PEMODELAN RUNTUN WAKTU AUTO REGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGEWITH EXOGENOUS VARIABLE (ARIMAX) DENGAN EFEK VARIASI KALENDER.

(1)

Ayu Indri Astuti, 2013

Pemodelan Runtun Waktu Auto Regressive Integrated Moving Average With Exogeneus Variable (ARIMAX) Dengan Efek Variasi Kalender

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

PEMODELAN RUNTUN WAKTU AUTO REGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE WITH EXOGENOUS VARIABLE (ARIMAX) DENGAN

EFEK VARIASI KALENDER

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Statistik

Oleh

Ayu Indri Astuti 0906979

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU ENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

PEMODELAN RUNTUN WAKTU AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGEWITH EXOGENOUS VARIABLE (ARIMAX)

DENGAN EFEK VARIASI KALENDER

Oleh Ayu Indri Astuti

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sainspada

Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Oktober 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu AYU INDRI ASTUTI

PEMODELAN RUNTUN WAKTU AUTO REGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE WITH EXOGENOUS VARIABLE (ARIMAX) DENGAN

EFEK VARIASI KALENDER

DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING :

Pembimbing I

EntitPuspita, S.Pd.,M.Si. NIP. 196704081994032002

Pembimbing II

Dr. Bambang Avip Priatna M., M.Si.

NIP. 196412051990031001

Mengetahui Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

(4)

(5)

viii

PEMODELAN RUNTUN WAKTU AUTO REGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGEWITH EXOGENOUS VARIABLE (ARIMAX)

DENGAN EFEK VARIASI KALENDER

Abstrak

Metode ARIMAX dengan efek variasi kalender adalah salah satu model yang banyak digunakan untuk peramalan yang berkaitan dengan pengaruh adanya hari-hari khusus pada periode tertentu. Tujuan penulisan ini adalah menentukan model runtun waktu ARIMAX dengan efek variasi kalender yang sesuai untuk data yang mengandung variabel dummy pada kasus peramalan jumlah penjualan gamis di toko Regolith.Dalam penelitian ini, data yang digunakan adalah jumlah penjualan gamis di toko Regolith yang berada di Sidareja Kabupaten Cilacap, Jawa Tengah sejak januari 2005 sampai dengan desember 2009. Model terbaik untuk meramalkan jumlah penjualan gamis di toko Regolith adalah model ARIMAX [ ] dengan hasil peramalan dari januari sampai dengan desember 2010 secara berurutan adalah 429, 375, 403, 442, 436, 430, 441, 760, 628, 488, 453, dan 429. Sedangkan data aktual penjualan gamis dari januari sampai dengan desember 2010 secara berurutan adalah 435, 377, 410, 422, 431, 438, 452, 743, 611, 476, 449,dan 433. Penjualan gamis paling besar terjadi di bulan agustus dimana penjualan gamis mencapai angka 743 item dengan estimasi penjualan sebelumnya memperkirakan sebanyak 760 item gamis akan terjual di bulan tersebut. Sementara penjualan gamis paling kecil terjadi di bulan februari dimana penjualan gamis hanya mencapai angka 377 item dengan estimasi penjualan sebelumnya memperkirakan sebanyak 375 item gamis akan terjual penjualan di bulan tersebut. Hal ini menunjukkan bahwa model ARIMAX [ ] cukup baik dalam meramalkan penjualan gamis untuk tahun 2010.

(6)

ix

AUTO REGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE WITH EXOGENOUS VARIABLE (ARIMAX) TIME SERIES MODELLING WITH

CALENDAR VARIATION EFFECT

Abstract

ARIMAX method with calendar variation is one of several usefull forecasting model related with existence of special days influance on particular period. The aim of this research is to determine appropriate ARIMAX time series model with calendar variation for data with dummy variable in the case of long dress selling forecasting in Regolith factory outlet. This research use long dress selling forecasting data in Regolith factory outlet in Sidaerja, Mid Java, since January 2005th until Desember 2009th. The best model to forecast this one is ARIMAX [ ] model. The result series of this forecasting for January until Desember 2010th is 429, 375, 403, 442, 436, 430, 441, 760, 628, 488, 453, and 429. Whereas the real data of long dress selling for January until Desember 2010th is 435, 377, 410, 422, 431, 438, 452, 743, 611, 476, 449,and 433. The greatest selling occured on August. In that month, 743 long drees is sold though the estimation of this selling come to 760. The lowest selling occured on February. In that month, 377 long drees is sold and the estimation of this selling come to 375. It is indicating that ARIMAX [ ] model is good enough to forecast long dress selling on 2010th.

(7)

ix

DAFTAR ISI

Halaman Judul ... i

Halaman Pengesahan ... iii

Pernyataan ... iv

Kata Pengantar ... v

Abstrak ... viii

Daftar Isi... ix

Daftar Tabel ... xi

Daftar Gambar ... xii

Daftar Lampiran ... xiii

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 3

1.3 Batasan Masalah ... 4

1.4 Tujuan Penelitian ... 4

1.5 Kegunaan Hasil Penelitian ... 4

BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Metode RuntunWaktu ... 5

2.2 Stasioneritas ... 7

2.3 Autokovariansi dan Autokorelasi ... 10

2.4 Beberapa Model Runtun Waktu Box-Jenkins ... 13

2.5 Identifikasi Model ARIMA ... 19

2.6 Prinsip Parsimony ... 20

(8)

x

3.2 Langkah Analisis ... 23

3.3 Penaksiran Parameter Model Variasi Kalender ... 23

3.4 Pengujian Signifikansi Parameter ... 24

3.5 Pemeriksaan Diagnostik ... 25

3.6 Evaluasi Model ... 27

BAB IV STUDI KASUS 4.1 Deskripsi Data ... 28

4.2 Identifikasi Model ... 29

4.3 Penaksiran Parameter, Pengujian Signifikansi, dan Pemodelan ... 34

4.4 Pemeriksaan Diagnostik ... 38

4.5 Evaluasi Model ... 42

4.6 Peramalan ... 43

BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ... 45

5.2 Saran ... 46

Daftar Pustaka ... 47

(9)

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Faturrahman (Indrawan, 2011: 1) menjelaskan bahwa Time Series atau runtun waktu adalah serangkaian data pengamatan yang berasal dari sumber tetap yang terjadinya berdasarkan indeks waktu t secara berurutan dan dengan interval waktu yang tetap. Data runtun waktu ini dapat digunakan untuk meramalkan kejadian di masa mendatang. Metode yang umum dipergunakan untuk peramalan data runtun waktu adalah metode Box-Jenkins.

Penerapan metode Box-Jenkins digunakan pada kajian terhadap data univariat (tunggal), sehingga diperlukan pemahaman atas konsep kestasioneran data, autokovarians, operator backshift dan operator differensi, autokorelasi, serta autokorelasi parsial. Pada metode ini dikenal proses Auto Regressive (AR), proses Moving Average (MA), proses campuran atau Auto Regressive Moving Average

(ARMA). Sedangkan untuk data runtun waktu nonstasioner dikenal proses Auto Regressive Integrated Moving Average (ARIMA).

(10)

2

Pada praktiknya dalam analisis runtun waktu, variabel output yang biasa dikenal dengan seringkali terpengaruh oleh variabel input lainnya yaitu yang ditentukan di luar sistem. Variabel seperti itu selanjutnya disebut sebagai variabel dummy atau variabel eksogen (exogenous variable). Beberapa proses pada metoda Box-Jenkins dengan penambahan variabel dummy itu dikenal dengan ARX, MAX, dan ARMAX untuk data runtun waktu yang stasioner. Sedangkan ARIMA, proses untuk data runtun waktu yang tidak stasioner, berubah menjadi ARIMAX dengan adanya penambahan variabel dummy ini. ARIMAX sendiri dimodelkan sebagai berikut :

... ... (1.1) digunakan model ARIMAX dengan melakukan transformasi Box-Cox jika tidak stasioner dalam varians atau dengan menambahkan komponen model integrated (difference) ke dalam jika tidak stasioner dalam rata-rata. Jika dan stasioner, maka digunakan model Autoregressive Distributed Lag (ADL). Jika hanya yang tidak stasioner, maka dapat langsung dilakukan peramalan. Jika

dan tidak stasioner dan keduanya saling berkointegrasi, maka dapat

digunakan model error correction model (ECM). Namun jika dan tidak stasioner dan keduanya tidak saling berkointegrasi, maka model yang digunakan adalah model differensi.

(11)

3

kalender yaitu variasi kalender berdasarkan banyaknya jumlah hari / minggu dalam satu bulan (trading-day effect) dan berdasarkan efek hari libur (holiday effect). Fakta mengenai adanya efek variasi kalender dalam kasus peramalan

menyebabkan banyak penelitian telah dilakukan mengenai efek variasi kalender baik di luar maupun dalam negeri.

Dari beberapa model ARIMAX sendiri, salah satu yang terkenal adalah model ARIMAX dengan efek variasi kalender. Model ini digunakan untuk meramalkan data jika data dipengaruhi oleh variabel dummy akibat terdapatnya hari-hari khusus dalam variasi kalender tertentu, seperti efek variasi kalender islam, efek variasi kalender china, efek variasi kalender saka dan pawukon, dll. Model ini banyak digunakan dalam peramalan di bidang retail, lalu lintas, maupun kesehatan.

Berdasarkan uraian di atas, tampaknya relevan dan baik untuk dikaji lebih mendalam mengenai model runtun waktu ARIMAX dengan efek variasi kalender. Kajian mengenai model runtun waktu ini disajikan dalam judul : “Pemodelan Data Runtun Waktu dengan Auto Regressive Integrated Moving Average with

Exogenous Variable (ARIMAX) dengan efek variasi kalender”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang penelitian, rumusan masalahnya adalah bagaimana pemodelan dan hasil peramalan data yang mengandung variabel dummy melalui penerapan ARIMAX dengan efek variasi kalender pada kasus

peramalan jumlah penjualan pakaian di toko Regolith?

1.3 Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini, masalah yang dibahas dibatasi pada kasus data runtun waktu multivariat nonstasioner yang mengandung efek variasi kalender.

1.4 Tujuan Penelitian

(12)

4

variasi kalender yang sesuai untuk data yang mengandung variabel dummy pada kasus peramalan jumlah penjualan pakaian di toko Regolith.

1.5 Kegunaan Hasil Penelitian

Hasil penelitian yang dilakukan penulis diharapkan mempunyai 2 (dua) kegunaan utama, yaitu (1) Kegunaan Teoritis dan (2) Kegunaan Praktis. Adapun kegunaan dari hasil penelitian ini adalah:

1.5.1 Kegunaan Teoritis

Pemodelan data runtun waktu menggunakan model ARIMAX bukan untuk memberikan keputusan rekomendasi, melainkan hanya informasi probabilitas mengenai situasi keputusan dan pemodelan data yang dapat membantu pengambil keputusan (decision maker) dalam mengambil suatu keputusan. Dengan demikian, analisa model runtun waktu ARIMAX bukanlah teknik optimisasi, tetapi teknik deskriptif yang menghasilkan informasi probabilitas dimasa mendatang. Sesuai kegunaannya, model ARIMAX dapat memberikan informasi tentang perubahan data dan hubungan timbal balik diantara variabel-variabel runtun waktunya. Dari proses pemodelan tersebut, dapat diketahui seberapa layak faktor dummy dapat digunakan pada pemodelan ARIMAX. Dengan proses pemodelan ini, dapat ditentukan model ARIMAX yang sesuai dan akurat untuk memodelkan data runtun waktu yang memiliki lebih dari satu variabel dan memiliki vaiabel dummy.

1.5.2 Kegunaan Praktis

(13)

21

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu5

BAB III

MODEL ARIMAX DENGAN EFEK VARIASI KALENDER

3.1 Model Variasi Kalender

Liu (Kamil 2010: 10) menjelaskan bahwa untuk data runtun waktu yang mengandung efek variasi kalender, dituliskan pada persamaan berikut:

... ...(3.1) dengan

... ...(3.2)

dan

: total efek variasi kalender pada saat

: koefisien komponen AR non musiman dengan derajat : koefisien komponen MA non musiman dengan derajat

: operator untuk differencing orde

: matriks yang berisi variabel

sebagai suatu informasi variasi kalender

: vektor parameter yang menggambarkan efek variasi kalender

: nilai residual pada saat , dimana dan

(14)

22

3.1.1 Model Efek Hari Liburan (Holiday Effect)

Liu (Kamil, 2010: 11) memberikan model efek liburan sebagai berikut: ... ...(3.3)

Jika efek disebabkan oleh hari libur lebih spesifik, variabel menunjukkan proporsi dari hari libur pada tahun ke- . Jika efek hari libur mengalami penurunan ataupun peningkatan secara linier dari tahun ke tahun, maka model yang digunakan adalah:

... ...(3.4) dengan . bernilai untuk pengamatan di tahun pertama, untuk pengamatan di tahun kedua, dan seterusnya. Model di atas dapat berkembang menjadi bentuk kuadratik maupun bentuk polynomial yang lebih tinggi.

3.1.2 Model ARIMAX untuk Variasi Kalender

Pemodelan runtun waktu dengan menambahkan beberapa variabel yang dianggap memiliki pengaruh yang signifikan terhadap data seringkali dilakukan untuk menambah akurasi peramalan yang dilakukan dalam suatu penelitian. Model ARIMAX adalah modifikasi dari model dasar ARIMA seasonal dengan penambahan variabel eksogen (Chan dan Chan, 2008). Model ARIMA seasonal umum dapat ditulis sebagai berikut :

( ) ( ) ... ...(3.5)

Efek variasi kalender merupakan salah satu variabel dummy yang seringkali digunakan dalam pemodelan tersebut. Secara umum, jika adalah suatu runtun waktu dengan efek variasi kalender, maka model ARIMAX dengan efek variasi kalender ditulis sebagai berikut.

₍ ₎ ₍ ₎ ... ...(3.6)

(15)

23

3.2 Langkah Analisis

Langkah penyelesaian analisis dengan menggunakan ARIMAX model efek variasi kalender (Rasyid, 2009; Perdana, 2010; Rusianto, 2010; Dini, 2012) adalah sebagai berikut :

1. Melakukan identifikasi model dengan tujuan untuk mengetahui apakah dipengaruhi oleh waktu dan fenomena bulan lebaran. Identifikasi ini dilakukan secara visual dengan mengecek plot data runtun waktu. 2. Menganalisis pemodelan-pemodelan yang mungkin dengan variabel

prediktor dummy untuk menangkap fenomena bulan lebaran.

3. Melakukan penaksiran parameter, pengujian signifikansi dan pemodelan data runtun waktu.

4. Melakukan pemeriksaan diagnostik sehingga proses stasioner dan residual dari model mencapai kondisi white noise, berdistribusi normal, identik, dan independen.

5. Melakukan evaluasi model dengan kriteria Akaike’s Information

Criterion (AIC) dan Scwartz’s Bayesian Criterion (SBC).

6. Melakukan peramalan.

3.3 Penaksiran Parameter Model Variasi Kalender

Bentuk umum model variasi kalender adalah sebagai berikut:

... ...(3.7)

dengan

: koefisien komponen AR dengan derajat

: koefisien komponen MA dengan derajat

Langkah berikutnya ialah menaksir parameter , , dan , sehingga persamaan di atas dapat dibentuk menjadi sebagai berikut:

(16)

24

( )

( ) ( )

( )

( ) ... ...(3.8)

dengan merupakan residual white noise yang berdistribusi normal . Metode estimasi parameter yang digunakan untuk menaksir parameter model variasi adalah estimasi Nonlinear Least Squares. Sedangkan untuk mengestimasi parameter tersebut adalah dengan meminimumkan nilai jumlah kuadrat residual (Kamil, 2010: 15).

3.4 Pengujian Signifikansi Parameter

Untuk mengetahui apakah hasil penaksiran parameter model variasi kalender signifikan atau tidak, dilakukan pengujian signifikansi parameter. Pengujian ini digunakan untuk mengetahui apakah setiap variabel yang digunakan berpengaruh pada atau tidak. Pengujian hipotesis dilakukan dengan menggunakan uji . Sebagai contoh, parameter dari MA adalah . Hipotesis yang akan diuji adalah sebagai berikut

(17)

25

Statistik uji

̂ ̂ ... ...(3.9)

Tolak jika nilai | | , atau tolak jika p-value , dengan

adalah tingkat sigifikansi.

3.5 Pemeriksaan Diagnostik

Wei (Kamil, 2010: 16) mengatakan bahwa “Setelah diperoleh model dengan semua parameter yang telah signifikan, selanjutnya dilakukan cek diagnostik yaitu pengujian untuk mengetahui apakah residual telah memenuhi asumsi white noise dan berdistribusi normal. Pengujian terdiri dari uji asumsi residual white noise dan berdistribusi normal”.

3.5.1 White Noise

Proses disebut proses white noise apabila tidak ada korelasi dalam variabel acak dengan nilai mean konstan , biasanya diasumsikan sebagai nol, varians konstan dan untuk . Dari definisi tersebut, dapat diketahui bahwa proses white noise adalah stasioner dengan fungsi autokovarian. Untuk menguji asumsi ini dapat dilakukan dengan menggunakan uji Ljung-Box. Hipotesis yang digunakan dalam pengujian ini adalah sebagai berikut:

Statistik uji yang digunakan dalam pengujian ini adalah statistik uji Ljung-Box seperti pada persamaan berikut:

∑ ̂ ... ...(3.10)

dengan adalah banyak pengamatan dan ̂ menunjukkan ACF residual pada lag ke- . ditolak jika nilai dengan adalah banyaknya

(18)

26

3.5.2 Distribusi Normal

Banyak peramalan yang mensyaratkan distribusi data yang normal sehingga asumsi normalitas berperan penting dalam peramalan. Untuk melihat distribusi data memenuhi asumsi normalitas atau tidak dapat dilakukan dengan melihat plot residual atau dapat juga dilakukan dengan pengujian Kolmogorov-Smirnov.

Jika residual tersebar di sekitar garis, artiya residual berdistribusi normal. Jika residual tersebar tidak di sekitar garis, artiya residual tidak berdistribusi normal.

Uji Kolmogorov-Smirnov biasa digunakan untuk memutuskan jika sampel berasal dari populasi dengan distribusi spesifik/tertentu. Uji Kolmogorov-Smirnov ini digunakan untuk menguji ‘goodness of fit„ antar distribusi sampel dan distribusi lainnya, Uji ini membandingkan serangkaian data pada sampel terhadap distribusi normal serangkaian nilai dengan mean dan standar deviasi yang sama. Singkatnya uji ini dilakukan untuk mengetahui kenormalan distribusi beberapa data. uji Kolmogorov-Smirnov merupakan uji yang lebih kuat daripada uji chi-square ketika asumsi-asumsinya terpenuhi. Uji Kolmogorov-Smirnov juga tidak

memerlukan asumsi bahwa populasi terdistribusi secara normal.

Di bawah ini merupakan cara pengujian kenormalan data dengan uji

: Fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel : Fungsi peluang kumulatif dari distribusi normal

: Nilai supremum untuk semua dari | |

dengan kriteria : Tolak jika atau (Daniel, 1989;

(19)

27

3.6 Evaluasi Model

Pada analisis runtun waktu, ada kemungkinan bahwa terdapat lebih dari satu model yang parameternya signifikan dan memenuhi asumsi residual white noise maupun berdistribusi normal. Hal ini mendorong para peneliti melakukan suatu proses untuk memilih model terbaik yang dinamakan evaluasi model. Evaluasi model digunakan untuk melakukan pemilihan model terbaik dari beberapa kemungkinan model runtun waktu yang didapatkan. Untuk pemilihan model, Wei (Dini, 2012: D231) memberikan kriteria yang digunakan yaitu Akaike’s

Information Criterion (AIC) dan Scwartz’s Bayesian Criterion (SBC).

̂ ... ...(3.12) ̂ ... ...(3.13) dimana

(20)

47

DAFTAR PUSTAKA

Rosadi, D. (2011). Ekonometrika dan Analisis Runtun Waktu Terapan dengan EViews. Yogyakarta : Penerbit ANDI.

Ariefianto, M. D. (2012). Ekonometrika esensi dan Aplikasi dengan Menggunakan EViews. Jakarta : Penerbit ERLANGGA.

Soejoeti. (1987). Analisis Runtun Waktu. Jakarta : Karunia Jakarta Universitas Terbuka. Indrawan, Z. M. S. (2011). Pemodelan Data Runtu Waktu dengan Vector Auto

Regressive Moving Average with Exogenous Variable (VARMAX). Skripsi pada

Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA UPI (Bandung). Tidak diterbitkan.

Perdana, A. S. (2010). Perbandingan Metode Time Series Regression dan ARIMAX pada Pemodelan Data Penjualan Pakaian di Boyolali. Jurnal pada Jurusan

Statistika Institut Teknologi Sepuluh November. Surabaya.

Lee, W. C. dan Lin, H. N. (2007). Portofolio Value at Risk with Copula-ARMAX-GJR-GARCH Model : Evidence from the Gold and Silver Futures. Jurnal ilmiah pada

Departemen Keuangan dan Perbankan Universitas Tamkang dan Institut Teknologi Chihlee. Taiwan.

Kamil, M. I. (2010). Pemodelan dan Peramalan Jumlah Penumpang dan Pesawat di Terminal Kedatangan Internasional Bandara Juanda Surabaya dengan Metode

Variasi Kalender. Skripsi pada Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh

November. Surabaya. Tidak diterbitkan.

Rasyid, N. R. (2009). Peramalan Jumlah Permintaan Baju Muslim Anak-anak di Dannis Collections. Skripsi pada Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh

November. Surabaya. Tidak diterbitkan.

Cahyuni, I. (2012). Analisis Peramalan Inflasi di Jawa Timur Khusus Bahan Makanan dengan Menggunakan Pendekatan Regresi Variabel Dummy dan ARIMA. Skripsi

(21)

48

Suryono, H. (2009). Pemodelan Auto Regressive Integrated Moving Average With Exogeneous Factor-Neural Network (ARIMAX-NN) Pada Data Inflasi Indonesia.

Tesis pada Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh November. Surabaya. Tidak diterbitkan.

Kartikasari, P. (2013). Prediksi Penjualan di Perusahaan Ritel dengan Metode Peramalan Hirarki Berdasarkan Model Variasi Kalender. Skripsi pada Jurusan

Statistika Institut Teknologi Sepuluh November. Surabaya. Tidak diterbitkan. Utari, P. D. (2012). Prediksi Permintaan BBM di PT. Pertamina Region V dengan

Metode Peramalan Data Time Series Hirarki. Skripsi pada Jurusan Statistika

Institut Teknologi Sepuluh November. Surabaya. Tidak diterbitkan.

Lusia, D. A. (2013). Peramalan Ensemble untuk Curah Hujan di Indonesia Berdasarkan Dua Level ARIMAX-NN. Skripsi pada Jurusan Statistika Institut