Program Studi Teknik Telekomunikasi - Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung
Praktikum
Pengolahan Sinyal dalam Waktu Kontinyu
sebagai bagian dari Mata Kuliah ET 2004
Modul 1 : Respons Impuls dan Deret Fourier
©Institut Teknologi Bandung Disusun oleh : Irma Zakia 31 Januari, 2018
2
I. Pendahuluan
Respons impuls berperan penting pada sistem yang linear dan time-invariant (LTI) karena luaran sistem terhadap masukan sembarang serta kelakuan sistem dapat diketahui. Sistem LTI juga dapat dianalisis dalam domain frekuensi, diantaranya melalui analisis deret Fourier. Pada modul ini, akan ditentukan respons impuls dari sistem LTI dan analisis deret Fourier. Pada analisis deret Fourier, sinyal kotak periodik direpresentasikan sebagai kombinasi linear dari sinyal sinus saling harmonik (representasi sinyal kotak dengan deret Fourier). Dikarenakan sinyal sinus merupakan fungsi eigen dari sistem LTI, maka respons sistem LTI terhadap masukan sinyal kotak periodik, dapat diperoleh sebagai kombinasi linear respons terhadap tiap sinyal sinus saling harmonik (sinyal sinus yang steady-state).
II. Tujuan
a. Menentukan respons impuls sistem LTI dengan berbagai cara dan membandingkan dengan teori
b. Memahami representasi sinyal periodik dengan deret Fourier
c. Memahami bahwa sinusoid kompleks adalah fungsi eigen dari sistem LTI
d. Memahami respons sistem LTI terhadap sinyal periodik yang memiliki representasi deret Fourier.
III. Dasar Teori
III.1. Sistem linear
Sistem bersifat linear jika berlaku prinsip superposisi yaitu penjumlahan dan homogenitas [1], seperti ditunjukkan pada Tabel 1.
Tabel 1. Prinsip linearitas sistem
Masukan 𝒙(𝒕) menghasilkan luaran 𝒚(𝒕) Masukan Luaran Penjumlahan 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 𝑦1 𝑡 + 𝑦2 𝑡 Homogenitas 𝛼𝑥1 𝑡 𝛼𝑦1 𝑡 𝛽𝑥2 𝑡 𝛽𝑦2 𝑡 Linear 𝛼𝑥1 𝑡 + 𝛽𝑥2 𝑡 𝛼𝑦1 𝑡 + 𝛽𝑦2 𝑡
III.2. Sistem time-invariant
Suatu sistem bersifat time invariant jika pergeseran waktu terhadap masukan menghasilkan pergeseran waktu yang sama pada luaran. Secara matematis, jika masukan 𝑥(𝑡) menghasilkan luaran 𝑦(𝑡), maka sistem bersifat time-invariant jika masukan 𝑥(𝑡 − 𝑡0) menghasilkan luaran
3
𝑦(𝑡 − 𝑡0), dengan 𝑡0 adalah pergeseran waktu [1]. Secara fisis, hal ini berarti sistem
berkelakuan sama jika percobaan dilakukan hari ini, besok ataupun minggu depan sekalipun. III.1. Respons impuls
Respons impuls ℎ(𝑡) dapat ditentukan dengan melihat luaran sistem saat diberi masukan berupa unit impuls 𝛿(𝑡). Dengan menggunakan prinsip linear dan time-invariant, maka respons impuls menggambarkan suatu sistem LTI secara utuh. Dengan demikian, luaran sistem LTI dapat ditentukan untuk masukan apapun selama respons impulsnya diketahui. Secara matematis, luaran 𝑦(𝑡) merupakan hasil konvolusi antara masukan 𝑥(𝑡) dengan respons impulsnya ℎ(𝑡) [1][2]
𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑡 ∗ ℎ(𝑡) (1) Pada Gbr. 1a, terlihat bahwa unit impuls merupakan sinyal dengan amplituda tak hingga dan lebar nol. Sementara luas dari unit impuls bernilai satu.
Gbr. 1a. Unit impuls Gbr. 1b. Pulsa durasi singkat (approksimasi dari unit impuls)
Secara fisis, sangat sulit bahkan tidak mungkin untuk membangkitkan unit impuls. Unit impuls merupakan keadaan ideal yang bermanfaat dalam analisis matematis. Dalam penerapan praktis, unit impuls diaproksimasi dengan pulsa berdurasi singkat (Gbr, 1b.) yang memiliki amplituda 1
Δ dan lebar Δ, dimana Δ > 0 bernilai cukup kecil [1]
𝛿Δ 𝑡 =1
Δ(𝑢 𝑡 − 𝑢(𝑡 − Δ)) (2)
Dengan demikian, jika pada percobaan diambil masukan 𝛿Δ 𝑡 dengan Δ → 0, maka respons yang dihasilkan adalah respons impuls ℎ(𝑡).
Pada Gbr 1b. tampak juga bahwa untuk membuat pulsa berdurasi singkat, nilai Δ harus sekecil mungkin yang berakibat pada semakin besarnya nilai amplituda pulsa. Nilai amplituda yang sangat besar tidak dapat dihasilkan mengingat keterbatasan generator sinyal dalam melindungi komponen di dalamnya seperti amplifier. Dengan demikian, pulsa durasi singkat yang dibangkitkan akan memiliki luas sebesar 0 < 𝐿 < 1
4
Dengan mengambil Δ → 0, maka [1]:
1. Pulsa durasi singkat 𝑝Δ 𝑡 menjadi unit impuls terskala 𝐿𝛿(𝑡). Secara matematis
limΔ→0𝑝Δ 𝑡 = 𝐿𝛿(𝑡) (4)
2. Respons yang dihasilkan oleh pulsa durasi singkat 𝑝Δ 𝑡 adalah
𝑔 𝑡 = 𝐿ℎ(𝑡) (5) Respons pulsa 𝑔 𝑡 bernilai proporsional dengan respons impuls yang diinginkan. Dengan prinsip linearitas, ℎ(𝑡) dapat dihitung.
III.2. Respons step
Respons step 𝑠(𝑡) merupakan luaran sistem dengan masukan berupa unit step 𝑠(𝑡). Sinyal unit step secara fisis memodelkan banyak fenomena, diantaranya saat kita menekan tombol sakelar, pengaturan ketinggian pesawat oleh pilot, perubahan mendadak suhu pada termostat. Mengetahui respons step sistem LTI merupakan cara alternatif dalam menghitung respons impuls ℎ(𝑡). Cara alternatif ini diperlukan mengingat pembangkitan sinyal unit step lebih mudah dan hasilnya mendekati ideal. Hal ini berbeda dengan pembangkitan unit impuls yang tidak mungkin dilakukan, sehingga diaproksimasi dengan sinyal pulsa durasi singkat.
Hubungan respons step dan respons impuls secara matematis adalah [1]
𝑠 𝑡 = ℎ 𝜏 𝑑𝜏−∞𝑡 (6) Dengan demikian, respons impuls ditentukan dari turunan respons step atau
ℎ 𝑡 =d𝑠(𝑡)
d𝑡 (7)
III.3 Sistem dalam Bentuk Persamaan Differensial
III.3.1. Definisi
Dengan mengetahui respons impuls, luaran sistem LTI dapat ditentukan melalui persamaan konvolusi. Sementara itu, hubungan masukan dan keluaran suatu sistem secara implisit dapat dilihat melalui persamaan differensial.
Persamaan diferensial orde 𝑁 dengan masukan 𝑥 𝑡 dan luaran 𝑦(𝑡) dapat ditulis sebagai [1][2]
5 𝑎𝑘 𝑑𝑘𝑦(𝑡) 𝑑𝑡𝑘 𝑁 𝑘=0 = 𝑏𝑘 𝑑𝑘𝑥(𝑡) 𝑑𝑡𝑘 𝑁 𝑘=0 (8)
Parameter 𝑎𝑘 dan 𝑏𝑘 adalah koefisien berupa konstanta tidak berubah waktu.
Untuk mendapatkan hubungan antara masukan dan keluaran secara eksplisit, persamaan diferensial tersebut perlu diselesaikan. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, diperlukan informasi tambahan yang salah satunya berupa nilai kondisi awal. Kondisi awal merangkum semua informasi dari keadaan lampau sebuah sistem yang diperlukan untuk menentukan luaran di kemudian hari. Contoh kondisi awal pada rangkaian listrik adalah nilai awal tegangan kapasitor dan arus induktor.
Bergantung dari nilai kondisi awal, maka sistem yang dideskripsikan melalui persamaan diferensial dapat bersifat linear/nonlinear, berubah waktu/tidak berubah waktu, kausal/tidak kausal.
Banyaknya informasi kondisi awal yang perlu diketahui untuk menyelesaikan persamaan diferensial, ditentukan dari banyaknya memori sistem atau orde sistem 𝑁. Misalnya untuk waktu 𝑡 = 𝑡1, kondisi awal dari sistem orde 𝑁 yaitu [1]
𝑦 𝑡 |𝑡=𝑡1, 𝑑𝑦 (𝑡)
𝑑𝑡 |𝑡=𝑡1, … ,
𝑑𝑁 −1𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑁 −1 |𝑡=𝑡1 (9) III.3.2. Persyaratan Sistem dalam Bentuk Persamaan Diferensial Bersifat Linear Tidak Berubah Waktu (Sistem LTI)
Solusi dari sistem yang dijelaskan melalui persamaan diferensial bergantung dari informasi kondisi awal. Untuk menghasilkan sistem yang bersifat LTI, maka sistem harus berada dalam keadaan initial rest, yang berarti luaran sistem bernilai nol sampai adanya masukan. Hal ini berarti, dalam keadaan initial rest, jika 𝑥 𝑡 = 0 untuk 𝑡 ≤ 0, maka 𝑦 𝑡 = 0 untuk 𝑡 ≤ 0 [1].
Dengan demikian, jika input bernilai 0 untuk waktu untuk 𝑡 ≤ 𝑡0, nilai kondisi awal untuk
sistem yang berada pada keadaan initial rest yaitu 𝑦 𝑡0 =
𝑑𝑦 (𝑡0)
𝑑𝑡 = ⋯ =
𝑑𝑁 −1𝑦(𝑡0)
𝑑𝑡𝑁 −1 = 0 (10) Persamaan (10) diperlukan untuk menyelesaikan persamaan diferensial yaitu menentukan luaran 𝑦(𝑡) untuk 𝑡 > 𝑡0 .
III.4 Rangkaian RC
Rangkaian RC termasuk dalam kategori sistem orde satu. Bergantung dari tegangan kapasitor atau tegangan resistor yang bertindak sebagai luaran, fungsi rangkaian RC juga berbeda. Gambar 2 menunjukkan rangkaian RC dengan tegangan sumber 𝑥(𝑡) sebagai
6
masukan dan tegangan kapasitor 𝑦(𝑡) sebagai luaran. Besarnya tegangan luaran ditentukan melalui penyelesaian persamaan diferensial dengan memperhatikan kondisi awal.
III.4.1. Rangkaian RC sebagai Sistem LTI
Rangkaian RC yang bersifat LTI dapat diperoleh jika rangkaian berada pada keadaan initial
rest. Oleh karena itu, jika tegangan masukan pada rangkaian bernilai nol untuk waktu 𝑡 ≤ 0,
maka luaran juga bernilai nol untuk waktu 𝑡 ≤ 0. Dengan demikian, kondisi awal dari tegangan kapasitor harus bernilai nol saat 𝑡 = 0, atau 𝑦 0 = 0.
Saat percobaan, keadaan initial rest rangkaian dipastikan sebelum rangkaian diberi masukan, misalnya dengan menunggu muatan pada kapasistor menjadi nol atau dengan melakukan hubungan pendek pada kapasitor.
III.4.2. Respons Step dan Respons Impuls secara Teoritis
Rangkaian RC pada Gbr. 2 dapat ditulis dalam bentuk persamaan differensial. Dengan menggunakan masukan pada rangkaian tersebut berupa unit step 𝑢(𝑡), luaran yang dihasilkan berupa respons step 𝑠(𝑡). Selanjutnya, respons impuls rangkaian ditentukan dengan menggunakan hubungan antara respons impuls dengan respons step sesuai persamaan (7). Bentuk persamaan differensial beserta respons step dan respons impuls teoritis dari rangkaian RC tampak pada Tabel 2.
Tabel 2. Respons impuls dan respons step rangkaian RC secara teoritis
Persamaan differensial Respons step Respons impuls 𝑅𝐶𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡) 𝑠 𝑡 = 1 − 𝑒 −𝑅𝐶𝑡 𝑢(𝑡) ℎ 𝑡 = 1 𝑅𝐶𝑒 −𝑅𝐶𝑡 𝑢(𝑡)
III.5. Representasi Deret Fourier dari Sinyal Periodik
Sinyal periodik 𝑥(𝑡), dengan periode fundamental 𝑇, dapat direpresentasikan sebagai kombinasi linear sinyal sinusoid kompleks saling harmonik, dengan tiap sinyal sinusoid harmonik ke-𝑘 diberi bobot sesuai dengan koefisien deret Fourier 𝑋[𝑘].
Secara matematis, representasi deret Fourier dari sinyal periodik 𝑥(𝑡) diekspresikan sebagai
7
𝑥 𝑡 = ∞ 𝑋[𝑘]𝑒𝑗𝑘 𝜔0𝑡
𝑘=−∞ (11)
dengan 𝜔0 adalah frekuensi fundamental, dihitung dari 𝜔0 = 2𝜋
𝑇.
Jika 𝑥(𝑡) adalah sinyal riil, maka
𝑥 𝑡 = 𝑥∗(𝑡) (12)
dan
𝑋 −𝑘 = 𝑋∗[𝑘] (13)
Dengan menuliskan koefisien deret Fourier sebagai penjumlahan bagian riil Re{𝑋 𝑘 } dan imajiner Im{𝑋 𝑘 }
𝑋 𝑘 = Re{𝑋 𝑘 } + 𝑗Im{𝑋 𝑘 } (14) representasi deret Fourier dari sinyal periodik 𝑥(𝑡) menjadi
𝑥 𝑡 = 𝑋 0 + 2 ∞𝑘=1 Re{𝑋 𝑘 } cos(𝑘𝜔0𝑡) − Im{𝑋 𝑘 } sin(𝑘𝜔0𝑡) (15) dengan 𝑋 0 adalah komponen sinyal DC.
Dari persamaan (15), tampak bahwa koefisien Re{𝑋 𝑘 } terkait dengan fungsi cosinus yang merupakan fungsi genap. Begitu pula dengan Im{𝑋 𝑘 } terkait dengan fungsi sinus yang merupakan fungsi ganjil. Oleh karena itu, jika sinyal periodik berupa fungsi genap, maka 𝑋 𝑘 bernilai riil. Begitu pula sebaliknya, jika sinyal periodik berupa fungsi ganjil, maka 𝑋 𝑘 bernilai imajiner.
III.6. Sinyal Kotak Periodik Simetris Ganjil
Sinyal kotak periodik simetris ganjil diperlihatkan pada Gbr. 3 (kurva solid). Sinyal kotak tersebut memiliki energi, jumlah titik maksimum, jumlah titik minimum, dan jumlah titik diskontinuitas yang berhingga. Dengan demikian, kita dapat merepresentasikan sinyal kotak periodik simetris ganjil 𝑥 𝑡 dalam deret Fourier.
Hasil perhitungan koefisien deret Fourier untuk sinyal kotak simetris ganjil adalah
𝑋 𝑘 =
−𝑗 2
𝑘𝜋 , 𝑘 = ±1, ±3, ±5, …
8
Gambar 3. Sinyal kotak simetris ganjil beserta sinyal sinus saling harmonik
Hal ini menunjukkan bahwa sinyal kotak periodik simetris ganjil memiliki harmonisa ganjil. Dengan menggunakan persamaan (16), representasi sinyal kotak 𝑥 𝑡 dalam deret Fourier menjadi 𝑥 𝑡 = 4 𝜋sin 𝜔0𝑡 + 4 3𝜋sin 3𝜔0𝑡 + 4 5𝜋sin 5𝜔0𝑡 +. . … (17)
III.7. Aproksimasi Sinyal Kotak Simetris Ganjil
Jika banyaknya koefisien deret Fourier dari suatu sinyal periodik 𝑥 𝑡 diambil terbatas sejumlah 𝑁, maka dihasilkan aproksimasi dari representasi deret Fourier sinyal 𝑥 𝑡 , atau secara matematis
𝑥𝑁(𝑡) = 𝑁 𝑋[𝑘]𝑒𝑗𝑘 𝜔0𝑡
𝑘=−𝑁 (18)
Dengan melihat korespondensi antara persamaan (18) dengan Gbr. 3, diperoleh bahwa penjumlahan harmonik ke-1 dan ke-3 terbobot (kurva garis putus) adalah aproksimasi 𝑥 𝑡 dengan 𝑁 = 3, atau 𝑥3 𝑡 = 4
𝜋sin 𝜔0𝑡 + 4
3𝜋sin 3𝜔0𝑡 .
Semakin banyak jumlah koefisien deret Fourier 𝑁 yang digunakan untuk merepresentasikan sinyal 𝑥(𝑡), semakin kecil energi kesalahan aproksimasi
lim𝑁→∞ 𝑥 𝑡 − 𝑥𝑁 𝑡 2 = 0 (19)
Pada modul ini, kita akan melakukan aproksimasi terhadap sinyal kotak dengan merepresentasikan sinyal kotak sebagai kombinasi linear sinyal sinus saling harmonik, sampai dengan harmonik ke-15 (𝑁 = 15). Aproksimasi sinyal kotak simetris ganjil dengan menggunakan 15 koefisien deret Fourier 𝑥15(𝑡) diilustrasikan pada Gbr. 4 (kurva garis putus).
9
Gbr. 4 Aproksimasi sinyal kotak simetris ganjil 𝑥15(𝑡)
Secara spesifik, sinyal kotak periodik simetris ganjil dengan periode fundamental 1
200sec
diaproksimasi dengan sinyal sinus saling harmonik sebanyak 𝑁 = 15. Tiap sinyal sinus memiliki frekuensi sesuai Tabel 3.
Tabel 3. Sinyal sinus saling harmonik yang dibangkitkan
Frekuensi Harmonik ke-
200 Hz 1 600 Hz 3 1000 Hz 5 1400 Hz 7 1800 Hz 9 2200 Hz 11 2600 Hz 13 3000 Hz 15
IV. Persiapan Percobaan
IV.1. Peralatan yang Diperlukan
Pada percobaan ini, diperlukan peralatan sebagai berikut: 1. Modul Edibon M2
2. Generator sinyal 3. Osiloskop 4. Multimeter
5. Kabel probe sebanyak 3 buah 6. Kabel jumper
7. Flash Disk (disediakan oleh praktikan) 8. Kalkulator (disediakan oleh praktikan) 9. Desktop dengan perangkat lunak Matlab
10
IV.2. Rangkaian dalam Kondisi Intial Rest
Rangkaian RC diinginkan bersifat LTI, sehingga kondisi initial rest rangkaian harus terpenuhi. Untuk itu, kondisi awal tegangan kapasitor dibuat nol terlebih dahulu. Waktu yang diperlukan sampai kapasitor menjadi tidak bermuatan adalah dalam hitungan beberapa milidetik. Dengan demikian, hubungan pendek pada kapasitor cukup dilakukan selama 1-2 detik. Gunakan alat ukur multimeter untuk melihat proses perubahan nilai tegangan kapasitor menjadi nol.
IV.3. Switch pada Modul Edibon M2
Pastikan semua switch pada modul berada pada posisi 1, sehingga modul bebas dari sinyal gangguan yang disengaja.
IV.4. Setting Trigger pada Osiloskop
Setting trigger pada osiloskop diberikan pada Tabel 4.
Tabel 4. Setting trigger pada osiloskop
Jenis Trigger Keterangan
Mode Edge
Coupling untuk masukan sinyal DC (unit step) DC coupling Coupling untuk masukan sinus saling harmonik dan
sinyal kotak simetris ganjil
AC coupling
Slope Positive
Position Centered
Source selector Ch 1 (sinyal masukan)
V. Percobaan
V.I. Respons step
Langkah-langkah percobaan adalah:
1. Buatlah rangkaian seperti Gbr. 2, dengan nilai R = 10 kΩ dan C = 100 nF. Pada modul Edibon M2, nilai yang bersesuaian terdapat pada R4 dan C5.
2. Bangkitkan tegangan DC berupa unit step bernilai 1 V. Hal ini dapat dilakukan dengan membangkitkan sinyal kotak periodik frekuensi 100 Hz, duty cycle 60% (Pembangkitan unit step yang demikian, memudahkan dalam melihat bagian transien dari respons). Nilai tegangan 1 V dapat dicapai dengan tegangan peak-to-peak 1V dan offset DC 500 mV. Pengamatan sinyal masukan dan luaran nantinya cukup dilakukan untuk satu periode. 3. Lihat luaran pada osiloskop dan simpan data respons step pada logbook.
4. Plot hasil eksperimen dan bandingkan dengan respons step 𝑠(𝑡) teoritis sesuai Tabel 2. Gunakan penskalaan osiloskop sbb:
1. Skala tegangan pada Ch 1 dan Ch 2 osiloskop adalah 500 mV/div. 2. Skala waktu osiloskop 2 ms/div.
11
V.2. Respons impuls
Langkah-langkah percobaan adalah:
1. Buatlah rangkaian seperti Gbr. 2, dengan nilai R = 10 kΩ dan C = 100 nF. Pada modul Edibon M2, nilai yang bersesuaian terdapat pada R4 dan C5.
2. Bangkitkan pulsa durasi singkat dengan nilai tegangan 250 mV berdurasi Δ = 1 ms. Hal ini dilakukan dengan membangkitkan pulsa periodik frekuensi 100 Hz dengan duty cycle 10%. Nilai tegangan 250 mV dapat dicapai dengan tegangan peak-to-peak 250 mV dan offset DC 125 mV. Pengamatan sinyal masukan dan luaran nantinya cukup dilakukan untuk satu periode.
3. Lihat luaran pada osiloskop dan simpan data tegangan luaran kapasitor terhadap waktu pada logbook.
4. Ulangi langkah (1-3) di atas dengan masukan pulsa sebagai berikut:
a) tegangan 500 mV, Δ = 0.5 ms (pulsa periodik frekuensi 200 Hz, duty cycle 10%) b) tegangan 1 V, Δ = 0.25 ms (pulsa periodik frekuensi 400 Hz, duty cycle 10%) Dengan demikian, ketiga pulsa yang dibangkitkan memiliki pasangan nilai
durasi, tegangan = 1 ms, 250 mV , 0.5 ms, 500 mV , 0.25 ms, 1 V
5. Plot respons pulsa yang didapat untuk ketiga pasangan nilai pulsa pada gambar yang sama. 6. Dengan mengasosiasikan nilai durasi, tegangan dengan persamaan (3), diperoleh nilai 𝐿 = 2.5 10−4 . Hal ini berarti, hasil plot ketiga respons pulsa (hasil no. 5.), semakin menyerupai 𝐿ℎ(𝑡) dengan mengecilnya nilai Δ. Apakah fenomena ini terlihat? Jelaskan. Gunakan penskalaan osiloskop sbb:
1. Skala tegangan pada Ch 1 dan Ch 2 osiloskop dapat disesuaikan pada rentang 50 − 500 mV/div
2. Skala waktu 500 μs/div
V.3. Analisis Deret Fourier : Pengambilan Data
Pada tahap ini, akan dilakukan pengambilan data untuk melihat bahwa kombinasi linear dari sinyal sinusoid saling harmonik dapat digunakan untuk merepresentasikan sinyal periodik. Selain itu, respons sistem LTI terhadap sinyal masukan periodik dapat diperoleh sebagai kombinasi linear respons terhadap tiap sinyal sinus saling harmonik (sinus yang steady-state). Dengan demikian, pengambilan data dilakukan baik pada bagian masukan maupun luaran sistem LTI, yang nanti bermanfaat juga dalam menentukan respons frekuensi sistem.
Pada bagian V.3.1., data yang diambil berupa sinyal masukan kotak periodik beserta luarannya. Sementara itu, pengambilan data sinyal masukan berupa sinus saling harmonik beserta luarannya dijelaskan pada bagian V.3.2.
12
V.3.1. Sinyal periodik sebagai referensi
Langkah-langkah percobaan:
1. Buatlah rangkaian seperti Gbr. 2, dengan nilai R = 10 kΩ dan C = 100 nF. Pada modul
Edibon M2, nilai yang bersesuaian terdapat pada R4 dan C5.
2. Bangkitkan sinyal kotak periodik frekuensi 200 Hz, tegangan +1 sampai -1 V, dan duty
cycle 50%. Tegangan +1 sampai -1 V diperoleh dengan memasukkan tegangan
peak-to-peak 2 V dan offset DC 0 V.
3. Gunakan skala tegangan dan waktu pada Ch 1 dan Ch 2 osiloskop
i. Skala tegangan 500 mV/div ii. Skala waktu 1 ms/div
4. Lihat sinyal masukan dan luaran pada osiloskop.
5. Simpan data tegangan masukan versus waktu, dan tegangan luaran versus waktu pada Flash Disk. Gunakan ekstensi file .csv. Dengan demikian, file .csv memuat 3 buah informasi yaitu waktu, tegangan masukan (Ch 1), dan tegangan luaran (Ch 2).
6. Untuk percobaan V.3.2, jangan ubah skala osiloskop, termasuk referensi waktu 𝒕 = 𝟎.
V.3.2. Sinyal sinus saling harmonik sebagai komponen pembentuk sinyal periodik Langkah-langkah percobaan:
1. Buatlah rangkaian seperti Gbr. 2, dengan nilai R = 10 kΩ dan C = 100 nF. Pada modul Edibon M2, nilai yang bersesuaian terdapat pada R4 dan C5.
2. Bangkitkan sinyal masukan berupa sinus dengan frekuensi 200 Hz dan tegangan +1 sampai -1 V. Tegangan +1 sampai -1 V diperoleh dengan memasukkan tegangan
peak-to-peak 2 V dan offset DC 0 V.
3. Lihat sinyal masukan dan luaran pada osiloskop. Skala osiloskop dan referensi waktu 𝑡 = 0 mengikuti nilai yang digunakan pada percobaan V.3.1.
4. Simpan data tegangan masukan versus waktu dan tegangan luaran versus waktu pada Flash Disk. Gunakan ekstensi file .csv. Dengan demikian, file .csv memuat 3 buah informasi yaitu waktu, tegangan masukan (Ch 1), dan tegangan luaran (Ch 2).
5. Ulangi langkah 1-4 untuk masukan sinus dengan frekuensi : 600 Hz, 1000 Hz, 1400 Hz, 1800 Hz, 2200 Hz, 2600 Hz, dan 3000 Hz.
V.4. Analisis Deret Fourier : Pengolahan Data dengan Bantuan Matlab
Pada tahap ini, sinyal masukan dan responsnya diolah dengan bantuan Matlab. Pada bagian V.4.1, sinyal sinusoid saling harmonik (yang diberi bobot sesuai dengan nilai koefisien deret Fourier-nya), digunakan untuk merepresentasikan sinyal periodik kotak dengan deret Fourier. Selain itu, luaran sistem terhadap masukan sinyal kotak periodik diperoleh dengan kombinasi linear respons terhadap tiap sinyal sinus saling harmonik (sinus yang steady-state). Validasi hasil representasi sinyal periodik kotak beserta responsnya dilakukan dengan membandingkan hasil yang diperoleh dengan sinyal referensi.
Sebelum melakukan pengolahan data, pindahkan data dari Flash Disk ke perangkat lunak Matlab pada desktop PC. Simpan data pada folder baru berlokasi di
13
C:\Users\radartelkom_1\Desktop\Praktikum S1\Praktikum PSWK\nama semester-tahun\nama modul\nama folder (misal nama kelompok)
V.4.1. Representasi Sinyal Masukan Kotak Periodik dengan Deret Fourier Langkah-langkah percobaan:
1. Pastikan jendela utama Matlab tertaut pada lokasi folder yang telah Anda buat
2. Buat script baru berupa m-file dengan perintah FileNewScript. Simpan m-file pada folder yang telah Anda buat.
3. Panggil file .csv (sebanyak 9 file), yang masing-masing berisi tegangan masukan sinyal kotak periodik dan luarannya, serta sinyal sinusoid saling harmonik dan luarannya. Simpan hasil pembacaan tiap file .csv pada suatu matriks/variabel. Gunakan perintah:
nama_matriks = dlmread ′nama file. csv′,′,′, 2,0 ;
Pada matriks tersebut, kolom 1,2, dan 3, masing-masing berisi waktu, tegangan masukan, dan tegangan luaran. Gunakan informasi ini untuk melakukan pengolahan terhadap isi matriks.
4. Lakukan representasi terhadap sinyal kotak periodik (simetris ganjil) yaitu dengan menuliskannya sebagai kombinasi linear sinyal sinus saling harmonik. Jangan lupa sinyal tiap sinyal sinus saling harmonik diberi bobot berupa nilai koefisien deret Fourier yang bersesuaian. Dikarenakan semua sinyal masukan terdapat pada kolom ke-2 dari matriks hasil pembacaan file .csv, gunakan perintah berikut untuk mengambil data sinyal masukan:
nama_matriks(: ,2)
5. Bandingkan hasilnya dengan sinyal masukan referensi, yaitu sinyal kotak periodik. Perbandingan dilakukan dengan menampilkan gambar kedua sinyal (sinyal kotak periodik dan representasi deret Fourier-nya) melalui perintah:
plot nama_matriks_xx : ,2 , hold on, plot aprox_input, ′red′ Keterangan:
1. nama_matriks_xx adalah matriks yang memuat sinyal kotak periodik, diberi warna
biru (warna default)
2. aprox_input adalah nama vektor yang berisi aproksimasi sinyal kotak periodik, diberi warna merah
Jika diperlukan, gambar dapat disimpan dengan perintah FileSave asnama gambar. Gunakan ekstensi file .fig.
6. Apakah hasil representasi sinyal kotak periodik sesuai harapan Anda? Jelaskan.
V.4.2. Kombinasi Linear Respons Sistem LTI terhadap Sinyal Periodik Saling Harmonik
Ulangi langkah 4-6 pada bagian V.4.1. untuk mengetahui respons sistem LTI terhadap masukan sinyal kotak periodik, yang dihitung melalui kombinasi linear respons sistem terhadap tiap sinyal sinus saling harmonik. Jangan lupa untuk memberi bobot tiap respons tersebut dengan koefisien deret Fourier yang bersesuaian. Lakukan penyesuaian perintah Matlab dikarenakan data respons sistem luaran terdapat pada kolom ke-3 dari matriks hasil pembacaan file .csv.
14
VI. Tugas pada Laporan
Untuk membuat gambar/plot pada laporan, gunakan bantuan perangkat lunak, misalnya Microsoft Excel, Matlab, Maple, dsb.
Hal-hal yang harus dianalisis pada laporan adalah:
1. Analisis perbedaan respons step antara hasil percobaan dengan teori 2. Analisis perbedaan respons impuls antara hasil percobaan dengan teori
3. Analisis perbedaan antara hasil penentuan respons impuls dari turunan respons step, dengan respons impuls melalui pembangkitan pulsa durasi singkat.
4. Analisis respons rangkaian akibat pembangkitan pulsa durasi singkat dengan lebar pulsa dan tegangan yang berbeda-beda terhadap respons impuls yang dikehendaki.
5. Semua pertanyaan yang ada pada langkah-langkah percobaan
6. Analisis perbedaan representasi sinyal kotak periodik dengan deret Fourier antara hasil percobaan dengan nilai teoritis
7. Analisis perbedaan respons sistem LTI terhadap sinyal periodik saling harmonik antara hasil percobaan dengan nilai teoritis
VII. Referensi
1. Alan V. Oppenheim, Alan S. Willsky, with S. Hamid, Signals and Systems, 2nd edition, Prentice-Hall, 1996.
2. Simon Haykin, Barry Van Veen, Signals and Systems, 2nd edition, John Wiley & Sons, Inc., 2004.
3. http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Class/e12/
