Asuransi Jiwa

(1)

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia

(2)

Asuransi Jiwa Asuransi Jiwa

Asuransi Jiwa

Usaha kerjasama atau koperasi dari sejumlah orang yang sepakat memikul kesulitan keuangan bila terjadi musibah terhadap salah satu anggotanya.

Usaha kerjasama ini dilakukan melalui perusahaan asuransi dengan memanfaatkan apa yang disebut dalam statistika sebagai hukum bilangan besar (law of large number ).

Perusahaan yang besar dengan pemegang saham yang banyak akan mudah mengatasi santunan asuransi dari anggota yang meninggal. Dengan administrasi yang efisien dan investasi dana yang aman dengan tingkat bunga yang wajar, perusahaan asuransi akan

berkembang dengan sehat dan merupakan usaha pengumpulan modal yang amat penting.

(3)

Polis asuransi adalah suatu kontrak tertulis antara seseorang yang

mengasuransikan jiwanya dengan perusahaan asuransi. Beberapa hal yang tertera dalam polis asuransi:

Besar premi yang harus dibayarkan Jadwal pembayaran premi

Besar santunan asuransi (claim) yang akan dibayarkan perusahaan jika suatu peristiwa terjadi

Waktu mulai berlakunya polis tersebut (tanggal polis dikeluarkan), biasanya diambil sebagai tanggal yang paling dekat ke hari ulang tahunnya yang terdekat

(4)

(5)

1 Peluang meninggal

Peluang meninggal seseorang tergantung atas umur, jenis kelamin, pekerjaan, kebiasaan seseorang, riwayat kesehatan, dan berbagai hal lain.

2 Tingkat bunga

Dana yang terkumpul pada perusahaan asuransi akan diinvestasikan dengan tingkat bunga tertentu dan sebagian dari bunga tersebut seharusnya menjadi milik pemegang polis.

3 _Biaya

Perusahaan asuransi tidak dapat bekerja tanpa biaya, biaya

pegawainya untuk mengeluarkan polis, mengadministrasikan polis dan membayar santunan, pajak, komisi, dan sebagainya.

(6)

Pada materi ini, kita tidak akan memperhatikan biaya tapi hanya memperhatikan peluang meninggal dan tingkat bunga. Premi yang dihitung tanpa memperhatikan faktor biaya disebut premi bersih. Premi dapat dibayarkan sekaligus, disebut premi tunggal, dapat pula seumur hidup, dan dapat pula selama jangka waktu tertentu, misalnya selama 20 tahun. Bila si tertanggung (pemegang polis) meninggal sebelum berakhir jangka waktu pembayaran maka pembayaran dianggap telah selesai.

(7)

1 Asuransi Berjangka

2 Asuransi Seumur Hidup

3 Endowmen (Perpaduan antara Asuransi Berjangka dengan Endowmen

Murni)

4 Asuransi Tertunda

(8)

Asuransi Jiwa Asuransi Berjangka

Asuransi Berjangka

Di bawah kontrak ini, santunan asuransi akan dibayarkan perusahaan kepada pewaris si tertanggung meninggal selama jangka waktu tertentu, disebut jangka waktu polis. Jangka waktu biasanya 5 tahun, 10 tahun, 15 tahun, atau 20 tahun. Untuk memudahkan perhitungan maka kita akan pandang terlebih dahulu dengan jangka waktu setahun.

(9)

Misalkan ada lx orang, semuanya tepat berusia x , sepakat menyerahkan sebesar A rupiah ke suatu dana dan pada akhir tahun Rp 1 akan

dibayarkan kepada setiap pewaris dari yang meninggal di antara mereka sepanjang tahun tersebut. Dana yang terkumpul beserta bunganya setahun dianggap tepat sama dengan seluruh pembayaran santunan Rp 1 bagi setiap yang meninggal, jadi tidak kurang maupun tidak bersisa.

Banyaknya yang meninggal setahun dari sebanyak lx adalah dx, jadi

seluruh pembayaran setahun kemudian adalah dx rupiah.

(10)

Dana yang terkumpul beserta bunganya adalah A · lx(1 + i ), sehingga

dx = A · lx(1 + i ) A = dx lx(1 + i ) = v dx lx = v x +1_d x lxvx = Cx Dx

(11)

Nilai A dapat diperoleh juga secara diskonto (bunga dan peluang

meninggal). Nilai tunai dari Rp 1 yang akan dibayar setahun lagi adalah v ,

peluangnya akan dibayarkan adalah qx (yaitu jika meninggal). Jadi,

A = v · qx = v

dx

lx =

Cx Dx

(12)

Nilai A ini disebut premi tunggal bersih suatu asuransi sebesar Rp 1 selama setahun. Nilai Rp 1 hanya akan dibayarkan bila si tertanggung meninggal dalam jangka waktu setahun. Bila dia hidup mencapai usia x + 1 maka dia tidak mendapat apapun.

(13)

Misalkan A1_{x :n¬} menyatakan nilai tunai asuransi atau premi tunggal bersih asuransi sebesar Rp 1 pada (x ) selama jangka waktu n tahun. Artinya

Bila (x ) meninggal sebelum usia x + n, maka kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp 1 pada akhir tahun dia meninggal.

Bila (x ) hidup sampai usia x + n, maka tidak akan ada pembayaran.

(14)

Asuransi Jiwa Asuransi Berjangka A1_{x :n¬}= v dx lx + v 2dx +1 lx + . . . + v ndx +n−1 lx (kalikan dengan vx vx) = v x +1_d x+ vx +2dx +1+ . . . + vx +ndx +n−1 vx_l x = Cx+ Cx +1+ . . . + Cx +n−1 Dx = Mx− Mx +n Dx Ingat, Mx = P i =0 Cx +i dan Mx +n= P i =0 Cx +n+i, jadi Mx− Mx +n = n−1 P i =0 Cx +i.

(15)

Hitunglah premi tunggal bersih suatu asuransi berjangka 10 tahun bagi seseorang berusia 30 tahun bila besarnya santunan Rp 1 juta rupiah.

(16)

Penyelesaian

A1_30:10¬= 106 M30− M40 D30 = 106 182403, 4951 − 165359, 8889 440800, 58 = 38665, 12 rupiah

(17)

Buktikan bahwa

A1_{x :20¬}= A1_{x :10¬}+ 10Ex· A1_{x +10:10¬}

(18)

Penyelesaian

Sederhanakan ruas kanan dengan mengubahnya ke simbol kumutasi. A1_{x :10¬}= Mx− Mx +10 Dx 10Ex · A1_{x +10:10¬}= Dx +10 Dx Mx +10− Mx +20 Dx +10

Jadi, ruas kanan menjadi

Mx− Mx +10 Dx + Mx +10− Mx +20 Dx = Mx− Mx +20 Dx = A1_{x :20¬}

(19)

Ingat!

nEx adalah nilai tunai dari Rp 1 yang didiskontokan terhadap bunga dan

kematian.

(20)

Asuransi Jiwa Asuransi Seumur Hidup

Asuransi Seumur Hidup

Asuransi berjangka yang dibahas sebelumnya amat sederhana dan murah (dalam arti preminya rendah). Akan tetapi, bila jangka waktu sudah habis, si tertanggung tidak memperoleh apapun dari perusahaan asuransi. Bila yang bersangkutan ingin diasuransikan terus maka dia harus membeli polis baru karena kontrak yang lama sudah habis. Membeli polis baru akan relatif lebih mahal mengingat usianya sudah semakin tua dan peluang meninggalnya semakin besar.

(21)

Asuransi seumur hidup adalah cara yang lebih murah dan praktis dibandingkan dengan asuransi berjangka yang bersambung. Dengan asuransi seumur hidup maka santunan asuransi akan pasti dibayar tanpa mempedulikan kapan maut datang menjemput. Premi dapat dibayarkan sekaligus (premi tunggal) atau terbatas sampai beberapa tahun, ataupun seumur hidup.

(22)

Misalkan Ax menyatakan nilai tunai atau premi tunggal bersih dari

asuransi seumur hidup sebesar Rp 1 bagi seseorang yang berusia (x ); ini berarti bahwa bila (x ) meninggal maka kepada pewarisnya akan dibayarkan sebesar Rp 1 pada akhir tahun dia meninggal. Dengan cara diskonto seperti asuransi berjangka, diperoleh

Ax = v dx lx + v 2dx +1 lx + . . . + v w −x +1dw lx = v x +1_dx_{+ v}x +2_{dx +1}_{+ . . . + v}w +1_dw vx_l x = Cx+ Cx +1+ . . . + Cw Dx = Mx Dx

(23)

Carilah premi tunggal bersih dari suatu polis asuransi jiwa yang besar santunannya selama 10 tahun pertama adalah 1 juta rupiah dan 2 juta rupiah sesudah itu bagi orang yang berumur 20 tahun.

(24)

Penyelesaian

Cara 1

Premi tunggal bersih

106(A1_20:10¬+ 210E20· A30) = 106 M20− M30 D20 + 2 · D30 D20 · M30 D30 = 106 M20− M30+ 2M30 D20 = 106 M20+ M30 D20

(25)

Anggap bahwa ada asuransi seumur hidup dengan santunan 1 juta rupiah sejak usia 20 tahun ditambah asuransi seumur hidup sebesar 1 juta rupiah sejak usia 30 tahun. Premi tunggal bersihnya adalah

106(A20+ 10E20· A30) = 106 M20 D20 +D30 D20 ·M30 D30 = 106 M20+ M30 D20

(26)

Cara 3

Anggap sebagai selisih dua asuransi: asuransi seumur hidup sebesar 2 juta sejak usia 20 tahun dikurangi dengan asuransi berjangka 10 tahun sebesar 1 juta rupiah mulai usia 20 tahun. Premi tunggal bersihnya adalah 106(2 A20− A120:10¬) = 106 2M20 D20 −M20− M30 D20 = 106 M20+ M30 D20

(27)

Hasilnya adalah 106 M20+ M30 D20 = 106 196657, 1668 + 182403, 4951 580662, 42 = 652807, 29 juta rupiah

(28)

Contoh 4

Buktikan

(29)

Ax +n· nEx = Mx +n Dx +n · Dx +n Dx = Mx +n Dx Ruas Kanan Ax− A1x :n¬= Mx Dx −Mx− Mx +n Dx = Mx +n Dx Karena ruas kiri = ruas kanan, maka terbukti.

(30)

Asuransi Jiwa Endowmen/Dwiguna

Endowmen/Dwiguna

Endowmen merupakan perpaduan antara asuransi berjangka dengan endowmen murni. Jadi, bila si tertanggung meninggal selama jangka waktu asuransi, misalnya n tahun, maka kepada pewarisnya akan

dibayarkan Rp 1, sedangkan bila dia mencapai usia x + n maka kepadanya akan dibayarkan Rp 1 pada akhir tahun ke x + n. Simbol yang digunakan

untuk jenis asuransi ini adalah Ax :n¬, tanpa simbol 1 di atas x . Jadi,

Ax :n¬= A1_{x :n¬}+ nEx = Mx− Mx +n Dx + Dx +n Dx = Mx− Mx +n+ Dx +n Dx

(31)

Hitunglah premi tunggal bersih dari suatu asuransi endowmen sebesar 1 juta rupiah dikeluarkan bagi orang selama 20 tahun bagi orang berusia

a. 20 tahun

b. 30 tahun

(32)

Asuransi Jiwa Endowmen/Dwiguna

Penyelesaian

a. Premi tunggal bersih

A20:20¬ = 106 M20− M40+ D40 D20 = 106196657, 1668 − 165359, 8889 + 328983, 61 580662, 42 = 620465, 31 rupiah

b. Premi tunggal bersih

A30:20¬ = 106 M30− M50+ D50 D30 = 106182403, 495 − 142035, 0956 + 235925, 04 440800, 58 = 626799, 17 rupiah

(33)

1. Asuransi Berjangka Tertunda

Simbol untuk asuransi berjangka tertunda adalah_m|A1

x :n¬. Simbol ini menyatakan premi tunggal bersih untuk asuransi berjangka n tahun sebesar Rp 1 dikeluarkan bagi orang berusia x yang tertunda m tahun. Ini berarti pembayaran Rp 1 akan dilakukan perusahaan asuransi bagi pewaris (x ) pada akhir tahun dia meninggal asal dia meninggal antara usia x + m dan x + m + n tahun.

(34)

Asuransi Jiwa Asuransi Tertunda m|A1x :n¬= vm+1 dx +m lx + v m+2dx +m+1 lx + . . . + v m+ndx +m+n−1 lx = v x +m+1_{dx +m}_{+ v}x +m+2_{dx +m+1}_{+ . . . + v}x +m+n_{dx +m+n−1} vx_l x = Cx +m+ Cx +m+1+ . . . + Cx +m+n−1 Dx = Mx +m− Mx +m+n Dx

(35)

m|Ax :n¬= m|A1x :n¬+ m+nEx = Mx +m− Mx +m+n Dx +Dx +m+n Dx = Mx +m− Mx +m+n+ Dx +m+n Dx

Simbol tersebut menyatakan premi tunggal bersih asuransi endowmen tertunda sebesar Rp 1 bagi (x ) selama n tahun, santunan akan dibayarkan bila (x ) meninggal antara usia x + m dan x + m + n atau bila mencapai usia x + m + n. Bila (x ) meninggal antara usia x dan x + m maka tidak ada pembayaran.

(36)

Asuransi Jiwa Asuransi Tertunda

3. Asuransi Seumur Hidup Tertunda

m|Ax = vm+1 dx +m lx + v m+2dx +m+1 lx + . . . + v w −x +1dw lx = v x +m+1_{dx +m}_{+ v}x +m+2_{dx +m+1}_{+ . . . + v}w +1_dw vx_l x = Cx +m+ Cx +m+1+ . . . + Cw Dx = Mx +m Dx

(37)

Buktikan bahwa

m|Ax :n¬= Ax :m+n¬− A1x :m¬

(38)

Asuransi Jiwa Asuransi Tertunda

Penyelesaian

Ax :m+n¬− A1x :m¬ = Mx− Mx +m+n+ Dx +m+n Dx − Mx− Mx +m Dx = Mx +m− Mx +m+n+ Dx +m+n Dx =_m| Ax :n¬