ESTIMASI
(PENDUGAAN STATISTIK)
Ir. Tito Adi Dewanto
Statistika
Deskriptif Inferensi
Estimasi Uji Hipotesis
Titik Rentang
Estimasi dan Uji Hipotesis
Dilakukan setelah penelitian dalam tahap pengambilan suatu kesimpulan
Tujuan: mengetahui bagaimana data yang ada pada sampel bisa menggambarkan keadaan populasi
Dua konsep yang berkaitan dengan inferensia:
Estimasi atau pendugaan menduga keadaan populasi dengan memakai data di tingkat sampel
Pengujian hipotesis memeriksa apakah data yang ada di tingkat sampel mendukung atau berlawanan dengan dugaan peneliti.
Estimasi : Salah satu cara mengemukakan pernyataan induktif (menyatakan karakteristik populasi dengan menggunakan karakteristik yang didapat dari cuplikan).
Contoh Pendugaan Statistik misalnya menduga rata-rata penghasilan penduduk suatu kecamatan () dengan mengambil cuplikan 10 keluarga saja, lalu cari rata-rata cuplikan X (sample means).
X merupakan penduga yg baik untuk .
Hasil suatu cuplikan Proses Pendugaan Ingin diketahui berapa Misal 1) X nilai 1)
2) S2 2) 2
Penduga Target
Sifat Penduga Yang Baik
1. Tidak Bias : yaitu jika E()
2. Varian Terkecil : Semakin kecil semakin baik
Penduga 1 lebih efisien dari penduga 2
3. Rata-rata Simpangan Terkecil : Efisien dari setiap penduga
1 penduga tak bias, 3 punya varian terkecil, 2 yang lebih baik
4. Konsisten :
(bila bias2 =0 dan 2=0)
Semakin besar jumlah sample makin konsisten
Efisiensi relative dari i terhadap j =
) (
) (
j i
RSK RSK
Jawab: a. tidak b. 90%
Soal 1:
Pendugaan Titik : Bila nilai dari populasi hanya diduga dengan 1 nilai statistic X sample.
Contoh :
Seorang ahli sosial ekonomi ingin mengestimasi rata-rata penghasilan buruh di kota Bogor. Sebuah sampel dikumpulkan menghasilkan rata- rata Rp 2.000.000,-.
Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik, dengan menggunakan estimator berupa statistic mean (X ) untuk mengestimasi parameter mean populasi (μ). Nilai sampel Rp 2.000.000,- sebagai nilai estimate dari mean populasi.
Pendugaan Rentang : Bila nilai dari populasi diduga dengan memakai beberapa nilai statistic (range) . = X Kesalahan Baku Z
Hasil merupakan sekumpulan angka dan akan lebih objektif
Menyatakan berapa besar tingkat kepercayaan bahwa interval yang terbentuk memang mengandung nilai parameter yang diduga
Peneliti bebas menentukan interval kepercayaan (90%, 95%, 99%)
Hal tersebut berkaitan dengan alpha (daerah penolakan) Misal, apabila ditetapkan interval kepercayaan sebesar 95% maka (alpha) sebesar 5%
(100% - 95%) . Artinya bahwa diberikan toleransi untuk melakukan kesalahan sebanyak 5 kali dalam 100 kali percobaan Interval kepercayaan 90% (alpha 10%) diberikan toleransi untuk melakukan kesalahan sebanyak 10 kali dari 100 kali percobaan
Maka interval kepercayaan 95% akan lebih teliti dibanding interval 90%
(alpha 0.10)
Semakin besar tingkat kepercayaan yang diberikan, semakin tinggi tingkat kepercayaan bahwa parameter populasi yang diestimasi terletak dalam interval yang terbentuk, namun penelitian menjadi semakin tidak teliti
Der. Kep Zα/2
95%
96%
90%
99%
1,96 2,05 1,64 2,575
Nilai Dugaan Rentang untuk (Derajat Kepercayaan 95%)
Pr(X -1,96.x < < X +1,96.x) = 0,95 atau = X 1,96.x
Contoh : Dari kelas statistic diketahui simpangan baku=12. dari
cuplikan sebanyak 16 menghasilkan X = 58. Tentukan dugaan rentang dengan derajat kepercayaan 95%.
Pemecahan:
n=16, =12 dan X = 58. = X 1,96.x sementara
x n
= 58 (1,96).
16
12 = 58 6 52 < < 64
Soal 2:
Hasil penelitian terhadap 10 orang mhs menunjukan bahwa rata-rata uang saku adalah Rp 27,6 (ribuan), dengan simpangan baku seluruh pelajar adalah Rp 12,00. Rata-rata uang saku diseluruh pelajar adalah (derjat keperc. 95%) ?
A. 27,6±6,44 C. 27,6±8,589 B. 27,6±7,44 D. 27,6±8,623
Pemakaian distribusi t, bila tidak diketahui (Derajat Kep. 95%)
Jika dimiliki sampel X1, X2, …., Xn dari distribusi normal N(, 2) dengan 2 tidak diketahui maka : berdistribusi t dengan derajat bebas n-1.
= X t0,25.
n
S atau =
n
X2,262. S untuk n = 10
=
n
X3,182. S untuk n = 4
Dimana 2 ( )2 1
1
X X
S n , Derajat kebebasan = n – 1
Contoh:Dari suatu kelas yang besar, diambil sample 4 buah nilai ujian statistic masing-masing 64, 66, 89 dan 77. Tentukan nilai duga rentang untuk rata-rata seluruh kelas.
Pemecahan : Untuk n=4, Derajat kebebasan=4-1=3. Dari table didapat t0,25 =3,182. Dari sample dihitung X =74 dan S2 = 132,7 dan S = 11,5
= 74 3,182.
4 7 ,
132 = 74 18 56 < < 92
Soal 3 :
Hasil penelitian terhadap 10 orang mhs menunjukan bahwa rata-rata uang saku adalah Rp 27,6 (ribuan), dengan simpangan baku cuplikan
n S t X
/
2 2 2 1
2 1
2
1 x n n
x
Pendugaan Nilai Rentang untuk Beda Nilai Rata-rata 2 Populasi Simpangan Baku beda 2 rata-rata :
Simp. Baku ini dimasukan ke pers. (1 - 2) =
2
. 1
)
(X1 X2 Z0,25 xx
(1 - 2) = (
2 2 2 1
2 1 25 , 2 0
1 )
(X X Z n n
bila 1 2 dan =95%
(1 - 2) = (
2 1 25 , 2 0 1
1 . 1
)
(X X Z n n bila 1 = 2 dan =95%
Contoh :
Ujian statistika diberikan kepada 2 kelompok mahasiswa, yaitu mahasiswa perempuan sebanyak 75 orang dan mahasiswa laki-laki sebanyak 50 orang. Kelompok perempuan memperoleh rata-rata 82 dengan simpangan baku 8, sedangkan kelompok laki-laki memperoleh rata-rata 76 dan simpangan baku 6. Buatlah interval kepercayaan 96%
untuk menduga berapa sesungguhnya beda rata-rata 2 kelompok mahasiswa tersebut ?
Penyelesaian
Kelompok Mhs Pr : n1=75, X1 = 82, S1=8 Kelompok Mhs Lk : n1=50, X1 = 76, S1=6 Zα/2 = Z0,04/2 = Z0,02 = 2,05
(1 - 2) = (
2 2 2 1
2 1 25 , 2 0
1 )
( n
S n Z S X
X
(1 - 2) = (
50 6 75 05 8 , 2 ) 76 82 (
2 2
3,429< 1 - 2 < 8,571 Sesungguhnya beda rata-rata 2 kelompok mahasiswa tersebut adalah antara 3,429 sampai 8,571. Dapat disimpulkan bahwa rata-rata
kelompok Pr lebih tinggi dari Lk.
Pendugaan Nilai Rentang untuk Beda Nilai Rata-rata 2 Populasi bila 1 ,2 tidak diketahui tapi nilainya dianggap sama
(1 - 2) = (
2 2 2 1
2 1 25 , 2 0
1 )
(X X Z Sp n n
1 2
1 1
2 2 2
2 1 1
2 1
2 ( ) ( )
2
1 n
i
n
i i i
p X X X X
n S n
Contoh : dari sebuah kelas diambil cuplikan nilai ujian 64,66,89 dan 77. dari kelas lain juga diambil 56,71 dan 53. Tentukan Nilai duga rentang beda 2 rata-rata nilai kelas tersebut 1-2 ?
Pemecahan :
Kelas I Kelas II
Nilai X1i
X1i- 1
X (X1i- 1
X )2 Nilai X2i
X2i- 2
X (X1i- 2
X )2 64
66 89 77
-10 -8 15 3
100 64 25 9
56 71 53
-4 11 -7
16 121
49 296
X=296/4
=74
0 398 180
X =180/3
=60
0 186
2
Sp=
2 3 4
1
(398+186)=
5
584=117, dari table t0,25 = 2,571 Derajat kebebasan=(4-1)+(3-1)=5
(1-2)=(74-60)2,571
3 1 4 . 1
117 =14 21
Dibaca: besarnya nilai duga rentang untuk beda rata-rata 2 populasi adalah -7 sampai 35 dengan derajat kepercayaan 95%.
Pendugaan Rentang untuk Proporsi
Proporsi dari populasi dinyatakan dengan P=X/N dan proporsi untuk sampel/cuplikan dinyatakan dengan p=x/n
Pendugaan Rentang Proporsi dengan cuplikan besar =P1,96
n P P(1 )
Pendugaan Rentang untuk Beda 2 Proporsi dengan Cuplikan Besar
(1-2)=(P1-P2) 1,96
2 2 2 1
1
1(1 ) (1 )
n P P n
P
P
Contoh : Suatu penelitian oleh perusahaan sabun cuci “Ekonomi”
dengan mengambil cuplikan 200 orang, bahwa 140 orang memakai produk tsb. Hitung berapa proporsi seluruh penduduk yang
menggunakan dan menyukai produk tsb. (pakai 95% derajat kepercayaan).
Pemecahan : P=
10 7 200
140 =0,7
=0,71,96
200 ) 7 , 0 1 ( 7 ,
0 =0,70,0324(1,96) 0,6365 < < 0,7635
Soal 4:
Pada suatu sampel acak berukuran n=500 orang di kota Bogor ditemukan bahwa 340 orang suka nonton Indonesia Lawyers Club.
Hitunglah interval kepercayaan 95% untuk menduga berapa proporsi sesungguhnya penduduk kota Bogor yang suka acara tersebut ?
penelitian dengan cuplikan sebesar 250 acak. Dari jumlah tersebut 180 orang menyukai dan memakai produk tsb. Tentukan kenaikan
/penurunan luas seluruh pasar produk tsb.
Pemecahan : P2 =
250
180 =0,72, P2 proporsi cuplikan yang menyukai produk tsb.
P1 dari data diatas =0,7
Kenaikan proporsi luas seluruh pasar = (1-2) (1-2)=(P1-P2) 1,96
250 ) 38 , 0 ( 72 , 0 200
) 3 , 0 ( 7 ,
0
(1-2)=(0,72-0,70)1,96(0,0463) = 0,020,09 -0,07< (1-2) < 0,11 Jadi dengan derajat kepercayaan 95% maka kenaikan luas pasar setelah dipakai nama baru sebesar -7% sampai 11% (turun 7% sampai naik 11%). Karena duga rentang melewati angka 0% dapat dikatakan bahwa pemakaian nama baru tidak menambah luas pasar.
Soal 5:
Suatu survei diadakan terhadap pengunjung PRJ. Untuk itu diambil 2 kelompok sampel. Sampel 1 adalah ibu2 sebanyak 500 orang, sebanyak 325 mengatakan puas. Sampel 2 adalah bapak2 sebanyak 700 orang, sebanyak 400 menyatakan puas terhadap PRJ. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk menduga berapa sesungguhnya beda 2 populasi pengunjung yang puas dengan PRJ ?
A. 0,01 < P1-P2 < 0,14 C. 0,01 < P1-P2 < 0,17 B. 0,02 < P1-P2 < 0,14 D. 0,02 < P1-P2 < 0,18
Peluang - t Dua sisi α/2 Satu sisi α
Tugas III statistika
1. Misalkan diberikan nilai ujian matematika dari 10 siswa sebagai berikut: 58, 58, 43, 64, 47, 54, 59, 47, 60, dan 64. Estimasi rata-rata nilai Matematika sesungguhnya (populasi), dengan tingkat kepercayaan 95 persen ?
2. Seorang guru ingin mengestimasi waktu rata-rata yang digunakan untuk belajar. Suatu sampel acak ukuran 36 menunjukan bahwa rata-rata waktu yang digunakan siswa untuk belajar di rumah setiap harinya adalah 100 menit. Informasi sebelumnya menyatakan bahwa standar deviasi adalah 20 menit. Estimasilah rentang nilai para seluruh siswa tersebut dengan tingkat kepercayaan 95 persen ?
3. Dari kelas statistic diketahui simpangan baku=12. dari cuplikan
sebanyak 25 menghasilkan X = 58. Tentukan dugaan rentang dengan derajat kepercayaan 95% ?
4. Untuk data ujian mahasiswa berikut,
x Frek
37 47 57 67 77 87 97
2 8 17 35 27 13 5 Tentukanlah
a. Peluang Nilai X > 80 ? b. Peluang Nilai X < 75 ? dan c. Peluang Nilai 66 < X < 88 ?
(Petunjuk cari dulu rata-rata, dan simpangan bakunya, lalu ingat materi distribusi normal)
5. Misalkan kita memiliki hasil ujian Statistik, diperoleh rata-ratanya 72 dan simpangan bakunya 9. Berapa besar probabilitas bahwa bila diambil sebuah cuplikan acak sebanyak 12 pelajar akan memperoleh rata-rata hasil ujian lebih besar dari 80 ?
6. Suatu survei diadakan terhadap pengunjung PRJ. Untuk itu diambil 2 kelompok sampel. Sampel 1 adalah ibu2 sebanyak 500 orang, sebanyak 325 mengatakan puas. Sampel 2 adalah bapak2 sebanyak 700 orang, sebanyak 400 menyatakan puas terhadap PRJ. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk menduga berapa sesungguhnya beda 2 populasi pengunjung yang puas dengan PRJ ?