MINGGU KE-1
Materi: 1. Pengantar sistem persamaan linear2. Matriks dan operasi matriks 3. Jenis-jenis matriks
___________________________________________________________________________ PENGANTAR SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear merupakan sejumlah tertentu persamaan linear dalam variabel x x1, 2,...,xn. Sebarang sistem m persamaan linear dengan n variabel dituliskan sebagai berikut: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b
dengan x x1, 2,...,xn adalah faktor yang belum diketahui serta a dan b dengan subskrip merupakan konstanta.
>> disebut linear, karena semua variabel berpangkat (berderajat 1) >> disebut persamaan, karena menggunakan tanda “ = ”
>> disebut sistem, karena terdapat lebih dari satu persamaan
Suatu sistem persamaan linear yang tidak memiliki solusi disebut tidak konsisten, sedangkan jika terdapat paling tidak satu solusi dalam sistem disebut konsisten. Suatu sistem persamaan linear yang konsisten dapat memiliki tepat satu solusi atau memiliki takterhingga banyaknya solusi.
Sistem persamaan linear homogen merupakan sistem persamaan linear dengan semua bentuk konstantanya adalah 0, yaitu sistem ini memiliki bentuk:
11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ... 0 ... 0 ... 0 n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x
Setiap sistem persamaan linear homogen adalah konsisten karena semua sistem semacam ini memiliki solusi x1 0, x2 0, ..., xn 0. Solusi ini disebut solusi trivial. Jika terdapat solusi lain, maka solusi-solusi tersebut disebut solusi nontrivial.
Karena sistem linear homogen selalu memiliki solusi trivial, maka hanya terdapat dua kemungkinan untuk solusi-solusinya:
sistem tersebut hanya memiliki solusi trivial,
sistem tersebut memiliki takterhingga banyaknya solusi selain solusi trivialnya. Ada satu kasus di mana sistem homogen bisa dipastikan memiliki solusi nontrivial, yaitu jika sistem tersebut melibatkan lebih banyak variabel dibandingkan dengan banyaknya persamaan linear yang ada. Sebagai contoh, jika terdapat 3 persamaan dengan 4 variabel, maka sistem tersebut memiliki solusi nontrivial.
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Pengantar Matriks
Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri dari baris-baris dan kolom-kolom. Nama dari suatu matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital. Beberapa istilah dasar berkaitan dengan matriks yaitu:
a. baris suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau
horisontal dalam matriks.
b. kolom suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak atau vertikal dalam matriks.
c. elemen / unsur / entri suatu matriks adalah bilangan-bilangan (real atau kompleks) yang menyusun matriks itu.
d. ordo adalah ukuran suatu matriks yang ditentukan oleh banyaknya baris kali banyaknya kolom. Contoh: matriks A memiliki 2 baris dan 3 kolom, maka ordo matriks itu adalah 2 3 , dan dinotasikan A2 3 .
Secara umum, suatu matriks A dapat ditulis sebagai berikut:
aij menyatakan entri matriks dengan:
i = 1, 2, 3, ..., m
j = 1, 2, 3, ..., n
Operasi Matriks
>> Penjumlahan dan pengurangan matriks
Jika A dan B adalah matriks-matriks dengan ordo yang sama, maka:
- (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan entri-entri pada A dengan entri-entri yang bersesuaian pada B.
- (A – B) adalah adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan entri-entri pada A
dengan entri-entri yang bersesuaian pada B. Contoh 1:
Diketahui 𝐴 = 2 −33 5 −91 dan 𝐵 = 0 −47 6 −61 . Tentukanlah 𝐴 + 𝐵 dan 𝐴 − 𝐵 !
𝐴 + 𝐵 = 2 −33 5 −91 + 0 −47 6 −61 = 2 + 0 −3 + (−4)3 + 7 5 + 6 −9 + (−6) 1 + 1
𝐴 + 𝐵 = 2 −7 2
10 11 −15
𝐴 − 𝐵 = 2 −33 5 −91 − 0 −47 6 −61 = 2 − 0 −3 − (−4)3 − 7 5 − 6 −9 − (−6) 1 − 1 𝐴 − 𝐵 = 2−4 −1 −31 0
>> Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian skalar dengan matriks yaitu: jika bilangan skalar k dikalikan dengan matriks
A, maka kalikan bilangan k dengan semua entri pada A. Contoh 2: Diketahui 𝐴 = −2 1 9 3 −7 0 8 5 4 . Tentukanlah 2𝐴 ! Jawab: 2𝐴 = 2 −23 −7 01 9 8 5 4 = 2 × (−2) 2 × 1 2 × 9 2 × 3 2 × (−7) 2 × 0 2 × 8 2 × 5 2 × 4 = −46 −142 180 16 10 8
>> Perkalian matriks dengan matriks
Perkalian matriks dengan matriks yaitu: jika matriks A berordo m q dan matriks B
berordo q n , maka (A B ) adalah suatu matriks C berordo m n yang entri-entrinya diperoleh dari penjumlahan hasil kali entri-entri pada baris ke-i matriks A dengan entri-entri pada kolom ke-j matriks B yang bersesuian, dengan i1, 2, 3, ..., m dan j1, 2, 3, ..., n. matriks A berordo m x q; matriks B berordo q x n → bisa dikalikan
matriks A berordo m x p; matriks B berordo q x n → tidak bisa dikalikan
Contoh 3: Diketahui 𝐴 = 1 3 5 2 4 6 dan 𝐵 = 7 −9 −1 5 −4 4
. Hitunglah hasil dari 𝐴 × 𝐵 ! Jawab: 𝐴 × 𝐵 = 1 3 5 2 4 6 × 7 −9 −1 5 −4 4 𝐴 × 𝐵 = 1 × 7 + 3 × −1 + 5 × −4 1 × −9 + 3 × 5 + (5 × 4) 2 × 7 + 4 × −1 + 6 × −4 2 × −9 + 4 × 5 + (6 × 4) 𝐴 × 𝐵 = −16 26 −14 26
Sifat-Sifat Aritmetika Matriks
Dengan mengasumsikan bahwa ordo matriks sedemikian rupa sehingga operasi-operasi tersebut yang disebutkan dapat dilakukan, aturan-aturan aritmetika matriks berikut ini berlaku. Misalkan pula a dan b merupakan suatu skalar/konstanta.
(a) A B B A (Hukum komutatif dalam penjumlahan matriks)
(b) A(B C )(A B )C (Hukum asosiatif dalam penjumlahan matriks) (c) A BC( )(AB C) (Hukum asosiatif dalam perkalian matriks) (d) A B C( )ABAC (Hukum distributif kiri)
(e) (B C A ) BA CA (Hukum distributif kanan) (f) A B C( ) ABAC (g) (B C A ) BA CA (h) a B C( )aBaC (i) a B C( )aB aC (j) (a b C ) aCbC (k) (a b C ) aC bC (l) a bC( )(ab C) (m) a BC( )(aB C) B aC( ) Transpos Matriks
Jika A adalah matriks berordo m n , maka transpos dari A, dinyatakan dengan AT, didefinisikan sebagai matriks n m yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A, sehingga kolom pertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.
dalam transpos matriks: baris → kolom kolom → baris
Jika ordo matriks sedemikian rupa sehingga operasi-operasi berikut dapat dilakukan, dan k merupakan skalar sebarang, maka sifat-sifat transpos ini berlaku.
(a) (AT T) A
(b) (A B )T AT BT
(c) (A B )T AT BT
(d) (kA)T kAT dengan k adalah suatu konstanta (e) (AB)T B AT T Contoh 4: Diketahui 𝐴 = −2 1 9 3 −7 0 8 5 4 . Tentukanlah 𝐴𝑇 ! Jawab: 𝐴𝑇 = −21 −7 53 8 9 0 4
JENIS-JENIS MATRIKS
1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari dari satu baris. Sebagai contoh:
2 0 ; −1 3 −5 ; 1 4 6 3 5
2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Sebagai contoh:
2 1 2 ; −7 −11 ; 3 1 7 5
3. Matriks nol adalah matriks yang seluruh entrinya berupa bilangan 0. Sebagai contoh:
0 00 0 ; 0 00 0
0 0 ; 0 0 0
4. Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Sebagai contoh: 1 56 0 34 7 −83 2 −9 5 ; 9 3 19 8
5. Matriks identitas (𝐼𝑛) adalah matriks persegi yang entri pada diagonal utamanya bernilai 1 dan entri yang lainnya semua bernilai 0. Sebagai contoh:
1 0 0 1 = 𝐼 2 ; 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = 𝐼 3
6. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya bernilai 0. Sebagai contoh:
2 3
0 5 7 18 4 0 0
0 0 2 60 3
7. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua entri di atas diagonal utamanya bernilai 0. Sebagai contoh:
7 0
5 1 0 00 0 0 8
2 4 9 02 5
8. Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan semua entri di atas dan di bawah diagonal utamanya bernilai 0. Sebagai contoh:
2 0 0
0 −1 0
0 0 0
9. Matriks skalar adalah matriks diagonal dengan semua entri pada diagonal utama memiliki nilai yang sama. Sebagai contoh:
2 0 0 0 2 0 0 0 2
= 2 𝐼 3
10. Matriks simetrik adalah matriks persegi yang memenuhi AT A. Sebagai contoh:
1 2 3
2 0 −4
LATIHAN SOAL
1. Manakah dari persamaan berikut yang merupakan persamaan linear? a. x3y7 d. 3a2b c ac 5
b. x13 x2 5 e. 1
2 3 1
b x c
c. ylogx f. p12p23p3p4 0 2. Misalkan A, B, C, D, dan E adalah matriks-matriks dengan ordo berikut:
4 5
A , B45, C52, D42, E54
Tentukan apakah pernyataan-pernyataan berikut ini dapat didefinisikan. Bagi yang dapat didefinisikan, berikan ordo matriks hasilnya.
a. BA d. E AC( ) g. ABB
b. E A B( ) e. AEB h. (AT E D) c. ACD f. E AT
3. Misalkan matriks M dan N diberikan sebagai berikut: 1 2 1 3 M ; 3 2 2 2 N Hitunglah: a. MN b. N T+ M c. M 2 + N 2
