METODA TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

(1)

1

METODA

TEMPAT KEDUDUKAN AKAR

1. Pendahuluan

Karakteristik dasar tanggapan peralihan suatu sistem lingkar tertutup ditentukan oleh pole-pole lingkar tertutup. Jadi dalam persoalan analisis, perlu ditentukan letak pole-pole lingkar tertutup pada bidang s. Dalam disain sistem lingkar tertutup, akan diatur pole dan zero lingkar terbuka sedemikian rupa sehingga pole dan sero lingkar tertutup pada posisi yang diinginkan. Pole-pole lingkar tertutup adalah akar-akar persamaan karakteristik. Untuk mencarinya diperlukan penguraian persamaan polinomial karakteristik atas faktor-faktornya. Pada umumnya ini sulit jika derajat polinomial karakteristiknya tiga atau lebih tinggi. Teknik klasik penguraian polinomial atas faktor-faktornya adalah kurang ampuh karena penguatan fungsi alih lingkar terbuka berubah maka perhitungan arus diulang.

Metoda tempat kedudukan akar merupakan suatu metoda dengan menggambar akar-akar persamaan karakteristik untuk semua harga dari suatu parameter sistem. Akar-akar untuk suatu harga tertentu dari parameter ini selanjutnya terletak pada grafik yang diperoleh. Perhatikan bahwa parameter ini biasanya adalah penguatan tetapi setiap variabel lain dari fungsi alih lingkar terbuka juga dapat digunakan. Jika tidak disebutkan, dianggap bahwa penguatan fungsi alih lingkar terbuka merupakan parameter yang diubah di seluruh daerah harganya yaitu dari nol sampai tak terhingga. Tempat kedudukan akar-akar persamaan karakteristik sistem lingkar tertutup jika penguatan diubah dari nol sampai tak terhingga memberikan latar belakang pemberian nama metoda ini. Diagram ini secara jelas menunjukkan konstribusi tiap pole dan zero lingkar terbuka pada letak pole-pole lingkar tertutup. Metoda tempat kedudukan akar memungkinkan untuk mencari pole-pole lingkar tertutup dari pole dan zero lingkar terbuka dengan penguatan sebagai parameter. Metoda ini menghilangkan

(2)

2

kesulitan-kesulitan yang timbul pada teknik klasik dengan memberikan peragaan grafis semua pole lingkar tertutup untuk semua harga penguatan fungsi alih

2. Contoh Soal

Contoh 1. : _{Diketahui fungsi alih pada persamaan (6.15) berikut}

( )

3 2

s + 0.2 G s =

s + 3.6s (1)

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari fungsi alih pada persamaan (1)

Jawab :

Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 1. adalah

clc clear all close all % Contoh 1. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 1 0.2]; den = [ 1 3.6 0 0]; sys = tf(num,den) %

% Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) v = [ -4 2 -4 4]; axis(v) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: s + 0.2 --- s^3 + 3.6 s^2

(3)

3

Gambar 1. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Persamaan (1)

Contoh 2._{: Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.3 berikut}

s(s+3)(s+5)(s +1(s+1)2 K (s + 2s + 5)2

R(s) + _C(s)

-Gambar 2. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup

Tentukan

a. Jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil

b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 2.

Jawab :

a. Untuk menentukan jangkauan nilai K

Fungsi alih sistem lingkar terbuka sistem pada Gambar 2. adalah

( )

(

)

(

)(

)

(

)

(

)

2 2 5 4 3 2 2 K s + 2s + 5 K s + 2s + 5 G s = s + 9.5s + 28s + 20s + 15s s s + 3 s + 5 s +1.5s + 1 = (2) Untuk menentukan titik potong tempat kedudukan akar pada sumbu imajiner jω dilakukan dengan mensubstitusi s = jω ke dalam persamaan karakteristik pada persamaan (2) dan diperoleh persamaan (3) dan (4) berikut

-4 -3 -2 -1 0 1 2 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0.12 0.26 0.4 0.52 0.66 0.8 0.9 0.97 0.12 0.26 0.4 0.52 0.66 0.8 0.9 0.97 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Root Locus Real Axis Im a g in a ry A x is

(4)

4

( )

5

( )

4

( )

3

( )

2

( )

(

( )

2

( )

)

jω + 9.5 jω + 28 jω + 20 jω + 15 jω + K jω + 2 jω + 5 =0(3)

(

)

(

)

4 2 5 3 9.5ω 20+K ω 5K j ω 28ω 15+2K ω 0  − + +  − + =     (4)

Berdasarkan persamaan (4) diperoleh persamaan (5) dan persamaan (6) berikut

(

)

4 2 9.5ω − 20 + K ω +5K=0 (5)

(

)

5 3 ω −28ω + 15 + 2K ω=0 (6)

Berdasarkan persamaan (5) diperoleh persamaan (7) berikut

(

)

4 2

4 2 -ω + 28ω -15

ω 28ω 15 + 2K 0 K =

2

− + = → (7)

dengan substitusi persamaan (7) ke persamaan (5) diperoleh persamaan (8) dan (9) berikut 4 2 4 -ω + 28ω -15 2 4 2 9.5ω 20 + ω 2.5ω 70ω 37.50 0 2   −_ _ − + − =   (8) 6 4 2 0.5ω −2ω +57.50ω −37.50=0 (9) Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (9) sebagai berikut 1 ω = 2.4786 - j2.1157 (10) 2 ω = 2.4786 + j2.1157 (11) 3 ω = -2.4786 + j2.1157 (12) 4 ω = -2.4786 - j2.1157 (13) 5 ω = -0.8155 (14) 6 ω = 0.8155 (15)

Akar-akar dari persamaan (9) menunjukkan bahwa tempat kedudukan akar memotong sumbu khayal pada ω = 0.8155 dengan nilai

(

)

4

(

)

2 4 2 _0.8155 _{28 0.8155} ₁₅ -ω + 28ω -15 K = 1.5894 2 2 − + − = = (16) Dengan demikian jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil adalah

(5)

5

b. Gambar diagram tempat kedudukan akar untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 2.

clc clear all close all % Contoh 2. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1 2 5]; den = [ 1 9.5 28 20 15 0]; sys = tf(num,den) %

% Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) v = [ -8 2 -5 5]; axis(v) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: s^2 + 2 s + 5 --- s^5 + 9.5 s^4 + 28 s^3 + 20 s^2 + 15 s

Diagram tempat kedudukan akar untuk sistem lingkar tertutup Gambar 6.2 berikut

Gambar 3. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Lingkar Tertutup Pada Gambar 6.2 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.16 0.34 0.5 0.64 0.76 0.86 0.94 0.985 0.16 0.34 0.5 0.64 0.76 0.86 0.94 0.985 1 2 3 4 5 6 7 8 Root Locus Real A xis Im a g in a ry A x is

(6)

6

Contoh 3. : _{Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 4. berikut}

R(s) + -K s+3 s+5 3 s (s+3)2 C(s)

Gambar 4. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup

Tentukan

a. Jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil

b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.4

Jawab :

a. Untuk menentukan jangkauan nilai K

Fungsi alih sistem lingkar terbuka pada persamaan (18) berikut

( )

4

(

3

)

2

3K s + 3 G s

s + 8s + 15s

= (18)

Persamaan karakteristik sistem pada persamaan (19) berikut

4 3 2

s + 8s + 15s + 3Ks + 9K =0 (19)

Untuk menentukan titik potong tempat kedudukan akar pada sumbu imajiner jω dilakukan dengan mensubstitusi s = jω ke dalam persamaan karakteristik (6.33) dan diperoleh persamaan (20) dan (21) berikut

( )

4

( )

3

( )

2

( )

jω + 8 jω + 15 jω + 3K jω + 9K=0 (20) 4 2 2 ω 15ω 9K jω 8ω 3K 0  − + + − + =     (21)

Berdasarkan persamaan (21) diperoleh persamaan (22) dan (23) berikut

4 2

ω −15ω +9K=0 (22)

3

ω_−8ω +3K_=0 (23)

Berdasarkan persamaan (23) diperoleh persamaan (24) berikut 2 2 8ω ω 8ω 3K 0 K = 3 − + = →   (24)

Dengan substitusi persamaan (24) ke persamaan (22) diperoleh persamaan (25) dan (26) berikut 2 4 2 8ω ω 15ω 9 0 3   − + _ _=   (25)

(7)

7

4 2

ω +9ω =0 (26)

Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (26) sebagai berikut

1

ω = 0 (27)

2

ω = ±j3 (28)

Dari akar-akar persamaan (26) terlihat bahwa tempat kedudukan akar memotong sumbu khayal pada ω = 3 dengan nilai berikut

( )

2 8 3

K = 24

3 = (29)

Dengan demikian jangkauan nilai K agar sistem tetap bersifat stabil adalah

0 < K < 24 (30)

c. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 3. adalah

clc clear all close all % Contoh 3. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1 3]; den = [ 1 8 15 0 0]; sys = tf(num,den) %

% Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) v = [ -2 2 -5 5]; axis(v) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: s + 3 --- s^4 + 8 s^3 + 15 s^2

(8)

8

Diagram tempat kedudukan akar pada Gambar 5. berikut

Gambar 5. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Diagram Blok Pada Gambar 4.

Contoh 4. :_{Untuk sistem lingkar tertutup pada Gambar 6.7 berikut}

Gambar 6. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup

Tentukan

a. Nilai K jika rasio redaman dari pole lingkar tertutup bernilai 0.6

b. Dengan menggunakan Matlab, tentukan pole-pole sistem lingkar tertutup c. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada

Gambar 6.

d. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan Jawab :

a. Nilai K jika rasio redaman

( )

ς dari pole lingkar tertutup bernilai 0.6

Gambar 7. Posisi Sudut

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.9 0.07 0.14 0.22 0.32 0.42 0.56 0.74 0.9 1 2 3 4 1 2 3 4 5 0.07 0.14 0.22 0.32 0.42 0.56 0.74 Root Locus Real Axis Im a g in a ry A x is K s(s+3)(s+5) +

(9)

-9

Persamaan karakteristik sistem Gambar 6. pada persamaan (31) berikut

(

)(

)

s s + 3 s + 5 + K =0 (31) n n ςω sin θ = ς ω = (32)

Berdasarkan Gambar 7. Jika ς = 0.6 diperoleh persamaan (33) berikut

s = -0.75a + ja (33)

Dimana a adalah variabel yang nilainya berkisar antara 0 < a < ∞ . Dengan mensubstitusi persamaan (33) ke persamaan (31) diperoleh persamaan (34) dan (35) berikut

(

-0.75a + ja

)(

-0.75a + ja+ 3 -0.75a + ja + 5 + K

)(

)

=0 (34)

(

3 2

) (

3 2

)

1.8281a - 2.1875a - 3a + K +j 0.6875a - 7.50a +15a =0

(35) Berdasarkan persamaan (35) diperoleh persamaan (36) dan (37) berikut

3 2

1.8281a - 2.1875a - 3a + K = 0 (36)

3 2

0.6875a - 7.50a +15a = 0 (37)

Dari persamaan (37) diperoleh persamaan (38) berikut 2

0.6875a - 7.50a +15 = 0 atau a - 10.9099a + 5.8182 = 0 2 (38) Persamaan (38) difaktorkan menjadi persamaan (39) berikut

(

a - 0.5623 a - 10.3468 = 0

)(

)

(39) Berdasarkan persamaan (39) diperoleh persamaan (40) berikut

1

a = 0.5623 dan a = 10.3468 ₂ (40) Dari persamaan (36) diperoleh persamaan (41) berikut

3 2

K = -1.8281a + 2.1875a + 3a (41) Dengan mensubstitusi nilai-nilai pada persamaan (40) ke dalam persamaan (41) diperoleh persamaan (42) dan (43) berikut

(

)

3

(

)

2

(

)

1 K = -1.8281 0.5626 + 2.1875 0.5626 + 3 0.5626 = 2.0535 untuk a = 0.5623₁ (42)

(

)

3

(

)

2

(

)

2 K = -1.8281 10.3468 + 2.1875 10.3468 + 3 10.3468 = -1759.7400untuka = 10.3468 ₂ (43)

(10)

10

Dari persamaan (42) dan (43) terlihat bahwa nilai K bernilai positif untuk 1

a = 0.5623 dan bernilai negatif untuk a = 10.3468 . Dengan demikian diambil ₂ nilai K = 2.0535.

b. Pole-pole sistem lingkar tertutup

Dengan mensubstitusi Nilai K = 2.0535 persamaan (42) diperoleh persamaan (44) berikut

(

)(

)

s s + 3 s + 5 + 2.0535=0 atau 3 2

s +8s +15s + 2.0535=0 (44) Dengan menggunakan Matlab diperoleh akar-akar dari persamaan (44) berikut

1 s = -5.1817 (45) 2 s = -2.6699 (46) 3 s = -0.1484 (47)

c. Diagram tempat kedudukan akar sistem lingkar tertutup pada Gambar 8. Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 4. adalah

clc clear all close all % Contoh 4. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1]; den = [ 1 8 15 0]; sys = tf(num,den) %

% Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) v = [ -2 2 -5 5]; axis(v) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 1 --- s^3 + 8 s^2 + 15 s

Gambar 8. merupakan diagram tempat kedudukan akar dari diagram blok pada Gambar 6. berikut

(11)

11

Gambar 8. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk diagram blok pada Gambar 6. d. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan

clc

clear all close all %

% Fungsi Alih Lingkar Tertutup

disp('Fungsi Alih Lingkar Tertutup') num1 = [ 0 0 0 2.0535];

den1 = [ 1 8 15 2.0535]; sys = tf(num1,den1)

%

% Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan step(num1,den1)

grid on

title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan')

Gambar 9. merupakan tanggapan sistem pada Gambar 6. terhadap masukan undak satuan -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.07 0.14 0.22 0.32 0.42 0.56 0.74 0.9 0.07 0.14 0.22 0.32 0.42 0.56 0.74 0.9 1 2 3 4 1 2 3 4 5 Root Locus Real Axis Im a g in a ry A x is

(12)

12

Gambar 9. Tanggapan Diagram Blok Pada Gambar 6. Terhadap Masukan Undak Satuan

Contoh 5._{: Untuk sistem dengan fungsi alih pada persamaan (48) berikut}

( )

2

s + 5 G s =

s + 7s + 25 (48)

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari persamaan (48)

Jawab :

clc clear all close all % Contoh 5. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 1 5]; den = [ 1 7 25]; sys = tf(num,den) %

% Diagram Tempat Kedudukan Akar figure rlocus(num,den) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 0 10 20 30 40 50 60 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan

Time (sec) A m p lit u d e

(13)

13

s + 5

--- s^2 + 7 s + 25

Gambar 10. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada persamaan (48) berikut

Contoh 6._{: Untuk sistem dengan fungsi alih pada persamaan (49) berikut}

( ) ( )

(

)

(

2

)(

2

)

4 3

(

2

)

K s + 3 K s + 3 G s H s = s + 5s +17s + 29s + 28 s + 3s + 4 s + 2s + 7 = (49) Dengan menggunakan Matlab tentukan gambarkan diagram tempat kedudukan akar dari persamaan (49)

Jawab :

clc clear all close all % Contoh 6. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1 3]; den = [ 1 5 17 29 28]; sys = tf(num,den) %

% Diagram Tempat Kedudukan Akar K1 = 0:0.1:2; -18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.35 0.58 0.76 0.86 0.92 0.96 0.984 0.996 0.35 0.58 0.76 0.86 0.92 0.96 0.984 0.996 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Root Locus Real Axis Im a g in a ry A x is

(14)

14 K2 = 2:0.02:5; K3 = 2.5:0.5:10; K4 = 10:1:50; K5 = 50:5:800; K = [K1 K2 K3 K4 K5]; r = rlocus(num,den,K); plot(r,'o'); v = [ -10 5 -8 8]; grid on

title('Tempat Kedudukan Akar') xlabel('Sumbu Real')

ylabel('Sumbu Imaginer')

Contoh 7. :_{Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada} persamaan (50) berikut

( )

(

2

)

K G s = s s + 5s + 9 (50) Tentukan

a. Pole-pole untuk sistem lingkar tertutup dengan menggunakan Matlab jika K = 3

b. Dengan menggunakan Matlab, Gambarkan diagram tempat kedudukan akar persamaan (50) -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

Tempat Kedudukan Akar

Sumbu Real S u m b u I m a g in e r

(15)

15

c. Tanggapan sistem lingkar tertutup terhadap masukan undak satuan Jawab :

a. Pole-pole untuk sistem lingkar tertutup jika K = 3 Persamaan karakteristik sistem pada persamaan (50) adalah

3 2

s + 5s + 9s + 3 = 0 (51) Dengan menggunakan Matlab diperoleh persamaan (52) s/d (54) berikut

1 p =-2.2874 + j1.3500 (52) 2 p =-2.2874 - j1.3500 (53) 3 p =-0.4253 (54)

clc

clear all close all % Contoh 7. %

disp('Pole - Pole Sistem Lingkar Tertutup') P = [ 1 5 9 3];

roots(P)

Hasil program

Pole - Pole Sistem Lingkar Tertutup ans =

-2.2874 + 1.3500i -2.2874 - 1.3500i -0.4253

b. Gambarkan diagram tempat kedudukan akar persamaan (50) Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7a. adalah

clc clear all close all % Contoh 7a. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [ 0 0 0 1]; den = [ 1 5 9 0]; sys = tf(num,den) % %

(16)

16

% Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den)

grid on

title('Diagram Tempat Kedudukan Akar') xlabel('Sumbu Real') ylabel('Sumbu Imaginer') Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 1 --- s^3 + 5 s^2 + 9 s

Gambar 6.13 merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada persamaan (6.65)

c. Tanggapan sistem lingkar tertutup terhadap masukan undak satuan Kode Matlab untuk penyelesaian soal contoh 7b. adalah

clc

clear all close all % Contoh 7b. %

% Fungsi Alih Lingkar Tertutup

disp('Fungsi Alih Lingkar Tertutup') num = [ 0 0 0 3];

den = [ 1 5 9 3]; sys = tf(num,den) %

% Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.91 0.975 0.14 0.28 0.42 0.56 0.68 0.8 0.91 0.975 1 2 3 4 5 6 0.14 0.28 0.42 0.56 0.68 0.8

Diagram Tempat Kedudukan Akar

Sumbu Real S u m b u I m a g in e r

(17)

17

step(num,den) grid on

title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan')

Gambar 13. merupakan tanggapan sistem pada persamaan (50) terhadap masukan undak satuan

Gambar 13. Tanggapan Persamaan (50) Terhadap Masukan Undak Satuan

Contoh 8. :_{Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada} persamaan (55) berikut

( )

(

2

)

3 2 1 1 G s = s + 3s + 2s s s + 3s + 2 = (55) Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar persamaan (55) dengan rasio redaman berkisar antara 0.5 s/d 0.7 dan frekwensi alami sebesar 0.5rad sec

Jawab :

clc clear all close all % Contoh 8. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = 1; den = [ 1 3 2 0]; 0 5 10 15 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Time (sec) A m p lit u d e

(18)

18

sys = tf(num,den) %

% Diagram Tempat Kedudukan Akar rlocus(num,den) sgrid([0.5:0.1:0.7],0.5) axis([-1 1 0 3]) Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 1 --- s^3 + 3 s^2 + 2 s

Contoh 9._{: Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada} persamaan (56) berikut

( )

(

2

)

3 2 1 1 G s = s + 3s + 2s s s + 3s + 2 = (56) Dengan menggunakan Matlab, tentukan penguatan dan pole-pole dari sistem lingkar tertutup jika lokasi pole dari kedudukan akar terletak di −0.5 dan −0.7 Jawab :

clc clear all close all -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.5 0.6 0.7 0.5 0.6 0.7 0.5 Root Locus Real A xis Im a g in a ry A x is

(19)

19 % Contoh 9. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = 1; den = [ 1 3 2 0]; sys = tf(num,den) %

% Diagram Tempat Kedudukan Akar

[k,clpoles] = rlocfind(num,den,[-0.5 -0.7]) Hasil program Fungsi Alih Transfer function: 1 --- s^3 + 3 s^2 + 2 s k = 0.3750 0.2730 clpoles = -2.1514 -2.1157 -0.5000 -0.7000 -0.3486 -0.1843

Contoh 10._{: Untuk sistem kendali umpan balik satu dengan fungsi alih pada} persamaan (57) berikut

( )

(

2

)

3 2 1 1 G s = s + 3s + 2s s s + 3s + 2 = (57) Dengan menggunakan Matlab

a. Tentukan pole-pole dari sistem lingkar tertutup untuk penguatan dari 0.3 sampai 0.7

b. Analisa hasil simulasi pada bagian (a)

c. Gambarkan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan untuk penguatan 0.25, 0.40, 1.50, 6.00 dan 8.00 secara bersamaan

Jawab :

a. Pole-pole dari sistem lingkar tertutup untuk penguatan dari 0.3 sampai 0.7 0.3000 -2.1254 -0.6611 -0.2135

0.4000 -2.1597 -0.4201 - 0.0932i -0.4201 + 0.0932i 0.5000 -2.1915 -0.4043 - 0.2544i -0.4043 + 0.2544i

(20)

20 0.6000 -2.2212 -0.3894 - 0.3442i -0.3894 + 0.3442i 0.7000 -2.2492 -0.3754 - 0.4127i -0.3754 + 0.4127i 0.8000 -2.2756 -0.3622 - 0.4694i -0.3622 + 0.4694i 0.9000 -2.3007 -0.3496 - 0.5186i -0.3496 + 0.5186i 1.0000 -2.3247 -0.3376 - 0.5623i -0.3376 + 0.5623i 1.1000 -2.3477 -0.3262 - 0.6018i -0.3262 + 0.6018i 1.2000 -2.3697 -0.3151 - 0.6380i -0.3151 + 0.6380i 1.3000 -2.3909 -0.3045 - 0.6715i -0.3045 + 0.6715i 1.4000 -2.4114 -0.2943 - 0.7028i -0.2943 + 0.7028i 1.5000 -2.4311 -0.2844 - 0.7322i -0.2844 + 0.7322i 1.6000 -2.4503 -0.2749 - 0.7599i -0.2749 + 0.7599i 1.7000 -2.4688 -0.2656 - 0.7862i -0.2656 + 0.7862i 1.8000 -2.4868 -0.2566 - 0.8112i -0.2566 + 0.8112i 1.9000 -2.5043 -0.2478 - 0.8350i -0.2478 + 0.8350i 2.0000 -2.5214 -0.2393 - 0.8579i -0.2393 + 0.8579i 2.1000 -2.5380 -0.2310 - 0.8798i -0.2310 + 0.8798i 2.2000 -2.5542 -0.2229 - 0.9009i -0.2229 + 0.9009i 2.3000 -2.5700 -0.2150 - 0.9213i -0.2150 + 0.9213i 2.4000 -2.5855 -0.2073 - 0.9409i -0.2073 + 0.9409i 2.5000 -2.6006 -0.1997 - 0.9599i -0.1997 + 0.9599i 2.6000 -2.6154 -0.1923 - 0.9783i -0.1923 + 0.9783i 2.7000 -2.6299 -0.1851 - 0.9962i -0.1851 + 0.9962i 2.8000 -2.6441 -0.1780 - 1.0136i -0.1780 + 1.0136i 2.9000 -2.6580 -0.1710 - 1.0304i -0.1710 + 1.0304i 3.0000 -2.6717 -0.1642 - 1.0469i -0.1642 + 1.0469i 3.1000 -2.6851 -0.1574 - 1.0629i -0.1574 + 1.0629i 3.2000 -2.6983 -0.1508 - 1.0785i -0.1508 + 1.0785i 3.3000 -2.7113 -0.1444 - 1.0938i -0.1444 + 1.0938i 3.4000 -2.7240 -0.1380 - 1.1087i -0.1380 + 1.1087i 3.5000 -2.7365 -0.1317 - 1.1232i -0.1317 + 1.1232i 3.6000 -2.7489 -0.1256 - 1.1375i -0.1256 + 1.1375i 3.7000 -2.7610 -0.1195 - 1.1514i -0.1195 + 1.1514i 3.8000 -2.7729 -0.1135 - 1.1651i -0.1135 + 1.1651i 3.9000 -2.7847 -0.1076 - 1.1785i -0.1076 + 1.1785i 4.0000 -2.7963 -0.1018 - 1.1917i -0.1018 + 1.1917i 4.1000 -2.8078 -0.0961 - 1.2046i -0.0961 + 1.2046i 4.2000 -2.8190 -0.0905 - 1.2172i -0.0905 + 1.2172i 4.3000 -2.8302 -0.0849 - 1.2297i -0.0849 + 1.2297i 4.4000 -2.8411 -0.0794 - 1.2419i -0.0794 + 1.2419i 4.5000 -2.8520 -0.0740 - 1.2539i -0.0740 + 1.2539i 4.6000 -2.8627 -0.0687 - 1.2658i -0.0687 + 1.2658i 4.7000 -2.8732 -0.0634 - 1.2774i -0.0634 + 1.2774i 4.8000 -2.8837 -0.0582 - 1.2889i -0.0582 + 1.2889i 4.9000 -2.8940 -0.0530 - 1.3001i -0.0530 + 1.3001i 5.0000 -2.9042 -0.0479 - 1.3112i -0.0479 + 1.3112i 5.1000 -2.9142 -0.0429 - 1.3222i -0.0429 + 1.3222i 5.2000 -2.9242 -0.0379 - 1.3330i -0.0379 + 1.3330i 5.3000 -2.9340 -0.0330 - 1.3436i -0.0330 + 1.3436i

(21)

21 5.4000 -2.9437 -0.0281 - 1.3541i -0.0281 + 1.3541i 5.5000 -2.9534 -0.0233 - 1.3645i -0.0233 + 1.3645i 5.6000 -2.9629 -0.0186 - 1.3747i -0.0186 + 1.3747i 5.7000 -2.9723 -0.0138 - 1.3847i -0.0138 + 1.3847i 5.8000 -2.9816 -0.0092 - 1.3947i -0.0092 + 1.3947i 5.9000 -2.9909 -0.0046 - 1.4045i -0.0046 + 1.4045i 6.0000 -3.0000 0.0000 - 1.4142i 0.0000 + 1.4142i 6.1000 -3.0090 0.0045 - 1.4238i 0.0045 + 1.4238i 6.2000 -3.0180 0.0090 - 1.4333i 0.0090 + 1.4333i 6.3000 -3.0269 0.0134 - 1.4426i 0.0134 + 1.4426i 6.4000 -3.0357 0.0178 - 1.4519i 0.0178 + 1.4519i 6.5000 -3.0444 0.0222 - 1.4610i 0.0222 + 1.4610i 6.6000 -3.0530 0.0265 - 1.4701i 0.0265 + 1.4701i 6.7000 -3.0615 0.0308 - 1.4790i 0.0308 + 1.4790i 6.8000 -3.0700 0.0350 - 1.4879i 0.0350 + 1.4879i 6.9000 -3.0784 0.0392 - 1.4966i 0.0392 + 1.4966i 7.0000 -3.0867 0.0434 - 1.5053i 0.0434 + 1.5053i b. Analisa hasil simulasi pada bagian (a)

Kasus 1 :

Untuk 0 < K < 0.4 maka pole – pole dari sistem lingkar tertutup bersifat real dan berbeda serta rasio redaman besar dari 1 ( teredam lebih)

Kasus 2 :

Untuk K = 0.4 , titik break away terjadi pada saat penguatan ini serta rasio redaman sama dengan nol (teredam kritis)

Kasus 3 :

Untuk 0.4 < K < 0.6, pole – pole dari sistem lingkar tertutup bersifat komplek dan rasio redaman kecil dari 1 (teredam kurang)

Kasus 4 :

Untuk kasus K = 6, pole – pole dari sistem lingkar tertutup terletak pada sumbu khayal dan sistem bersifat stabil marginal.

Kasus 5 :

Untuk kasus K > 6, pole – pole dari sistem lingkar tertutup terletak di sebelah kanan sumbu khayal dan sistem bersifat stabil

clc

clear all close all % Contoh 10. %

(22)

22 % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = 1; den = [ 1 3 2 0]; sys = tf(num,den) %

clpoles = rlocus(num,den,[0.3:0.1:7]); range = [ 0.3:0.1:7 ]'; [range clpoles]; % rangek = [0.25 0.4 1.5 6 8]; t =[0 : 0.2 : 20]; %

% Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan for j= 1: 5; [ntc,dtc] = cloop(num*rangek(j),den); y(:,j) = step(ntc,dtc,t); end figure subplot(211) plot(t,y(:,1:3)) grid on

title('Tanggapan sistem Terhadap Masukan Undak Satuan') xlabel('detik') ylabel('Keluaran') subplot(212) plot(t,y(:,4:5)) grid on xlabel('detik') ylabel('Keluaran') Hasil Program Fungsi Alih Transfer function: 1 --- s^3 + 3 s^2 + 2 s

Gambar 15. merupakan tanggapan sistem pada persamaan (57) terhadap masukan undak satuan

(23)

23

Gambar 15. Tanggapan Terhadap Masukan Undak Satuan Untuk Sistem Pada Persamaan (57)

Contoh 11. _{: Untuk sistem kendali lingkar tertutup pada Gambar 16. berikut} K (s + 1) s (s + 2) G(s) = H(s) = s + 3 1 R(s) + -C(s)

Gambar 16. Diagram Blok Sistem Lingkar Tertutup Untuk Variasi Nilai K

Dengan menggunakan Matlab, gambarkan diagram tempat kedudukan akar diagram blok pada Gambar 16.

Jawab :

clc clear all close all % Contoh 11. % % Fungsi Alih disp('Fungsi Alih') num = [1 1]; den = [1 5 6 0]; sys = tf(num,den) %

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0 0.5 1 1.5

detik K e lu a ra n 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -5 0 5 detik K e lu a ra n

(24)

24 rlocus(num,den) grid on Hasil program Fungsi Alih Transfer function: s + 1 --- s^3 + 5 s^2 + 6 s

Gambar 17. merupakan diagram tempat kedudukan akar untuk sistem pada diagram blok Gambar 16.

Gambar 17. Diagram Tempat Kedudukan Akar Untuk Sistem Pada Diagram Blok Gambar 16. -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 0.04 0.09 0.14 0.2 0.28 0.4 0.56 0.8 0.04 0.09 0.14 0.2 0.28 0.4 0.56 0.8 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 Root Locus Real Axis Im a g in a ry A x is