.500000 117822.023438 -42744.171875 7854546944.00000 50.000000 96449.937500 -101655.187500 9818183680.00000
…
>MASUKKAN GRAFIK
Gambar 7. Grafik 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) dan 𝐸 hasil metode Euler saat ℎ = 0.5
Gambar 8. Grafik 𝑥(𝑡) hasil metode Euler saat ℎ = 0.5
Gambar 9. Grafik 𝑣(𝑡) hasil metode Euler saat ℎ = 0.5
Gambar 10. Grafik 𝐸 hasil metode Euler saat ℎ = 0.5
2. m=1.0, k=1.0, v0=2.0, x0=0.0, h=0.05, n=150
0.100000 0.200000 1.995000 2.01001 0.150000 0.299750 1.985000 2.01503
. . .
7.450000 2.209068 0.960604 2.90137 7.500000 2.257098 0.850150 2.90862
…
>MASUKKAN GRAFIK
Gambar 11. Grafik 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) dan 𝐸 hasil metode Euler saat ℎ = 0.05
C. Hasil Grafik Osilasi Perubahan nilai masukan 𝒎, 𝒌, 𝒗𝟎, 𝒙𝟎 serta 𝒉 terhadap hasil akhir
1. m=2.0 ,k=0.5, ,v0=4.0 ,x0=0.0 ,h=0.001 ,n=15000
0.010000 0.040000 4.000000 16.00040 0.020000 0.080000 3.999900 16.00080
. . .
14.990000 7.631535 1.432105 16.61100 15.000000 7.645855 1.413026 16.61142
…
>MASUKKAN GRAFIK
Gambar 12. Grafik 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) dan 𝐸 hasil metode Euler saat 𝑘 = 0.5, 𝑚 = 2.0, 𝑣0 = 4.0, 𝑥0 = 0.0 ℎ = 0.001
2. m=2.0 ,k=0.5, ,v0=4.0 ,x0=3.0 ,h=0.001 ,n=12000
0.010000 3.040000 3.992500 18.25045 0.020000 3.079925 3.984900 18.25091
. . .
11.990000 0.611245 4.325735 18.80538 12.000000 0.654502 4.324206 18.80585
…
>MASUKKAN GRAFIK
Gambar 13. Grafik 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) dan 𝐸 hasil metode Euler saat 𝑘 = 0.5, 𝑚 = 2.0, 𝑣0 = 4.0, 𝑥0 = 3.0 ℎ = 0.001
3. m=1.5 ,k=2.0, ,v0=4.0 ,x0=0.0 ,h=0.05 ,n=150
0.050000 0.200000 4.000000 12.04000 0.100000 0.400000 3.986667 12.08013 . . .
7.450000 3.280877 -3.452224 19.70254 7.500000 3.108266 -3.670950 19.76821
…
> MASUKKAN GRAFIK
Gambar 13. Grafik 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) dan 𝐸 hasil metode Euler saat 𝑘 = 2.0, 𝑚 = 1.5, 𝑣0 = 0.0, 𝑥0 = 3.0 ℎ = 0.05
4. m=1.5 ,k=2.0, ,v0=2.0 ,x0=2.0 ,h=0.05 ,n=150
0.050000 2.100000 1.866667 7.02333 0.100000 2.193333 1.726667 7.04674 . . .
7.450000 -0.085673 -3.913362 11.49314 7.500000 -0.281342 -3.907650 11.53145
…
> MASUKKAN GRAFIK
Gambar 13. Grafik 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) dan 𝐸 hasil metode Euler saat 𝑘 = 2.0, 𝑚 = 1.5, 𝑣0 = 0.0, 𝑥0 = 3.0 ℎ = 0.05
D. Perbandingan Periode Gelombang Hasil Perhitungan Analitik dengan Komputasi
No. 𝑚 (𝑘𝑔)
𝑘(𝑘𝑔
𝑠2) 𝑣0(𝑚
𝑠) 𝑥0(𝑚) ℎ 𝑛 𝑇𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑡𝑖𝑘(𝑠) 𝑇𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖𝑘 (𝑠) Galat
A.- 1.0 1.0 2.0 0.0 0.1 50 6.283185 6.200000 0.083185
B.1 1.0 1.0 2.0 0.0 0.5 100 6.283185 ∞ ∞
B.2 1.0 1.0 2.0 0.0 0.05 150 6.283185 6.250000 0.033185
C.1 2.0 0.5 4.0 0.0 0.001 15000 12.566371 12.559999 0.006372
C.2. 2.0 0.5 4.0 3.0 0.001 12000 12.566371 11.130000 1.436371
C.3 1.5 2.0 4.0 0.0 0.05 150 5.441398 5.400000 0.041398
C.4 1.5 2.0 2.0 2.0 0.05 150 5.441398 2.700000 2.741398
BAB V PEMBAHASAN
Telah dilaksanakan praktikum komputasi untuk menjalankan program penyelesaian syarat awal yaitu masalah untuk memecahkan persamaan diferensial secara numerik ketika nilai fungsi pada keadaan awal diketahui. Adapun permasalahan yang diselesaikan adalah gerak osilasi harmonik pada system pegas. Output program pada praktikum ini berupa 𝑡, 𝑥(𝑡), 𝑣(𝑡) dan 𝐸. Keempat variabel tersebut dianalisis terhadap perubahan nilai masukan𝑚, 𝑘, 𝑣0, 𝑥0 serta ℎ. Selain itu ditunjukkan juga hasil dari data atau grafik yang diperoleh bahwa periode gerak osilasi hasil numerik cocok dengan rumus umum yang diperoleh secara analitik yaitu seperti pada persamaan (1).
Metode numerik yang digunakan dalam penyelesaian persamaan gerak osilasi ini adalah metode Euler. Metode Euler disebut juga metode orde pertama dengan persamaan yang paling sederhana namun secara teoritis memiliki galat yang relatif besar dengan metode lainnya. galat pada metode Euler akan meningkat seiring bertambahnya nilai n juga nilai h.
Pertama, dilakukan kompilasi untuk masalah gerak osilasi awal dengan ketentuan pada tugas 1.
Cacah interval yang dipakai yaitu ℎ = 0.1 dengan iterasi sebanyak 50 kali atau sampai dengan detik ke-5 didapatkan bentuk grafik sinus sebagi fungsi posisi, grafik cosinus sebagai fungsi kecepatan dan grafik linear sebagai fungsi energi (lihat Gambar 6). Dengan iterasi sebanyak 50 kali belum didapatkan bentuk 1 gelombang sehingga tidak diketahui periode osilasi awal ini. Setelah dilakukan kompilasi program kembali dengan iterasi sebanyak 65 kali terlihat 1 bentuk gelombang dengan periode 6.2 s yang memiliki galat
Hukum kekekalan energi berlaku untuk gerak osilasi sederhana (lihat Bab I bagian A.5). Artinya seharusnya grafik energi yang diperoleh berbentuk tetap pada nilai tunggal fungsi E. Namun pada Gambar 6 terlihat energi osilasi meningkat sejalan dengan pertambahan waktu, yang mengimplikasikan bahwa nilai galat semakin membesar.
Kembali kepada teori, galat dipengaruhi oleh besar h. Untuk itu dilakukan pengubahan nilai h menjadi 0.5 dan 0.05 (tugas 2). Setelah dilakukan running program ulang, teori terbukti. Pada nilai h 0.5 yang lebih besar 5 kali pada h awal mengakibatkan hasil yang sangat menyimpang (lihat Gambar 7). Grafik fungsi posisi, kecepatan dan energi awalnya berada pada satu garis lurus pada nilai 0, dan kemudian fungsi posisi membentuk kurva eksoponen ke arah tak terhingga (lihat Gambar 8 dan 9). Pada grafik energi
(Gambar 10) juga sangat menyimpang, energi awal hingga detik ke 40 adalah 0 dan kemudian mengalami kenaikan yang signifikan menjadi tak terhingga. Sehingga metode Euler sangat menyimpang nilainya jika nilai cacah interval besar, hal ini sesuai dengan penurunan rumus galat pemotong (truncation error) pada persamaan (25).
Ketika h diperkecil menjadi 0.05 dan iterasi dilakukan hingga 150 kali didapatkan hasil yang lebih baik. Didapatkan periode gelombang 6.250000 dengan galat yang jauh lebih kecil yaitu 0.033185 dan kemiringan grafik energi sudah berkurang dibandingkan dengan grafik awal. Sehingga untuk memperoleh hasil yang lebih baik dapat dilakukan dengan mnurunkan nilai cacah interval dengan konsekuensi iterasi dilakukan dalam jumlah yang lebih besar lagi sehingga membutuhkan proses yang lebih lama.
Bagian kedua, dilakukan perubahan nilai masukan 𝑚, 𝑘, 𝑣0, 𝑥0 serta ℎ. Ketika nilai 𝑚, 𝑘, dan 𝑣0dibuat sama sedangkan 𝑥0 dibuat berbeda yaitu 0.0 dan 3.0 hal ini memberikan perubahan periode gelombang.
Nilai 𝑥0 akan memberikan amplitudo awal yang berbeda melihat fungsi posisi yang sesuai dengan persamaan sinus ketika 𝑥0 = 0 maka 𝐴 = 0 sedangkan saat 𝑥0 = 3.0 maka 𝐴 = 3.0 hal ini terjadi ketika sudut fase benilai 90𝑜. Fungsi posisi memang bergantung pada kecepatan sudut yang bergantung pula dengan periode namun periode hanya bergantung pada massa bandul dan konstanta pegas saja, sehingga posisi awal tidak berpengaruh terhadap periode. Artinya baik 𝑥0 0 maupun 3, karena massa dan konstanta pegas sama nilai periodenya tetap 12.566371.
𝑥 = 𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 90𝑜); 𝜔 =2𝜋
𝑇 ; 𝑇 = 2𝜋√𝑚
𝑘 ; 𝜔2 = 𝑘 𝑚
Namun hasil numerik dengan metode Euler ini memberikan hasil yang berbeda saat 𝑥0 = 0 periodenya 12.559999 dengan galat kecil 0.006372 namun saat 𝑥0 = 3 periodenya 11.130000 galat nya besar yaitu 1.436371. Hal ini dikarenakan pengaruh iterasi yang bergantung dengan nilai awal sehingga ikut menyumbang galat yang besar (lihat persamaan (31)).
Ketika nilai 𝑚 dan 𝑘 dibuat sama sedangkan 𝑥0 dan 𝑣0 dibuat berbeda secara berturut-turut 0.0;
2.0 dan 4.0;2.0. Periode gelombang hasil perhitungan nilai numerik mengalami perbedaan. Untuk syarat awal 𝑥0 = 0.0 dan 𝑣0 = 4.0 tidak begitu bermasalah karena hasil periode numeriknya mendekati nilai analitik yaitu 5.400000 dengan galat 0.041398. Namun masalah terjadi ketika 𝑥0 = 2.0 𝑑𝑎𝑛 𝑣0 = 2.0
periodenya menjadi bernilai 2.700000 dengan galat 2.741398. Secara teoritis besar kecepatan linear adalah berbanding lurus dengan kecepatan angularnya.
𝑣 = −𝜔𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 90𝑜); 𝜔 =−𝑣 𝐴 =2𝜋
𝑇
Berdasarkan persamaan di atas maka negatif kecepatan linear berbanding terbalik dengan periode sehingga apabila kecepatan diperbesar maka periodenya menjadi lebih singkat. Hal ini terlihat pada saat praktikan mnegatur 𝑥0 = 0.0 dan 𝑣0 = 2.0 maka periodenya menjadi 5.550000.
Metode Euler memiliki hasil yang kurang teliti, namun metode ini perlu dipelajari untuk memahami metode lain dengan orde yang tinggi dan rumit namun hasilnya lebih akurat.
BAB VI PENUTUP
1. Kesimpulan
Adapun kesimpulan yang didapatkan dari praktikum ini adalah:
a. Metode penyelesaian syarat awal yaitu permasalahan diferensial gerak osilasi dengan metode Euler memiliki tingkat ketelitian yang rendah ketika cacah interval dibuat besar.
b. Posisi awal secara teoritis tidak berpengaruh pada periode osilasi namun pada metode numerik berpengaruh yaitu semakin besar posisi, periodenya menjadi lebih singkat, hal ini tejadi karena pengaruh iterasi yang melibatkan nilai sebelumnya sehingga menyumbang ralat yang semakin besar.
c. Negatif kecepatan linear berbanding terbalik dengan periode sehingga apabila kecepatan diperbesar maka periodenya menjadi lebih singkat.
2. Saran
a. Perlu dilakukan metode lainnya untuk membandingkan hasilnya dengan metode Euler.
DAFTAR PUSTAKA
Abdi, Nur Diniyah. 2016. Gerak Osilasi. Sulawesi: Universitas Hasanuddin
Nurwantoro, Pekik. 2016. Petunjuk Praktikum Fisika Komputasi. Yogyakarta: Universitas Gadjah Mada Supriyanto. 2006. Metode Euler. Depok: Universitas Indonesia
LEMBAR PENGESAHAN
Yogyakarta, 28 April 2016 Praktikan
Uni Nofianti
Asisten 1 Asisten 2 Asisten 3
Halim Hamadi Jihan Ahmad Asy-Sya’bani Muhammad Egi Irfian Akbar
