Aljabar Kumjian-Pask
dari Graf-
k
Berhingga Baris Tanpa
Sources
Reza Farhania Dewi∗, Rizky Rosjanuardi, Sumanang Muhtar Gozali Departemen Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia
∗Surel: [email protected]
ABSTRAK. Diberikan suatu graf-kberhingga baris tanpasourcesΛ dan suatu ring komutatifRdengan unsur kesatuan. Aljabar Kumjian-Pask
KPR(Λ)didefinisikan sebagai aljabar-Runiversal yang analog dengan aljabar grafC∗(Λ). Untuk setiapΛyang diberikan, dapat dikonstruksi
aljabar Kumjian-Pask KPR(Λ) sebagai kuosien dari aljabar-R bebas padaX= Λ0
∪Λ6=0
∪G(Λ6=0
)modulo idealIyang dibangun oleh suatu himpunan sedemikian sehingga memenuhi relasi Kumjian-Pask.
Kata kunci:graf-kberhingga baris tanpasources, aljabar Kumjian-Pask, aljabar-R, kuosien, aljabar-Rbebas, ideal, relasi Kumjian-Pask.
ABSTRACT. Given a row-finitek-graph without sourcesΛand a unital commutative ringR. Kumjian-Pask algebraKPR(Λ)is a universal
R-algebra analogous with the graph R-algebraC∗(Λ). For every given Λ, we can construct a Kumjian-Pask algebraKPR(Λ)as a quotient of free
R-algebra onX = Λ0∪
Λ6=0∪
G(Λ6=0
)modulo idealIgenerated by a set such that the ideal satisfied Kumjian-Pask relations.
Keywords: row-finitek-graph without sources, Kumjian-Pask algebra, R-algebra, quotient, freeR-algebra, ideal, Kumjian-Pask relations.
1 Pendahuluan
Analogi dari aljabar Cuntz-Krieger dengan rank lebih tinggi pertama kali diteliti oleh Robertson dan Steger [16, 17]. Tidak lama setelah itu, Kumjian dan Pask [10] memperkenalkan graf dengan rank lebih tinggi (atau graf-k) untuk memberikan model yang dapat divisualisasi untuk aljabar Robertson dan Steger. Graf-kdipandang sebagai graf berarah dengan dimensik. Aljabar-C∗ dari graf-k [10] selanjutnya didefinisikan sebagai aljabar-C∗ universal yang dibangun oleh keluarga isometri parsial sedemikian sehingga memenuhi relasi yang analog dengan relasi Cuntz-Krieger.
Pada tahun 2011, Pino, Clark, an Huef, dan Raeburn memperkenalkan konsep aljabar Kumjian-Pask. Artikel yang membahas konsep ini dipublikasikan pada tahun 2013 [14]. Aljabar Kumjian-Pask merupakan analogi aljabar murni untuk konsep aljabar-C∗graf-kpada [10]. Dalam hal ini, lebih khusus terkait dengan graf-kberhingga baris tanpasources. Mulai tahun 2013, konsep aljabar Kumjian-Pask telah diperluas atas graf-k locally convex [7, 19] dan graf-k
finitely aligned[6, 13].
Aljabar Kumjian-Pask dari graf-kΛyang berhingga baris tanpasources
atas lapangan bilangan kompleksCtelah ditunjukkan sebagai subaljabar-∗padat
(dense) pada aljabar grafC∗(Λ)[14]. Aljabar Kumjian-Pask dari graf-k ber-hingga baris tanpasourcestelah banyak menjadi perhatian kalangan ilmuwan aljabar operator, di antaranya [3, 4, 5, 9, 18, 20]. Dalam artikel ini akan diba-has gambaran konsep aljabar Kumjian-Pask dari graf-kberhingga baris tanpa
sourcesserta teknik konstruksinya.
2 Graf-k
Berdasarkan [15], suatu kategoriC terdiri atas himpunan objekC0 dan
himpunan morfismaCyang dilengkapi dengan dua buah fungsir, s:C → C0
berturut-turut sebagai pemetaan kodomain dan domain dari morfisma di C. Morfisma identitas pada objekvdinotasikanιv. Didefinisikan komposisi sebagai
operasi antar morfisma(f, g)7→f gdenganr(g) =s(f)sedemikian sehingga memenuhi:
• r(f g) =r(f)dans(f g) =s(g);
• (f g)h=f(gh)jikas(f) =r(g)dans(g) =r(h);
JikaCdanDmerupakan kategori,functorF :C → Dadalah pemetaan yang me-masangkan objek dengan objek dan morfisma dengan morfisma sedemikian se-hingga mempertahankan pemetaan kodomain, pemetaan domain, dan komposisi, serta memenuhiF(ιv) =ιF(v).
Definisi 2.1[10, Definition 1.1]. Untuk suatu bilangan bulat positifk, pandang
Nksebagai kategori dengan satu objek. Graf dengan rankkatau graf-kadalah
suatu kategori terbilangΛ = (Λ0,Λ, r, s)dilengkapi denganfunctord: Λ→
Nk, disebut pemetaan derajat, yang memenuhi sifat faktorisasi berikut: jika
λ ∈ Λdan d(λ) = m+nuntuk suatum, n ∈ Nk, maka terdapatµ, ν ∈ Λ
secara tunggal sedemikian sehingga d(µ) = m, d(ν) = n, dan λ = µν. Morfisma antara graf-k(Λ1, d1)dan(Λ2, d2)adalahfunctorf : Λ1 →Λ2yang
mempertahankan derajat.
Notasi([10, 14, 6]). Elemen padaΛ0 selanjutnya dinamakan sebagaisimpul.
Untukn∈Nkdidefinisikan
Λn:={λ∈Λ :d(λ) =n}
dan setiap λ ∈ Λn disebut sebagai lintasan berderajat n. Sifat faktorisasi
mengakibatkan bahwa untuk sembarangv∈Λ0,vdapat diidentifikasi dengan morfisma identitasιv. Untuk setiapλ∈Λ, domain dariλdisebut sebagaisource
yang dinotasikan dengans(λ)dan kodomainnya disebut sebagairangeyang dinotasikanr(λ). Untuk suatuv∈Λ0dann∈Nk, didefinisikan:
vΛn:={λ∈Λn:r(λ) =v}.
Suatu graf-kΛdapat dipandang sebagai kerangka-1. Himpunan objek
Λ0dipandang sebagai simpul-simpul pada graf berarah, pilih warna sebanyakk yaituc1, c2, . . . , ck, selanjutnya untuk setiapλ∈Λeidigambarkan sisi berarah
dengan warnaci dari s(λ) ke r(λ). Graf berarah E yang diwarnai tersebut
kemudian disebut kerangka-1dariΛ.
Contoh 2.2[14, Example 2.2]. MisalkanΩ0k :=Nk,Ω
k :={(p, q)∈Nk×Nk:
p ≤q}. Didefinisikanr, s : Ωk → Ω0k denganr(p, q) := pdans(p, q) := q,
komposisi(p, q)(q, r) := (p, r), dand : Ωk → Nk dengand(p, q) := q−p.
Dengan cara serupa, untukm ∈ Nkdidefinisikan Ω0
k,m := {p ∈ Nk :
p≤m}danΩk,m:={(p, q)∈Ω0k,m×Ω0k,m:p≤q}. Dengan mendefinisikan
r,s, dandyang sama, makaΩk,madalah graf-k. Sebagai contoh, kerangka-1
dariΩ2,(3,2)adalah
p
q
e m h
l i
f g
dengan panah biasa dan panah putus-putus mengindikasikan warna yang berbeda. Pandang lintasan-lintasan sebagai persegi panjang. Lintasan (p, q) dengan
sourceqdanrangepadalah persegi panjang berukuran2×1di bagian kiri atas, dan jalur berbedaef g, lmg, lihdariqmenujupmerepresentasikan faktorisasi berbeda dari(p, q).
Definisi 2.3[10, 14]. Suatu graf-kΛdikatakan berhingga baris jikavΛn
ber-hingga untuk setiapv∈Λ0dann∈Nk.Λdikatakan tidak mempunyaisources
jika vΛn 6= ∅ untuk setiap v ∈ Λ0 dan n ∈ Nk. Oleh karena itu, graf-k
berhingga baris tanpa sources ialah suatu graf-kΛsedemikian sehingga
06=|vΛn|<∞, untuk setiapv∈Λ0dann∈Nk.
Definisi 2.4[10, 14]. MisalkanΛ adalah suatu graf-kberhingga baris tanpa
sources. Ruang lintasan tak berhingga dariΛdidefinisikan sebagai
Λ∞:={x: Ωk→Λ|xmorfisma graf-k},
danx∈Λ∞disebut sebagai lintasan tak berhingga diΛ. Karena setiap objek m ∈ Ωk diidentifikasi dengan morfisma identitas (m, m) di m, maka x(m)
dituliskan untuk simpulx(m, m). Oleh karena itu,rangedari suatu lintasan tak berhinggaxadalah simpulr(x) :=x(0)dan dinotasikanvΛ∞:=r−1(v).
Catatan. Untuk mendukung definisi ini, perhatikan bahwa lintasanλ∈Λn
sifat faktorisasi, terdapat lintasan tunggalλ′∈Λp,λ′′∈Λq−p, danλ′′′ ∈Λn−q
sedemikian sehinggaλ=λ′λ′′λ′′′. Definisikanfλ(p, q) :=λ(p, q) :=λ′′,
ma-kafλadalah fungsi yang terdefinisi dengan baik dan mempertahankan derajat.
Sifat faktorisasi mengakibatkan bahwa pemetaanλ7→fλ adalah bijeksi dariΛn
onto himpunanfunctoryang mempertahankan derajat dariΩk,nkeΛ.
Lema 2.5[14, Lemma 2.4]. Misalkann(i)≤n(i+ 1)diNk,n(i)j → ∞diN
untuk1≤j ≤k, danλi∈Λn(i)memenuhiλi+1(0, n(i)) =λi. Maka terdapat secara tunggaly∈Λ∞sedemikian sehinggay(0, n(i)) =λi.
Lema 2.6[10, Proposition 2.3].
1. Untukn ∈ Nk, terdapat elemen tunggal x(0, n) ∈ Λn danx(n,∞) ∈
Λ∞sedemikian sehinggax=x(0, n)x(n,∞), denganx(n,∞) dinota-sikan untuky∈Λ∞dengany(p, q) =x(p+n, q+n).
2. Misalkanλ ∈ Λn danx ∈ Λ∞dengan s(λ) = r(x). Maka terdapat
secara tunggaly∈Λ∞sedemikian sehinggay(0, n) =λx(0, n−d(λ))
untukn≥d(λ), kemudian dituliskanλx:=y.
3 Aljabar Kumjian-Pask
Definisi 3.1[14, hlm. 3619]. MisalkanΛmerupakan suatu graf-kdanΛ6=0 :=
{λ ∈ Λ : d(λ) 6= 0}. Untuk setiapλ ∈ Λ6=0 didefinisikan ghost pathλ∗, sedangkan untukv ∈ Λ0 didefinisikan v∗ := v. Himpunan ghost pathsdari
Λdinotasikan sebagaiG(Λ)atauG(Λ6=0)jika tidak disertakan simpul-simpul.
Selanjutnyad,r, danspadaG(Λ)didefinisikan sebagai
d(λ∗) =−d(λ), r(λ∗) =s(λ), dans(λ∗) =r(λ).
Komposisi padaG(Λ)didefinisikan dengan aturanλ∗µ∗= (µλ)∗untukλ, µ∈
Λ6=0denganr(µ∗) =s(λ∗). Sifat faktorisasi padaΛmenginduksi sifat faktori-sasi yang serupa padaG(Λ).
Definisi 3.2[14, Definition 3.1]. MisalkanΛmerupakan suatu graf-kberhingga baris tanpasourcesdanRsuatu ring komutatif dengan unsur kesatuan. Keluarga Kumjian-Pask-Λ (P, S)pada suatu aljabar-R Aterdiri atas dua fungsiP : Λ0 → AdanS: Λ6=0∪G(Λ6=0)→Asedemikian sehingga:
(KP2) untuk setiapλ, µ∈Λ6=0denganr(µ) =s(λ)berlaku
SλSµ=Sλµ, Sµ∗Sλ∗ =S(λµ)∗, Pr(λ)Sλ=Sλ=SλPs(λ), Ps(λ)Sλ∗ =Sλ∗ =Sλ∗Pr(λ),
(KP3) untuk setiapλ, µ∈Λ6=0dengand(λ) =d(µ)berlaku
Sλ∗Sµ=δλ,µPs(λ),
(KP4) untuk setiapv∈Λ0dann∈Nk\ {0}berlaku
Pv =
X
λ∈vΛn
SλSλ∗.
Relasi (KP2) dan (KP4) mengakibatkan bahwa untuk setiapq≥d(λ)∨ d(µ)berlaku
Sλ∗Sµ=
X
d(λα)=q,λα=µβ
SαSβ∗.
Teorema 3.3 [14, Theorem 3.4]. Misalkan Λ merupakan suatu graf-k ber-hingga baris tanpa sources danRsuatu ring komutatif dengan unsur kesatu-an. Maka terdapat suatu aljabar-R KPR(Λ) yang dibangun oleh keluarga Kumjian-Pask-Λ (p, s)sedemikian sehingga jika(Q, T)merupakan suatu kelu-arga Kumjian-Pask-Λpada suatu aljabar-R A, maka terdapat secara tunggal homomorfisma aljabar-R πQ,T :KPR(Λ)→Asedemikian sehingga
π(Q,T)(pv) =Qv, πQ,T(sλ) =Tλ, πQ,T(sµ∗) =Tµ∗
untukv∈Λ0danλ, µ∈Λ6=0. Terdapat grading-ZkpadaKPR(Λ)sehingga
KPR(Λ)n=spanR{sλsµ∗|λ, µ∈Λ;d(λ)−d(µ) =n},
danrpv 6= 0untuk setiapv∈Λ0danr∈R\{0}.
KPR(Λ)selanjutnya disebut sebagai aljabar Kumjian-Pask dariΛdan (p, s)adalah keluarga Kumjian-Pask-Λuniversal.
Alur bukti:Pandang aljabar-RbebasFR(w(X))padaX = Λ0∪Λ6=0∪G(Λ).
DefinisikanI sebagai ideal dariFR(w(X))yang dibangun oleh gabungan dari
•
memberikan keluarga Kumjian-Pask-Λ (p, s)yang dibangun padaKPR(Λ).
Pemetaan derajat memberikanZk-gradingpadaFR(w(X))yang
didefi-nisikan
untukn∈Zk. Generator dariI adalah homogen, makaI gradeddanKP R(Λ) graded oleh q(FR(w(X))n). Dapat ditunjukkan bahwa q(FR(w(X))n) =
KPR(Λ)n.
Konstruksi modul-R bebas dengan basis ruang lintasan tak berhingga untuk menunjukkan bahwa terdapat keluarga Kumjian-Pask(Q, T)sedemikian sehinggarQvtak nol untuk setiaprtak nol.
4 Kesimpulan
Sebagai ringkasan, untuk sembarang graf-kΛyang berhingga baris tanpa
sourcesdan ring komutatif R dengan unsur kesatuan, aljabar Kumjian-Pask dariΛadalah suatu aljabar-R KPR(Λ)yang dibangun oleh keluarga
Kumjian-Pask-Λ universal(p, s). Aljabar ini dapat dikonstruksi sebagai grup kuosien
FR(w(X))/I denganFR(w(X)) adalah aljabar-R bebas padaX := {Λ0 ∪
Λ6=0∪G(Λ6=0)}danI ⊂FR(w(X))adalah ideal yang dibangun sedemikian
Daftar Pustaka
[1] Abrams, G. dan Pino, G. Aranda. (2005).The Leavitt Path Algebra of a Graph. Journal of Algebra, 293: 319-334.
[2] Ara, P., Moreno, M.A., dan Pardo, E. (2007).NonstableK-theory for Graph Algebras. Algebras and Representation Theory, 10(2): 157-178.
[3] Brown, Jonathan H. dan an Huef, Astrid. (2012).The Center of a Kumjian-Pask Algebra. arXiv: 1209.2627v1 [math.RA].
[4] Brown, Jonathan H. dan an Huef, Astrid. (2015).The Socle and Semisim-plicity of a Kumjian-Pask Algebra. Communications in Algebra, 43(7): 2703-2723.
[5] Clark, Lisa Orloff., Canto, Crist´obal Gil., dan Nasr-Isfahani, Alireza. (2017).
The Cycline Subalgebra of a Kumjian-Pask Algebra. Proceedings of the American Mathematical Society, 145(5): 1969-1980.
[6] Clark, Lisa Orloff. dan Pangalela, Yosafat E.P. (2015). Kumjian-Pask Algebras of Finitely-aligned Higher-rank Graphs. arXiv: 1512.06547v1 [math.RA].
[7] Clark, Lisa Orloff., Flynn, Claire., dan an Huef, Astrid. (2014). Kumjian-Pask Algebras of Locally Convex Higher-rank Graph. Journal of Algebra, 399: 445-474.
[8] Cuntz, Joachim. dan Krieger, Wolfgang. (1980).A Class ofC∗-algebras
and Topological Markov Chains. Inventiones Mathematicae, 56: 251-268.
[9] Kashoul-Radjabzadeh, Maryam., Larki, Hossein., dan Aminpour, Abdolmohammad. (2016).Prime and Primitive Kumjian-Pask Algebras. Journal of Algebra and Its Applications, 1750169.
[10] Kumjian, Alex. dan Pask, David. (2000).Higher-rank GraphC∗-Algebra. New York Journal of Mathematics, 6: 1-20.
[12] Kumjian, Alex., Pask, David., Raeburn, Iain., dan Renault, Jean. (1997).
Graphs, Groupoids, and Cuntz-Krieger Algebras. Journal of Functional Analysis, 144(2): 505-541.
[13] Larki, Hossein. (2017). Purely Infinite Simple Kumjian-Pask Algebras. arXiv: 1608.07744v3 [math.RA].
[14] Pino, G. Aranda., Clark, John., an Huef, Astrid., dan Raeburn, Iain. (2013).
Kumjian-Pask Algebras of Higher-rank Graphs. Transaction of the American Mathematical Society, 365(7): 3613-3641.
[15] Raeburn, Iain. (2005).Graph Algebras. Rhode Island: Transaction of the American Mathematical Society.
[16] Robertson, Guyan. dan Steger, Tim. (1996).C∗-algebras Arising from
Group Actions on the Boundary of a Triangle. Proceedings of the London Mathematical Society, 72: 613-637.
[17] Robertson, Guyan. dan Steger, Tim. (1999). Affine Buildings, Tiling Systems and Higher-rank Cuntz-Krieger Algebras. Journal fu¨r die Reine und Angewandte Mathematik, 513: 115-144.
[18] Rosjanuardi, Rizky. (2013). Complex Kumjian-Pask Algebras. Acta Mathematica Sinica, 29(11): 2073-2078.
[19] Rosjanuardi, Rizky. dan Yusnitha, Isnie. (2016).Kumjian-Pask Algebras of Desourcification. American Institute of Physics Conference Proceedings, 1708(1), 060006.
