MAKALAH SEJARAH ALJABAR

MAKALAH

MAKALAH

SEJARAH ALJABAR 

SEJARAH ALJABAR 

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Pelajaran Matematika

Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Pelajaran Matematika

Guru pengampu 

Guru pengampu 

KEL!MP!K """

KEL!MP!K """

MA MATH!L"#UL HUDA

MA MATH!L"#UL HUDA

S!K!PULUHA$ % PU&AK'A$G"

S!K!PULUHA$ % PU&AK'A$G"

TAHU$ PELAJARA$

TAHU$ PELAJARA$

()*+,()*-BAB "

PE$DAHULUA$

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem atau  permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan telah

mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang mereka sendiri. Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik. Sehingga tak  heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar ketika belajar di kelas.

Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran ini.

Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam bentuk  yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru memang  patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap aljabar.

Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu diperah, maka setiap sapi akan menghasilkan ,! liter. "ika hasil yang didapat dari perahan sapi adalah sebanyak # liter, berapakah sapi yang dimiliki peternakan itu$

Segelintir pertanyaan di atas hanyalah secuil dari banyaknya permasalahan atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang lebih menarik dan meningkatkan kreati%itas, siswa bisa lebih terpacu dalam mengerjakan soal-soal aljabar.

Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka contoh juga bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satu per satu.

B. Perumusan Masalah

*. Apakah pengertian dari aljabar$

(. Bagaimana juga suku-suku pembentuknya$

/. Bagaimanakah sejarah atau asal usul mengenai aljabar$

0. Bagaimanakah cara melakukan pengoperasian dalam aljabar$

+. Bagaimanakah cara mem%aktorkan suku-suku dalam aljabar$

-. Apakah trik-trik yang bisa digunakan untuk mengoperasikan aljabar$

&. Tujuan

*. Mengetahui pengertian dari aljabar serta suku-suku yang membentuk aljabar.

/. Mengetahui cara melakukan operasi dalam aljabar.

0. Mengetahui cara mem%aktorkan suku-suku dalam aljabar.

+. Memahami trik-trik yang bisa digunakan untuk memanipulasi soal pada aljabar.

BAB ""

PEMBAHASA$

A. Pengertian Alja1ar

Aljabar berasal dari Bahasa Arab &al-jabr' yang berarti &pertemuan',

&hubungan' atau &perampungan'( adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang.Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur, hubungan dan kuantitas. )ntuk mempelajari hal-hal ini, dalam aljabar digunakan simbol *biasanya berupa huru%( untuk merepresentasikan bilangan secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan masalah. +ontohnya,  mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang ingin diketahui.

*. Suku2suku pem1entuk 3alam alja1ar

 Koefisien  adalah bilangan yang diikuti ariabel dibelakangnya pada tiap-tiap suku.

+ontoh/

+ x , artinya ! adalah koe%isien x

4 y , artinya 0 adalah koe%isien y

a2_{, artinya  adalah koe%isien a}2

Variabel adalah lambang dari suatu bilangan yang belum diketahui nilainya. 1ariabel disimbolkan dengan huru% kecil, misalnya2a, b, c, …. , x, y, z.

+ontoh/

/ p, artinya p adalah ariabel dari 3

0q, artinya 4 adalah ariabel dari 5

 Konstanta  merupakan bilangan tetap yang tidak memiliki ariabel. +ontoh konstanta dari operasi berikut/

+ x  5 ( xy2 _{5 y % /+}

6onstanta dari operasi diatas adalah62/+7.

 Suku  adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. Memuat ariabel beserta koe%isiennya atau han ya konstanta.

Bentuk aljabar dengan dua suku disebut suku dua. +ontoh/+8 % (9,a 5 1(

Bentuk aljabar dengan lebih dari dua suku disebut suku banyak * polinom(.

+ontoh/a( _{5 01 % :,-8 5 * % /9 5 89}(

B. Sejarah 3an Asal Usul Alja1ar

Asal mula Aljabar dapat ditelusuri  berasal dari bangsa Babilonia 6uno yang mengembangkan system aritmatika yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui untuk kelas masalah yang  biasanya dipecahkan dengan menggunakan persamaan 7inier, Persamaan 6uadrat dan Persamaan 7inier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan kebanyakan  bangsa 8ndia, 9unani, serta +ina dalam milenium pertama sebelum masehi,  biasanya masih menggunakan metode geometri untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan dalam :the ;hind Mathematical Papyrus<, :Sulba Sutras<, :=uclid<s =lements<, dan :>he ?ine +hapters on the Mathematical Art<. @asil karya bangsa 9unani dalam eometri, yang tertulis dalam kitab =lemen, menyediakan kerangka berpikir untuk menggeneralisasi %ormula matematika di luar solusi khusus dari suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika Deduksi.

Sekitar tahun 3 S.M seorang sarjana 9unani kuno =uclid menulis buku yang berjudul;Elements;. Dalam buku itu ia mencantumkan beberapa rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia kembangkan dengan mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui, orang-orang 9unani kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara lengkap jika mareka tidak dapat memecahkan permasalahan-permasalahan tersebut dengan menggunakan geometri. Metode inilah yang kemudian menjadikan kemampuan mereka untuk  memecahkan permasalahan-permasalahan yang mendetail menjadi terbatasi.

Seiring dengan perkembangan Caman, Pada abad ke-3, Diophantus o%  Aleandria *! M( menulis sebuah buku berjudul Aritmetika, dimana ia menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan. Sistemnya tidak  sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem =uclid dan apa yang digunakan sekarang ini.7ambat laun bangsa Arab mulai mengenal teori yang dimiliki negara jajahan tersebut.

6emudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagai penemu teori Aljabar, dialahAl2Kha<ari=mi , seorang muslim keturunan )sbekistan dan lahir pada tahun E0 masehi atau #5 @ijriah menurut kalender islam. Dibidan  pendidikan, telah dibuktikan bahwa ialah seorang tokoh 8slam yang  berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran al-6hawariCmi bukan hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang %alsa%ah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah 8slam dan ilmu kimia. 6eahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya menciptakan pemakaian Secans dan >angens dalam penyelidikan trigonometri dan astronomi. Dalam usia muda ia telah bekerja di bawah pemerintahan 6hali%ah al-Ma<mun, daerah Bayt al-@ikmah di Baghdad. al-6hawariCmi bekerja dalam sebuah obseratory atau tempat ilmu matematik  dan astronomi yang ia gali lebih dalam. Al-6hawariCmi juga dipercayai memimpin perpustakaan khali%ah.

Sedikit tambahan dari penulis Sumbangsih terbesar al-6hawariCmi adalah karya yang terangkum dalam buku bukunya yang berjudul sebagai berikut.

Al-"abr wa<l Mu4abalah / Penciptaan pemakaian secans dan tangens dalam  penyelidikan trigonometri dan astronomi.

@isab al-"abr wa al-Mu4abalah / Sebuah buku yang merangkum pemecahan dari permasalan masalah matematika yang sebagian telah dikemukakan bangsa Babilonia kuno. Dan 6ebenarannya diakui oleh al-6hawariCmi.

Sistem ?ombor / Beliau telah memperkenalkan konsep si%at dan ia penting dalam sistem nombor pada Caman sekarang.

Seperti telah disinggung di atas istilah :Aljabar< berasal dari kata arab &al- jabr' yang berasal dari kitab :Al-6itab al-"abr wa-l-Mu4abala< *yang berarti &>he +ompendious Book on +alculation by +ompletion and Balancing'(, yang ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa al-6wariCmi. 6ata :Al-"abr< sendiri sebenarnya berarti penggabungan *reunion(.

Matematikawan 9unani di jaman @ellenisme, Diophantus, secara tradisional dikenal sebagai :Bapak Aljabar<, walaupun sampai sekarang masih diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-6hwariCmi atau Diophantus$. Mereka yang mendukung Al-6hwariCmi menunjukkan %akta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih digunakan sampai sekarang ini dan ia  juga memberikan penjelasan yang rinci mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar  ditemukan dalam Al-"abr adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar  yang ditemukan dalam :Arithmetica<, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Fmar 6hayyam, membangun Aljabar eometri dan menemukan  bentuk umum geometri dari persamaan kubik. Matematikawan 8ndia Mahaira dan Bhaskara, serta Matematikawan +ina, Ghu Shijie, berhasil memecahkan  berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi

lainnya.

Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-H. 8de tentang determinan yang dikembangkan oleh Matematikawan "epang 6owa Seki di abad E, diikuti oleh ott%ried 7eibniC sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk memecahkan Sistem Persamaan 7inier secara simultan dengan menggunakan Matriks. abriel +ramer   juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks dan Determinan di abad

ke-0. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-#, mula-mula ber%okus pada teori alois dan pada masalah keterkonstruksian *constructibility( Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini/

. Aljabar =lementer, yang mempelajari si%at-si%at operasi pada bilangan riil direkam dalam simbol sebagai konstanta dan ariabel, dan aturan yang membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-simbol.

Aljabar =lementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika, di mana bilangan dan operasi Aritmatika *seperti I, J, K, L( muncul juga dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan simbol *seperti a, , y(. @al ini sangat penting sebab/ @al ini mengijinkan kita menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika *seperti a I b  b I a untuk  semua a dan b(, dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk   penelusuran yang sistematik terhadap si%at-si%at sistem bilangan riil.

Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang mengandung ariabel yang tidak diketahui *sebagai contoh &+arilah bilangan  yang memenuhi persamaan 3 I   (. @al ini juga mengijinkan kita untuk membuat relasi %ungsional dari rumus-rumus matematika tersebut *sebagai contoh "ika anda menjual  tiket, dan kemudian anda mendapat untung 3 -  rupiah, dapat dituliskan sebagai %*(  3 - , dimana % adalah %ungsi, dan  adalah bilangan dimana %ungsi % bekerja.

. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari Struktur Aljabar semacam rup, ;ing dan Medan *%ields( yang dide%inisikan dan diajarkan secara aksiomatis2

3. Aljabar 7inier, yang mempelajari si%at-si%at khusus dari ;uang 1ektor  *termasuk Matriks(2

5. Aljabar )niersal, yang mempelajari si%at-si%at bersama dari semua Struktur  aljabar.

Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam rup, ;ing, Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan *algebras oer a %ield( dipelajari  bersama dengan telaah Struktur eometri ?atural yang kompatibel dengan

&. Men9elesaikan !perasi Alja1ar

Pada dasarnya, si%at - si%at penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada  bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk - bentuk aljabar, sbb/

a. Si%at 6omutati% 

aIbbIa, dengan a dan b bilangan riil.  b. Si%at Asosiati% 

*aIb( I c aI *bIc(, dengan a,b dan c bilangan riil. c. Si%at Distributi% 

a*aIc(abIac, dengana,bdan c bilanganriil.

Pengurangan pa3a Alja1ar

Berikut adalah contoh operasi pengurangan dalam aljabar  a. *5pN-p-!( - *0pN I p I !( "awab / *5pN-p-!( - *0pN I p I !(  5pN - 0pN - p - p - ! -!  5pN - p -  b. *p - 0( - *0p -( "awab /  p - 0 O 0p I   p I  c. E O 3  5 d. !p4 O 3p4  p4

Penjumlahan pa3a Alja1ar

Berikut adalah contoh soal-soal penjumlahan yang diterapkan kepada  bentuk aljabar.

a. *N I Hy- ( I *-5N-y I ( "awab /

 _{I *-5}_{( I Hy O y - I   H} _{I 5y -}

 b. E I 3   c. 0_{I !}_{ 3 }

• Perkalian Alja1ar

. Perkalian suku satu dengan suku dua

&>nt>h s>al a. * I 3( c. *y I !(  b. O5*# O y( d. O#p*!p O 4( Ja<a1 a. 2(x + 3) = 2x + 6 b. –4(9 – y) = –36 + 4y c. x(y + 5) = xy + 5x d. –9p(5p – 2q) = –45p2 _{+ 18pq}

. Perkalian suku dua dengan suku dua

&>nt>h s>al  a. * I (_  b. *3 I (*3 I (  c. *-!(*-3(  d. * O (* - (  e. * I (* I (  Ja<a1  a. * I (_{ * I (* I (  5}_{I 5 I }  b. *3 I(*3 I (  #_{I 3 I H I   #}_{I # I }

d. * O (* - (   _{O  O  I 5  } _{O 5 I 5} e. * I (*I(  _{I  I  I   }_{I  I } Pem1agian Alja1ar &>nt>h s>al  a. 3 / 3  b. H /   c. 0yC / 5  c. 10 _PQR 2 _P   Ja<a1  a. 3 / 3    b. H _{/   3} c. 0yC / 5  yC d. p4r / p  !4r 

D. Mem?akt>rkan 1entuk Alja1ar

Berikut adalah beberapa contoh gambar yang menunjukkan penyelesaian dari pem%aktoran bentuk-bentuk aljabar.

a. _{I ! I H }

c. 3_{- O  }

d.  _{O 3 I  }

E. Trik2trik Alja1ar

Di bagian ini, kita akan membahas tentang beberapa trik-trik dalam aljabar. Biasanya, trik digunakan untuk mempermudah cara kita mengerjakan sesuatu soal. Dengan demikian, trik-trik yang tersajikan ini bisa membantu kita menyelesaikan soal dengan lebih cepat.

*. Menggunakan selisih kua3rat

+ontoh soal / a. #5 _{O H} _{ ...}

 b. ! _{O !}_{ ...}

"awab /

a. #5 _{O H}_{ *#5 I H(*#5 - H(    00  0.0}

 b. ! _{O !}_{ *! - !(*! I !(      .}

c. # _{O } _{ *# I (*# - (    0  0.}

 Dari pada ar!" m#ncari $!adra%nya, "#bai$nya $i%a m#n&&!na$an "#li"i $!adra% a&ar l#bi m!da.

(. Menggunakan rumus umum

;umus umumnya adalah / *a I b( _{ a} 5ab I b *a - b( _{ a} 2 ab I b +ontoh soal / a. *3 I ( _  b. *! - ( _ c. *# - 3( _ "awab / a. *3 I (_{ *3(}_{I .3. I *(}_{ #}_{I  I 5}  b. *! O (_{ !} _{O  I } c. *# O 3(_{ 0} _{O !5 I #} /. Menganalisa s>al +ontoh soal /

a. Dua buah bilangan berjumlah 3. "ika bilangan pertama  kali lebih besar  dari bilangan kedua, berapakah bilangan kedua$

 b. Sebuah bilangan jika dikalikan 3 ditambah ! dan dikurangi , maka hasilnya adalah H3. Berapakah bilangan tersebut$

Ja<a1  a. a I b  3, a  b Berarti, b I b  3 3b  3, b    b.  . 3 I ! -  H3, 3 I 3  H3 Berarti, 3  H3 -3 3  H dan   

BAB """

PE$UTUP

A. Kesimpulan 

Mempelajari aljabar bukanlah sesuatu yang sulit, melainkan sesuatu yang  bias menantang kita bagaimana cara menyelesaikan suatu soal. Dengan mempelajari aljabar, kita bisa lebih mengetahui banyak hal dalam menyelesaikan  pertanyaan demi pertanyaan sulit dari berbagai aspek.

B. Saran 

Sebaiknya, proyek setiap semester bisa terus diadakan. Selain untuk bisa lebih memahami dan mempelajari materi, kita bisa ikut membagikan ilmu kepada orang lain.

DA@TAR PUSTAKA

'''.blaarpin%ar.blo&"po%.com %%p*a"%!%i"#%yonin&"i.blo&"po%.comp"#araalabar.%ml  %%p*panca!r.blo&"po%.com2134caram!dam#n&i%!n&alabar.%ml  %%p*aryrinda"ol!.blo&"po%.com2133ba&aimanacaram#ny#l#"ai$an op#ra"i.%ml  %%p*blrma%#ma%i$a.blo&"po%.com21212op#ra"ii%!n&alabar.%ml