OPTIMASI WAKTU INVENTORI MULTI ITEM DENGAN STRUKTUR BIAYA CONCAVE

(1)

OPTIMASI WAKTU INVENTORI MULTI ITEM DENGAN

STRUKTUR BIAYA CONCAVE

Rully Soelaiman1, Nita Kusumaningtyas1

1

Fakultas Teknologi Informasi,

Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya, 60111, Indonesia E-mail : [email protected]

Abstrak

Replenishment problem merupakan masalah yang sering terjadi dalam ruang lingkup perusahaan, dimana problem ini meneliti skala ekonomi khususnya yang terjadi pada model inventori multi-item. Replenishment yang dimaksudkan pada tugas akhir ini lebih dikhususkan pada permasalahan joint setup, yaitu gabungan biaya setup mayor dan setup minor yang terdapat pada invetori multi item.

Kondisi lain yang juga perlu diperhatikan adalah asumsi pengisian instant, yang menunjukkan fakta bahwa seluruh item yang dibutuhkan dibeli dari satu supplier luar dan tidak ada pembatasan kapasitas pada fasilitas produksinya, sebaliknya terdapat diskon kuantitas yang ditawarkan untuk pembelian setiap jumlah tertentu, dimana bersifat concave sehingga mempengaruhi struktur production cost.

Dengan melihat karakteristik yang terjadi diatas, maka diperlukan sebuah solusi untuk menyelesaikan replenishment problem tersebut. Solusi yang akan digunakan adalah dengan menggunakan Optimasi Global untuk menentukan waktu yang optimal guna meminimalkan biaya rata-rata total.

Kata kunci : inventori multi-item, joint setup, struktur biaya concave,optimasi global.

1. PENDAHULUAN

Perencanaan sebuah sistem inventori untuk model multi-item merupakan perencanaan yang terjadi pada sebuah lingkup management inventori perusahaan. Didalam perencanaan tersebut terdapat permasalahan replenishment yang harus dipecahkan, dimana pemecahan permasalahan lebih dikhususkan pada joint setup. Permasalahan yang timbul adalah bagaimana koordinasi

replenishment yang maksimal terhadap sejumlah

item berdasarkan waktu dan frekuensi yang ditentukan dapat terimplementasi, sehingga dapat meminimalkan cost yang dikeluarkan.

Untuk kasus ini kondisi lingkungan utama adalah dengan menetapkan bahwa diasumsikan terdapatnya pengisian instan pada gudang, dimana beberapa item yang telah dibeli berasal dari satu supplier dan tidak ada pembatasan kapasitas dalam ordering melainkan tingkat permintaan

telah diketahui secara pasti (deterministik). Diskon kuantitas ditawarkan oleh supplier, dimana diskon ini bersifat concave mengakibatkan struktur biaya yang dikeluarkan oleh perusahaan juga bersifat

concave,yaitu semakin banyak item yang dibeli

dari supplier, maka biaya yang dikeluarkan akan semakin sedikit.

Berdasarkan hal-hal di atas, maka akan digunakan metode Optimasi Global untuk menentukan waktu yang dan total biaya rata-rata minimal pada sistem inventori multi-item.

2. KONSEP DASAR

2.1 STRUKTUR BIAYA CONCAVE

Pada problem inventori yang akan dikerjakan ini terdapat suatu fungsi struktur biaya yang bersifat concave dimana semakin besar jumlah kapasitas barang pada gudang maka total biaya pembelian semakin kecil atau dengan kata lain struktur biaya akan concave terhadap ukuran jumlah kapasitas. Hal tersebut dipengaruhi adanya diskon kuantitas yang diberikan oleh supplier bila perusahaan melakukan pembelian dengan jumlah tertentu atau lebih dari jumlah yang dipesan.

Dengan demikian tentu saja untuk biaya setup dan biaya penyimpanan atau holding cost juga dapat diminimalkan.

Gambar 2.1 Struktur biaya polyhedral concave Pada gambar 2.1 terdapat sebuah garis berbentuk concave, tepatnya adalah garis

polyhedral concave. Pada garis concave tersebut

terdapat 4 buah breakpoint atau titik henti yang diberi inisialisasi m. Karena terdapat 4 buah

breakpoint pada garis concave tersebut, sehingga

(2)

kemiringan dari tiap breakpoint memuat informai tentang fungsi struktur biaya concave, yang diberi inisialisasi



atau omega. Pada setiap daerah



mempunyai 2 parameter, yaitu alpha (



) yang memuat informasi mengenai segmen fungsi struktur biaya concave yang dimiliki oleh item

ke-i tersebut. Parameter lake-innya adalah beta (



), pada garis concave diatas,



adalah berupa

intercepts atau potongan. Potongan ini bertujuan

untuk membatasi antar daerah fungsi struktur biaya concave atau antar daerah



. Sehingga, dapat dituliskan dengan



(



,



). Dengan kata lain, garis polyhedral concave diatas mempunyai 4

breakpoint dengan 4  (



,



) yang berbeda. 2.2 Solver glbSolve

Optimasi global digunakan sebagai solver untuk proses pencarian nilai optimal pada tugas akhir ini dan solver optimasi global yang digunakan adalah solver glbSolve.m.

Penggunaan solver pada tugas akhir ini digunakan untuk membantu dalam pencarian nilai optimal atau nilai minimum pada perhitungan yang dijalankan. Solver akan menggunakan algoritma yang didapatkan dari jurnal yang berjudul Global

Optimization using the DIRECT Algorithm in Matlab yang dikembangkan oleh Mattias

Bjorkman dan Kenneth Holmstrom pada tahun 1999. Terdapat empat metode solver yang digunakan :

a. Permasalahan optimasi Six-Hump Camel Formulasi 2.1 adalah formulasi untuk permasalahan optimasi Six-Hump Camel :

) 4 4 ( ) 3 1 1 . 2 4 ( ) ( min 1 2 22 2 1 4 1 2 1 x x xx x x x f x        (2.1)

3

3 

₁





x

s.t

2

2 

2





x

Hasil pada jurnal Mattias dan Kenneth : fglobal = -1.0316284535.

b. Permasalahan optimasi Branin RCOS Formulasi 2.2 adalah formulasi untuk permasalahan optimasi Branin RCOS :

10 ) cos( ) 8 1 1 ( 10 ) 6 5 4 5 ( ) ( min 1 2 ₁ 2 2 1 2       x x x x x f x    (2.2)

10

5 

1





x

s.t

15

0 

x

₂



Hasil pada jurnal Mattias dan Kenneth : fglobal = 0.397887357729739.

c. Permasalahan optimasi Goldstein and Price

Formulasi 2.3 adalah formulasi untuk pemasalahan optimasi Goldstein and Price :



1 ( 1) (19 14 3 14 6 3 )



) ( min 2 ₁ ₁2 ₂ ₁ ₂ ₂2 2 1 x x x x xx x x x f x          x



30 (2 ) (18 32 12 48 2 36 12 27 22)



2 1 1 2 2 1x x x x xx x x       (2.3) s.t.



2 

x

j



2 ,

j



1 ,

2 ,

Hasil pada jurnal Mattias dan Kenneth : fglobal = 3.

d. Permasalahan optimasi Sphere

Formulasi 2.14 adalah formulasi untuk permasalahan optimasi Sphere :









n i i x

f

x

1 2

)

1 (

)

(

min

(2.4) s.t



5 

x

_i



5 ,

i



1 ,

2 ,...,

n

Hasil pada jurnal Mattias dan Kenneth adalah freach = 10-6.

3. METODE OPTIMASI

Metode pengerjaan untuk kasus optimasi sistem inventori multi item dengan menentukan variable keputusan dan fungsi tujuan.

3.1 Variabel Keputusan

Variabel keputusan yang akan digunakan pada optimasi ini, yaitu variabel keputusan untuk mencari waktu yang optimal untuk melakukan replenishment pada sistem inventori multi item(

Ti

(



)

).Kemudian variabel untuk mencari frekuensi yang optimal (k), yaitu frekuensi untuk menentukan berapa banyak jumlah per-item yang harus dipesan kembali pada supplier, sehingga kemudian dapat digunakan untuk mecari rata-rata biaya total yang paling minimum.

3.1.1 Perhitungan nilai

Ti

(



)

(



i

T

adalah notasi untuk waktu optimal untuk tiap item ke-i. Pada permasalahan proses

replenishment single item diberikan formulasi

untuk perhitungan optimasi mencari total biaya minimum untuk tiap itemnya, yaitu :

 

_

 

_

                           ij j ij T j m j i _h _b _r _T _r bT T b T a T i F        2 2 2 min min : , 2 0 (3.1)

Dari formula diatas, maka dapat dilihat terdapat dua penghitungan optimasi. Namun untuk formula optimasi waktu yang akan digunakan (

Ti

(



)

) adalah formula optimasi berikut :

(3)

 





_            ij j ij T _h _b _r _T _r bT T b T a       2 2 2 min 2 0 (3.2) Penggunaan formula diatas sebagai

Ti

(



)

berdasarkan batasan pada optimasi tersebut yaitu

T>0.

3.1.2 Perhitungan nilai frekuensi ( k)

k adalah notasi untuk frekuensi pemesanan

yang optimal pada tiap item ke-i, yaitu pada setiap jumlah berapa pemesanan suatu item dilakukan. Formula untuk mencari k adalah sebagai berikut :



(

,

),

(

,

)



min

arg

)

,

(

T

0

H

k

T

0

H

k

T

0

k

i i i i i  





(3.3)

Pada formula diatas, terdapat fungsi argmin, yaitu fungsi untuk memilih apakah nilai

)

,

(

k

T

₀

H

_i



_i atau nilai

H

_i

(



,

k

_i

T

₀

)

paling minimal. Sedangkan untuk menjalankan formula tersebut kita harus mengetahui nilai

)

,

(

k

T

₀

H

_i



_i dan

H

_i

(



,

k

_i

T

₀

)

nilai terlebih dahulu. Untuk memudahkan penghitungan maka dilakukan pencarian untuk nilai ki-dan nilai ki+,

yaitu sebagai berikut :















 0

)

(

T

k

i i



dan















 0

)

(

T

k

i i



(3.4) Pada formulasi diatas, salah satu variabel telah diketahui hasilnya melalui pehitungan sebelumnya. Sedangkan variabel T0 adalah

rentang waktu yang nilainya berupa rentang waktu dari TL atau batas bawah hingga TU atau batas

atas. Nilai dari T0 diinisialisasikan sendiri karena

dalam tugas akhir ini menggunakan metode optimasi global dimana daerah penyelesaiannya tidak dibatasi atau global. Untuk yang tidak terpenuhi nilainya diasumsikan k min dan k plus bernilai 1. Setelah selesai melakukan penghitungan terhadap ki

dan ki +

, kembali

melihat tujuan awal pencarian nilai

)

,

(

k

T

₀

H

_i



_i dan

H

_i

(



,

k

_i

T

₀

)

. Perhitungan

ki- dan ki+ telah dilakukan, selanjutnya kita

melakukan pencarian nilai

H

i

(



,

T

)

.Dibenarkan,

karena dengan adanya formulasi tersendiri untuk melakukan perhitungan terhadap nilai k,

menandakan bahwa, optimasi

)

,

(

min

H

i



k

i

T

0 pada formulasi 4.3 dapat

diartikan sebagai optimasi

min

H

i

(



,

k

i

*

T

0

)

.

Perhitungan optimasi

min

(

,

)

0

H

i

T

T



akan

mengacu pada perhitungan lain yaitu perhitungan untuk optimasi persediaan single item yang ditunjukkan pada formulasi 4.5, yaitu :

 

                          ij ij i i i ij i j m j ij r T r b h bt T b T a Z        2 ) ( 2 2 min 2 1 (4.5)

Sehingga, perhitungan untuk menentukan

)

,

(

T

H

i



yang diselesaikan melalui formulasi diatas antara lain adalah perhitungan untuk mencari optimasi replenishment pada sistem inventori permodel single item. Dapat disimpulkan bahwa dalam perhitungan mencari optimasi persediaan multi item ini haruslah dicari dahulu nilai optimal pada tiap model item terlebih dahulu barulah dicari nilai optimal untuk keseluruhan item. Setelah nilai dari

H

i

(

,

k

i

T

0

)





dan

)

,

(

k

T

0

H

i i 



telah diketahui, selanjutnya adalah menerapkan fungsi argmin pada hasil dari perhitungan kedua formulasi tersebut. Melalui bantuan fungsi argmin inilah dapat diketahui nilai H yang optimal, yaitu biaya yang dikeluarkan permodel sehingga dapat ditentukan pula k yang optimal. Penentuan nilai k dibantu dengan solver

glbSolve.

3.2 Fungsi Tujuan

Fungsi tujuan pada optimasi waktu inventori multi item dengan struktur biaya concave adalah mendapatkan total biaya rata-rata minimum. Total biaya rata-rata minimum adalah penjumlahan biaya rata-rata setup mayor dengan biaya rata-rata

setup minor. Biaya rata-rata setup mayor ialah

pembagian antara nilai biaya setup mayor dengan rentang waktu. Sedangkan biaya rata-rata setup

minor adalah hasil dari penjumlahan semua nilai

optimal pada tiap item setelah didalamnya telah dibagi dengan rentang waktu. Perhitungannya ditunjukkan pada formulasi 4.6, yaitu :

























_





    n i i i n j T

_T

H

k

T

A

Zn

i 1 1 0

min

,

min



(3.5) Pada perhitungan optimasi persediaan multi item diatas terdiri dari 2 buah perhitungan optimasi. Sehingga perhitungan pada fungsi tujuan ini akan dibagi menjadi 2 tahap perhitungan.

Perhitungan optimasi pertama yang akan dilakukan adalah perhitungan optimasi yang berada di dalam formulasi perhitungan optimasi inti pada formulasi 4.6, yaitu :











   n i i i m j

H

k

T

1 1

)

,

(

min



(3.6) Formulasi 4.7 ini, akan merujuk pada sebuah formulasi lain yang ditunjukkan oleh formulasi 4.8, yaitu :

)

,

(

min

)

,

(

,

(

k

T

H

k

T

H

_i _i k i i i





(3.7)

(4)

dimana formulasi

min

H

i

(

,

k

i

T

)

k_i



telah

dicari pada perhitungan sebelumnya, yaitu pada saat mencari nilai k yang optimal. Setelah hasil dari

min

H

i

(

,

k

i

T

)

k_i



untuk tiap item diketahui, langkah selanjutnya adalah menjumlahkan seluruh nilai dari

min

H

i

(

,

k

i

T

)

k_i



tiap item tersebut. Dan perhitungan optimasi kedua sekaligus perhitungan terakhir untuk mencari total biaya minimum ini adalah dengan melakukan pembagian A (biaya setup mayor) dengan T (rentang waktu daerah pencarian) lalu dijumlahkan dengan hasil dari perhitungan 4.8.

3.3 Model Optimasi Uji kelayakan glbSolve Dilakukan untuk membuktikan kelayakan

solver glbSolve sebagai solver untuk mencari nilai

optimal maupun nilai minimum. Pada pelaksanaannya akan diujikan empat macam model permasalahan optimasi yang akan digunakan sebagai solver glbSolve seperti yang telah disebutkan pada bab 2.2. Sebelum melakukan uji kelayakan solver glbSolve terhadap pencarian waktu optimum dan total biaya minimum, terlebih dahulu dilakukan uji kebenaran terhadap masing-masing model permasalahan optimasi dengan membandingkan hasil yang diperoleh dengan hasil yang telah disertakan pada jurnal.

3.4 Model Validasi

Pembuktian kebenaran dari hasil perhitungan yang telah dilakukan akan melalui suatu perbandingan hasil. Dimana, hasil yang didapatkan dari uji coba akan dibandingkan dengan hasil pada program validasi. Program validasi yang dibuat berdasarkan pada analisis lingkungan produksi yang menerapkan fungsi struktur biaya concave. Optimasi global dengan program glbSolve dijadikan sebagai solver dalam pencarian nilai optimal pada model validasi ini.

Berikut terdapat formula untuk menghitung fungsi struktur biaya pada tiap item, yaitu :

 



ij i ij



m j i

T

c













  1

min

:

(3.8)

Pada lingkungan yang menerapkan fungsi struktur biaya concave ini, diberikan pula formulasi untuk menghitung biaya minimal pada persediaan single (tiap) item, yang ditunjukkan pada formulasi berikut :

)

(

2 )

(

2 )

(

2 )

(

min

2 0

_h

_b

_T

_rc

_T

T

b

T

b

T

c

a

i i i i i i i i i i i T



















 (3.9)

Perbandingan yang akan dilakukan pada tugas akhir ini adalah dengan memasukkan variabel k tiap item yang didapatkan dari hasil uji coba yang

dimana nilai k nya berasal dari item dengan segmen fungsi struktur biaya concave yang mempunyai nilai paling minimum ke dalam program validasi sebagai data masukan, dengan cara mengalikan setiap variabel T dengan k dikarenakan untuk mencari nilai optimal harus dicari terlebih dahulu nilai T yang dipengaruhi k yang optimal. Setelah itu k dikalikan T pada program validasi. Jika nilai k pada uji coba dengan k pada program validasi memiliki hasil yang sama, maka dapat dikatakan hasil yang didapat dari uji coba telah optimal.

Sehingga formulasi 3.8 akan diubah menjadi :

 



ij i ij



m j i

T

k

T

c













 

*

min

:

1 (3.10)

Sedangkan formulasi 3.9 akan dirubah menjadi : ) * ( 2 * ) ( 2 ) * ( 2 * * ) * ( min 2 0 _h _b _T _k _rc _T _k k T b k T b k T k T c a i i i i i i i i i i i T              (3.11)

Langkah terakhir dalam membuat model validasi untuk optimasi persediaan multi item dengan struktur biaya concave dan joint setup ini adalah menjumlahkan seluruh hasil perhitungan pada formulasi 3.11, kemudian ditambah dengan hasil dari pembagian A dengan T.

4. HASIL UJI COBA

Uji coba ini bertujuan untuk membuktikan kelayakan glbSolve sebagai solver yang digunakan untuk mencari waktu optimum dan total biaya rata-rata minimum.

Uji coba dilakukan dengan perangkat keras Notebook dengan prosesor Intel(R) Core(TM)2 CPU 1.73 Ghz, RAM 1014MB. Sistem operasi yang digunakan adalah Microsoft Windows XP Prefessional. Sedangkan perangkat lunak diimplementasikan menggunakan Matlab 7.04

Data komputasi yang akan digunakan pada uji optimasi adalah sebagai berikut :

No. Variabel Nilai Variabel

1. n _n__{{3, 4, 5}} 2. A A  {5,8,12} 3. i



0 .

1 



i



5

dengan 1≤ i ≤ n 4. i





_i





_i





_i



5

dengan 1≤ i ≤ n 5. ai

0 .

1 

a

i



5

dengan 1≤ i ≤ n 6. hi

₀

_.

₁



₂

i

h

(5)

dengan 1≤ i ≤ n 7. mi _{1≤ i ≤ n}

2 

m

i



5

dengan 8. ij



0 .

01 



ij



2

dengan 1 ≤ i ≤ n dan 1≤ j ≤ mi 9. ij



ij= 0 dan

10

1 



_ij



dengan 1≤ i ≤ n dan 2≤ j ≤ mi 10. bi

b

i



h

i



20 r



i1de ngan 1≤ i ≤ n 4.1 Uji coba glbSolve

Pada tahap ini, telah dibuatkan tiga skenario dengan jumlah item dan segmentasi yang berbeda. Berikut satu satu scenario yang akan dicari waktu optimal juga total biaya rata-rata minimum dengan menggunakan solver glbSolve, yang juga akan digunakan untuk uji coba dan uji validasi untuk mengecek kelayakan glbSolve sebagai solver Optimasi Global.

Skenario 1 ini merupakan skenario untuk item yang berjumlah 3 dengan rincian sebagai berikut : 1. Item 1 mempunyai 2 segmen

2. Item 2 mempunyai 3 segmen 3. Item 3 mempunyai 4 segmen

Sehingga, nantinya akan dibuat model sebanyak 9 buah. Rincian dari 9 buah model yang akan dibuat adalah sebagai berikut :

1. Model 311, ialah model 3 item untuk item ke-1 dengan segmen biaya ke-ke-1.

2. Model 312, ialah model 3 item untuk item ke-1 dengan segmen biaya ke-2.

Maka ditemukan untuk T , k dan H yang optimal untuk skenario 1 melalui bantuan solver glbSolve.

Sedangkan hasil untuk nilai optimal (f_opt) dan waktu optimal (t_opt) pada skenario 1 ditunjukkan pada gambar 6.5.

4.2 Uji Validasi

Setelah diketahui hasil akhir dari skenario 1, maka selanjutnya adalah mencari nilai k optimal untuk dijadikan data masukan pada program validasi. Penentuan dari nilai k optimal tiap item akan dicari dengan melihat dari hasil H optimal yang minimum pada program multi item. Pada hasil dari pengujian skenario 1 terlihat bahwa :

1. Pada item ke 1 nilai H yang paling minimum bernilai 1.03176011436012 berada dalam model 311 dengan nilai k nya adalah 1. 2. Pada item ke 2 nilai H yang paling minimum

bernilai 1.86844686476643 berada dalam model 323 dengan nilai k nya adalah 3. 3. Pada item ke 3 nilai H yang paling minimum

bernilai 6.55511405663275 berada dalam model 334 dengan nilai k nya adalah 1 Sehingga, nilai yang optimal untuk data variabel k pada skenario 1 adalah 1 3 1. Melalui hasil optimal dari k, maka selanjutnya adalah memasukkan nilai k kedalam program validasi untuk digunakan sebagai data masukan. Pengujian menggunakan batas atas (t_U) yaitu 4.5 dan (t_L) batas bawah yaitu 3.5.

Hasil uji coba skenario 1

Hasil program validasi

f_opt t_opt f_opt t_opt

10.623640 66605152 4.0114594 0941704 10.623640 66605153 4.011459 40941704 Dari table diatas dapat disimpulkan bahwa hasil dari uji coba glbSolve pada skenario1 adalah hasil yang valid. Selain melalui perbandingan dari hasil akhir, akan dilakukan perbandingan melalui plot model program untuk lebih menunjukkan kevalidan dari hasil akhir.

f_opt = 10.62364066605152 Topt = 4.01145940941704 --- Hasil T optimal --- TiO = 4.85489615027821 8.06375916611628 0 0 5.08761955701574 6.80985177093976 12.47811137078246 0 0.65061952000943 1.14979354559898 2.10540415900668 3.15360001392441 --- Hasil k optimal --- k = 1 2 0 0 1 2 3 0 1 1 1 1 --- Hasil H optimal --- H = 1.03176011436012 1.36520854344921 0 0 4.99918470506260 4.18945937395657 1.86844686476643 0 14.61406024178201 12.67675121453443 7.95350295420429 6.55511405663275

(6)

Melalui gambar diatas terlihat bahwa daerah x_opt atau daerah titik-titik optimal terletak pada daerah di sekitar 3 hingga 5, hal ini sesuai dengan hasil dari x_opt (t_opt) yaitu 4.01145940941704.

Untuk gambar diatas adalah hasil dari plot uji validasi, terlihat bahwa daerah x_opt atau daerah titik-titik optimal yang terletak pada daerah yang sama pada gambar 6.11 yaitu berada di sekitar 3 hingga 5, hal ini sesuai dengan hasil dari x_opt pada program validasi yaitu 4.01145940941704. Sehingga dapat disimpulkan bahwa hasil pada skenario 1 telah VALID.

5. KESIMPULAN DAN SARAN

Setelah dilakukan uji coba dan uji kelayakan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

1. Solver Optimasi global (glbsolve.m) terbukti layak digunakan untuk meminimumkan total biaya rata-rata pada permasalahan sistem inventori multi item dengan struktur biaya concave.

2. Melalui hasil dari pencarian waktu optimal (t_opt) pada suatu item dapat membantu dalam memutuskan dan mempersempit daerah pencarian. 3. Frekuensi pemesanan dan waktu yang

optimal adalah faktor yang krusial dalam meminimalkan total biaya rata-rata pada

sistem inventori multi item dengan struktur biaya concave.

Beberapa saran yang hendak disampaikan terkait dengan pengerjaan tugas akhir ini yaitu:

1. Meningkatkan jumlah percobaan dalam modifikasi pada nilai variabel data agar mendapatkan nilai yang lebih optimal. 2. Menggunakan lebih banyak skenario

dalam uji coba dengan penambahan jumlah item dan modifikasi segmentasi pada fungsi biaya produksi pada tiap itemnya.

6. DAFTAR PUSTAKA

1. Bayindir, Z.P., Birbil, S.I., Frenk, J.G.B., 2004. A Multi - Item Inventory Model with

Joint setup and Concave Production Costs.

ERIM Report Series Research in Management : ERS-2004-044-LIS, Netherlands.

2. Bjorkman, Mattias., Holmstrom Kenneth., 1999. Global optimization using the DIRECT

Algorithm in Matlab. AMO-Advanced Modelling and Optimization Volume 1, Number 2.

3. Frenk, J.B.G., Kleijn, M.J., Dekker, R., 1999.

An efficient algorithm for a generalized joint replenishment problem. European Journal of

Operational Research, 118(2):413–428. 4. Horst, R., Pardalos, P.M., Thoai, N.V., .2000.

Introduction to global optimization. 2nd

Edition. Kluwer

AcademicPublishers.<http://www.cs.sandia.g ov/opt/survey/intro.html>.

5. http://id.wikipedia.org/wiki/Backorder. 6. Nordhaus, Samuelson., 2001.

Microeconomics. 17th Edition. McGraw-Hills

Companies.

7. Utama, I., Gusti Bagus Rai., 2008.

Pengendalian Persediaan.

<URL:http://bahankuliah.wordpress.com/

2008/04/04/model-pengendalian-persediaan.htm>.

8. Weise, Thomas., 2008. Global Optimization

Algorithms–

Theory and Application, 2nd Edition. <URL:

http://www.it-weise.de/book.pdf>.

9. Wilderman, R.E., Frenk, J.B.G., Dekker. R., 1997. An Efficient Optimal Solution Method

for The Joint Replenishment Problem.

European Journal of Operational Research, 99:433-444

(7)

BIODATA PENULIS

Penulis, yang lahir di Surabaya, pada tanggal 30 Desember 1986 adalah anak pertama dari tiga bersaudara. Pendidikan formal ditamatkan di SD Negeri Kepuh Kiriman I Waru, SLTP Negeri 1 Waru, SMA Negeri 10 Surabaya, kemudian penulis melanjutkan studi kuliah di jurusan Tehnik Informatika Institut Tekhnologi Sepuluh Nopember Surabaya 2004. Dalam menyelesaikan tugas akhir, penulis mengambil bidang minat KCV. Penulis juga merupakan vokalis salah satu band di Surabaya untuk menyalurkan hobi menyanyinya. Penulis sempat melakukan kerja praktek di PT PLN Gresik pada tahun 2007.