TRIGONOMETRI
A. Teorema Pythagoras 2 2 2 c a b 2 2 2 c b a 2 2 2 a b c B. Perbandingan Trigonometri AC AB hipotenusa panjang depan sisi panjang sin AC BC hipotenusa panjang samping sisi panjang cos BC AB samping sisi panjang depan sisi panjang tan θ Latihan 1: 1. Tentukan nilai x! 2. Tentukan nilai y!3. Tentukan perbandingan trigonometri berikut ini!
C. Menentukan besar sudut
tan = 31 22 = 31 22
tan1 ( dibaca: antitangen dari
31 22
) Berdasarkan tabel trigonometri diperoleh:
= 35,36o atau 35o 21’ b c a A B C A B C Sisi samping S is i de pa n hipotenusa x 5 cm 3 cm y 5 cm 13 cm Q R P 22 cm 31 cm
D. Identitas trigonometri cos sin tan tan 1 sin cos cot cos 1 sec sin 1 csc sin(90o – ) = cos cos(90o – ) = sin tan(90o – ) = cot cot(90o – ) = tan sin2 + cos2 = 1 cot2+ 1 = csc2 Latihan 2:
1. Besar sudut A jika sinA = 0,4357 adalah …. 2. Besar sudut B jika cosB = 0,0035 adalah …. 3. Besar sudut C jika tanC = 0,5693 adalah …. 4. Nilai dari cos55o adalah ….
5. Tentukan nilai dari sin.cos(90o )cos.sin(90o ) ! E. Tabel Perbandingan Trigonometri di Kuadran I
Sudut () Trigonometri 0o 30o 45o 60o 90o sin 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 cos 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 tan 0 3 3 1 1 3 ~ cot ~ 3 1 3 3 1 0 sec 0 3 3 2 2 2 ~ csc ~ 2 2 3 3 2 0 Latihan 3:
Tentukanlah nilai dari:
1. (2sin60o cos600)2 (sin60o 2cos60o) 2. o o o 30 cos 30 sin ) 30 cot 30 (tan 0
3. cot245ocos300 tan260ocot230o
4. o o o o 30 cos 30 cos 1 30 cos 1 30 sin 5. o o 60 tan 1 60 tan 2 2
F. Menentukan perbandingan trigonometri pada kuadran tertentu Tanda Di Kuadran Fungsi Trigonometri I II III IV sin + + - - cos + - - + tan + - + - Pada kuadran II sin(180o - ) = sin cos(180o - ) = -cos tan(180o - ) = -tan
Pada kuadran III
sin(180o + ) = -sin cos(180o + ) = -cos tan(180o + ) = tan Pada kuadran IV sin(360o - ) = -sin cos(360o - ) = cos tan(360o - ) = -tan
G. Menentukan perbandingan trigonometri, jika sudut >90o
sin = sin(k.90o + x) dengan = k.90o + x dan 0o x90o
= ± sinx (tanda positif/negatif bergantung pada kuadran ke berapa) Jika k genap maka fungsi tetap, yaitu: sinus, cosinus, dan tangen tetap.
Jika k ganjil maka fungsi berubah, yaitu: sinus menjadi cosinus, cosinus menjadi sinus, dan tangen menjadi cotangen.
H. Menentukan perbandingan trigonometri, jika sudut >360o sin = sin(k.360o+x) = sinx
cos = cos(k.360o+x) = cosx tan = tan(k.360o+x) = tanx
I. Menentukan perbandingan trigonometri dengan sudut negatif sin(-) = -sin
cos(-) = cos
tan(- ) = -tan
J. Menentukan besar sudut yang nilai perbandingan trigonometrinya diketahui Jika sinxo = sin, maka:
xo = + k. 360o atau xo = (180o - ) + k. 360o Jika cosxo = cos , maka:
xo = + k. 360o atau xo = - + k. 360o Jika tanxo = tan , maka:
xo = + k. 180o Latihan 4:
Tentukan nilai dari: 1. sin105o
2. cos240o 3. tan135o 4. cos1.230o
5. Himpunan penyelesaian dari persamaan 3tanx1, untuk o o
x 180
K. Mengubah Koordinat Cartesius ke Koordinat Kutub ) , ( ) , (x y P r P Dengan r x2 y2 x y tan = antitangen x y
L. Mengubah Koordinat Kutub ke Koordinat Cartesius ) , ( ) , (r P x y P Dengan xrcos sin r y Latihan 5:
Tentukan koordinat kutub dari: 1. (6, 30o)
2. (10, 60o)
Tentukan koordinat cartesius dari: 3. (5, 13)
4. (-24, 7) 5. (-5, -5) M. Satuan derajat
Satu derajat diartikan sebagai
360 1
putaran mengelilingi satu titik tertentu.
360 1 putaran = 1o 1 putaran = 360o N. Satuan radian Ukuran radian = jari -jari panjang busur panjang O. Mengubah satuan derajat ke radian
rad = 180o 1o = 180 1 rad Contoh:
Ubahlah 30o menjadi satuan radian! Jawab: o 30 = 180 30 rad o 30 = 6 1 rad P. Mengubah satuan radian ke derajat
rad = 180o 1 rad = o 180 1 rad = 57,296o 57o18' Contoh:
Ubahlah 5 rad menjadi satuan derajat! Jawab: 5 rad = o 180 5 5 rad = 900 5 rad = 286,36o
Latihan 6:
Ubahlah menjadi satuan radian: 1. 90o
2. 22,5o 3. 210o
Ubahlah menjadi satuan derajat: 4. 3 2 rad 5. 6 5 1 rad
Q. Grafik Fungsi Trigonometri 1. Grafik fungsi sinus
sin 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 2 1 3 2 1 – 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 2p 1p 0 1p 2p x y
2. Grafik fungsi cosinus
cos 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 2 1 3 2 1 – 1 3 2 1 2 2 1 2 1 0 2 1 2 2 1 3 2 1 1 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 2p 1p 0 1p 2p x y
3. Grafik fungsi tangen tan 0o 30o 45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 210o 225o 240o 270o 300o 315o 330o 360o 0 3 3 1 1 3 ~ 3 – 1 3 3 1 0 3 3 1 1 3 ~ 3 – 1 3 3 1 0 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 2p 1p 0 1p 2p x y Latihan 7:
Gambarkan grafik dari: 1. ysin2x 2. y2sinx 3. ycos2x 4. y2cosx 5. ytan2x 6. y2tanx
R. Aturan Sinus pada Segitiga
Untuk sembarang jenis segitiga berlaku:
sinC c sinB b sinA a
S. Aturan Cosinus pada Segitiga
Untuk sembarang jenis segitiga berlaku: 2bccosA c b a2 2 2 2accosB c a b2 2 2 2abcosC b a c2 2 2 atau 2bc a c b cosA 2 2 2 2ac b c a cosB 2 2 2 2ab c b a cosC 2 2 2 Latihan 8:
1. Diketahui segitiga ABC dengan a = 6 cm, b = 4 cm, dan C = 120o. Hitunglah c!
2. Diketahui segitiga KLM dengan k = 4 cm, l = 4 cm, dan m = 5 cm. Hitunglah besar sudut M! C A B b c a C A B b c a
T. Luas Segitiga Menggunakan Trigonometri s = (a b c) 2 1 L = s(sa)(sb)(sc) L = absinC 2 1 L = acsinB 2 1 L = bcsinA 2 1 L = 2sinA sinBsinC a2 L = 2sinB sinAsinC b2 L = 2sinC sinAsinB c2 Latihan 9:
1. Hitunglah luas segitiga yang diketahui a = 4 cm. b = 8 cm, dan C=150o !
2. Diketahui segiempat ABCD dengan panjang diagonal AC = 6 cm, BD = 10 cm, dan sudut yang dibentuk oleh perpotongan kedua diagonal tersebut adalah 45o. Hitunglah luas segiempat ABCD tersebut !
U. Penerapan Trigonometri dalam Kehidupan Sehari-hari
1). Menentukan besar sudut elevasi dalam kehidupan sehari-hari Sudut elevasi adalah besar sudut dari garis horizontal ke atas. Contoh:
Budi berdiri 100 m dari sebuah gedung bertingkat. Ia melihat puncak gedung tersebut sehingga membentuk sudut 60o. Jika tinggi Budi 150 cm, hitunglah tinggi gedung tersebut!
Jawab:
Jarak Budi ke gedung = 100 m o 60 tan = 100 t 3 = 100 t t = 100 3
Jadi tinggi gedung tersebut = t + tinggi badan Budi = (100 31,5)m
2). Menentukan besar sudut depresi dalam kehidupan sehari-hari Sudut depresi adalah besar sudut dari garis horizontal ke bawah. Contoh:
Suatu pesawat akan mengebom suatu menara di bawahnya. Jika ketinggian pesawat 500 m dan sudut depresi pesawat 60o. Hitunglah jarak horisontal pesawat ke menara!
Jawab: o 60 tan = 500 s 3 = 500 s s = 500 3,
Jadi jarak horisontal pesawat ke menara =500 3m C A B b c a 100 m 150 cm t 60o 60o 500 m s
Latihan 10:
1. Rahmat melihat puncak suatu menara dengan sudut elevasi 26,75o. Jika jarak antara menara dengan Rahmat adalah 35 m. Hitunglah tinggi menara jika tinggi badan Rahmat 1,7 m!
2. Dari atas suatu jembatan sudut depresi suatu pelampung di atas air sungai adalah 63,5o. Berapa jarak pelampung ke tepi jembatan apabila tinggi jembatan di atas permukaan air adalah 65 m!
Uji Kompetensi: A. Pilihan Ganda 1. Nilai dari 3 sec 1 6 cos . 3 sin adalah …. a. 3 4 1 d. 2 2 3 b. 4 3 e. 4 3 c. 2 4 1
2. Bentuk sederhana dari
A A A A sin cos cos 1 sin adalah …. a. cscA d. cotA b. secA e. sin A c. tanA
3. Koordinat kutub pada titik (-3, 3 3) adalah …. a. (6, 120o) d. (6, 150o) b. (6, 240o) e. (6, 330o) c. (6, 300o)
4. Diketahui segitiga PQR dengan p = 10 cm, Q = 30o, dan R = 110o. Luas segitiga PQR adalah ….
a. 78 cm2 d. 56,4 cm2
b. 73,1 cm2 e. 36,5 cm2
c. 68,2 cm2
5. Kota X terletak 40 km dari kota Y pada arah 030o, sedangkan kota Z terletak 50 km dari kota Y pada arah 110o. Jarak kota X ke kota Z adalah ….
a. 10 km d. 50,65 km
b. 30 km e. 69,24 km
c. 50 km B. Uraian
1. Tentukan himpunan peyelesaian dari 2secxcosx1, 0 x2 ! 2. Sederhanakan bentuk 1 cot sin tan 1 cos x x x x !
3. Pada segienam beraturan ABC.DEF, panjang BE = 12 cm. Tentukan luas segienam tersebut! 4. Hitunglah luas segitiga ABC, jika diketahui AC=5cm, AB=5 2cm, C=45o, dan sin75o = p ! 5. Seorang anak yang tingginya 1 m berdiri di sebuah tanah datar. Ia melihat pohon dengan sudut